Sistemi Dinamici Caotici - Liceo Locarno · La teoria del caos ci mostra che l'evoluzione di un...

LICEO CANTONALE LOCARNO

Sistemi Dinamici Caotici

Lavoro di maturità nell'ambito della teoria del caos edella meccanica statistica

Alessio Mina

2014-2015

Professore responsabile:

Christian Ferrari

In copertina:La teoria del caos como orden distinto: Yo, sin vos

(La teoria del caos come un ordine diverso: io, senza te)

Carla Bucceri

Prefazione

In ogni caos c'è un cosmo, in ogni disordine un ordine segreto.

Carl Gustav Jung

La parola caos possiede senza dubbio un fascino intrinseco e pensare che questo concettopossa legarsi alla sica ha, n da subito, suscitato in me un forte interesse. La prima domandache mi sono posto è: com'è possibile che la sica, che si pregge di portare ordine e comprensionenel mondo attraverso lo studio dei fenomeni che ci circondano e la formulazione di leggi che sibasano sulla precisa matematica, possa abbracciare il caos?

Immagino che molti, dopo aver incontrato per la prima volta il termine sica del caos, abbia-no avuto l'impressione di trovarsi di fronte a un ossimoro. Nel corso del mio lavoro di maturitàho avuto la possibilità di conoscere, in parte, questa teoria e di comprendere l'eleganza di quellache è solo apparentemente una contraddizione. È stato inoltre un importante obiettivo riuscirea sviluppare un procedimento di lavoro scientico, metodico e preciso per esporre una teoria sica.

Quando, nel mese di gennaio 2014, il Professor Ferrari mi ha proposto una serie di possibilitemi da approfondire nel lavoro di maturità, quelli legati alla teoria del caos hanno immediata-mente attirato il mio interesse, pur sapendo ben poco circa il tema. Ho quindi fatto un piccolosalto nel buio. I nuovi concetti matematici e i termini tecnici sconosciuti, che ho incontrato inun primo approccio all'analisi dei sistemi dinamici caotici, hanno contribuito notevolmente apreservare questo stato di oscurità.

Fortunatamente, il Professore Christian Ferrari, che mi ha seguito costantemente durante losvolgimento di questa ricerca, ha saputo guidarmi con sicurezza attraverso il mondo del caos esi è dimostrato sempre disponibile ad aiutarmi nei momenti più critici. Il suo sostegno è statofondamentale per la riuscita del mio lavoro e quindi non posso che ringraziarlo per l'impegno chemi ha dedicato.

Ho inoltre trovato stimolante collaborare con Ezio Bonetti che ha anche scelto di studiareun tema legato alla teoria del caos, ovvero quello della geometria frattale: quando la mia analisiè sfociata nell'area di sua competenza, ho potuto confrontarmi con lui per comprendere meglioalcuni aspetti. Sono poi grato a Emile Garbani Nerini per il supporto informatico che mi hafornito per redigere il testo con LATEX. Desidero inne ringraziare il Professor Gianni Boa eil Professor Renato Züger che, rispettivamente in ambito teologico e losoco, hanno saputofornirmi interessanti spunti di riessione. Grazie a loro, questo lavoro di maturità ha potutoarontare il tema del caos con una visione più ampia, che non si limita solamente alla sica.

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Abstract

Questo lavoro di maturità intende studiare i sistemi dinamici iperbolici nell'ambito della teoriadel caos. Al contrario delle altre rivoluzioni che hanno segnato la sica del XX secolo, ossia larelatività e la quantistica, il caos è molto meno conosciuto. Lo scopo di questo testo è mostrareche caos non è sinonimo di disordine né di casualità. I sistemi dinamici caotici e il loro compor-tamento verranno descritti da precise equazioni matematiche e vedremo come in questa teoriaconvivano imprevidibilità e ordine.

Il primo capitolo ha una funzione introduttiva e analizza la genesi di questa nuova scien-za. Cercheremo di rispondere, coniugando la sica alla losoa, ad alcune interessanti domandecome: dove possiamo vedere il caos? L'evoluzione dell'universo è già totalmente determinata?Saremo mai in grado di prevederla? La nostra realtà è semplicemente in balia del caso o delleequazioni deterministiche?

La teoria del caos ci mostra che l'evoluzione di un sistema caotico è prevedibile all'innitosolo se si conosce con precisione innita la condizione iniziale del sistema, poiché il valore realedi un'osservabile e quello misurato portano a due evoluzioni che divergono esponenzialmentenel corso del tempo. Nel secondo capitolo verrà quindi presentato un tipo di sistema dinamico:le mappe. Queste strutture e le loro proprietà verranno descritte matematicamente e, cosa piùimportante, riporteremo le tre proprietà che possiede un sistema caotico: la sensibilità alle condi-zioni iniziali, la densità di un insieme di orbite periodiche nello spazio delle fasi e la transitività.Inne descriveremo un concetto fondamentale per la teoria del caos, ossia quello di attrattore.

Nel terzo capitolo presenteremo quattro esempi di mappe caotiche e li analizzeremo avva-lendoci dei concetti presentati nel capitolo due. In particolare, riveleremo e quanticheremo ilcomportamento caotico di questi sistemi. Nel quarto esempio, inoltre, entreremo nel campo dellageometria frattale.

Inne studieremo i sistemi dinamici caotici con un approccio statistico: partendo dal proble-ma dell'irreversibilità di alcune evoluzioni, vedremo le soluzioni che propongono rispettivamenteBoltzmann e Gibbs. Il primo introduce il concetto di ergodicità, mentre il secondo quello di mi-xing. Dopo aver denito e analizzato questi concetti, utilizzando anche alcuni esempi di sistemidinamici del terzo capitolo, dimostreremo che un sistema mixing è anche ergodico.In seguito, deniremo l'entropia di Kolmogorov-Sinai, che è una caratteristica dei sistemi caoticie che misura la produzione di informazione all'interno di un sistema dinamico. Anche qui, illu-streremo questi concetti sulle mappe presentate nel terzo capitolo.Nell'ultima parte, esporremo l'equazione di Boltzmann che permette di calcolare l'evoluzionetemporale della densità di probabilità che delle particelle si trovino in una certa regione dellospazio delle fasi e l'annesso teorema H. Per concludere, vedremo che un sistema mixing presentale tre proprietà del caos.

v

Indice

Prefazione iii

Abstract v

1 Armonia e dissonanza 1

1.1 Determinismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Libero arbitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Meteorologia: la culla del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Un'applicazione industriale del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Mappe caotiche 13

2.1 Sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Descrizione matematica delle mappe unidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Punti ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Punti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Descrizione matematica delle mappe bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Punti ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Punti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Il caos nelle mappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 Le tre proprietà del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Sensibilità nel caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3 Sensibilità nel caso bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Descrizione matematica dell'attrattore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Esempi di mappe caotiche 23

3.1 La mappa diadica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 La mappa del panettiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 La mappa di Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 La mappa del panettiere dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Meccanica statistica dei sistemi dinamici 41

4.1 Spazi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Irreversibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 L'ipotesi ergodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Il teorema ergodico di Birkho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Descrizione matematica dell'ergodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vii

viii INDICE

4.4.1 Media temporale e media statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2 Interpretazione matematica del teorema di Birkho . . . . . . . . . . . . . 494.4.3 Il teorema della ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.4 Denizioni di ergodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 L'ergodicità nelle mappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.1 La mappa diadica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.2 La mappa rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5.3 La mappa del panettiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 Sistemi mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.2 Mixing ed ergodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6.3 La proprietà di mixing nelle mappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6.4 Mixing ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.7 L'entropia di Kolmogorov-Sinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.8 L' equazione di Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.9 L'equazione di Boltzmann per la mappa del panettiere . . . . . . . . . . . . . . . 674.10 Meccanica statistica e caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bibliograa 71

Indice analitico 73

Capitolo 1

Armonia e dissonanza

H τoι µευ πρωτιστα Xαoζ γευετ.

No, non si tratta di una complicata formula matematica per descrivere un particolare eventosico, non ancora. Queste lettere greche non rappresentano costanti o grandezze che di un corpo,ma sono proprio lettere greche.Dunque per primo fu il caos. Ecco ciò che si cela dietro a questa frase. Si tratta di un verso dellaTeogonia di Esiodo. Gli antichi Greci non erano gli unici a pensarla così circa l'età primordialedell'universo: anche la mitologia indiana, infatti, aerma che all'inizio tutto quello che esistevasi trovava immerso nella più profonda oscurità in completa confusione, ossia nel caos. Il caos è ilrisultato della dissoluzione dell'universo che esisteva in precedenza. Vi è inoltre un mito sumerosecondo cui, l'universo nasce dal caos e perno la Bibbia descrive la creazione dell'universo a par-tire da uno stato in cui vi era terra informe e vuota, e le tenebre coprivano la faccia dell'abisso.

Al caos segue sempre l'intervento divino che plasma il mondo: l'ordine, equiparato al bene, vienecreato a partire dal disordine, che è il male.

È aascinante constatare come questo concetto sia comune a così tante mitologie antiche: ciòsignica che è ben radicato nel nostro pensiero. Non sorprende dunque che i primi scienziati aintuire il ruolo del caos1 nella realtà abbiano incontrato molte resistenze da parte del resto dellacomunità scientica.Secondo queste credenze, ordine e caos sono incompatibili, l'uno è il contrario dell'altro. Dioè dunque intervenuto ed ha creato l'ordine, scacciando le tenebre del caos. Dove c'è ordine, cisono delle leggi ed è qui che usciamo dal campo religioso ed entriamo in quello scientico. Nonè forse lo scopo di ogni scienziato avvicinarsi il più possibile a comprendere le leggi che regolanol'universo? A partire da Newton queste leggi sono state esplicitate e il mondo è diventato semprepiù chiaro. L'avanzata dell'ordine sembrava destinata a inghiottire interamente il disordine.

Oggi dunque il caos è estinto? Tutt'altro, oggi il disordine è più presente che mai. Se prima sipensava che non esistesse, oggi si tende a vederlo ovunque. Prima di quando? Prima della terzarivoluzione scientica che, assieme alla relatività e alla quantistica, ha distrutto le certezze dellasica classica per ricostruire una nuova scienza. Si tratta dell'avvento della teoria del caos, cui èstrettamente connesso il tema di questo lavoro di maturità.

Ma cos'ha veramente demolito questa teoria? La certezza di cui si parlava all'inizio, ossial'incompatibilità tra ordine e disordine.

1Si noti che il concetto di caos in sica o matematica non corrisponde assolutamente al caos in senso mitologico.Il signicato esatto di queste due accezioni è riportato nella sezione 1.4.

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2 CAPITOLO 1. ARMONIA E DISSONANZA

Nell'induismo, l'universo attraversa un ciclo di tre fasi che si ripete all'innito: creazione,conservazione e distruzione che corrispondono rispettivamente alla nascita, la vita e la morte.Brahma è il dio della creazione, Visnu è il dio della conservazione e Shiva il dio della distruzionee della rigenerazione. Quest'ultimo interviene dissolvendo in un primo momento la dimensionemateriale, per poi riportare l'ordine nella rigenerazione dell'universo. Shiva è quindi benevolo eterribile allo stesso momento, rappresenta ordine e disordine: l'armonia che si realizza quando sidissolve il mondo materiale con le sue leggi.

E se armonia e dissonanza si combinano nella bellezza musicale, ordine e caos si combinanonella bellezza della matematica.

1.1 Determinismo

Il determinismo è una concezione losoca secondo la quale tutti i fenomeni del mondo sonocollegati l'un l'altro e si vericano seguendo un ordine necessario e invariabile. Il determinismoriguarda il rapporto tra causa ed eetto, tra legge naturale universale e singolo fenomeno. Se-condo questo rapporto, data una causa o una legge, può vericarsi soltanto un certo eetto oparticolare fenomeno. Non c'è dunque spazio per una variazione spontanea.

Questo termine è stato introdotto nel linguaggio losoco nella seconda metà del XVIII se-colo, anche se le origini sono antiche. I Babilonesi erano convinti che il destino fosse già scrittonelle stelle, ma gli antichi Greci furono i primi a formulare con precisione un determinismo ri-gidamente meccanicistico. Aristotele distingueva invece tra causa materiale, causa eciente ecausa nale. Tutte le cose sarebbero dunque sottoposte a una legge universale che volge ognicosa verso il meglio. Tutto ciò che accade è in funzione di uno scopo. È quindi questa la leggeche regna suprema.Cristianesimo e Islam portarono a spogliare il determinismo naturale dei suoi caratteri di necessi-tà e sottopongono il destino al volere di Dio, che può determinare il corso degli eventi. Giunse poiil Rinascimento in cui si negarono gli interventi soprannaturali e vi fu un ritorno alla convinzio-ne che vi fosse una legge teologica razionale, ossia che gli eventi fossero determinati da cause nali.

La rivoluzione scientica portò la svolta fondamentale ed estromise le cause nali dalla na-tura. In questo periodo, Newton pubblicò la sua celebre opera Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica, in cui sono esposte le equazioni e i principi che regolano la meccanica. Newtonespresse le sue leggi nella forma di equazioni matematiche che si riferiscono non solo alla quan-tità ma anche alla rapidità con cui tali quantità cambiano. Le equazioni che implicano rapiditàdi variazione sono dette equazioni dierenziabili. Ad esempio, derivando l'equazione che indicala velocità di un sasso in caduta libera si ottiene l'equazione dell'accelerazione.

Il contributo di Newton alla sica è stato senza dubbio fondamentale. Con queste nuove cono-scenze era possibile calcolare l'evoluzione di un sistema isolato attraverso delle equazioni, a pattoche si conoscessero posizione, velocità iniziale e le forze. La soluzione di un'equazione del genere,date le condizioni iniziali, è unica; ciò signica che, conoscendo lo stato iniziale del sistema, sipuò determinare univocamente il suo stato futuro.

Il problema, però, consiste nel fatto che raramente un sistema non subisce inuenze ester-ne. Ma la conclusione che se ne trae è estremamente interessante: se si conoscono esattamenteposizione e velocità (e qui chi ha studiato le basi della sica quantistica e il principio di indeter-minazione si morderà la lingua) di ogni particella di materia nell'intero universo in un qualche

1.2. CASO 3

istante ssato, si può stabilire totalmente il futuro dell'universo.

Riportiamo qui la formulazione elegante che Pierre-Simon Laplace (gura 1.1), uno dei piùgrandi matematici del Settecento, ha dato del determinismo. Il brano è tratto dall'opera Essai

philosophique sur les probabilités, Courcier 1814.

Un'intelligenza che, per un istante dato, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata

e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse abbastanza vasta da sottoporre

questi dati ad analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo

e quelli dell'atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla d'incerto e il futuro come il passato

sarebbe presente ai suoi occhi.

Figura 1.1: Pierre-Simone Laplace (1749-1827) è stato un matematico, sico, astronomo e nobilefrancese.

Per tutto il XVIII secolo, vi fu una grande ducia nel determinismo meccanicistico comemodello di spiegazione dei fenomeni naturali. Nel secolo successivo, le ricerche naturalistichediedero forte sostegno al concetto di determinismo, soprattutto per quanto riguarda le teorieevoluzionistiche.

La battuta d'arresto si ebbe nel XX secolo, quando la meccanica classica venne messa in crisidalla relatività prima e dalla quantistica poi. Secondo quest'ultima, è impossibile denire la posi-zione di tutti i punti che compongono un sistema. Inoltre vale il principio di indeterminazione diHeisenberg, cui si è già accennato prima: quanto più precisamente la posizione di una particellaè determinata, tanto meno precisamente si può conoscere la velocità, e viceversa.Secondo lo stesso Heisenberg, nella formulazione se conosciamo esattamente il presente, possia-mo prevedere il futuro non è sbagliata la conclusione, bensì la premessa: è impossibile conoscereesattamente il presente di ogni elemento determinante.

1.2 Caso

Il caso è un concetto noto al sapere comune da molto tempo. Spesso gli esseri umani cercanol'imprevedibilità, sia in modo intelligente (la teoria dei giochi aerma che a volte una scelta presaa caso può essere la migliore scelta razionale), sia in modo emotivo (lotterie e gioco d'azzardo).La teoria delle probabilità studia questo fenomeno e oggi vi sono interessanti applicazioni incampo scientico, si pensi soprattutto alla meccanica statistica. Il caso è inoltre l'ingrediente


fondamentale delle teorie evolutive su cui si basa tutta la biologia.

Apparentemente il determinismo laplaciano non lascia alcuno spazio al caso. Lanciando undado, ad esempio, le leggi della meccanica classica determinano in teoria con assoluta precisioneil risultato che si ottiene. Ma poiché, come è appena stato detto, il caso e le probabilità svolgonoun ruolo molto importante nella comprensione della natura, si potrebbe essere tentati di riutareil determinismo.

Anzitutto cerchiamo di evidenziare la dierenza tra caso e determinismo.Un sistema dinamico, ossia un sistema il cui stato cambia nel tempo secondo una specica rego-la, si dice deterministico nel seguente caso: partendo da condizioni iniziali identiche si ottengonorisultati identici, ciò non implica necessariamente essere in grado di prevedere questi risultati.Un sistema aleatorio è caratterizzato dal comportamento contrario: dalle stesse condizioni inizialisi possono ottenere risultati diversi.

Mostreremo ora come questi due concetti possano convivere. Anzitutto non vi è incompati-bilità logica tra caso e determinismo sico, siccome lo stato di un sistema nell'istante iniziale,anziché essere ssato in modo preciso, può essere distribuito secondo una certa legge casuale.Di conseguenza, anche negli istanti successivi, il sistema avrà una distribuzione casuale, la qualepotrà essere dedotta grazie alle leggi della meccanica deterministica a partire dalla distribuzionedell'istante iniziale. In altre parole, lo stato iniziale non è mai conosciuto con assoluta precisionee vi è sempre una piccola quantità di caso.Si vede dunque che il determinismo non esclude il caso.

Le relazioni tra caso e determinismo sono state dibattute a lungo in campo losoco. Trai molti protagonisti di questa diatriba, vi fu René Thom(gura 1.2), un matematico e losofofrancese che ha contribuito notevolmente alla topologia dierenziale ed è noto per la teoria dellecatastro. Egli sosteneva che, poiché la natura della scienza è di formulare delle leggi, ogni studioscientico dell'evoluzione dell'universo sfocerà necessariamente in una formulazione determini-stica.Non si tratta, però, di un determinismo laplaciano, bensì di una teoria che include anche leggideterministiche che governano l'evoluzione della distribuzione delle probabilità. Il caso è quindicontemplato in questa idea di determinismo.

1.3 Libero arbitrio

Come detto all'inizio, il determinismo è una concezione della realtà secondo cui tutti i fenomenisono collegati e si vericano seguendo un ordine invariabile. Quest'idea dell'universo esclude illibero arbitrio. Se lo stato attuale è solo il risultato di uno stato passato e la causa di uno futuro,allora tutto è già determinato e il nostro mondo si trova impotente in balia delle equazioni siche.Accogliendo le idee di Thom, non si può sperare di risolvere questo problema prediligendo unateoria sica all'altra, perché ogni teoria è per essenza deterministica.

Consideriamo, invece, l'opinione di Erwin Schrödinger(gura 1.2), uno dei padri della sicaquantistica. Il ruolo concesso al caso nella quantistica ha suscitato la speranza che questa nuovasica sia più in accordo con le nostre idee sul libero arbitrio rispetto al determinismo laplaciano.Tale speranza, aerma Schrödinger, è però sbagliata.In primo luogo, si noti che non è il libero arbitrio degli altri che ci preoccupa: non ci crea in-fatti problemi pensare che le loro decisioni abbiano una spiegazione deterministica. Ciò che non

1.3. LIBERO ARBITRIO 5

Figura 1.2: A sinistra, René Thom (1923-2002), a destra Erwin Schrödinger (1887-1961).

accettiamo è la contraddizione tra determinismo e il nostro libero arbitrio, il quale ci sembracaratterizzato dal fatto che abbiamo a disposizione molte opzioni e che ricorriamo alla nostracoscienza per sceglierne una.

L'introduzione del caso nelle leggi siche non ci aiuta a risolvere questa contraddizione: nonpossiamo certo dire che usiamo la nostra coscienza facendo una scelta a caso. La libertà della no-stra scelta è d'altronde spesso illusoria, perché è condizionata da molti fattori esterni che spessonemmeno percepiamo.Schrödinger fa il seguente esempio: se si partecipa a un pranzo uciale, con personalità impor-tanti e noiose, si può pensare di saltare sul tavolo e di ballare nudi ma non lo si fa e non si puòquindi parlare di esercizio del libero arbitrio. In altri casi si fanno scelte realmente responsabili,anche dolorose. Tuttavia, una scelta del genere non ha certo le caratteristiche del caso.In conclusione, il caso non ci aiuta a capire il libero arbitrio e Schrödinger sostiene di non vederealcuna contraddizione tra il libero arbitrio e il determinismo della sica, classica o quantistica.

A questo problema è connesso l'antico quesito teologico della predestinazione. Dio ha decisoin anticipo quali anime saranno salvate e quali dannate?

In questo caso, al libero arbitrio viene contrapposta l'onniscienza e l'onnipotenza di Dio. Sesi nega la predestinazione, allora si limitano i poteri dell'Onnipotente ma se l'accettiamo, vani-chiamo ogni sforzo morale. In altre parole, se Dio non decide ciò che succede agli uomini, allorai suoi poteri vengono ridotti. Se, invece, ha già deciso il destino di ognuno di noi, allora la nostradeterminazione ad avere un comportamento corretto è inutile.Secondo la maggior parte dei critici, la dottrina della predestinazione fu difesa da Sant'Agostino(354-430), da San Tommaso d'Aquino (1225-1274) e anche dal riformatore protestante Calvi-no(1509-1564). La Chiesa cattolica esclude oggi la predestinazione ed aerma che la sentenza suldestino di ogni individuo sarà presentata al giudizio nale. Il singolo uomo si muove dunque inun cammino di libertà guidato dalla fede verso la salvezza.

Per comprendere meglio questa complessa questione, ricorreremo a un paradosso: supponiamoche la vasta intelligenza di cui parla Laplace utilizzi il determinismo delle leggi siche per predireil futuro, e che successivamente si serva del libero arbitrio per contraddire le proprie previsioni.Come risolvere questo paradosso? Possiamo negare il determinismo o il libero arbitrio, ma esisteuna terza possibilità.Possiamo negare che qualcuno abbia una capacità di previsione suciente per creare un parados-so. Per violare le sue predizioni, la vasta intelligenza deve fare parte del sistema, di conseguenza ilsistema diventa piuttosto complesso. Vedremo in seguito che per prevedere esattamente il futuroin un sistema caotico è necessario conoscere i dati riguardanti le parti che lo compongono conuna precisione innita. Ciò signica che la vasta intelligenza dovrà elaborare un numero innito


di dati e quindi il compito di previsione diventa impossibilmente lungo.

In conclusione, ciò che spiega il nostro libero arbitrio, e ne fa una nozione utile, è la comples-sità dell'universo o, più precisamente, la nostra stessa complessità.

1.4 Caos

Giungiamo ora a un concetto fondamentale per questo lavoro di maturità, che è già stato accen-nato: il caos. Se cerchiamo questo termine sul dizionario troveremo:

càos: 1. Disordine, confusione, trambusto. 2. Nelle antiche cosmologie greche, lo stato di com-

pleto disordine degli elementi materiali preesistente alla formazione dell'universo ordinato.

A partire dal 1986, quando si tenne una prestigiosa conferenza internazionale sul caos, a que-ste due accezioni ne venne aggiunta una tecnica. Come spesso succede, si rivela dicile denireun concetto del genere. Ecco la denizione:

3. (Mat.) Comportamento aleatorio che si verica in un sistema deterministico.

Abbiamo già discusso nella sezione 1.2 la compatibilità tra casualità e determinismo. Anchequi incontriamo la stessa questione. La denizione di caos è dunque, parafrasata, un comporta-mento irregolare governato da una legge.

Un'altra, a nostro parere migliore, denizione che è stata data da David Ruelle (1935), padredel concetto di attrattori strani, è la seguente:

Evoluzione temporale con dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

Qui fa la sua comparsa un nuovo concetto importantissimo per la teoria del caos: la sensibilitàalle condizioni iniziali. Un sistema dinamico possiede questa proprietà se, per delle condizioniiniziali molto simili ma non identiche, l'evoluzione temporale porta a ottenere risultati comple-tamente dierenti. La dierenza tra due stati iniziali simili cresce esponenzialmente. In terminiquantitativi, la velocità di crescita è determinata dall'esponente di Ljapunov. Questo tema verràesposto nelle sezioni 2.4.2 e 2.4.3.

Il capitolo tre di questo lavoro di maturità analizza quattro interessanti esempi di sistemidinamici caotici che sono sensibili alle condizioni iniziali.Presentiamo qui, invece, un esempio più semplice per illustrare questo concetto. Supponiamo diriuscire a mettere in equilibrio una matita sulla sua punta ben temperata. Teoricamente questacondizione è possibile. Al momento che si lascia la matita, la minima deviazione dal punto diequilibrio la farà cadere. Studiando il suo moto dal punto di vista della meccanica, si trova che lavelocità con cui si allontana dalla posizione di equilibrio cresce in modo esponenziale. Ben prestola matita si troverà distesa sul tavolo.Ecco dunque un esempio di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. In altre parole, siamodi fronte a un caso in cui un piccolo mutamento nello stato del sistema al tempo zero produceun mutamento ulteriore che cresce in modo esponenziale. Una piccola causa ha quindi un grandeeetto.Si potrebbe pensare che, per vericarsi, uno stato del genere richieda condizioni iniziali eccezio-nali. Al contrario, come si è già accennato, il caos è ovunque e ci sono moltissimi sistemi dinamici

1.5. METEOROLOGIA: LA CULLA DEL CAOS 7

che possiedono questa proprietà.

Il concetto di caos, facendo il suo ingresso nelle scienze, ha cambiato la prospettiva con cuisi guardano alcuni problemi. Ciò che era semplice diventa complicato, viceversa questioni che ciparevano complesse trovano una spiegazione semplice.

Consideriamo ad esempio l'operazione 2x2− 1. Se applichiamo questa operazione più volte aun numero compreso tra 0 e 1, otteniamo un comportamento stranissimo. L'evoluzione sembracasuale e si nota che vi è sensibilità alle condizioni iniziali. Partendo da un'equazione determini-stica, si ottiene un risultato privo di regolarità. Se, invece, facciamo la stessa cosa con l'operazionex2 − 1, il comportamento che osserviamo è normale. Oggi non siamo in grado di comprendere leragioni di questo fatto.

Nel caso inverso, alcuni fenomeni che sembravano essere inspiegabili acquistano ragionevolez-za. Prendiamo ad esempio il caso di un satellite di Saturno e immaginiamo che una sonda spazialeriesca a misurare i suoi movimenti con una grande precisione. Sulla base di questi dati sareb-be possibile elaborare una previsione dei movimenti futuri del satellite. Ora ammettiamo che,qualche mese dopo, lo stesso satellite venisse analizzato da un'altra sonda. Ciò che risulterebbesarebbe una considerevole discrepanza tra la previsione e la misurazione reale. La causa di questaincoerenza sarebbe dicile da trovare. Si comincerebbero a ipotizzare invisibili fattori esterni,errori nella teoria grazie a cui sono state fatte le previsioni, ecc. Se analizziamo la questione dallaprospettiva introdotta dalla teoria del caos, ci si rende conto che la spiegazione consiste nellasensibilità alle condizioni iniziali cui è soggetto il moto del satellite.Naturalmente ciò non risponde a tutte le domande, ma ne pone delle altre che sono più corrette.Questo è solo un esempio dei molti casi in cui scienziati di fronte a dati di matrice caotica hannoipotizzato un errore.

Attrattore

Prima di passare ad analizzare le conseguenze che la teoria del caos ha portato riguardo alleprevisioni, occorre chiarire il concetto di attrattore.Un attrattore è una porzione dello spazio delle fasi, ossia lo spazio che contiene tutti i possibilistati di un sistema e all'interno di cui si può rappresentarne l'evoluzione, verso la quale si muoveil punto che rappresenta il sistema, quando si attende abbastanza a lungo. Anché questa de-nizione sia sensata, è importante che le forze esterne che agiscono sul sistema siano indipendentidal tempo. Il secondo ingrediente fondamentale è la dissipazione, grazie alla quale, nello spazioche rappresenta un sistema, c'è solo un piccolo insieme, l'attrattore appunto, che è davvero inte-ressante. Per sistemi dinamici dissipativi si intendono sistemi che dissipano energia meccanica.Nella sezione 2.5 verrà descritto questo concetto in termini matematici.

Il concetto di attrattore porta con sé un importante aspetto del caos: la stabilità. Un sistemaè denito stabile se non muta molto sotto l'inusso di piccole perturbazioni. Se un sistema caoticoviene in qualche modo allontanato dal suo attrattore, esso vi si riavvicinerà rapidamente.

1.5 Meteorologia: la culla del caos

È stato più volte detto che la teoria del caos è alquanto recente, ma quanto per la precisione?


Il meteorologo Edward Lorenz (gura 1.3), del Massachusetts Institute of Technology, è con-siderato lo scopritore del caos deterministico. Egli si interessava al problema della convezioneatmosferica: gli strati inferiori dell'atmosfera sono scaldati dal suolo che riceve energia dal Sole,quindi diventano più leggeri degli strati più elevati. Ne consegue un moto ascendente dell'ariacalda, più leggera, mentre l'aria fredda, più densa, discende.

Figura 1.3: Edward Norton Lorenz (1917-2008), metereologo e matematico statunitese pioniere dellateoria del caos.

Lorenz semplicò notevolmente la questione e, invece di studiare l'atmosfera con i suoi milionidi gradi di libertà, si occupò dell'evoluzione di un sistema a tre dimensioni. Quest'ultimo potevaessere analizzato dal computer e il risultato che ottenne è l'attrattore di Lorenz (Figura 1.4).Immaginiamoci lo stato dell'atmosfera come un punto P e lo spostamento temporale del puntoP , che rappresenta l'evoluzione dello stato atmosferico, è calcolato dal computer. L'attrattoredi Lorenz è disegnato dalla traiettoria del punto P , per tempi molto lunghi, nello spazio delle fasi.

Figura 1.4: L'attrattore di Lorenz.

Ciò di cui si rese conto Lorenz è che, se il punto P avesse una posizione iniziale microsco-picamente diversa, i particolari della gura che disegnerebbe nello spazio delle fasi verrebberomodicati totalmente. L'aspetto generale sarebbe lo stesso, ma il numero di giri successivi at-torno all'orecchio destro, rispettivamente sinistro, diventerebbero del tutto diversi. Questo fattoè dovuto alla sensibilità alle condizioni iniziali. La sequenza di giri a destra e a sinistra è quindiirregolare e dicile da prevedere.

Il risultato di questo studio non è una descrizione realistica dell'atmosfera ma ha fornito unargomento molto forte a favore dell'imprevedibilità dei moti atmosferici: l'inadabilità delle pre-

1.5. METEOROLOGIA: LA CULLA DEL CAOS 9

visioni meteorologiche a lungo termine è giusticata dalla dipendenza sensibile dalle condizioniiniziali. L'osservazione iniziale, a partire da cui si elabora una previsione, non sarà mai abba-stanza precisa. Di conseguenza, una piccola dierenza tra il dato rilevato e quello reale iniziale siamplica in modo esponenziale no a ottenere una totale discrepanza tra la previsione secondoil dato misurato e la situazione reale. Calcolando la velocità con cui questo errore iniziale cre-sce, è oggi possibile fare previsioni adabili no a 4-5 giorni. È possibile estendere questo periodo?

Oggi le previsioni vengono eettuate sulla base di modelli che suddividono l'intera atmosferaterrestre in cubetti di dimensioni 15 km × 15 km in orizzontale e qualche centinaio di metri inverticale. Per coprire l'atmosfera sono necessari 500 milioni di cubetti. Per ogni cubetto, ci sonouna decina di gradi di libertàda considerare. Questo spiega perché il progresso delle previsionimeteorologiche sia andato di pari passo con l'aumento della potenza massima di supercalcolodigitale disponibile.Anché le equazioni siano trattabili, occorre dunque fare una forte approssimazione. Più piccoloè il volume dei cubetti, minore sarà l'approssimazione.Per rispondere al quesito che è stato sollevato, diminuendo il volume di questi cubetti, aumentan-do la potenza di supercalcolo e moltiplicando le sonde che rilevano dati atmosferici, è possibileeettuare previsioni sulla base di dati sempre più vicini alla realtà. Tuttavia, ci vorrebbe unaprecisione innita per eliminare la sensibilità alle condizioni iniziali.

Inoltre, per tornare al meteorologo Edward Lorenz, vi è un altro fatto da considerare. Lo sco-pritore del caos deterministico ipotizzò che le piccole dierenze iniziali, identicate come erroridi analisi, crescano tanto più rapidamente quanto più piccola è la loro scala spaziale, in mododa rendere prima o poi inutile ogni sforzo di ridurre ulteriormente ampiezza e scala degli errorid'analisi (per esempio aumentando a dismisura il numero delle stazioni di osservazione, la risolu-zione degli strumenti di analisi o la precisione dei modelli usati). Questo spiegherebbe perché siriesca a prevedere il percorso di un ciclone (un sistema di circa 1000 chilometri di diametro) conlargo anticipo, mentre risulta dicile localizzare con solo 12 ore di anticipo l'esatta localizzazionenello spazio e nel tempo di un temporale estivo.

In conclusione, forse un giorno si riuscirà ad avere previsioni meteorologiche adabili no a8 giorni, ma è fuori discussione prevedere il tempo che farà il mese successivo.

L'articolo che segna ucialmente la nascita del determinismo caotico risale al 1963, ed è statoscritto da Lorenz e pubblicato sul Journal of the Atmospheric Science. È giusto che si ricordi,però, che Poincaré aveva già calcolato e studiato un sistema caotico alla ne del XIX secolo,risolvendo il problema dei tre corpi legato alla stabilità del sistema solare. Vi si enunciarono lescoperte di cui abbiamo appena trattato. L'articolo non ottenne molto successo, anche perchénon raggiunse il giusto pubblico. Un sico, anche a quel tempo, dicilmente riusciva a leggerele pubblicazioni che riguardavano il suo campo, tanto meno quelle concernenti un'altra scienza.L'articolo rimase così nei cassetti per dieci anni, prima che cominciasse a suscitare interesse incampo scientico.

Lorenz coniò inoltre il termine di eetto farfalla, dopo aver osservato che una minima appros-simazione, che il suo computer aveva eettuato, aveva portato a ottenere una tendenza totalmenteinattesa delle equazioni che stava studiando.Il battito di ali di una sola farfalla produce un minuscolo mutamento nell'atmosfera. Dopo qualchegiorno, il comportamento dell'atmosfera diverge da quello che sarebbe stato senza quel battitod'ali. Ne consegue che, a un mese di distanza, non si verica un tornado che avrebbe devastatole coste della Cina. Oppure, viceversa, si verica un tornado che non ci sarebbe stato.


La farfalla, comunque, non fa saltare il tempo atmosferico su un nuovo attrattore, ma sem-plicemente lo sposta di poco su di esso. In altre parole, se un punto dell'attrattore è uno statometeorologico e l'attrattore è il clima, l'eetto farfalla modicherà la situazione atmosferica, nonil clima della Terra. Non si può dunque prevedere dove il punto P che rappresenta lo stato atmo-sferico sarà all'interno dell'attrattore, ma possiamo dire che, dopo un disturbo casuale, torneràsu di esso. Il clima, dunque, è prevedibile anche a lungo termine.

Il caos è quindi una combinazione strana e meravigliosa di stabilità e imprevedibilità.

Per riassumere ciò che è stato detto in questa sezione, la meteorologia è un ottimo esempiodi applicazione della teoria del caos. In questo campo si nota come il caos, nonostante sia unateoria deterministica, ammette solo previsioni a breve termine (l'eetto farfalla ha poca inuen-za immediata). In questo consiste proprio la dierenza tra un modello caotico e uno casuale: inentrambi i casi è impossibile eettuare previsioni a lungo termine ma solo nei modelli caotici èpossibile eettuare previsioni a corto termine.

Quali prospettive, invece, per il caos in altri campi? Se per la meteorologia si limita a dirciche prevedere il tempo per il mese seguente è impossibile, in altre scienze si ottengono risultatipiù sostanziosi, come nel caso dello studio della diusione dei casi di morbillo che presenta uncomportamento apparentemente caotico.Al contrario, in astronomia i modelli caotici sembrano avere un futuro molto incerto, perchérichiedono una grande quantità di dati, fatto che comporta un alto costo di denaro in questosettore.L'apporto di questa teoria per la sociologia, l'economia e l'ecologia è, invece, demoralizzante.Fare previsioni in questi ambiti è già di per sé dicile, poiché non si conoscono le equazioniprecise che determinano l'evoluzione di un sistema. La teoria del caos suggerisce che, anche sesi conoscessero, ci sarebbe comunque dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali e ancora unavolta fare previsioni risulterebbe complicato.

1.6 Un'applicazione industriale del caos

Troppo spesso si sente qualcuno criticare alcuni campi scientici sostenendo che sono inutili ani pratici. Ecco dunque un'applicazione industriale della teoria del caos, o meglio, dei metodimatematici usati per questa teoria. È sorprendente constatare che questa nuova teoria, le cuiimplicazioni non hanno ancora avuto tutto il loro impatto potenziale sul pensiero scientico,abbia già un'applicazione ingegneristica.

Si tratta di una macchina chiamata FRACMAT, che applica le tecniche caotiche della ri-costruzione dello spazio delle fasi per risolvere un problema che ha gravato sull'industria dellacostruzione di molle. La questione è la seguente: come si può stabilire, in modo rapido ed econo-mico, se una partita di lo metallico è buona per costruire molle?Forse sembrerà una questione banale, ma in questo caso si sottovaluta l'importanza delle molle.Queste componenti devono essere estremamente precise e si trovano ovunque. I motori delle autocontengono dalle otto alle trentadue molle, ad esempio. In particolare, l'airbag che può rivelarsifondamentale in un incidente, non è altro che una pallina in bilico su delle molle, che, come detto,devono essere estremamente precise.

1.6. UN'APPLICAZIONE INDUSTRIALE DEL CAOS 11

È dunque necessario, per il produttore di molle, controllarne la qualità. Ci vuole molto tempodi un operatore esperto per regolare la macchina avvolgitrice che produce queste componenti.Di solito, ci vogliono dalle quattro alle sei ore, utilizzando regolatori computerizzati. In pratica,l'operatore produce alcune molle di prova e poi le immette nell'intero processo di produzione.Dopodiché, queste vengono sottoposte a test statistici che ne vericano la qualità. In caso difallimento del test, le possibilità sono due: o la macchina avvolgitrice è stata regolata in manierasbagliata oppure la partita di lo con cui sono state prodotte le molle è scarsa. Il processo vienequindi ripetuto e ci possono volere no a 12 ore prima che l'operatore si convinca che la causarisiede nella qualità del lo.Il costruttore di molle deve quindi far ritirare al fornitore il lo. Sarebbe di gran lunga meglio,sia per il fornitore che per il produttore, sapere in anticipo se un lo sia buono o non. Questoproblema implica grandi costi in termini di denaro, burocrazia e tempo.

Come soluzione, la SRAMA (Spring Research and Manufacturers' Association) mise a puntoun test eciente per vericare l'avvolgibilità: il campione di lo veniva forzato ad avvolgersiintorno a una barra metallica, o mandrino. Questo processo non può essere usato per produrremolle perché è troppo lento, ma è utile per produrre molle di prova.A questo punto si può misurare il passo della molla, ossia la distanza tra le spire, grazie a unmicrometro laser. Alcuni esperimenti mostrano infatti che li con buona avvolgibilità produconomolle di prova con spire regolari, mentre li con cattiva avvolgibilità producono molle di provacon spaziature irregolari.Tuttavia, questa soluzione si rivelò un fallimento: si capì che non contava solo la statistica dellespaziature, ma anche l'ordine in cui queste si presentavano.Chiariamo il concetto: diciamo che una spira è grassa (G) se è un po' più ampia di come dovrebbeessere e magra (M) se è più stretta. Un lo che genera spire successive come: G M G M G M GM G M G M avrà una buona avvolgibilità, perché gli errori tendono a eliminarsi. Al contrario,un lo che dà origine a spire M M M M G M M G G G G G avrà una cattiva avvolgibilità,nonostante le quantità di M e G siano uguali all'esempio precedente.

Si comprese dunque che la chiave del problema era la variabilità sequenziale delle proprietàmateriali del lo, non la variabilità statistica. Rimane quindi da quanticare questa proprietà.

A questo punto si rende necessaria una digressione sul metodo di ricostruzione dello spaziodelle fasi Ruelle-Takens. L'origine di questo metodo si deve all'obiettivo di rendere falsicabilela teoria topologica della turbolenza. Si tratta di ricostruire la forma dell'attrattore a partire dauna serie di osservazioni, indipendentemente dalla quantità osservata.Una sequenza di osservazioni sperimentali produce una serie temporale, ossia un elenco di numeriche rappresentano il valore della quantità osservata a intervalli di tempo regolari. Il problemaconsiste nel fatto che prendendo in considerazione, ad esempio, un attrattore nello spazio tri-dimensionale, abbiamo a disposizione osservazioni che ci danno una sola quantità. Occorronoquindi informazioni da tre direzioni diverse.Per farla breve, con questo metodo si riuscì a ricavare due false serie temporali a partire dallaserie che si conosceva.Si ottiene dunque un metodo di calcolo per ricostruire la topologia dell'attrattore a partire dauna singola serie temporale.

Tornando alla nostra applicazione industriale, gli ingegneri della SRAMA notarono che la se-quenza di spaziatura delle molle è proprio una serie temporale. Si eettuò quindi la ricostruzionedello spazio delle fasi con il metodo Ruelle-Takens. L'attrattore che ne risulta assomiglia a unamacchia ellittica. Se quella macchia era ben compatta, allora il lo era buono, in caso contrario


Figura 1.5: A sinistra, serie temporali di separazioni tra spire. A destra, attrattori ricostruiti a partireda queste serie. Entrambe le molle vengono classicate a livello molto buono.

il lo era cattivo (processo illustrato nella gura 1.5).Non importa dunque se la serie sia caotica, questo metodo funziona comunque. Si vede quindicome una tecnica matematica nata per la sica del caos possa essere applicata in campo inge-gneristico.

Ciò che si ottenne è dunque la macchina FRACMAT, che produce dapprima una molla diprova su un mandrino, dopodiché misura la spaziatura delle spire con un micrometro laser einne il computer ricostruisce l'attrattore e traccia i risultati sul diagramma di classicazione. Iltest completo impiega solo tre minuti e permette di risparmiare molto denaro.

Capitolo 2

Mappe caotiche

2.1 Sistemi dinamici

Un sistema dinamico è una coppia (Γ, τ) in cui:

• Γ è l'insieme dei possibili stati del sistema, rappresentati da una o più variabili reali;

• τ è una legge deterministica (cioè non aleatoria) che determina univocamente lo statopresente, se si conosce lo stato iniziale.

L'obiettivo è quello di studiare il comportamento dello stato quando il parametro di evoluzionetemporale tende all'innito. Qui ci occuperemo soltanto del caso in cui questo parametro è di-screto.

Alcune soluzioni semplici sono:

• per n che tende all'innito, xn tende a una soluzione costante: si parla di punto sso;

• per n che tende all'innito, xn tende a una soluzione periodica: si parla di orbita periodica,ossia un insieme di punti periodici.

Ciononostante, i sistemi dinamici non lineari (quelli in cui f non è lineare) spesso hannosoluzioni più complicate: in questi casi si parla di sistemi dinamici caotici . La caratteristica diquesti sistemi dinamici è un'estrema complessità nelle soluzioni. Quando vengono rappresentategeometricamente, queste ultime possono presentare anche le caratteristiche della geometria frat-tale.

2.2 Descrizione matematica delle mappe unidimensionali

2.2.1 Denizione

Una mappa unidimensionale è un'applicazione denita da un'equazione ricorsiva del tipo

xn+1 = f(xn) n = 0, 1, 2, ...

dove xn ∈ Γcon Γ ⊂ R e f : Γ → Γ. Si ha quindi che x e f(x) appartengono allo stessosottoinsieme di R.

Per convenzione notiamo fn(x0) = f f · · · f(x0)︸︷︷︸n volte

l'operazione di n composizioni della

funzione f con sé stessa. L'insieme

O(x0) = x0, f(x0), f2(x0), ...

13

14 CAPITOLO 2. MAPPE CAOTICHE

è detto orbita di x0 rispetto alla mappa f . Il punto iniziale x0 è detto condizione iniziale.

2.2.2 Punti ssi

Un punto x∗, tale che f(x∗) = x∗, è detto punto sso della mappa. Si classicano i punti ssicome segue:

• Un punto sso x∗ è detto punto sso attrattivo, se, per dei punti vicini a x∗, l'evoluzionetemporale porta questi punti a convergere su x∗. Matematicamente signica che esiste unε > 0 tale che |fn(y)− x∗| < ε per ogni y ∈ B(x∗, ε) =]x∗ − ε, x∗ + ε[ con y 6= x;

• Un punto sso x∗ è detto punto sso repulsivo, se, per dei punti vicini a x∗, l'evoluzionetemporale porta questi punti a divergere da x∗. Matematicamente signica che esiste unε > 0 e un n0 ∈ N tali che per n > n0 si ha |fn(y) − x∗| > ε per ogni y ∈ B(x∗, ε) cony 6= x.

Se f è di classe C1, è possibile dedurre la natura dei punti ssi con il risultato seguente. Sia x∗

un punto sso della mappa f , allora:

• Se |f ′(x∗)| < 1, x∗ è un punto sso attrattivo;

• Se |f ′(x∗)| > 1, x∗ è un punto sso repulsivo.

Questo risultato segue dalla linearizzazione della mappa attorno al punto sso: si pone xn =x∗ + yn e poi si scrive il primo termine dello sviluppo limitato

x∗ + yn+1︸︷︷︸xn+1

= f(x∗ + yn︸︷︷︸xn

)lin= f(x∗) + f ′(x∗)yn ⇔ yn+1 = f ′(x∗)yn

quindi, in un intorno del punto sso, si ha

yn = [f ′(x∗)]ny0

da cui |yn| → 0 se |f ′(x∗)| < 1 e quindi xn → x∗; mentre |yn| → ∞ se |f ′(x∗)| > 1 e quindixn →∞.

2.2.3 Punti periodici

Un punto p tale che fk(p) = p, con k il più piccolo numero intero positivo, è detto puntoperiodico di periodo k. L'orbita di un punto del genere è O(p) = p, f(p), f2(p), · · · , fk−1(p) edè chiamata orbita di periodok.Per classicare la natura delle orbite periodiche, si considerano i punti periodici p come puntissi di fk. Sia p1 = p, p2 = f(p1), · · · , pk = f(pk−1), allora

(fk)′(p) = f ′(pk)f′(pk−1) · · · f ′(p1)

e quindi si ottiene il risultato seguente: se f è una mappa di classe C1 e p1, p2, ..., pk un'orbitadi periodo k di f , allora:

• Se |f ′(pk)f ′(pk−1) · · · f ′(p1)| < 1, l'orbita periodica è attrattiva;

• Se |f ′(pk)f ′(pk−1) · · · f ′(p1)| > 1, l'orbita periodica è repulsiva.

Si noti che la stabilità di qualsiasi punto di un'orbita periodica, visto come punto sso di fk, èidentica a quella di tutti gli altri, poiché (fk)′(p1) = (fk)′(p2) = · · · = (fk)′(pk). Tutti i puntisono o attrattivi o repulsivi.

2.3. DESCRIZIONE MATEMATICA DELLE MAPPE BIDIMENSIONALI 15

2.3 Descrizione matematica delle mappe bidimensionali

2.3.1 Denizione

Una mappa bidimensionale è un'applicazione denita da un'equazione ricorsiva del tipo

xn+1 = f(xn) n = 0, 1, 2, ...

dove xn ∈ Γ con Γ ⊂ R2 e f : Γ → Γ. Si ha quindi che x e f(x) appartengono allo stesso

sottoinsieme di R2. Notiamo x =

(xy

)e f =

(fxfy

).

Per convenzione scriveremo fn(x0) = f f · · · f(x0)︸︷︷︸n volte

. L'insieme

O(x0) = x0, f(x0), f2(x0), ...

è detto orbita di x0 rispetto alla mappa f. Il punto iniziale x0 è chiamato condizione iniziale.

Un sistema dinamico è detto conservativo se la mappa f preserva le aree nello spazio dellefasi. Se, invece, vi è contrazione, il sistema dinamico è denito dissipativo. Si può dimostrare cheun sistema è conservativo se

|det Df(x)| = 1

è dissipativo nel caso|det Df(x)| < 1

dove Df è la matrice di Jacobi (vedere sezione 2.3.2).

y

x

An

A0

fn

Figura 2.1: Nei sistemi dinamici dissipativi, l'area nello spazio delle fasi subisce una contrazione sottol'azione dell'iterazione della mappa.

2.3.2 Punti ssi

Un punto x∗ tale che f(x∗) = x∗ è detto punto sso della mappa. Si classicano i punti ssi comesegue:

• Un punto sso x∗ è detto punto sso attrattivo se, per dei punti vicini a x∗, l'evoluzionetemporale porta questi punti a convergere su x∗. Matematicamente signica che esiste unε > 0 tale che ||fn(y)− x∗|| < ε per ogni y ∈ B(x∗, ε);

• Un punto sso x∗ è detto punto sso repulsivo se, per dei punti vicini a x∗, l'evoluzionetemporale porta questi punti a divergere da x∗. Matematicamente signica che esiste unε > 0 e n0 ∈ N tale che per n > n0 si ha ||fn(y) − x∗|| > ε per ogni y ∈ B(x∗, ε) cony 6= x∗.


In modo analogo al caso della mappa unidimensionale, se f è di classe C1, allora è possibilededurre la natura dei punti ssi analizzando l'approssimazione lineare della mappa attorno alpunto sso x∗: si pone xn = x∗ + yn e poi si scrive il primo termine dello sviluppo limitato

x∗ + yn+1︸︷︷︸xn+1

= f(x∗ + yn︸︷︷︸xn

)lin= f(x∗) + [Df(x∗)]yn ⇔ yn+1 = [Df(x∗)]yn

quindi, in un intorno del punto di equilibrio, si ha

yn = [Df(x∗)]ny0

La matrice Df(x∗) è chiamata matrice di Jacobi1 e rappresenta l'approssimazione lineare dellafunzione f vicino al punto x∗. Vediamo ora come trovare l'espressione esplicita di questa matrice.

Sia h ∈ R2 una piccola variazione rispetto al punto sso.

f(x∗ + h) =

(fx(x∗ + h)fy(x

∗ + h)

)Considerando l'approssimazione lineare delle funzioni fx e fy, abbiamo

fx(x∗ + h)lin= fx(x∗) +∇fx(x∗) · h = fx(x∗) +

∂fx∂x

(x∗)hx +∂fx∂y

(x∗)hy

fy(x∗ + h)

lin= fy(x

∗) +∇fy(x∗) · h = fy(x∗) +

∂fy∂x

(x∗)hx +∂fy∂y

(x∗)hy

e quindi

f(x∗ + h)lin= f(x∗) +

(∂fx∂x (x∗) ∂fx

∂y (x∗)∂fy∂x (x∗)

∂fy∂y (x∗)

)(hxhy

)= f(x∗) +Df(x∗)h

dunque, la matrice Df(x∗) vale:

Df(x∗) =

(∂fx∂x (x∗) ∂fx

∂y (x∗)∂fy∂x (x∗)

∂fy∂y (x∗)

)

Indichiamo λ1 e λ2 gli autovalori di Df(x∗), che si ottengono risolvendo l'equazione

det(Df(x∗)− λI2) = 0.

Si noti che, essendo la matriceDf(x∗) reale, gli autovalori sono o reali o coppie di numeri complessiconiugati. Nel caso di autovalori distinti, si ha la seguente classicazione dei punti ssi:

• Se |λ1| < 1 e |λ2| < 1 allora x∗ è un punto sso attrattivo;

• Se |λ1| > 1 e |λ2| > 1 allora x∗ è un punto sso repulsivo;

• Se |λ1| < 1 e |λ2| > 1 (o viceversa) allora x∗ è un punto sso repulsivo iperbolico.

1Il nome si deve a Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), matematico tedesco che contribuì notevolmente allosviluppo dell'analisi matematica.

2.4. IL CAOS NELLE MAPPE 17

Negli esempi che verranno sviluppati nelle sezioni 3.2, 3.3 e 3.4 si tratterà proprio di mappecon punti ssi repulsivi iperbolici.Per capire questo comportamento è suciente considerare che y può essere scritto come combi-nazione lineare degli autovettorie1 ed e2 di Df(x∗)

yn = Re∑α

cαneα e yn+1 = Re

∑α

cαn+1eα

e quindi, poiché yn+1 = [Df(x)]y ed eα sono autovettori di Df(x), si ha cαn+1 = λαcαn, con

α = 1, 2. Nel caso di punti ssi attrattivi, si ha ||yn|| → 0 e quindi xn → x∗; mentre, nel caso dipunti ssi repulsivi, si ha ||yn|| → ∞ e quindi ||xn|| → ∞. Nel caso, invece, di punti ssi repulsiviiperbolici, si ottiene |c1

n| → 0 e |c2n| → ∞, ossia ||yn|| → ∞ e quindi ||xn|| → ∞.

2.3.3 Punti periodici

Un punto p tale che fk(p) = p, con k il più piccolo numero intero positivo, è detto punto periodicodi periodo k. L'orbita di un punto del genere è O(p) = p, f(p), f2(p), ..., fk−1(p) ed è chiamataorbita di periodo k.Per classicare la natura delle orbite periodiche, si considerano i punti periodici p come puntissi di fk. Sia p1 = p, p2 = f(p1), ..., pk = f(pk−1). Allora

Dfk(p) = Df(pk)Df(pk−1)...Df(p1)

e quindi si ottiene il risultato seguente: se f è una mappa di classe C1 e p,p1,p2, ...,pk un'orbitadi periodo k di f, allora, dati gli autovalori λ1 e λ2 di Dfk(p), si ha:

• Se |λ1| < 1 e |λ2| < 1, allora l'orbita periodica è attrattiva;

• Se |λ1| > 1 e |λ2| > 1, allora l'orbita periodica è repulsiva;

• Se |λ1| < 1 e |λ2| > 1 (o viceversa), allora l'orbita periodica è repulsiva iperbolica.

Si noti che la stabilità di qualsiasi punto di un'orbita periodica, visto come punto sso di fk,è identica a quella di tutti gli altri, poiché Dfk(p1) = Dfk(p2) = ... = Dfk(pk). Tutti i punti osono attrattivi o sono repulsivi.

2.4 Il caos nelle mappe

In questa sezione illustreremo le tre proprietà che presenta una mappa detta caotica. La de-nizione di caoticità, nel caso di mappe bidimensionali, dierisce di poco da quella del casounidimensionale, per questo riporteremo una sola denizione che verrà poi adattata per entram-bi i casi.

Nel capitolo 3, verranno presentati quattro esempi di mappe caotiche, in cui evidenzieremole tre proprietà del caos che sono qui denite.


2.4.1 Le tre proprietà del caos

Una mappa f è denita caotica secondo Devaney2 se esiste un sottoinsieme compatto, ossialimitato e chiuso, ed invariante A (cioè f(A) ⊆ A) dello spazio delle fasi per il quale valgono leseguenti proprietà quando f è ristretta ad A:

• Sensibilità: f è sensibile alle condizioni iniziali e le sue orbite sono imprevedibili. Ciò siverica quando un esponente di Ljapunov è positivo (si veda la sezione 2.3.2 e 2.3.3). Nelcaso delle mappe unidimensionali, quando l'unico esponente di Ljapunov è positivo;

• Transitività: f è topologicamente transitiva. Ciò signica che, per ogni coppia di sottoin-sieme aperti U e V di A, esiste n ∈ N tale che fn(U) ∩ V 6= ∅. Oppure esiste x0 ∈ A taleche l'orbita O(x0) è densa in A. In altre parole, l'orbita di x0 deve passare innitamentevicino a tutti i punti di A;

• Densità: esiste un insieme di orbite periodiche denso in A.

Per completezza riportiamo qui di seguito i due criteri di densità che utilizzeremo nel capitolo3. Si dice che A è denso in Γ se:

• Per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ Γ esiste un punto p ∈ A tale che |x− p| < ε.

• I punti di A appartengono a Q ∩ Γ.

• Per ogni x ∈ Γ esiste una successione an di elementi di A tale che an → x.

L'idea di Devaney è che queste proprietà caratterizzano la caoticità come combinazione di treelementi: l'imprevedibilità delle orbite, dovuta alla dipendenza sensibile dalla condizione iniziale,l'indecomponibilità di una parte dello spazio delle fasi in sottoinsiemi separati dalla dinamica e,per nire, un tocco di regolarità dovuto all'esistenza di un insieme denso di orbite periodiche. Latransitività corrisponde al fatto che qualsiasi sottoinsieme aperto U , inizialmente disgiunto daV , nisce in V durante l'evoluzione temporale, cioè vi è un completo mescolamento delle regionidello spazio delle fasi durante l'evoluzione.

U

V

fn(U)

fn

Figura 2.2: Illustrazione della proprietà della transitività.

L'insieme A della denizione appena riportata è chiamato attrattore strano o attrattore cao-tico ed è caratterizzato da una grande complessità, a dierenza degli attrattori corrispondenti ai

2Bob Devaney è uno dei più importanti matematici viventi. Questo professore americano ha pubblicato 14 librisul tema dei sistemi dinamici ed è l'autore di innumerevoli ricerche in questo campo. Attualmente è il presidentedella Mathematical Association of America.

2.4. IL CAOS NELLE MAPPE 19

punti ssi e alle orbite periodiche (si veda la sezione 2.3.4). Questo concetto è, appunto, carat-teristico dei sistemi dinamici caotici.

Spesso, ma non sempre, gli attrattori strani dal punto di vista geometrico presentano dellecaratteristiche della geometria frattale. Questo fenomeno è dovuto alla dissipazione che con-trae le lunghezze nello spazio delle fasi. Tuttavia, non vi sono punti isolati. Un ottimo esempio dimatematica frattale applicata al campo dei sistemi dinamici caotici è presentato nella sezione 3.4.

Da notare che possono esserci degli attrattori che non sono caotici ma che hanno una geome-tria frattale e, dall'altro lato, degli attrattori caotici senza caratteristiche frattali, come si vedrànei primi esempi illustrati nel capitolo 3. La scelta di chiamare strani gli attrattori caotici e nonquelli frattali deriva dal fatto che la stranezza si riferisce alla dinamica sull'attrattore e non allesue caratteristiche geometriche.

2.4.2 Sensibilità nel caso unidimensionale

Un concetto importante nella teoria del caos è la sensibilità alle condizioni iniziali. L'argomento ègià stato esposto in maniera qualitativa nella sezione 1.4. Nel caso di una mappa unidimensionale,partendo da due condizioni iniziali x0 e x0 molto vicine, le rispettive orbite

O(x0) = x0, f(x0), f2(x0), ... e O(x0) = x0, f(x0), f2(x0), ...

non restano vicine. Più precisamente, per f : Γ → Γ continua, date due condizioni iniziali x0 ex0 che per ogni ε > 0 soddisfano |x0 − x0| < ε, esiste un n ∈ N e una costante d > 0 tale che|fn(x0)− fn(x0)| > d.

x

n

x0x0 δxn

Figura 2.3: Evoluzione temporale nel caso unidimensionale per due punti vicini.

Useremo l'esempio di un tavolo da biliardo per creare analogie con questo concetto applicatoalle mappe. Immaginiamo di avere un tavolo da biliardo su cui ci sono sparpagliate delle palleimmobili. Trascuriamo inoltre l'attrito. Poso una palla gialla in un certo punto del tavolo, dopo-diché la colpisco con la stecca e disegno il suo percorso, determinato dai rimbalzi con le altre pallee le sponde. In seguito, prendo una palla blu che posiziono quasi esattamente dove avevo messoquella gialla e la colpisco con lo stesso angolo, la stessa forza e nello stesso punto di quanto avevofatto con la pallina gialla. Ciò che si nota è che la palla blu segue in un primo momento quasiesattamente il percorso tracciato da quella gialla. Poi, però, la sua traiettoria devia totalmenteda quella dell'altra palla e prende una strada tutta sua.


Tornando ai numeri, è possibile quanticare la sensibilità alle condizioni iniziali grazie a unagrandezza particolarmente utile che è l'esponente di Ljapunov3. Questo valore è denito nelmodo seguente: sia x1 = f(x0), x2 = f(x1),... e l'orbita di x0 data da O(x0) = x0, x1, x2, ...,se f ′(xn) 6= 0 per ogni n e il limite seguente esiste

L(f, x0) = limn→∞

|f ′(xn−1) · · · f ′(x1)f ′(x0)|1/n

l'esponente di Ljapunov della mappa f è dato da

Λ(f, x0) = ln L(f, x0) = limn→∞

ln |f ′(xn−1) · · · f ′(x1)f ′(x0)|1/n.

Gli esponenti di Ljapunov possono essere interpretati nel modo seguente: date due condizioniiniziali x0 e x0, con x0 ≈ x0 e δx0 = x0 − x0,

x1 = f(x0) ≈ f(x0) + f ′(x0)δx0 = x1 + f ′(x0)δx0 ⇒ δx1 = x1 − x1 = f ′(x0)δx0

x2 = f(x1) ≈ f(x1) + f ′(x1)δx1 = x1 + f ′(x1)f ′(x0)δx0 ⇒ δx2 = x2 − x2 = f ′(x1)f ′(x0)δx0

e in generaleδxn−1 = xn−1 − xn−1 ≈ f ′(xn−1) · · · f ′(x1)f ′(x0)δx0

da cui L ≈ | δxn−1

δx0|1/n e quindi, con Λ = ln L,

|δxn−1| ≈ |δx0|eΛn

le due orbite si allontanano in modo esponenziale se Λ > 0.L'errore, ossia la dierenza tra le condizioni iniziali x0 e x0, possiede una velocità di crescita

pari a eΛ. Ad esempio, se Λ = 2,302 6 il fattore di crescita vale 10. Ciò signica che se la dierenzatra le due condizioni iniziali è di 0,000 01, dopo 6 iterazioni della mappa, la dierenza tra le dueorbite sarà di 10.

2.4.3 Sensibilità nel caso bidimensionale

In modo analogo al caso unidimensionale, anche nelle mappe bidimensionali, partendo da duecondizioni iniziali x0 e x0 molto vicine, le rispettive orbite

O(xa) = x0, f(x0), f2(x0), ... e O(x0) = x0, f(x0), f2(x0), ...

non restano vicine. Più precisamente, per f : Γ → Γ continua, date due condizioni iniziali x0 ex0 che per ogni ε > 0 soddisfano ||x0 − x0|| < ε, esiste un n ∈ N e una costante d > 0 tale che||fn(x0)− fn(x0)|| > d.

Gli esponenti di Ljapunov per le mappe bidimensionali si calcolano in un modo dierenterispetto ai casi unidimensionali, ossia grazie alla matrice di Jacobi, notata Df(x). Sia x1 = f(x0),x2 = f(x1),... e l'orbita di x0 data da O(x0) = x0,x1,x2, ..., se Df(xn) 6= 0 per ogni n poniamola matrice

Vn = Df(xn−1) · · ·Df(x1)Df(x0).

Gli esponenti di Ljapunov della mappa f sono deniti uguali agli autovalori Λ1 > Λ2 della matrice

Λ = limn→∞

ln(V tnVn)1/2n.

3Aleksandr Ljapunov (1857-1918) è stato un matematico e sico russo. Fu un professore molto apprezzato,nonostante la sua giovane età, e sviluppò ricerche fondamentali per la matematica del XX secolo. Il 31 ottobre1918 sua moglie morì e lo stesso giorno Ljapunov si sparò.

2.5. DESCRIZIONE MATEMATICA DELL'ATTRATTORE 21

y

x

x0x0

δxn

Figura 2.4: Evoluzione temporale nel caso bidimensionale per due punti vicini.

Come nel caso precedente, gli esponenti di Ljapunov possono essere interpretati nel modoseguente: date due condizioni iniziali x0 e x0, con x0 ≈ x0 e δx0 = x0 − x0,

x1 = f(x0) ≈ f(x0) +Df(x0)δx0 = x1 +Df(x0)δx0 ⇒ δx1 = x1 − x1 = Df(x0)δx0

x2 = f(x1) ≈ f(x1)+Df(x1)δx1 = x1+Df(x1)Df(x0)δx0 ⇒ δx2 = x2−x2 = Df(x1)Df(x0)δx0

e in generale

δxn−1 = xn−1 − xn−1 ≈ Df(xn−1) · · ·Df(x1)Df(x0)δx0 = Vnδx0

da cui||δxn−1||2 = ||Vnδx0||2 = 〈Vnδx0, Vnδx0〉

Siano A e B due matrici dello stesso ordine. A è detta aggiunta di B se 〈Ax,y〉 = 〈x, By〉per ogni x,y. Per matrici reali, la matrice aggiunta vale A = Bt. Nel nostro caso, la matriceaggiunta di Vn è V t

n. Sfruttiamo questa proprietà e otteniamo

〈Vnδx0, Vnδx0〉 = 〈δx0, VtnVnδx0〉.

Esprimendo i vettori δxn−1 e δx0 rispetto alla base degli autovettori di V tnVn di autovalori

positivi v1 > v2, ne risulta

||δxn−1||2 =∑α

(cαn−1)2 ≈∑α

vα(cα0 )2 > v1||δx0||2

da cui√v1

<≈ ||δxn−1||

||δx0|| e quindi, con Λ1 = ln v1/2n1 ,

||δxn−1||>≈ ||δx0||eΛ1n

le due orbite si allontanano esponenzialmente se Λ1 > 0.Come è stato detto per il caso unidimensionale, la dierenza tra le due condizioni iniziali x0

e x0 cresce di un fattore pari eΛ1 per ogni iterazione della mappa.

2.5 Descrizione matematica dell'attrattore

Una struttura rilevante per la teoria del caos è l'attrattore, anche detto insieme limite. La de-nizione di attrattore nel caso bidimensionale è identica a quella del caso unidimensionale, salvo


il fatto che f e x sono deniti in R2 anziché in R. Per questo, riporteremo una sola denizione,usando la notazione del caso bidimensionale.Un attrattore è un sottoinsieme A dello spazio delle fasi per il quale valgono le seguenti treproprietà:

• Esiste un intorno aperto di A, detto bacino di attrazione e notato BA, i cui punti nel limiten→∞ tendono ad A;

• Il sottoinsieme è invariante rispetto alla dinamica, ossia se x ∈ A, allora fn(x) ∈ A per ognin;

• Non esistono sottoinsiemi A′ ( A (diversi da ∅) che possiedono le prime due proprietà.

BA

A

Figura 2.5: Attrattore A e bacino di attrazione BA.

L'ultima precisazione è essenziale, perché un sistema dinamico può avere più di un attrattore,ciascuno col proprio bacino di attrazione.

Una proprietà importante degli esponenti di Ljapunov Λα(f,x0) è l'indipendenza dalla con-dizione iniziale x0 per tutti gli x0 che appartengono allo stesso bacino di attrazione.

Finora abbiamo trattato tre tipi di attrattori: i punti ssi, le orbite periodiche e gli attrattoristrani. Tralasciamo ora il caso degli attrattori strani, presentato nella sezione 2.4.1, e consideriamogli altri due. Sia f una mappa, allora:

• Dato un punto sso attrattivo x∗, l'attrattore è A = x∗. Il bacino di attrazione di A èl'insieme dei punti y tali che

nel caso unidimensionale, |fn(y)− x∗| → 0 per n→∞;

nel caso bidimensionale, ||fn(y)− x∗|| → 0 per n→∞.

• Data un'orbita periodica attrattiva p1,p2, ...,pk, l'attrattore è A = p1,p2, ...,pk e ilbacino di attrazione di A è l'insieme dei punti y tali che fn(y) ∈ A per n→∞. Si osserviche in questo caso il limite limn→∞ xn non esiste.

In questi due casi non vi è nessuna sensibilità alle condizioni iniziali.

L'origine di un attrattore è la dissipazione, che genera una contrazione della lunghezza eporta a convergere verso A tutti i punti del suo bacino di attrazione.

Capitolo 3

Esempi di mappe caotiche

3.1 La mappa diadica

Il primo esempio di sistema dinamico caotico, che analizziamo in questo lavoro di maturità,consiste nella mappa unidimensionale chiamata mappa diadica. Di seguito studieremo le sueproprietà, utilizzando i concetti che sono stati esposti nel capitolo precedente. Questa mappa èdenita nel modo seguente:

d : [0, 1]→ [0, 1]

x 7→ 2x (mod1) =

2x se x < 1

22x− 1 se x ≥ 1

2

0 10

1

d(x)

x

Figura 3.1: Rappresentazione graca della funzione d(x).

Dal graco della funzione d(x) si nota che la funzione d è non lineare. Ci possiamo quindiattendere dei comportamenti tipici dei sistemi dinamici caotici.

Per prima cosa, studiamo i punti ssi. Risolvendo una semplice equazione si trova ched(0) = 0 e che d(1) = 1. Siccome alla mappa è applicata l'operazione modulo 1, si tratta dellostesso punto.È possibile dedurre la natura di questo punto sso calcolando |d′(0)|. Il risultato è 2, che è stret-tamente maggiore di 1, di conseguenza capiamo che si tratta di un punto sso repulsivo.

La gura 3.2 mostra l'orbita di un punto vicino al nostro punto sso. Sull'asse delle ascissesono espresse il numero di iterazioni applicate alla condizione iniziale, mentre su quello delleordinate è indicato il valore della condizione iniziale dopo le corrispondenti iterazioni. Notiamoche l'evoluzione temporale porta la condizione iniziale, vicina a 0, a divergere dal punto sso.

23

24 CAPITOLO 3. ESEMPI DI MAPPE CAOTICHE

Figura 3.2: Orbita di 0,002 rispetto alla mappa d realizzata con GeoGebra.

Studiamo ora le orbite di periodo due. In primo luogo, occorre trovare la funzione d2(x):

d2 : [0, 1]→ [0, 1]

x 7→

4x se x < 1/4

4x− 1 se 1/4 ≤ x < 1/24x− 2 se 1/2 ≤ x < 3/44x− 3 se 3/4 < x

I punti ssi di d2(x) sono d2(0) = 0, d2(13) = 1

3 , d2(2

3) = 23 . Esplicitiamo le orbite dei punti 1/3

e 2/3:

O(

1

3

)=

1

3,2

3,1

3,2

3, ...

O(

2

3

)=

2

3,1

3,2

3,1

3, ...

Essendo le due orbite uguali, vi è un'unica orbita di periodo due, che comprende gli elementi

13 e 2

3 .

Figura 3.3: Orbita periodica O(13

)di periodo due realizzata con GeoGebra.

Come mostrato in precedenza, è possibile classicare la natura di quest'orbita periodica cal-colando |f ′

(13

)f ′(

23

)| = 16. Siccome questo valore è strettamente maggiore di 1, possiamo

concludere che quest'orbita è periodica repulsiva. Ne deduciamo che entrambi i punti sono re-pulsivi.

Si giunge ora alla questione principale: questa mappa è caotica? Per rispondere a questadomanda, occorre dimostrare che la mappa d possiede le tre proprietà del caos.

3.1. LA MAPPA DIADICA 25

La prima proprietà del caos è la sensibilità alle condizioni iniziali. Per vericarla, calco-liamo l'esponente di Ljapunov come mostrato nella sezione 2.3.2:

Λ(d, x0) = limn→∞

ln |2n|1/n = ln 2.

Siccome l'esponente di Ljapunov è positivo, si deduce che la mappa possiede la proprietà dellasensibilità alle condizioni iniziali.

Questo fatto si può riscontrare facilmente nel graco dell'evoluzione temporale della gura3.4. Il graco rosso mostra l'orbita del punto x0 = 0,724, mentre quello verde descrive l'orbitadel punto x0 = 0,722. Si osserva che, nonostante la dierenza tra le condizioni iniziali sia piccola,solo per le prime iterazioni le orbite restano vicine, dopodiché prendono percorsi completamentediversi. Lo stesso fenomeno si nota nella gura 3.2, in cui le orbite di 0 (punto sso) e di 0,02non restano vicine per n grande.Inoltre, questo graco può essere letto in riferimento all'esempio del biliardo, illustrato nellasezione 2.3.1: su un tavolo da gioco ci sono due palline che partono molto vicine. Rimbalzanosugli ostacoli negli stessi punti per le prime 3-4 volte, ma poi si separano, descrivendo traiettoriemolto dierenti.

Figura 3.4: Orbita dei punti x0 = 0,724 (rosso) e x0 = 0,722 (verde) realizzata con GeoGebra.

La seconda proprietà è quella della transitività. La mappa diadica iterata più volte puòessere anche scritta come dn(x) = 2nx mod 1. Consideriamo la seguente proposizione:

Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra

f(a) e f(b).

Sia K un sottoinsieme di [0, 1] della forma [ k2n ,k+12n ], con k = 0, 1, ..., 2n− 1. Utilizzando que-

st'ultima proposizione, possiamo dire che, siccome la mappa dn(x) è continua in K, dn assumeràtutti i valori compresi tra

dn(k

2n

)=

k

2n2nmod 1 = 0 e dn

(k + 1

2n

)=k + 1

2n2nmod 1 = 1.

Siano I, J ⊂ [0, 1] due intervalli aperti con I ∩ J = ∅. Per un n ∈ N sucientemente grandeesiste un intervallo K della forma specicata qui sopra contenuto in J . Poiché dn(K) = [0, 1], siha dn(J) = [0, 1] e quindi dn(J) ∩ I 6= ∅.


L'idea della dimostrazione è illustrata nella gura 3.5 attraverso dei diagrammi di Venn.

K

J

I

[0, 1]

dn(K)

I

Figura 3.5: Per due intervalli aperti I, J tali che I ∩ J = ∅ si ottiene dn(J) ∩ I 6= ∅.

È stato quindi dimostrato che la mappa diadica possiede la proprietà della transitività.

Manca ancora il tocco di regolarità che consiste nella densità. A tal proposito, si osservinoi graci della gura 3.6 che mostrano le funzioni d(x), d2(x) e d3(x). La retta rossa tratteggiataè invece la funzione d(x) = x. I punti di intersezione tra questa retta e i graci corrispondono aipunti ssi delle tre funzioni e quindi ai punti di periodo k = 1, 2, 3 di d(x).

0 1

x

1

0

d(x)

0

0

1

d2(x)

x1 0

0

1

1x

d3(x)

Figura 3.6: Graco della mappa diadica d(x), d2(x) e d3(x) nel quadrato [0, 1].

Si nota che il numero di punti ssi periodici aumenta ogni volta che la funzione d viene com-posta con sé stessa. Più precisamente, la funzione dk(x) possiede 2k punti ssi, distanti tra loro12k. Quindi d ha 2k punti periodici di periodo compreso tra 1 e k, distanti tra loro 1

2k.

Sia Op l'insieme di tutte le orbite periodiche e sia x ∈ [0, 1]. Per ogni ε > 0 esiste un puntop ∈ Op tali che |x−p| < ε. Per quanto abbiamo appena detto sulla distanza tra i punti periodici,possiamo porre ε = 1

2k, con k ∈ N. La distanza tra x e p sarà dunque innitamente piccola,

quindi l'insieme di tutte le orbite periodiche è denso in [0, 1].

Detto ciò, è stata vericata anche l'ultima proprietà del caos, quella della densità. Abbiamoquindi dimostrato che questo è un sistema dinamico caotico.

3.1. LA MAPPA DIADICA 27

Esprimeremo ora la mappa in base binaria. Ciò si rivelerà utile soprattutto nella sezione3.2 per vericare le tre proprietà del caos nella mappa del panettiere.

Sia x ∈ [0, 1] un punto della mappa d. È possibile convertire il suo valore dalla base decimalea quella binaria come mostrato qui:

x =

∞∑n=1

an2n

con ai ∈ 0; 1

e si scrive, in base binaria,0, a1a2a3...an.

Possiamo subito osservare qualcosa di importante riguardo al termine a1: questo valore, cheper essere convertito in base decimale deve essere moltiplicato per 1

2 , è

(1) a1 = 0 se x < 12 ;

(2) a1 = 1 se x ≥ 12 .

Convertiamo ora il valore di d(x) = 2x mod 1 in base binaria:

2x =

∞∑n=1

an2n−1

k=n−1=

∞∑k=0

ak+1

2k= a1 +

∞∑k=1

ak+1

2k

Resta da applicare l'operazione modulo 1:

(1) se x < 12 non applichiamo nessuna ulteriore operazione;

(2) se x ≥ 12 dobbiamo sottrarre alla mappa 1, questa operazione toglie quindi il termine

a1 = 1.

Dunque, in ogni caso, il risultato nale è

d(x) = 2x mod 1 =

∞∑k=1

ak+1

2k,

in altre parole, se x = 0, a1a2...an e d(x) = 0, a′1a′2...a

′n, otteniamo che a′i = ai+1. Si può

di conseguenza aermare che, dopo ogni iterazione, i termini del punto x della mappa d espres-so in base binaria traslano di una posizione verso sinistra. Ad esempio, d23(x) = 0, a24a25a26...an.

È inne interessante notare che, dopo circa 55 iterazioni, l'orbita generata con GeoGebra diun qualsiasi x0 ∈ [0, 1] si stabilizza sul punto x = 0, come si può osservare nella gura 3.7. Ciòsi deve al fatto che il programma, con cui è stato calcolato questo graco, funziona in base bina-ria. Abbiamo visto che ogni iterazione trasla di un posto verso sinistra le cifre della condizioneiniziale espressa in base binaria. Quando si inserisce, però, il valore della condizione iniziale nelcomputer, non vengono considerati inniti termini dopo la virgola, ma solo i primi 55, dopodichéè come se fossero tutti degli 0. Di conseguenza, il computer ottiene d56(x) = 0,000 0....

Riassumendo, si conclude dunque che la mappa diadica è caotica secondo Devaney. Essa,inoltre, ha come attrattore tutto l'insieme [0, 1].


Figura 3.7: Orbita del punto x0 = 0,56 realizzata con Geo Gebra.

3.2 La mappa del panettiere

La mappa del panettiere è un interessante esempio di sistema dinamico caotico bidimensionale.Si tratta della mappa denita nel modo seguente:

f : [0, 1]2 → [0, 1]2

(x, y) 7→

(2x, y/2) se x < 12

(2x− 1, (y + 1)/2) se x ≥ 12

Anche questa mappa è non lineare.Il suo nome è stato scelto perché le operazioni che applica sul quadrato [0, 1]2 ricordano ciò cheun panettiere fa impastando: prima spiana la pasta, poi la ripiega su se stessa.Queste operazioni sono visibili nella gura 3.8, che rappresenta un quadrato [0, 1]2 su cui è ap-plicata la mappa.

Figura 3.8: Operazioni che la mappa applica al quadrato [0, 1]2.

Notiamo immediatamente che vi è una contrazione nella direzione verticale e uno stiramentoin quella orizzontale.

La matrice di Jacobi della mappa f è data da

A = Df =

(2 00 1

2

)

3.2. LA MAPPA DEL PANETTIERE 29

per qualsiasi punto x ∈ [0, 1]2. Notiamo inoltre che |det Df(x)| = 1, quindi questo sistemadinamico è conservativo, ossia preserva le aree nello spazio delle fasi. Per i dettagli di quest'ultimaaermazione si veda la sezione 4.1.

I punti ssi della mappa, notati x∗, sono f(0, 0) = (0, 0) e f(1, 1) = (1, 1). Gli autovalori,che si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado det(Df(x∗) − λI2) = 0, sono λ1 = 2 eλ2 = 1

2 .Siccome |λ1| > 1 e |λ2| < 1, entrambi i punti ssi sono repulsivi iperbolici. Ciò signica che, perdei punti vicini a x∗, l'evoluzione temporale porta questi punti a divergere da x∗.

A questi due autovalori è possibile associare altrettanti autovettori. Sia λ l'autovalore dellamatrice Df e sia v = (v1, v2) l'autovettore associato all'autovalore λ. Per denizione, Df(x)v =λv. Esplicitamente, in questo caso,(

2 00 1

2

)(v1

v2

)= λ

(v1

v2

).

Risolvendo il sistema otteniamo il seguente risultato:

• (1, 0) è l'autovettore di dilatazione associato all'autovalore λ1 = 2. Questo risultato con-ferma il fatto che la mappa è uno stiramento nella direzione orizzontale;

• (0, 1) è l'autovettore di contrazione associato all'autovalore λ2 = 12 . Questo risultato

conferma il fatto che la mappa è una contrazione nella direzione verticale.

Per proseguire con l'analisi della mappa del panettiere, si rende utile esprimerla in base binaria,analogamente a quanto fatto per la mappa diadica.

Sia x = (x, y) ∈ [0, 1]2. È possibile esprimere questo punto in base binaria come mostratoqui:

x =∞∑n=1

an2n

con ai ∈ 0, 1

y =∞∑n=1

bn2n

con bi ∈ 0, 1

e si scrive, in base binaria,(x, y) = (0, a1a2a3...; 0, b1b2b3...).

Possiamo subito dire qualcosa riguardo ai termini a1: questo valore, che per essere convertitoin base decimale deve essere moltiplicato per 1, è

(1) a1 = 0 quando x < 12 ;

(2) a1 = 1 quando x ≥ 12 .

Convertiamo ora in base binaria la funzione f(x) = (2x, y/2) tralasciando per il momento ilcaso (2) in cui x ≥ 1

2

2x =∞∑n=1

an2n−1

k=n−1=

∞∑k=0

ak+1

2k= a1 +

∞∑k=1

ak+1

2k

y

2=∞∑n=1

bn2n+1

k=n+1=

∞∑k=2

bk−1

2k


Poiché nel caso (1) il termine a1 vale 0, questo scompare nel risultato nale.Nel caso (2), invece, a1 = 1. Poi però, occorre sottrarre 1 per la variabile x, mentre per la variabiley dobbiamo ricordarci che occorre aggiungere 1

2 .Il risultato nale è dunque

(1)

f(x) =

( ∞∑k=1

ak+1

2k;∞∑k=2

ak−1

2k

)

(2)

f(x) =

( ∞∑k=1

ak+1

2k;

∞∑k=2

ak−1

2k+

1

2

)

In altre parole, se x = 0, a1a2...an e fx(x) = 0, a′1a′2...a

′n, otteniamo che a′i = ai+1. Mentre

per la variabile y, se y = 0, b1b2b3... e fy(x) = 0, b′1b′2b′3..., otteniamo b′i = bi−1 e poniamo b′1 = 0

nel caso (1) e b′1 = 1 nel caso (2). Si può di conseguenza aermare che la mappa è uno shift versosinistra per la variabile x e verso destra per la variabile y.

Ma c'è di più: tramite confronto, si nota che in entrambi i casi b′1 = a1. Scrivendo quindibi = a−i, possiamo rappresentare i punti (x, y) come una successione bi-innita nel modo seguente

(x, y) = (...a−3a−2a−1︸︷︷︸y

; a1a2a3...︸︷︷︸x

)

Si conclude che la mappa del panettiere è uno shift generale verso sinistra del punto (x, y) scrittoin questo modo.

Prima di dimostrare le tre proprietà del caos in questa mappa, occupiamoci di analizzare leorbite periodiche.Cominciamo dalle orbite periodiche di periodo 2, calcolando la funzione f2(x):

f2 : [0, 1]2 → [0, 1]2

x 7→

(4x; y4

)se x < 1/4(

4x− 1; 2+y4

)se 1/4 ≤ x < 1/2(

4x− 2; 1+y4

)se 1/2 ≤ x < 3/4(

4x− 3; y+34

)se 3/4 < x

I punti ssi di f2(x) sono f2(0, 0) = (0, 0), f2(13 ,

23) = (1

3 ,23), f2(2

3 ,13) = (2

3 ,13) e f2(1, 1) = (1, 1).

Esplicitiamo ora le orbite del punto (23 ,

13) e del punto (1

3 ,23)

O(

1

3,2

3

)=

(1

3,2

3

);

(2

3,1

3

);

(1

3,2

3

);

(2

3,1

3

); ...

O(

2

3,1

3

)=

(2

3,1

3

);

(1

3,2

3

);

(2

3,1

3

);

(1

3,2

3

); ...

Vi è dunque una sola orbita periodica data da(

2

3,1

3

)

(1

3,2

3

).

3.2. LA MAPPA DEL PANETTIERE 31

Se esprimiamo la mappa in base binaria, come abbiamo appena mostrato, si nota che un puntox, appartenente all'orbita periodica di periodo due, deve essere della forma (0, ab; 0, cd), cona, d, c, d ∈ 0, 1, poiché, applicando 2k con k ∈ N volte lo shift, si ottiene nuovamente il puntoiniziale. Eettivamente

0, 012 =∞∑k=1

0

22k−1+∞∑k=1

1

22k=∞∑k=0

(1

4k

)− 1 = lim

n→∞

1−(

14

)n+1

1− 14

− 1 =

(1

3

)10

come pure

0, 102 =

∞∑k=1

1

22k−1+

∞∑k=1

0

22k=

∞∑k=0

1

42k+1= lim

n→∞

1

2

1−(

14

)n+1

1− 14

=

(2

3

)10

.

Per lo stesso motivo, si può aermare che un punto periodico di periodo p deve apparire, inbase binaria, nella forma

(x, y) = (0, a1a2...ap; 0, b1b2...bp)

con ai, bi ∈ 0, 1. Vi sono 2p punti di questo tipo, ma non tutti appartengono a un'orbita pe-riodica di periodo p.Tutte le orbite periodiche sono repulsive, quindi instabili, poiché gli autovalori sono |λ1| > 1 e|λ2| < 1, per tutti i punti x ∈ [0, 1]2. Si osservi inne che tutti i numeri, che rappresentano x ey di un punto periodico, sono periodici, quindi sono numeri razionali.

Ora che abbiamo analizzato alcune proprietà della mappa del panettiere e ssato delle im-portanti premesse, verichiamo se la mappa ha un comportamento caotico.

Cominciamo dalla sensibilità alle condizioni iniziali, calcolando gli esponenti di Ljapunovcome mostrato nella sezione 2.3.3. Si noti che la matrice Df(x) è diagonale, fatto che permettedi eseguire le seguenti operazioni:

Vn = (Df(x))n =

(2n 0

0 12

n

)⇒ V t

nVn =

(22n 0

0(

12

)2n) ⇒ (V tnVn)

12n =

(2 00 1

2

)

Λ = limn→∞

ln (V tnVn)1/2n =

(ln 2 0

0 ln 12

).

Gli autovalori di questa matrice, ossia Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 , sono gli esponenti di Ljapunov.

Poiché Λ1 > 0, è dimostrato che la mappa f è sensibile alle condizioni iniziali.

La seconda proprietà è quella della transitività. Occorre trovare una condizione iniziale x0

la cui orbita sia densa in [0, 1]2, ossia per ogni x ∈ [0, 1]2 costruiamo una condizione iniziale taleche esista una successione xn di elementi di O(x0) che converge verso x. Utilizzeremo la mappashift sulla sequenza bi-innita che rappresenta i punti x ∈ [0, 1]2. Sia x0 un punto della mappadella forma

x0 = (...a−3a−2a−1; 01︸︷︷︸blocco 1

00 01 10 11︸︷︷︸blocco 2

000 001 010 011 100 101 110 111︸︷︷︸blocco 3

...

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111︸︷︷︸blocco 4

...)


dove per ogni i vale a−i ∈ 0, 1 arbitrario. Il blocco n contiene 2n n-uple di simboli ordinatiin modo crescente, ovvero tutte le possibili combinazioni, di n cifre, di 1 e 0. Per ogni

x = (...a−2a−1; a1a2...)

e k = 2`, i k simboli centrali, cioè a−`a−`+1...a−1; a1...a`−1a`, appaiono sicuramente in quest'or-dine nel blocco k di x0, siccome qui vi sono tutte le possibili k-uple.Ad esempio, per k = 4, i 4 simboli centrali del vettore x, ossia a−2, a−1, a1, a2, appaiono di certonel blocco 4 di x0 indipendentemente dalla scelta di x.Quindi esiste un n(k) tale che, applicando n(k) volte la funzione f, questa sposta le cifre dalblocco k alla posizione centrale:

fn(k)(x0) = (....a−`a−`+1...a−1; a1...a`−1a`...)

e, poiché i primi ` = k/2 termini del vettore fn(k)(x0) sono uguali, sia per la variabile x che perquella y, ai primi ` termini del vettore x, si avrà

||fn(k)(x0)− x|| = ||(...a−`−2a−`−1 0...0; 0...0︸︷︷︸k termini

a`+1a`+2...)|| =

=√x2 + y2 =

√√√√( ∞∑i=`+1

a−i2i

)2

+

( ∞∑i=`+1

ai2i

)2

(x)∞∑

i=`+1

ai2i≤

∞∑i=`+1

1

2i=∞∑i=0

1

2i−∑i=0

1

2i= 2− 2

(1−

(1

2

)`+1)

=

(1

2

)`.

(y)∞∑

i=`+1

a−i2i≤

∞∑i=`+1

1

2i=

∞∑i=0

1

2i−∑i=0

1

2i= 2− 2

(1−

(1

2

)`+1)

=

(1

2

)`;

La norma del vettore fn(k)(x0)− x è dunque minore di√(1

2`

)2

+

(1

2`

)2

=√

21

2`<

1

2`−1.

Sia quindi la successione xn di elementi O(x0) denita da xn = fn(k)(x0). Si osserva chen→∞ equivale a k →∞ e quindi `→∞. Per n→∞ si ha ||xn−x|| → 0, ossia xn → x. Comevolevasi dimostrare, la successione xn tende a x, da cui consegue la densità dell'orbita O(x0) equindi la proprietà della transitività che la mappa possiede.

Ci resta da vericare che esiste un insieme di orbite periodiche denso nel quadrato[0, 1]2. È già stato detto che tutti i numeri, che rappresentano xp e yp di un punto periodico, sonoperiodici, quindi xp, yp ∈ Q. Poiché l'insieme Q2 ∩ [0, 1]2 è denso in [0, 1]2, si può concludere chel'insieme di tutte le orbite periodiche è denso in [0, 1]2.

Con ciò, è stata vericata anche la terza e ultima proprietà del caos. Abbiamo dunque dimo-strato che la mappa del panettiere espressa in base binaria è caotica. È stato scelto di dimostrarele tre proprietà sulla mappa del panettiere espressa in base binaria per questioni di praticità. Ladierenza tra la mappa in base due e quella in base dieci consiste semplicemente nel modo di

3.3. LA MAPPA DI ARNOLD 33

esprimerle. Si può quindi aermare che anche la mappa in base decimale è caotica.

Riassumendo, la mappa del panettiere è un sistema dinamico conservativo con attrattoretutto il quadrato [0, 1]2 ed è caotica secondo Devaney.

3.3 La mappa di Arnold

La mappa di Arnold, conosciuta anche col nome di mappa del gatto di Arnold, è il terzo esempiodi sistema dinamico caotico che questo lavoro di maturità illustra. Il nome è dovuto al matemati-co Vladimir Arnold1 che negli anni Sessanta dimostrò i suoi eetti, usando l'immagine di un gatto.

Prima di analizzare la mappa e le sue proprietà, deniamo lo spazio topologico, chiamatotoro e notato T2. Questa struttura è omeomorfa ad un toro nello spazio euclideo (gura 3.9).

Figura 3.9: Il toro nello spazio euclideo.

Per costruire un toro topologico, bisogna considerare un quadrato i cui lati opposti sono in-collati. Matematicamente signica denire la relazione di equivalenza ∼T2 sul quadrato [0, 1]2.Siano x e y due punti appartenenti a [0, 1]2. x ∼T2 y se e solo se x = y è un unico punto internooppure x e y sono su due lati opposti e hanno una coordinata uguale.

Ora che abbiamo chiarito cosa sia un toro topologico, è possibile studiare la mappa bidimen-sionale di Arnold, denita nel modo seguente:

f : T2 → T2

(x, y) 7→ (x+ y, x+ 2y) (mod 1).

Possiamo inoltre scrivere questa mappa in forma vettoriale(xn+1

yn+1

)=

(1 11 2

)(xnyn

)(mod 1)

Le trasformazioni di questa mappa sono illustrate nella gura 3.10.

La matrice di Jacobi della mappa f è data da

A = Df =

(1 11 2

)1Vladimir Arnold (1937-2010) fu un brillante matematico russo, basti pensare che a vent'anni trovò la soluzione

al tredicesimo problema di Hilbert. Il suo contributo alla conoscenza umana consiste soprattutto nel teoremadi Kolmogorov-Arnold-Moser sulla stabilità dei sistemi hamiltoniani integrabili. È inoltre noto per il suo stileespositivo preciso, che combinava opportunamente il rigore matematico all'intuizione sica, e l'approccio didatticoparticolarmente semplice.


E+

E−

Figura 3.10: Operazioni che la mappa applica al toro: repulsione nella direzione E+ e attrazione nelladirezione E−.

per qualsiasi x ∈ T2. Si osserva che la matrice Df è simmetrica, quindi diagonalizzabile. Inol-tre det Df = 1, fatto che ci consente di dire che si tratta di un sistema dinamico conservativo,ossia che preserva la sua area nello spazio delle fasi.

L'unico punto sso della mappa è f(0, 0) = (0, 0). Lo si trova risolvendo il sistemax+ y = x (mod 1)x+ 2y = y (mod 1)

⇒

y = 0 (mod 1)x+ y = 0 (mod 1)

Gli autovalori della mappa f sono

λ1 =3 +√

5

2e λ2 =

3−√

5

2.

Come nel caso della mappa del panettiere, |λ1| > 1 mentre |λ2| < 1. Ne consegue che il puntosso x∗ = (0, 0) è repulsivo iperbolico, ossia l'evoluzione temporale porta dei punti vicini a x∗ adivergere dal punto sso.

A questi autovalori si associano due autovettori. Sia λ l'autovalore della matrice Df e siav = (v1, v2) l'autovettore associato all'autovalore λ. Per denizione, Df(x)v = λv. Il risultatoche si ottiene è

•(

1; 1+√

52

)è l'autovettore di dilatazione associato all'autovalore λ1 = 3+

√5

2 ;

•(−1−

√5

2 ; 1)è l'autovettore di contrazione, associato all'autovalore λ2 = 3−

√5

2 .

Discutiamo ora la stabilità delle orbite di periodo due. Anzitutto, deniamo la funzione f2

come seguef2 : T2 → T2

(x, y) 7→ (2x+ 3y, 3x+ 5y) (mod 1)

La matrice di Jacobi che rappresenta questa funzione è A2 =

(2 33 5

)per qualsiasi (x, y) ∈

T2. Per trovare i punti ssi di f2, dobbiamo risolvere il seguente sistema. Sia (x∗, y∗) ∈ T2 unpunto sso della funzione f2.

2x∗ + 3y∗ = x∗ (mod 1)3x∗ + 5y∗ = y∗ (mod 1)

⇒x∗ + 3y∗ = 0 (mod 1)

5y∗ = 0 (mod 1)


Da cui si ottiene (x∗, y∗) =

(0, 0) ;(

25 ,

15

);(

45 ,

25

);(

35 ,

45

);(

15 ,

35

). Le orbite di periodo due

comprendono solo punti appartenenti all'insieme appena esplicitato. Esse sono(2

5,1

5

)

(3

5,4

5

)(

4

5,2

5

)

(1

5,3

5

).

Entrambe le orbite sono instabili, essendo repulsive, siccome gli autovalori della matriceDf2(p), in cui p ∈ T2 è un punto periodico di periodo 2, valgono

λ1 =7 + 3

√5

2λ2 =

7− 3√

5

2.

Elevandoci in astrazione, giungiamo a discorrere delle orbite periodiche di periodo k. Sia (xp, yp) ∈T2 un punto periodico di periodo k e sia Ak =

(a bb c

)la matrice che rappresenta la funzione

fk per ogni (xp, yp) ∈ T2. Questa matrice è simmetrica, perché è stata ottenuta moltiplicando kvolte la matrice simmetrica A per se stessa. Inoltre, avendo la matrice A solo elementi interi, siha a, b, c ∈ Z.I punti ssi di fk sono necessariamente razionali, poiché devono soddisfare un'equazione del tipo

ax+ by = x (mod 1)bx+ cy = y (mod 1)

Tutte le orbite sono instabili, perché un autovalore di Ak è di modulo maggiore a 1, mentrel'altro è di modulo inferiore a 1.

Per calcolare Ak, un risultato interessante da utilizzare è il seguente: sia (Fn) la successionedi Fibonacci2 denita da

Fn = Fn−1 + Fn−2 con F0 = 0, F1 = 1

Allora

A =

(1 11 2

)=

(F1 F2

F2 F3

)A2 =

(2 33 5

)=

(F3 F4

F4 F5

)e si dimostra per induzione che

An =

(F2n−1 F2n

F2n F2n+1

)Inoltre il numero di punti periodici di periodo k è dato da

|det(Ak − I2)| = |(F2k − 1)(F2k−2 − 1)− F 22n−1|.

Dimostrazione per induzione:

(i) A1 =

(F1 F2

F2 F3

)=

(1 11 2

)2Leonardo Fibonacci (1170-1240 circa) fu un matematico italiano che ebbe un ruolo fondamentale per la

rinascita di questa disciplina dopo il periodo basso medievale. È conosciuto soprattutto per il Liber abbaci, operacon cui introdusse i numeri arabi in Europa.


(ii) Se per un certo n ≥ 0 vale An =

(F2n−1 F2n

F2n F2n+1

), allora

An+1 = AnA =

(F2n−1 F2n

F2n F2n+1

)(1 11 2

)=

(F2n−1 + F2n F2n−1 + 2F2n

F2n + F2n+1 F2n + 2F2n+1

)Si ha F2n−1 + F2n = F2n+1 = F2(n+1)−1 come pure F2n−1 + 2F2n = F2n+1 + F2n = F2(n+1)

e inne F2n + 2F2n+ 1 = F2(n+1)+1.Si ottiene quindi

An+1 =

(F2(n+1)−1 F2(n+1)

F2(n+1) F2(n+1)+1

).

Quest'ultimo paragrafo è un mattone assolutamente superuo per edicare il nostro discorsointorno ai sistemi dinamici caotici. Tuttavia, ci è sembrato opportuno includerlo in questo docu-mento, perché persegue un ideale molto più nobile di quello utilitaristico. Ci riferiamo all'amoredisinteressato per la matematica. Riteniamo importante ricordare che la pura contemplazione diquest'arte, che si verica quando non è nalizzata ad ottenere dei risultati utili, costituisce labellezza suprema dell'attività scientica.Lord Bertrand Russel3 disse infatti che La matematica non possiede soltanto la verità, ma anche

la bellezza suprema - una bellezza fredda ed austera, come quella della scultura. A nostro avviso,la matematica appare piuttosto come uno straordinario mosaico. Questo paragrafo indica comeogni pezzo coincida perfettamente con tutti gli altri. È stupefacente constatare come le scopertedi un matematico italiano medievale, su aspetti molto lontani dalla teoria del caos degli anniSettanta, siano perfettamente allineate a una costruzione di un matematico russo contempora-neo.La cosa più bella di questo mosaico è però il fatto che tutti quelli che percepiscono questo amoredisinteressato, che è universale, partecipano al suo sviluppo. Per sviluppo s'intende la ricercascientica, che da un lato estende i bordi dell'opera e dall'altro ne aumenta la risoluzione.

Conclusa questa breve digressione, torniamo alla questione principale della sezione: la mappadel gatto di Arnold ha un comportamento caotico?

Anzitutto, dimostriamo la sensibilità alle condizioni iniziali calcolando gli esponenti diLjapunov. La matrice jacobiana che rappresenta la funzione f per ogni x ∈ T2 A, Vn è quindiuguale a An. Inoltre, siccome A è simmetrica, vale V t

n = Vn.Gli esponenti di Ljapunov corrisponde agli autovalori della matrice

Λ = limn→∞

1

2nln A2n = ln A

Per calcolare gli autovalori della matrice ln A, dobbiamo avvalerci del seguente teorema,chiamato teorema spettrale.Sia Pv il proiettore sull'autovettore v della matrice A. Pv è denito da

Pv =

(vxvy

)(vx, vy) =

(v2x vxvy

vxvy v2y

).

3Lord Bertrand Russel (1872-1970) fu un losofo, matematico e politico gallese. Nato in una prestigiosa famigliaaristocratica britannica, Russel si occupò soprattutto di logica nel campo losoco e sostenne strenuamente lesue convinzioni paciste nel contesto della prima guerra mondiale. Il suo ideale era una vita creativa e razionale,come la matematica, se ci è consentito aggiungere.


Se λ1 è l'autovalore della matrice A associato a v1 e λ2 è l'autovalore della matrice A associatoa v2, allora si può esprimere la matrice A in questo modo:

A = λ1Pv1 + λ2Pv2 .

Inoltre il teorema aerma che, se A è una matrice simmetrica, per ogni funzione reale g si hag(A) = g(λ1)Pv1 + g(λ2)Pv2 . Si nota che, per quanto appena detto, gli autovalori della matriceg(A) sono g(λ1) e g(λ2).

Applicando il teorema al nostro caso, si ottiene

Λ = ln A = ln(λ1)Pv1 + ln(λ2)Pv2

dove λ1 e λ2 sono gli autovalori della matrice A. Gli esponenti di Ljapunov sono quindi gliautovalori della matrice lnA, ossia

Λ1 = ln(λ1) = ln

(3 +√

5

2

)Λ2 = ln(λ2) = ln

(3−√

5

2

).

Essendo Λ1 > 0, abbiamo dimostrato che la mappa del gatto di Arnold è sensibile alle con-dizioni iniziali per tutti i punti x ∈ T2.

La proprietà della transitività non verrà dimostrata. Tuttavia, per mostrare questa pro-prietà, si osservi la gura 3.11 che rappresenta un esperimento numerico: la condizione iniziale(x0, y0) = (0,2; 0,4) subisce 50′000 iterazioni. Il graco riporta quindi l'orbita O(x0, y0) nellospazio delle fasi. Si nota che l'orbita riempie in modo omogeneo tutto il quadrato [0, 1]2, proprioperché è densa in T2.

Figura 3.11: Evoluzione temporale del punto (x0, y0) = (0,2; 0,4) dopo 50'000 iterazioni generata conMAXIMA.

Verichiamo inne che la mappa di Arnold possiede un insieme di orbite periodiche

dense in T2. Sappiamo già che tutte le orbite periodiche sono instabili. Consideriamo i punti


(p1q ,

p2q

)con p1, p2 ∈ Z e q ∈ N∗. Allora

(1 11 2

)(p1qp2q

)=

(p1+p2mod q

qp1+2p2mod q

q

)=

(p′1qp′2q

)

Tutti gli elementi di O(p1q ,

p2q

)sono quindi della forma

(p1q ,

p2q

). Poiché la mappa è denita

sul toro, si hanno al massimo q valori possibili di p1 e p2. Togliendo il punto sso (0, 0) si hannoun massimo di q2 − 1 punti nell'orbita considerata. Il periodo è k ≤ q2 − 1.

Nel caso(p1q1, p2q2

)con p1, p2 ∈ Z e q1, q2 ∈ N∗, si scrivono i punti come(

p1

q1,p2

q2

)=

(p1q2

q1q2,p2q1

q1q2

)e si utilizza il primo risultato. Si ottiene un'orbita con periodo k ≤ mcm(q1, q2)2 − 1. Poiché ipunti del tipo (

p1

q1,p2

q2

)con

piqi∈ Q ∩ [0, 1[

sono tutti punti appartenenti a un'orbita periodica e Q ∩ [0, 1[ è denso in [0, 1[, l'insieme ditutte le orbite periodiche forma, come volevasi dimostrare, un insieme denso in T2.

In conclusione, la mappa del gatto di Arnold è un sistema dinamico conservativo con attrat-tore tutto il toro T2 ed è caotica secondo Devaney.

3.4 La mappa del panettiere dissipativa

L'ultimo esempio di sistema dinamico caotico che consideriamo è la versione dissipativa dellamappa del panettiere. Essa è denita nel modo seguente:

f : [0, 1]2 → [0, 1]2

(x, y) 7→

(2x, ay) se x < 12

(2x− 1, a(y + 1)) se x ≥ 12

Con 0 < a < 12 . Le trasformazioni che la funzione f applica al quadrato [0, 1]2 sono mostrate

nella gura 3.12.

Figura 3.12: Applicazione della mappa sul quadrato [0, 1]2.

3.4. LA MAPPA DEL PANETTIERE DISSIPATIVA 39

Si nota che la mappa subisce una normale dilatazione nella direzione orizzontale, mentre suquella verticale si crea una contrazione maggiore rispetto alle mappa presentata nella sezione 3.2.La matrice di Jacobi della mappa f è data da

A = Df =

(2 00 a

)per ogni punto x ∈ [0, 1]2. Il determinante di questa matrice vale det(Df) = 2a < 1. Ci troviamo,quindi, di fronte a un sistema dinamico dissipativo.

L'attrattore C del sistema dinamico è dato dalle bande blu nali ed è ottenuto iterando lamappa f per n→∞ volte.

Figura 3.13: Dissipazione che porta a una dimensione frattale.

Queste bande hanno dimensione 1 nella direzione orizzontale, mentre in quella verticale siriscontra una dimensione frattale che coincide con un insieme di tipo di Cantor4. Il bacino diattrazione BC è tutto il quadrato [0, 1]2.

Se vi è una contrazione verticale che porta a ottenere una dimensione frattale, qual è la di-mensione dell'attrattore?

Evidentemente non è più possibile ragionare utilizzando la mera geometria euclidea. Comepossiamo vedere dall'immagine, le bande blu, ottenute iterando la mappa f innite volte, nonrappresentano dei rettangoli ma nemmeno dei segmenti. La gura che ne scaturisce si trova inqualche modo fra la prima e la seconda dimensione! Come calcolare il valore esatto della dimen-sione di un frattale?Prendiamo ad esempio un cubo di lato uno, che è tridimensionale e che può essere tagliatoin otto (23) cubi di lato un mezzo. Se conosciamo la dimensione di un oggetto, le potenze ogli esponenti ci permettono di ottenere il numero di copie di sé più piccole che questo contieneper ogni particolare taglia. Una gura a n dimensioni è composta damn copie di sé di taglia 1/m.

I logaritmi sono l'inverso degli esponenti. Se sappiamo quante copie di sé più piccole contieneun oggetto, e se conosciamo la loro lunghezza, i logaritmi ci consentono di calcolare la dimensionedell'oggetto. Non è detto che sia un numero intero.

Si denisce dunque la dimensione frattale, o dimensione di Hausdor5, di un insieme A nelmodo seguente: sia (rk) una successione tale che limk→∞ rk = 0 e sia (Nk) un'altra successione

4Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), celebre matematico tedesco, fu il padre della modernateoria degli insiemi. Riconobbe che gli insiemi inniti possono avere dierenti cardinalità e separò gli insiemi innumerabili e più che numerabili. Provò che Q è numerabile, mentre R è più che numerabile, dimostrando cheesistono almeno due ordini di innità.

5Felix Hausdor (1868-1942) fu un professore e matematico tedesco fondatore della topologia moderna. Contri-buì notevolmente alla teoria degli insiemi e all'analisi funzionale. Nonostante fosse ebreo, con l'ascesa del nazismo,


che indica il numero di oggetti (nel nostro caso bande orizzontali) di taglia lineare rk necessari aricoprire l'insieme A. Allora la dimensione di Hausdor è

dH(A) = limk→∞

ln(Nk)

ln(1/rk).

Questo valore descrive la complessità frattale di un oggetto. Per esempio, la linea della costadella Gran Bretagna ha dimensione 1,26 circa, leggermente inferiore a quella del contorno tipi-co di una nube (circa 1,35). Su questa scala, la dimensione 1 descrive una curva liscia, mentrel'incremento della dimensione tendente a 2 implica una crescente complessità frattale dell'oggetto.

Calcoliamo dunque la dimensione frattale dell'attrattore C, osservando che, dopo k iterazioni,le bande orizzontali sono 2k e hanno spessore ak.Per ricoprire con dei quadrati di lato ak tutta l'area di una banda orizzontale, sono necessari1/ak quadrati. Siccome, però, abbiamo 2k bande, occorre un totale di 2ka−k quadrati. Quindi,ponendo rk = ak e Nk = 2ka−k, si ottiene

dH(C) = limk→∞

ln(2ka−k)

ln(1/ak)= lim

k→∞

k ln(2/a)

k ln(1/a)= 1 +

ln(1/2)

ln(a)

Prendendo, ad esempio, a = 110 si trova dH(C) ≈ 1,301.

Si conclude che la versione dissipativa della mappa del panettiere possiede un attrattorestrano, di dimensione frattale, che non è né una retta né un piano ma una struttura intermedia.

Hausdor pensò che la sua fama lo avrebbe risparmiato dalle persecuzioni. Invece, gli fu revocata la cattedra eimpedito di pubblicare le sue teorie, divieto che Hausdor non rispettò. Quando capì di non potere più evitare ladeportazione, si suicidò insieme alla moglie.

Capitolo 4

Meccanica statistica dei sistemi

dinamici

Questo capitolo tratterà alcune proprietà dei sistemi dinamici dal punto di vista della meccanicastatistica. Inoltre analizzeremo queste proprietà applicate ai sistemi dinamici caotici, più preci-samente alle mappe caotiche che sono già state studiate nel capitolo 3, coniugando la meccanicastatistica alla teoria del caos.

4.1 Spazi di misura

In primo luogo deniremo alcuni concetti di cui faremo uso in seguito per illustrare la teoriaergodica.

Un primo concetto fondamentale è quello di misura. Intuitivamente, si può pensare che unamisura sia una funzione che ad alcuni sottoinsiemi di un certo insieme assegna un numero realepositivo. Si potrebbe pensare di poter assegnare una misura a tutti i sottoinsiemi di un insiemeΓ. Tuttavia, se vogliamo che la misura abbia alcune utili proprietà, siamo costretti ad assegnareuna misura solo ad alcuni sottoinsiemi di Γ.

Si denisce dunque il concetto di σ-algebra: un insieme di sottoinsiemi A di uno spazio Γè detto σ-algebra se:

(i) L'insieme vuoto ∅ ∈ A ;

(ii) Se A ∈ A , allora il suo complementare A ∈ A ;

(iii) Se Ai ∈ A , allora∞⋃i=1

Ai ∈ A .

Se la condizione (iii) vale per un numero di sottoinsiemi nito, si dice che A è un'algebra.

Un'altra denizione necessaria è quella di spazio misurabile. Uno spazio misurabile è unacoppia (Γ,A ), ossia uno spazio Γ insieme a una σ-algebra. Gli insiemi contenuti in A sono dettiinsiemi misurabili e A è la σ-algebra degli insiemi misurabili.

È ora possibile dare una denizione formale di misura. Sia (Γ,A ) uno spazio misurabile.Una misura µ è una funzione µ : A → R+ ∪ ∞ tale che:

41

42 CAPITOLO 4. MECCANICA STATISTICA DEI SISTEMI DINAMICI

(i) µ(∅) = 0;

(ii) Se An ∈ A contiene dei sottoinsiemi che sono due a due disgiunti, ossia An ∩Am = ∅ sen 6= m, allora

µ

( ∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

µ(An).

Questa proprietà è chiamata σ-additività e si dice che la misura µ è nita se µ(Γ) <∞.

Se associamo una misura µ : A → R+ ∪ ∞ a uno spazio misurabile (Γ,A ) otteniamo unospazio di misura, ossia una terna (Γ,A , µ). Se µ(Γ) = 1, si dice che (Γ,A , µ) è uno spazio diprobabilità.

Vogliamo ora denire il concetto di misura invariante, che ricopre un ruolo fondamentaleper la teoria ergodica. Prima, però, dobbiamo denire la σ-algebra di Borel1 e la proprietà dimisurabilità di una trasformazione.

Se (Γ, d) è uno spazio metrico, ossia uno spazio su cui è denita una distanza, la σ-algebradi Borel B(Γ) (o semplicemente B) è la più piccola σ-algebra che contiene tutti i sottoinsiemiaperti di Γ.

Una trasformazione f : Γ→ Γ è detta misurabile se, per ogni insieme misurabile A ∈ B, lapreimmagine è anche misurabile, ossia f−1(A) ∈ B.

Giungiamo dunque alla denizione fondamentale di questa sezione: una trasformazionef : Γ→ Γ preserva la misura se la trasformazione è misurabile e se

µ(f−1(A)) = µ(A)

per ogni A ∈ B. Se µ soddisfa la condizione appena illustrata, si dice che la misura µ è inva-riante sotto la trasformazione f .

Da questa denizione segue un utile teorema che utilizzeremo negli esempi dei prossimi para-gra. Se la σ-algebra B è generata dall'algebra A , allora µ è invariante sotto la trasformazionef se e solo se

µ(f−1(A)) = µ(A),

per ogni A ∈ A .

Possiamo ora vericare l'invarianza della misura su alcune mappe. Il primo esempio cheanalizziamo è il seguente: si consideri un cerchio di circonferenza 1. Il tempo è trattato comevariabile discreta. Con ogni iterazione, i punti x ∈ [0, 1] sul cerchio sono ruotati di α:

f : x→ f(x) = x+ α mod 1f2 : x→ f2(x) = x+ 2α mod 1

e così via. Chiameremo questo sistema dinamico mappa rotante.

1Félix Edouard Justin Émile Borel (1871-1956) fu un matematico e politico francese. A soli 23 anni, ottennela cattedra di matematica all'Università di Lille. Fu inoltre membro dell'Accademia delle scienze e ne divennepresidente nel 1934. Borel è stato ministro della marina no al 1940, dopodiché fu imprigionato e in seguito allasua liberazione collaborò con la resistenza. Il suo apporto scientico si registra nel campo della topologia, dellateoria della misura, della probabilità e dei giochi.

4.1. SPAZI DI MISURA 43

Sia λ([a, b]) = b − a la misura sul cerchio e sia ([0, 1],B, λ) lo spazio di misura. La misuraλ(A) di un arco è quindi data dalla lunghezza dell'arco, così che λ([0, 1]) = 1. Si noti che se fè la rotazione in senso orario di α, allora f−1 è la rotazioni antioraria di α. Se A è un arco, èchiaro che la sua immagine per la rotazione ha la stessa lunghezza dell'arco, quindi

λ(f−1(A)) = λ(A),

per ogni A ∈ A . Dunque, per il teorema appena esposto, si conclude che f preserva la misura.

Un secondo esempio di sistema dinamico che preserva la misura è quello dellamappa diadica

d, già studiata nella sezione 3.1. Sia quindi ([0, 1],B, λ) lo spazio di misura, dove λ è denita nelmodo seguente:

λ([a, b]) = b− acon a, b ∈ [0, 1]. Verichiamo che d preservi λ.Siccome

d−1[a, b] =

[a

2,b

2

]∪[a+ 1

2,b+ 1

2

],

si ha

λ(d−1[a, b]) =b− a

2+

(b+ 1)− (a+ 1)

2= b− a = λ([a, b]).

L'equazione µ(d−1(A)) = µ(A) è valida per ogni intervallo. Poiché

λ(I) =∑i

(bi − ai),

dove I =⋃i Ii è l'unione disgiunta degli intervalli Ii = [ai, bi], si verica che λ(d−1(I)) = λ(I)

vale per ogni intervallo I che appartiene alla σ-algebra. Quindi, utilizzando il precedente teorema,si ha λ(d−1(B)) = λ(B) per ogni insieme misurabile di Borel.Si può inoltre vedere l'importanza di usare d−1 e non d nella denizione di misura invariante:infatti λ(d([a, b])) = 2λ([a, b]) e quindi λ(d([a, b])) 6= λ([a, b]).

Inne, dimostreremo l'invarianza della misura sulla mappa del panettiere. La misura nel-l'insieme [0, 1]2 che consideriamo e che noteremo µ è la funzione che assegna a ogni insiememisurabile A ⊂ [0, 1]2 la sua area, data da

µ(A) = Area(A) =

∫Adxdy =

∫A

1 dx.

Sia quindi ([0, 1]2,B, µ) lo spazio di misura.Sappiamo che per cambiare variabile in un integrale su R vale∫ b

af(x)dx =

∫ g−1(b)

g−1(a)f(g(y))g′(y)dy,

dove è stato posto x = g(y). Quando si risolve un integrale cambio di variabile e ci si trova in unospazio a due dimensioni, come in questo caso, invece di moltiplicare per la derivata g′(y), si devemoltiplicare per il determinante della matrice di Jacobi Df(y). Calcoliamo dunque la misura diA ∈ B

µ(A) =

∫A

1 dx.

Poniamo y = f−1(x) e risolviamo l'integrale per cambio di variabile. Otteniamo dunque

µ(A) =

∫f−1(A)

det |Df(y)|dy


Nella sezione 3.2 abbiamo già calcolato che det Df(x) = 1 per ogni x ∈ [0, 1]2. Il sistema èdunque conservativo, vediamo come preserva l'area nello spazio delle fasi:

µ(A) =

∫f−1(A)

| det Df(y)|dy =

∫f−1(A)

1 dy = µ(f−1(A)).

La misura µ è dunque invariante sotto la trasformazione f. Osserviamo che ogni sistema dinamicoconservativo preserva la misura denita dall'area.

4.2 Irreversibilità

Il secondo principio della termodinamica aerma che esiste un'osservabile, chiamata entropia enotata S, che è una funzione di stato, scalare ed estensiva che soddisfa le seguenti relazioni:

• la variazione di entropia tra lo stato di equilibrio iniziale e lo stato di equilibrio nale diun sistema adiabaticamente chiuso è sempre non negativa;

• Lo stato di equilibrio di un sistema isolato Σ = Σ1∪ ...∪ΣM formato daM sistemi sempliciΣi in interazione è tale che l'entropia del sistema totale SΣ = SΣ1 + ...+ SΣM corrispondea un massimo compatibile con i vincoli.

La seconda parte del principio implica che, durante un qualsiasi processo, in un sistema isola-to, l'entropia può unicamente aumentare no al raggiungimento del massimo possibile. Lo statodi equilibrio è quindi lo stato in cui l'entropia è massima compatibilmente con i vincoli.L'evoluzione dallo stato iniziale a quello nale è dunque irreversibile non è possibile che il sistemaritorni allo stato iniziale, perché in tal caso l'entropia diminuirebbe.

D'altro canto, la dinamica newtoniana prevede leggi invarianti per inversione temporale. Siconsideri ad esempio il caso di una collisione se nelle equazioni che descrivono questo fenomeno sicambiasse il segno della velocità, tenendo ssa la posizione, e si lasciasse evolvere il sistema, dopoun certo tempo questo tornerebbe allo stato iniziale. Questa invarianza per inversione temporaleconferisce alla dinamica newtoniana la proprietà di essere una teoria deterministica in cui passatoe futuro sono equivalenti.

I sistemi meccanici, se sono isolati, sono quindi temporalmente reversibili, mentre nella realtàsi osserva che sistemi macroscopici raggiungono uno stato di equilibrio termodinamico, seguendoun'evoluzione caratterizzata da un aumento di entropia. Non vi è una corrispondenza tra il li-vello microscopico, spiegato con la meccanica newtoniana, e quello macroscopico, descritto dallatermodinamica. Si crea dunque una rottura concettuale tra la meccanica newtoniana e il secondoprincipio della termodinamica. Com'è possibile che due teorie scienticamente valide portino arisultati diametralmente opposti?

4.3 L'ipotesi ergodica

Boltzmann2 si occupò di questo problema e propose un'interessante soluzione che fa uso del con-cetto di ergodicità.

2Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906) fu un sico e matematico austriaco. Si occupò principalmente dimeccanica statistica e termodinamica, ma il suo impegno si registra anche nel campo dell'elettromagnetismo edella losoa. Le sue idee furono spesso incomprese e lo scienziato otteneva solo frustrazione dal suo lavoro, tantoche, il 5 settembre 1906, Boltzmann si suicidò mentre era in vacanza con la famiglia in Italia.

4.3. L'IPOTESI ERGODICA 45

Anzitutto deniamo il concetto di ensemble. Supponiamo che, invece di studiare un sistemamacroscopico unico, costruiamo delle copie. Prendiamo, ad esempio, molti recipienti identici e vimettiamo lo stesso numero di molecole dello stesso gas nelle stesse identiche condizioni. Nel limitein cui il numero di copie è molto grande otteniamo un ensemble statistico. Poiché la preparazionedelle copie è controllato solo a livello macroscopico, avremo dei sistemi caratterizzati da statimicroscopici dierenti ma con lo stesso stato macroscopico. Così facendo, è possibile cancella-re i dettagli microscopici non importanti attraverso un processo di media sull'ensemble statistico.

Il primo passo per risolvere il problema dell'irreversibilità è il seguente: la meccanica stati-stica dell'equilibrio può essere formulata in termini di medie di ensemble microcanonici, usandola legge probabilistica µ invariante rispetto all'evoluzione microscopica.Il postulato che denisce la meccanica statistica di un sistema isolato è il seguente:

Per un sistema macroscopico isolato all'equilibrio, tutti gli stati microscopici corrispondenti

allo stesso stato macroscopico sono equiprobabili.

Consideriamo quindi un sistema isolato. Tutti i punti sulla supercie di energia E in Γcorrispondono allo stesso stato macroscopico. Inoltre dal postulato consegue che la legge µ deveessere uniforme e assicurare che H(x) = E, dove H(x) è l'espressione dell'energia in terminidelle variabili microscopiche. Notiamo ΓE la supercie di energia costante denita da ΓE = x ∈Γ|H(x) = E. Nello spazio delle fasi, l'evoluzione è dunque costretta a restare sulla supercie dienergia costante. Possiamo quindi denire una densità di probabilità

ρmc(x) =

1Ω se x ∈ ΓE0 se x 6∈ ΓE

dove Ω è il numero di stati microscopici sulla supercie di energia E, che è dato da

Ω =

∫ΓE

dx,

in modo tale che dµ = ρmc(x)dx.La funzione Ω è anche nota come funzione di partizione microcanonica e ρmc è detto statomicrocanonico. Il valore medio di una misura di un'osservabile microscopica rappresentata dallafunzione a(x), data dal valore medio sull'ensamble:

〈a〉 =

∫Γa(x)ρmc(x)dx =

∫ΓEa(x)dµ

Ω=

∫ΓEa(x)dµ∫

ΓEdx

.

Inne l'entropia è data da S = kB ln Ω. Questa entropia è detta entropia di Boltzmann e mette inrelazione l'entropia di uno stato macroscopico con il numero di stati microscopici corrispondentiallo stato macroscopico in questione. Si ha quindi una connessione tra il livello microscopico equello macroscopico. L'entropia di Boltzmann fornisce una denizione microscopica dell'entropiatermodinamica per un sistema all'equilibrio.

Il secondo passo è considerare la seguente situazione: se in laboratorio si eettua una misuradell'osservabile A, rappresentata microscopicamente dalla funzione a(x), dove x ∈ Γ, si necessitadi un tempo T che può essere considerato innitamente lungo. Di conseguenza, il risultato di unamisura corrisponde al valore medio temporale a di a durante l'intervallo di tempo T calcolatocon la condizione iniziale x0 associata al sistema. Il valore di questa media è

a = limT→∞

1

T

∫ T

0a(xt)dt,


dove abbiamo notato xt l'evoluzione temporale dello stato.

A questo punto, Boltzmann comprese che si poteva descrivere microscopicamente e in modoprobabilistico il sistema, identicando la media di ensemble microcanonici con la media a tempoinnito, ossia

a = 〈a〉.Ciò vale però solo ad a una ben precisa condizione, nota come ipotesi ergodica di Boltzmann,che aerma: partendo da quasi ogni condizione iniziale, l'orbita trascorrerà in ogni regione dellasupercie di energia costante una frazione di tempo proporzionale al volume di tale regione.Questa ipotesi ricopre un ruolo centrale per i principi della meccanica statistica.

Boltzmann risolve dunque con l'ipotesi ergodica il problema dell'irreversibilità e risana larottura concettuale tra la meccanica newtoniana che spiega il livello microscopico e la termodi-namica che illustra quello macroscopico:Siccome le regioni in cui le variabili del sistema assumono il valore dell'equilibrio occupano lamaggior parte dello spazio delle fasi, il sistema passerà la maggior parte del tempo in questeregioni e quindi nello stato di equilibrio.

Per vedere come funziona questa ipotesi, suddividiamo la supercie di energia costante in unreticolo ΓE =

⋃i ∆i. La media di a in ogni ∆i è ai. Allora

1

T

∫ T

0a(xt)dt ≈

∑i

TiTai

dove Ti/T è la frazione di tempo che l'orbita passa in ∆i tra t = 0 e T . Usando l'ipotesi ergodica,si può scrivere

TiT

=µ(∆i)

µ(ΓE)

Di conseguenza,

a =∑i

µ(∆i)

µ(ΓE)ai = 〈a(x)〉.

Dal punto di vista pratico, però, si sa che nessun sistema è totalmente isolato dal resto del-l'universo. Nei precedenti capitoli, si è trattato a più riprese come delle piccole variazioni dellacondizione iniziale, rappresentate da fattori esterni che agiscono sul sistema, possano portare auna grande dierenza negli stati di evoluzione del sistema. Prendiamo ad esempio il caso di unsistema dinamico che presenta solo orbite periodiche. L'orbita quindi non passa lo stesso tempoin regioni di dimensioni uguali e quindi il sistema non è ergodico. Tuttavia, delle piccole pertur-bazioni esterne, siccome nessun sistema è davvero isolato, potrebbero deviare in continuazioneleggermente l'orbita e farla passare innitamente vicina a ogni punto dello spazio delle fasi. Lasensibilità alle condizioni iniziali potrebbe dunque far apparire ergodico un sistema non ergodico.

Il teorema ergodico di Birkho

Nel 1931, Birkho3 dimostrò un teorema fondamentale che rese le idee di Boltzmann più precise.Nonostante il teorema di Birkho sia ancora lontano da ciò che occorre alla visione di Boltzmann,

3George David Birkho (1884-1944) fu un matematico e professore statunitense. Nel 1913 dimostrò un casoparticolare del problema dei tre corpi di Poincaré, fatto che lo rese noto nel mondo scientico. Successivamentepubblicò Sistemi dinamici e scrisse testi sulla relatività e la sica quantistica. Dopo aver dimostrato il fondamen-tale teorema di cui tratta questa sezione, Birkho propose una teoria matematica dell'estetica e passò un annostudiando arte, musica e poesia di molte culture dierenti.

4.3. L'IPOTESI ERGODICA 47

esso denisce le proprietà dinamiche che un sistema deve possedere per essere ergodico secondoBoltzmann.

Consideriamo un sistema meccanico con una misura invariante e sia a(x) una funzione, de-nita sulla supercie di energia costante. Il teorema ergodico aerma che, se a(x) soddisfa alcunesemplici proprietà, allora:

La media a lungo termine a(x0) = limT→∞1T

∫ T0 a(xt)dt esiste quasi ovunque sulla supercie

di energia costante, ossia per quasi ogni condizione iniziale x0. Inoltre

a(x0) = a(f(x0)) e 〈a〉 = 〈a〉.

a(x0) potrebbe dipendere dall'orbita ma non dalla condizione iniziale. Questo può esserefacilmente mostrato perché la media temporale di una funzione che parte da una condizioneiniziale xt0 ∈ Γ può essere scritta come

a(xt0) =1

T

∫ T

0a(xt0+t)dt =

1

T

∫ T+t0

t0

a(xt)dt =1

T

(∫ 0

t0

a(xt)dt+

∫ T

0a(xt)dt+

∫ T+t0

Ta(xt)dt

).

Nel limite di T → ∞ il primo e l'ultimo termine tendono a zero, mentre il secondo tende aa(x0). La media a lungo termine è quindi costante sull'orbita a(x0) = a(xt0).

Il teorema di Birkho non ci permette di mostrare che un sistema sico è ergodico, perché lamedia temporale dipende ancora dall'orbita e non è necessariamente uguale alla media dell'en-semble. Tuttavia, ora possiamo denire un sistema che soddisfa l'ipotesi ergodica di Boltzmann.Si dice che un sistema è ergodico se la media a lungo termine di una funzione, a(x) è unacostante, che notiamo a, sulla supercie di energia costante.

Un sistema ergodico è tale che la media temporale di una quantità dinamica è uguale allamedia microcanonica. Si osserva infatti che∫

a(x)dµ =

∫a(x)dµ =

∫adµ.

dunque

a = a =

∫a(x)dµ∫dµ

= 〈a(x)〉.

Possiamo anche dimostrare che l'ipotesi di Boltzmann (il tempo che l'orbita trascorre inuna regione della supercie di energia costante è proporzionale alla sua misura) è vera per unsistema ergodico. Consideriamo ancora un reticolo in cui è divisa la supercie di energia costanteΓE =

⋃i ∆i e prendiamo come a(x) le funzione caratteristica della regione ∆i, χi(x), denita da

χi(x) =

1 se x ∈ ∆i

0 se x 6∈ ∆i

Segue che χ(x) = limT→∞1T

∫ T0 χi(xt)dt = limT→∞ Ti/T che è la frazione di tempo che il

sistema trascorre nella regione ∆i. Inoltre

χ(x) = 〈χ(x)〉 =

∫χi(x)dµ∫dµ

=µ(∆i)

µ(ΓE).


La visione di Boltzmann diventa sempre più nitida: se dimostriamo che un sistema è ergodico,sappiamo che le sue proprietà della media temporale sono uguali alle appropriate proprietà dellamedia dell'ensemble microcanonico. Inoltre la meccanica statistica può essere usata per determi-nare le proprietà della media temporale del sistema.

In conclusione, Boltzmann aerma che se il sistema trascorre tempi uguali in regioni di ugualemisura e se la regione della supercie di energia costante che corrisponde allo stato macroscopicodi equilibrio possiede in gran maggioranza la misura più ampia, allora ne conseguono tutti irisultati della termodinamica dell'equilibrio.

4.4 Descrizione matematica dell'ergodicità

Nella sezione precedente abbiamo introdotto il concetto di ergodicità e ne abbiamo esposto ilsenso sico. Nella prossima parte descriveremo il concetto dal punto di vista matematico speci-catamente per i sistemi dinamici.

4.4.1 Media temporale e media statistica

In primo luogo dobbiamo denire la media temporale e la media statistica di una funzione. Ri-cordiamo che un sistema dinamico è costituito da uno spazio delle fasi Γ e da una legge, che nelcaso delle mappe è una funzione f .

Per ogni funzione a : Γ → R si denisce la media temporale di a, notata a : Γ → R comesegue:

a(x) = limn→∞

1

n

n−1∑k=0

a(fk(x)).

La media temporale a di una funzione a è quindi a sua volta una funzione.

Una funzione particolarmente utile sarà la funzione caratteristica di A ⊂ Γ, denita da

χA(x) =

1 se x ∈ A0 se x 6∈ A

La media temporale di χA corrisponde al tempo medio di soggiorno dell'orbita di condizioneiniziale x nel sottoinsieme A e notato τA(x):

τA(x) = limn→∞

1

nτA(x, n) = lim

n→∞

1

n

n−1∑k=0

χA(fk(x)).

Infatti τA(x, n) = limn→∞1n

∑n−1k=0 χA(fk(x)) conta il numero di punto dell'orbita che sono in A.

La seconda denizione che dobbiamo dare è quella di media statistica di a, notata 〈a〉. Sidenisce la media statistica come il numero

〈a〉 =

∫Γa(x) dµ(x).

A dierenza della media media temporale, in linea di principio assai dicile da calcolare perchépresuppone la conoscenza dell'evoluzione temporale, la media statistica è soltanto un integrale,che si suppone si sia in grado di calcolare.

4.4. DESCRIZIONE MATEMATICA DELL'ERGODICITÀ 49

4.4.2 Interpretazione matematica del teorema di Birkho

Il teorema di Birkho presentato nella sezione 4.3 può essere chiaramente denito anche peri sistemi dinamici discreti. Da notare che la supercie di energia costante è qui sostituita conun insieme invariante di misura nita e la media microcanonica è sostituita con un'appropriatamedia statistica sull'insieme invariante. Per insieme invariante si intende una regione dello spa-zio delle fasi tale che tutti i punti dell'insieme rimangono nell'insieme nel corso dell'evoluzionedello stato e la misura resta costante. È il caso dunque della struttura di attrattore che abbiamotrattato precedentemente.

4.4.3 Il teorema della ricorrenza

Un secondo teorema fondamentale della teoria ergodica è il teorema della ricorrenza di Poincaré4.Sia A ⊂ Γ un insieme misurabile. Si dice che x ∈ A è un punto ricorrente in A se, per ogniN > 0, esiste un n ≥ N tale che fn(x) ∈ A. L'insieme dei punti ricorrenti in A è notato RA,mentre il complementare A \RA, notato VA, è detto insieme dei punti vaganti di A.Il teorema della ricorrenza di Poincaré aerma che, per ogni sistema dinamico e per ogni A ⊂ Γmisurabile, l'insieme VA è di misura nulla. In altre parole, ad eccezione dei punti di un insiemedi misura nulla, tutti i punti ritornano innite volte in un qualunque insieme ssato A che licontenga.È importante fare due osservazioni riguardo a questo teorema:

• I tempi di ricorrenza possono essere assurdamente grandi, anche per sistemi molto semplici,e superare l'età dell'Universo.

• È bene sottolineare che il comportamento ricorrente dei singoli moti non preclude il com-portamento irreversibile degli insiemi di punti tipico dei sistemi mixing (vedere sezione4.6).

4.4.4 Denizioni di ergodicità

Vi sono quattro proprietà equivalenti che si possono scegliere come denizione di sistema ergodico.

Denizione 1. Per ogni funzione sommabile a : Γ → R, la media temporale e la mediastatistica coincidono

a(x) = 〈a〉.Questa è le denizione classica di erogidicità e si rivela molto utile a livello pratico, perché per-mette di sostituire la media temporale, dicile da calcolare, con la media statistica che si trovamolto più facilmente perché non richiede la conoscenza dell'evoluzione del sistema.

Denizione 2. Per ogni insieme A ⊂ Γ misurabile, il tempo medio di soggiorno in A è ugualealla misura di A:

τA(x) = µ(A).

In altre parole, la probabilità, che l'osservazione fatta in modo casuale sul sistema dia un valoredello stato che rientra in A, è pari alla misura di A. Il volume dello spazio delle fasi assume

4Henri Jules Poincaré(1854-1912) fu un matematico, sico e losofo naturale francese. Poincaré viene con-siderato l'ultimo universalista, perché era un esperto in ogni disciplina nota ai suoi giorni. Oltre che per i suoicontributi alla matematica applicata, alla sica matematica, alla meccanica celeste, Poincaré è ricordato per esserela prima persona a scoprire un sistema caotico deterministico, ossia il problema di un sistema gravitazionale contre corpi che orbitano uno intorno agli altri proposto dal re Oscar II di Svezia. Questo scienziato presentò inoltrele trasformazioni di Lorentz nella loro forma moderna.


quindi un signicato di probabilità.

Denizione 3. Le sole funzioni invarianti rispetto all'evoluzione temporale sono le funzionicostanti. In altre parole, per ogni funzione a : Γ→ R tale che

a(fn(x)) = a(x) ∀ x ∈ Γ,

allora a(x) = costante.

Denizione 4. I soli insiemi A ⊂ Γ misurabili invarianti sono di misura nulla oppure 1, ossia

µ(f−n(A)) = µ(A) ⇒ µ(A) = 0 o µ(A) = 1.

In questo caso si dice che il sistema è metricamente indecomponibile, ovvero ogni scomposizioneΓ = A ∪ (Γ \ A) misurabile e invariante è metricamente banale. Quest'ultima denizione saràapprofondita nella sezione 4.6.2.

4.5 L'ergodicità nelle mappe

Dimostreremo ora la proprietà ergodica su tre sistemi dinamici già conosciuti: la mappa diadica(sezione 3.1), la mappa rotante (sezione 4.1) e la mappa del panettiere (sezione 3.2).

4.5.1 La mappa diadica

In vista della dimostrazione che presenteremo, occorrono alcune premesse. In primo luogo occorrefare un'osservazione sulla notazione: se λ è una misura e A e B sono insiemi misurabili conλ(B) > 0, la densità di A in B è denita da

λ(A : B) =λ(A ∩B)

λ(B).

Il secondo passo è denire un nuovo concetto che ci sarà utile anche nel seguito. Una parti-zione di un insieme Γ è una scomposizione di Γ in sottoinsiemi Wi non triviali e disgiunti taliche

Γ =⋃i

Wi e Wi ∩Wj 6= ∅ ∀ i 6= j

L'ultima premessa è il seguente teorema:

Sia P1,P2, . . . una sequenza di partizioni nite di [0, 1] di intervalli aperti aventi le seguenti

proprietà:

(i) Ogni elemento di Pn è un'unione di elementi di Pn+1;

(ii) La dimensione massima degli elementi di Pn tende a 0 quando n→∞.

Sia A un qualsiasi sottoinsieme di [0, 1] tale che λ(A) > 0. Allora esiste una sequenza di intervalli

I1, I2, ..., con In ∈ Pn tali che

limn→∞

λ(A : In) = 1.

È ora possibile dimostrare l'ergodicità della mappa diadica.

4.5. L'ERGODICITÀ NELLE MAPPE 51

Sia A un insieme invariante sotto la trasformazione d incluso in [0, 1] con λ(A) > 0. Siap ∈ [0, 1] un punto sso di d, ossia d(p) = p. Per ogni n ∈ N, le preimmagini di p sotto d−n

deniscono una partizione Pn su 2n intervalli aperti di lunghezza 2−n. Se prendiamo qualsiasiintervallo J ∈ Pn, la mappa dn è un dieomorsmo (ossia è dierenziabile, invertibile e la suainversa è dierenziabile) su [0, 1] \ p in cui vale (dn)′(x) = 2n.Siccome A è invariante, segue che d−n(A) = A. Sia ε > 0. Il teorema appena visto implica cheesiste un n ∈ N e un intervallo J ∈ Pn tale che λ(A : J) > 1− ε. Si noti che dn(A ∩ J) ⊂ A. Diconseguenza

λ(A) ≥ λ(fn(A∩J)) =

∫A∩J

(dn)′(x)dx = 2nλ(A∩J) = 2nλ(A : J)λ(J) > 2n(1−ε)λ(J) = 1−ε.

Siccome ε è stato scelto arbitrariamente, si conclude che λ(A) = 1. L'unico insieme invariantecon misura positiva è l'intero quadrato [0, 1], da cui si deduce, usando la denizione 4, che lamappa diadica è ergodica.

4.5.2 La mappa rotante

Come secondo esempio di sistema ergodico, si consideri la mappa rotante illustrata nella sezione4.1: lo spazio su cui è denita la mappa è un cerchio di circonferenza 1 e, con ogni iterazione, ipunti x ∈ [0, 1] sul cerchio sono ruotati di α.Due sono dunque i casi possibili:

• Se α è un numero razionale n/m, con n,m ∈ Z, allora dopo un numero nitom di iterazioni,la funzione mappa tutti i punti alla loro posizione iniziale. L'orbita dunque sarà periodicae non passerà lo stesso tempo in regioni di misura uguale. In questo caso il sistema non èergodico;

• Se α è irrazionale, nessuna orbita sarà mai periodica e riempirà in modo denso il cerchio:il sistema è quindi ergodico.

Dimostriamo dunque, utilizzando la denizione 3, l'ergodicità della mappa rotante per α ∈R \Q e

a(x) =∑k∈Z

ake2πikx ,

dove abbiamo espresso a(x) in serie di Fourier5.

Siccome fn(x) = x+ nα mod 1 e e2πim = 1 per m ∈ Z, si ottiene

a (fn(x)) =∑k∈Z

ake2πik(x+nα) .

Supponendo che a(x) = a (fn(x)) , deduciamo che i coecienti della serie devono soddisfare

ak = ake2πiknα

5Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fu un matematico e sico francese. Fourier è inoltre ricordato peril suo impegno politico: partecipò alla Rivoluzione francese, alla campagna di Napoleone in Egitto e diventòprefetto dell'Isère. Il suo contributo alla scienza consiste nella formulazione della legge di conduzione termica enella teorizzazione della serie di Fourier e della conseguente trasformata.


allora, poiché α è irrazionale, necessariamente ak = 0 per ogni k 6= 0. Quindi a(x) = a0, cioèa(x) è costante. La mappa rotante sul cerchio è quindi ergodica. Per questo esempio possiamonotare come è possibile utilizzare anche la denizione 1. Infatti dato

a(x) =∑k∈Z

ake2πikx

la media temporale di a(x) è data da

a(x) = limn→∞

1

n

n−1∑j=0

a(f j(x)

)= lim

n→∞

1

n

n−1∑j=0

a (x+ jα mod 1)

= limn→∞

1

n

n−1∑j=0

∑k∈Z

ake2πik(x+jα) =

∑k∈Z

ake2πikx lim

n→∞

1

n

n−1∑j=0

e2πikjα

=∑k∈Z

ake2πikx lim

n→∞

1

n

1− einkα1− eikα

e poiché α è irrazionale, il denominatore non è mai nullo. Se k 6= 0

limn→∞

1

n

1− einkα1− eikα = 0

e quindi a(x) = a0, ma il coeciente a0 della serie di Fourier si ottiene come

a0 =

∫ 1

0a(x)dx

e quindi data la misura che corrisponde alla lunghezza dell'arco dµ(x) = dx si ha

a(x) = 〈a〉

ossia la media temporale equivale alla media statistica rispetto alla misura µ.

4.5.3 La mappa del panettiere

Un altro sistema dinamico già studiato che presenta un comportamento ergodico è la mappa delpanettiere. Prima di dimostrare questa proprietà occorre esporre un utile teorema.

Si consideri un intorno di un punto x. Gli autovettori della matrice sono già stati calcolatiprecedentemente: (0, 1) è l'autovettore di contrazione e (1, 0) è l'autovettore di dilatazione. Quin-di la linea verticale che passa per il punto x rappresenta la direzione di contrazione. Ciò signicache le immagini future dei punti su questa linea saranno sempre più vicine alle immagini di x.La linea orizzontale, invece, che passa per il punto x rappresenta la direzione di dilatazione e ipunti che si trovano su di essa avranno immagini che si allontaneranno da quelle del punto x.Se, però, applichiamo la trasformazione inversa, i ruoli della direzione x e della direzione y siinvertono. Sappiamo inoltre che esiste una misura invariante sul quadrato [0, 1]2: dµ = dxdy =dx′dy′ = dµ′.

Supponiamo di considerare una funzione a per la quale è possibile utilizzare il teorema diBirkho. La trasformazione del panettiere è ergodica se a(x) non dipende da x, dove a(x) è lamedia temporale innita di a(x) con condizione iniziale x. Per il teorema di Birkho, questa

4.5. L'ERGODICITÀ NELLE MAPPE 53

media esiste quasi ovunque.

Deniamo ora la media temporale per a(x) e per la sua inversa:

a+(x) = limn→∞

1

n

n−1∑j=0

a(fj(x)),

a−(x) = limn→∞

1

n

n−1∑j=0

a(f−j(x)),

dove f è la mappa del panettiere.In primo luogo, dimostriamo che le due medie temporali sono uguali, ossia

a+(x) = a−(x)

quasi ovunque. Deniamo dunque un insieme di punti Aε come segue:

Aε = x|a+(x)− a−(x) > ε > 0.

Secondo il teorema di Birkho, la media temporale è indipendente dalla condizione iniziale,quindi la dierenza tra a+(x) e a+(f−1(x)) è zero, così come vale a−(x) = a−(f−1(x)).L'insieme Aε è dunque invariante e∫

Aε

[a+(x)− a−(x)]dµ > εµ(Aε).

Useremo in questa sezione la terza denizione di ergodicità: in un sistema ergodico vale

a(fn(x)) = a(x)⇒ a(x) = costante.

Il teorema di Birkho sostiene che la media temporale è indipendente dalla condizione iniziale,ossia poiché l'insieme Aε è invariante, si nota che l'integrale di a+ sull'insieme Aε è ugualeall'integrale di a sulla stessa regione:∫

Aε

a+(x)dµ =

∫Aε

a(x)dµ.

Lo stesso discorso vale per il termine a−, quindi

εµ(Aε) <

∫Aε

[a+(x)− a−(x)]dµ = 0.

Ciò signica che µ(Aε) = 0. Quindi, a+(x) = a−(x) quasi ovunque. Siccome vale la premessedella terza denizione, occorre dimostrare che vale la conseguenza, ossia che a(x) è costante, perconcludere che la mappa del panettiere è ergodica.

A questo punto possiamo usare l'uguaglianza appena vista per dimostrare l'ergodicità dellamappa del panettiere seguendo questa idea: bisogna provare che la media temporale di a+ è in-dipendente dalla coordinata y del punto x = (x, y), ossia che a+(x) = a+(x). Inoltre è necessariodimostrare che la media temporale dell'inversa, ossia a−, è indipendente dalla coordinata x delpunto x, ovvero a−(x) = a−(y). Allora, siccome a+(x) = a−(x), vale a+(x) = a−(y). Possiamoquindi concludere che a+(x) = a−(y) = a = costante, siccome x e y sono indipendenti.


p

w

z

u v

f−1(w)

f−1(z)

f−1(p)

f−1(v)f−1(u)

f(p) f(v)

f(u)

f(z)

f(w)

Figura 4.1: Evoluzione dei punti w e z che si trovano sulla linea verticale di restrizione e dei punti u ev che sono sulla linea orizzontale di dilatazione.

Per procedere con la dimostrazione, consideriamo un punto dello spazio delle fasi, notatop = (x, y). Consideriamo ora un piccolo intorno del punto p nel quadrato [0, 1]2 e due punti we z sulla linea verticale di cui abbiamo parlato all'inizio.Se i punti p, w e z si trovano sulla stessa linea verticale, si osserva che fn(w) e fn(z) si avvicinanoa fn(p) per n→∞ (gura 4.1).

Di conseguenza, la distanza tra questi due punti tende a zero:

d[fn(w), fn(p)] =1

2nd(w,p)→ 0,

d[fn(z), fn(p)] =1

2nd(z,p)→ 0.

Allo stesso modo, due punti u e v sulla linea orizzontale di dilatazione si avvicinano a p

quando il sistema subisce la trasformazione inversa, per n→∞ (gura 4.1):

d[f−n(u), f−n(p)] =1

2nd(u,p),

d[f−n(v), f−n(p)] =1

2nd(v,p).

Abbiamo usato la trasformazione inversa che subiscono i punti sulla linea orizzontale di dilata-zione per evitare le complicazioni della mappa del panettiere che taglia in due lo spazio della fasi.

Quindi, se a è derivabile abbastanza volte, si ottiene

|a(fn(p))− a(fn(w))| → 0

in modo esponenziale, per n→∞ e per punti w sulla linea verticale di contrazione. Per punti usulla linea orizzontale di dilatazione, invece, vale

|a(fn(p))− a(fn(u))| → 0

quando n→ −∞. La sommatoria, che denisce la media temporale per a(p) vista all'inizio, puòessere separata così da poter usare questo risultato:

a+(w) = limN→∞

1

N

(Nε∑n=0

+N−1∑

n=Nε+1

)a(fn(w)).

4.6. SISTEMI MIXING 55

La prima sommatoria tende a zero, se Nε è ssato. Per un Nε sucientemente grande, èpossibile sostituire, approssimando, a(fn(w)) con a(f(p)). Quindi, per puntiw sulla linea verticaledi restrizione su cui si trova p, il valore medio di a+ è indipendente da y e si ha

a+(w) = a+(p) = a+(x),

dove x è semplicemente la coordinata orizzontale dei due punti p e w dello spazio delle fasi.

Un discorso analogo può essere fatto per la media temporale di a−, in cui si ottiene

a−(u) = a−(p) = a−(y),

dove y è semplicemente la coordinata verticale dei due punti u e p.

Dunque, i punti sulla linea verticale di restrizione hanno la stessa media temporale per tempopositivo, mentre i punti sulla linea orizzontale di dilatazione hanno la stessa media temporaleper tempo negativo.In conclusione

a−(u) = a−(p) = a−(v),

a+(w) = a+(p) = a+(z).

Si nota che a+(p) non dipende dalla coordinata y di p e che a−(p) non dipende dalla coordi-nata x di p. Ricordando che a+(p) = a−(p), ciò signica che, siccome a(p) non dipende né dallasua coordinata x né da quella y, a(p) deve essere costante, indipendentemente dalla condizioneiniziale p. Ne consegue che la mappa del panettiere è ergodica.

4.6 Sistemi mixing

4.6.1 Denizione

Per spiegare come sistemi meccanicamente reversibili raggiungano l'equilibrio termodinamico,Gibbs6 tentò un altro approccio rispetto a Boltzmann. Se quest'ultimo si concentrò sull'evolu-zione nello spazio delle fasi di un singolo sistema e giunse al concetto di ergodicità in terminidi tempi di soggiorno della singola orbita in una determinata regione dello spazio delle fasi cheè proporzionale al volume della stessa, Gibbs, invece, considerò il comportamento medio di uninsieme di punti sulla supercie di energia costante con stato iniziale molto simile.Si consideri un insieme A di condizioni iniziali. Quando l'insieme viene iterato nello spazio Γ e di-venta At = x ∈ Γ|xt ∈ A, questo cambia forma ma la sua misura resta costante: µ(A) = µ(At).Si pensi, ad esempio, alla mappa del panettiere l'insieme viene stirato e ripiegato e arriva addi-rittura a ricoprire tutta la supercie dello spazio delle fasi. Tuttavia, l'insieme At avrà la stessastruttura topologica dell'insieme A. Inoltre se applichiamo t volte la funzione inversa su At, ot-terremo di nuovo l'insieme A.In altre parole, un insieme di punti inizialmente vicini viene espanso su tutta la supercie dienergia costante.

Un esempio squisito, a prescindere dai gusti, è quello del risotto allo zaerano. Alcuni diconoche questo ingrediente è assolutamente superuo e che solo un mediocre cuoco se ne avvale per

6Josiah Willard Gibbs (1839-1903) è ricordato per essere stato un grande ingegnere, sico e chimico statuni-tense. In campo chimico, vi è l'energia libera di Gibbs che prevede la spontaneità di una reazione. Questa sezione,invece, mostra l'importante contributo dello scienziato per la termodinamica, mentre per la matematica si occupòdell'analisi vettoriale.


dar colore alla pietanza. In ogni caso, l'odore della spezia che resta sulle dita di chi cucina èsucientemente piacevole da motivare di per sé il suo utilizzo.Tornando alla sica, immaginiamo di avere il riso nella pentola e di aggiungere un pizzico dizaerano. Lasciamo cadere qualche milligrammo della spezia in una piccola area della padella.Il riso in quest'area diventerà subito di un colore arancione acceso (a seconda del vino usato),mentre il resto dei chicchi apparirà ancora di un colore bianco smorto. A questo punto il cuococomincia a mischiare il riso. Dopo qualche giro di mestolo (che nel caso dei sistemi dinamicimixing corrisponde alle iterazione del sistema), nella padella si vedranno delle aree più gialle ealtre ancora bianche. Continuando a rimestare, si giungerà ad avere un riso colorato in modoomogeneo. Lo zaerano, che inizialmente aveva prodotto un'area della padella diversa per coloredal resto, si è distribuito in tutta la padella e ha creato un riso dello stesso colore. Si noti che laquantità di zaerano nel risultato nale è uguale a quella dello stato iniziale. Allo stesso modo,un insieme di condizioni iniziali vicine viene iterato no a essere distribuito uniformemente nellospazio delle fasi. Anche qui, At ha la stessa misura di A.

Gibbs pensò che una distribuzione apparentemente uniforme dell'insieme At sulla superciedi energia costante fosse la chiava per comprendere come i sistemi dinamici matematicamentereversibili possano raggiungere l'equilibrio.

Per rendere la sua idea più precisa, Gibbs espresse la denizione di sistema mixing come segue:

Un sistema è denito mixing se, per ogni insieme B 6= ∅, vale

limt→∞

µ(B ∩At)µ(B)

=µ(A)

µ(ΓE)

dove ricordiamo che ΓE rappresenta l'intera supercie di energia costante.

Il signicato di questa denizione è che l'insieme At, pur conservando la misura, si diluisceuniformemente in ΓE . Ciò è possibile se A si lamenta per eetto della dinamica e invade uni-formemente ΓE . L'insieme B, invece, va inteso come nestra di osservazione.

4.6.2 Mixing ed ergodicità

Come si vedrà successivamente, la condizione di mixing per un sistema è più forte della condizio-ne di ergodicità. Tuttavia, si può dire molto di più per l'equilibrio di un sistema mixing che perquello di un sistema ergodico. Per denire la dierenza tra sistema mixing e sistema ergodico,occorre introdurre il concetto di scomponibilità metrica.

Un sistema scomponibile metricamente è tale che esiste una suddivisione della supercie dienergia costante in due regioni di misura diversa da zero, in cui entrambe le regioni devono essererestare invarianti quando il sistema viene iterato. In altre parole, un punto dello spazio delle fasiche si trova inizialmente in una regione dovrà sempre restare in essa.Gli esempi di mappe analizzati nel capitolo 3 sono tutti metricamente non scomponibili, perchénon possiedono questa proprietà.

A questo punto è possibile riportare un'importante proposizione: un sistema è ergodico see solo se non è metricamente scomponibile. Tale aermazione equivale a dire che un sistema èmetricamente scomponibile se e solo se non è ergodico.


Dimostrazione

⇒ Su una supercie che può essere suddivisa in due regioni invarianti 1 e 2, sia a(x) la funzionedella regione 1,

a(x) = χ1(x).

Per l'invarianza, la media temporale di a è

a(x) = limT→∞

1

T

∫ T

0χ1(xt)dt = χ1(x) =

0 se x ∈ 21 se x ∈ 1

Siccome questo valore non è costante su Γ, il sistema non è ergodico.

⇐ Per un sistema non ergodico, a(x) non è costante ma dipende dalla traiettoria. Per alcuniγ, entrambi gli insiemi x|a(x) ≥ γ e x|a(x) < γ contengono orbite complete, poichéa(x) è costante sull'orbita. Gli insiemi sono dunque invarianti e formano una scomposizionein due regioni, entrambe di misure positive.

Un'altra importante relazione logica è che la proprietà mixing di un sistema implica che ilsistema è anche ergodico, si ha quindi

Mixing ⇒ Ergodicità.

Si consideri un sistema mixing e sia A = At un insieme invariante. Allora, per ogni insieme Bvale

limt→∞

µ(B ∩At)µ(B)

=µ(A)

µ(ΓE)

che equivale a

limt→∞

µ(At ∩B) =µ(A)µ(B)

µ(ΓE).

Se poniamo B = A = At, allora At ∩B = A e

µ(A) =µ(A)µ(B)

µ(B).

Quest'ultima soluzione ha due soluzioni:

(i) µ(A) = 0. Questa è la soluzione banale che comporta un insieme di misura zero;

(ii) µ(A) = µ(ΓE). L'insieme invariante è quindi l'intera supercie di energia costante.

Se un sistema è mixing, dunque, l'unico insieme invariante con misura positiva è la superciedi energia costante. Di conseguenza, un sistema mixing è ergodico ma non necessariamente èvero il contrario. Dal punto di vista sico, un sistema ergodico permette di descrivere gli statidi equilibrio, mentre la condizione più forte di mixing permette anche di descrivere l'evoluzioneverso questi stati.


4.6.3 La proprietà di mixing nelle mappe

Per un sistema dinamico discreto, esistono due denizioni di mixing equivalenti. La prima, ana-loga a quella riportata nella sezione 4.6.1, è la seguente:

un sistema è denito mixing se, per ogni insieme B 6= ∅, vale

limn→∞

µ(B ∩ f−n(A))

µ(B)= µ(A)

Una seconda denizione di sistema mixing è:

un sistema è denito mixing se, per ogni coppia di funzioni a, b si ha

limn→∞

〈(a fn)b〉 = 〈a〉〈b〉.

Questa seconda proprietà esprime la perdita delle correlazioni tra due funzioni qualsiasi. Ingenerale, la funzione G denita da

G(n) = 〈(a fn)g〉 − 〈a〉〈b〉

è chiamata funzione di correlazione di a e b. Se a = b, G è detta funzione di autocorrelazione di a.Se G(t) 6= 0, allora i valori (la misurazione) di a e b, a distanza di tempo n, non sono indipendenti.

Per tornare all'importante relazione tra ergodicità e mixing, mostreremo ora un controesem-pio in cui un sistema è ergodico ma non mixing.

Si consideri la mappa rotante della sezione 4.1. Abbiamo già detto che questo sistema è ero-godico, perché, se iteriamo una condizione iniziale, la sua orbita passa lo stesso intervallo ditempo in regioni di ugual misura. Tuttavia, per determinare se il sistema è anche mixing, occorreanalizzare l'evoluzione temporale di un insieme di punti.Supponiamo di prendere un piccolo segmento della circonferenza come insieme iniziale. In questocaso, l'insieme f−n(A) rimarrà un segmento che ruota rigidamente intorno al cerchio. Ne conse-gue che il limite t→∞ della misura dell'insieme f−n(A)∩B non esiste per nessun insieme B dimisura positiva sul cerchio.La mappa rotante è quindi ergodica ma non mixing.

Abbiamo denito in modo matematico un sistema mixing, ma come appare la sua evoluzionenello spazio delle fasi? Utilizzando un esempio già conosciuto, mostreremo il comportamento diun sistema mixing.

Le gure 4.2 e 4.3 rappresentano la proprietà di mixing applicata alla mappa di Arnold.Utilizzando il programma Maple, abbiamo preso come insieme di condizioni iniziali il quadratoA0 = [0, 1

4 ]2 e lo abbiamo iterato più volte sotto la mappa.Si osserva che l'insieme iniziale si lamenta e, già dopo sette iterazioni della mappa, va a

coprire in modo abbastanza omogeneo tutto il quadrato [0, 1], ossia tutto lo spazio delle fasi.Inoltre dalla gura 4.2 si può intuire che la misura dell'insieme A0, intesa come area dell'insieme,è preservata.


Figura 4.2: A sinistra, insieme di condizioni iniziali A0 = [0, 14]2; al centro, f(A0); a destra, f2(A0).

Graco generato con Maple.

Figura 4.3: A sinistra, f3(A0); al centro f5(A0); a destra f7(A0). Graco generato con Maple.

4.6.4 Mixing ed equilibrio

Per concludere questa sezione, analizzeremo il legame tra i sistemi mixing e l'equilibrio.

Si consideri un sistema isolato che inizialmente non è in stato di equilibrio. Vogliamo calcolarela media dell'ensemble al tempo t per un'osservabile a:

〈a(x)〉t =

∫ρ(x, t)a(x)dx∫ρ(x, t)dx

,

dove ρ(x, t) è la funzione di distribuzione del sistema che dipende dal tempo e dalla posizionenello spazio delle fasi. Questa media soddisfa l'equazione di Liouville7,

d

dtρ(x, t) = 0.

Supponiamo che il sistema sia mixing e consideriamo la supercie di energia costante come unreticolo diviso in regioni ∆i. Allora a(x) può essere descritta approssimativamente dal valore dia in ogni regione:

a(x) ≈∑j

ajχj(x).

Possiamo esprimere ρ(x, 0) come

ρ(x, 0) =∑j

ρjχj(x).

7Joseph Liouville (1809-1882), matematico francese, aermò che, in meccanica hamiltoniana, nell'evoluzionedi un sistema conservativo, la derivata temporale della densità di stati nello spazio delle fasi è nulla, ovvero siconserva anche la densità di stati nello spazio delle fasi. Matematicamente dρ(x,t)

dt= 0.


Dall'equazione di Liouville segue che ρ(x, t) = ρ(x−t, 0), dove x−t è il punto dello spazio dellefasi che evolve in x dopo un intervallo t. Quindi

ρ(x, t) =∑j

ρjχj(x−t).

Se inseriamo questa equazione nell'uguaglianza iniziale di questa sezione, troviamo

〈a(x)〉t =

∑j

∑k ajρk

∫χj(x)χk(x−t)dx∑

k ρk∫χk(x−t)dx

.

L'integranda al numeratore vale 1 se x è in ∆j e x−t è in ∆k, altrimenti vale 0. La secondacondizione signica che x ∈ ∆k(t), dove ∆k(t) è la k-esima regione dopo un tempo t. L'integralediventa dunque ∫

χj(x)χk(x−t)dµ = µ(∆j ∩∆k(t)).

Siccome il sistema è mixing, si ottiene

µ(∆j ∩∆k(t))→µ(∆j)µ(∆k)

µ(ΓE)quando t→∞.

Il denominatore non dipende dal tempo e può essere approssimato:

limt→∞〈a(x)〉t =

1∑k ρkµ(∆k)

∑j

∑k

ajρk

(µ(∆j)µ(∆k)

µ(ΓE)

)=

1

µ(ΓE)

∑j

ajµ(∆j) = 〈a(x)〉.

Con questo è stato mostrato come la media in funzione del tempo di un ensemble per qualsiasiosservabile dinamica di un sistema mixing raggiunge il valore che ha all'equilibrio per t→∞. Ciòequivale a dire che, per un sistema mixing, la funzione di distribuzione, che dipende dal tempoe dalla posizione nello spazio delle fasi, raggiunge il valore che ha all'equilibrio per t→∞.

Lo stato rappresentato dalla densità ρ(x, 0) rappresenta una perturbazione dello stato diequilibrio dato dalla densità ρ(x). Esso non denisce una misura invariante (come è il caso dellostudio degli stati di equilibrio), bensì è associato ad una misura che evolve nel tempo verso lostato di equilibrio.

4.7 L'entropia di Kolmogorov-Sinai

L'entropia di Kolmogorov8-Sinai9 è una caratteristica propria dei sistemi dinamici deterministiciche assumono un comportamento caotico.

Supponiamo di avere un sistema dinamico discreto (Γ, f), con Γ bidimensionale, e immaginia-mo di poter distinguere due punti nello spazio delle fasi se questi sono separati da una distanzaδ. Questo valore è detto parametro di risoluzione. Dato un sottoinsieme A ⊂ Γ di dimensione

8Andrej Nikolaevi£ Kolmogorov (1903-1987) fu un matematico russo, conosciuto soprattutto per il suo con-tributo alla teoria delle probabilità. A partire dai suoi tre assiomi, sono stati formulati teoremi e leggi che oggicostituiscono la base della teoria delle probabilità. La sua attività scientica si occupò anche della topologia, dellameccanica classica e, dopo il secondo conitto mondiale, della teoria dell'informazione.

9Yakov Sinai, nato nel 1935, è un matematico russo-americano che si è occupato dei sistemi dinamici, riuscendoa collegare il mondo dei sistemi deterministici a quello dei sistemi probabilistici. L'esempio del biliardo presentatonella sezione 2.4.2 è simile al biliardo di Sinai. Il matematico riuscì a dimostrare che il sistema in questione èergodico, diventando così il primo uomo ad aver dimostrato questa proprietà.

4.7. L'ENTROPIA DI KOLMOGOROV-SINAI 61

nell'ordine di δ, non possiamo distinguere i punti al suo interno. Tuttavia, se vi è una direzionerepulsiva, dopo n iterazioni della mappa f, il sottoinsieme A viene allungato lungo la direzionerepulsiva di un fattore eΛn. Ciò signica che due punti che si trovano inizialmente in A non sonoinizialmente distinguibili ma, con le iterazioni della mappa, la loro distanza aumenta esponen-zialmente. Ne consegue che i punti all'interno di fn(A) sono distinguibili.

Quindi, se guardiamo le immagini successive di A, scopriamo in modo sempre più preciso laposizione dei punti nel sottoinsieme iniziale. Notiamo quindi che l'informazione cresce a ritmoesponenziale. Questo tasso di crescita è misurato dall'entropia di Kolmogorov-Sinai, notata hKS .

Data una partizione nita qualsiasi (vedere sezione 4.5.1) W = W1, ...,Wn di Γ e uno statoiniziale x0, gli stati fn(x0) dell'orbita di x0 si trovano necessariamente in uno dei sottoinsiemiWi.La successione, composta dalla lista delle partizioni occupate dall'orbita, fornisce un'informazio-ne sullo stato iniziale di x0. L'entropia di Kolmogorov-Sinai corrisponde alla quantità media diinformazione ottenuta a ogni iterazione.

Prima di denire l'entropia, riportiamo un esempio di partizione che utilizzeremo nel seguito.

Consideriamo la mappa del panettiere analizzata nella sezione 3.2. Assumiamo che la par-tizione originale divida lo spazio delle fasi in due sottoinsiemi Wi con i = 0, 1 (gura 4.4). Latrasformazione inversa mappa questi due insiemi su f−1(Wi). Ciò signica che se x ∈ f−1(Wi)allora f(x) ∈ Wi. L'intersezione di Wi con f−1(Wj) porta a una nuova partizione dello spaziodelle fasi su quattro insiemi Wi ∩ f−1(Wj), con i, j = 0, 1:

f−1W1W0 W00 W01 W10 W11

0 1/2 1 0 1/4 1/2 3/4 1

Figura 4.4: Costruzione delle partizioni per la mappa del panettiere.

W00 = x|x ∈W0 e f(x) ∈W0,

W01 = x|x ∈W0 e f(x) ∈W1,

W10 = x|x ∈W1 e f(x) ∈W0,

W11 = x|x ∈W1 e f(x) ∈W1.

Questa partizione è composta dalle intersezioni delle partizioni W e f−1(W ).Grazie alle iterazioni di f, è infatti possibile costruire delle partizioni di Γ con una cardinalitàsempre più grande, ossia costituite da sempre più elementi. Questo si ottiene prendendo l'inter-sezione delle pre-immagini successive di una partizione con la partizione originale. La successionedelle partizioni generate da f

Wi, Wi ∩ f−1(Wj), Wi ∩ f−1(Wj) ∩ f−2(Wk), ...


è notataW,W ∨ f−1W,W ∨ f−1W ∨ f−2W, ...

dove W è la partizione originale.

L'iterazione di f fornisce delle partizioni di volta in volta più ni, quindi un punto x0 datoin un insieme della partizione iniziale sarà di volta in volta maggiormente localizzato, poiché sex0 ∈Wi ∩ f−1(Wj) ∩ f−2(Wk), allora sappiamo che x0 ∈Wi, f(x0) ∈Wj e f2(x0) ∈Wk.

Ora che è stato chiarito il concetto di partizione, è possibile tornare all'entropia. Kolmogorove Sinai deniscono l'entropia di una partizione in termini di una misura normalizzata e invariantesullo spazio delle fasi.Data una partizione nita W , un punto x è meglio localizzato se si trova in un sottoinsieme Wi

di piccola misura µ(Wi). Si introduce dunque la funzione informazione denita, per ogni x ∈ Γ,da

I(W ;x) = −n∑i=1

ln[µ(Wi)]χWi(x),

dove χWi(x) è la funzione caratteristica di W e quindi

• I(W ;x) = −ln[µ(Wi)] se x ∈Wi;

• I(W ;x) = 0 se x 6∈Wi.

L'entropia della partizione W è il valore medio di I(W ;x) rispetto alla misura µ:

H(W ) =

∫ΓI(W ;x)dµ(x) = −

n∑i=1

ln[µ(Wi)]

∫Wi

dµ(x) = −n∑i=1

µ(Wi)ln[µ(Wi)],

con la normalizzazione∑

i µ(Wi) = 1. Quando la partizione è banalmente W = Γ, allora H = 0.

Per riprendere l'esempio della mappa del panettiere, le partizioni hanno entropia:

H1 ≡ H(W ) = −1

2ln

1

2− 1

2ln

1

2= ln 2

H2 ≡ H(W ∨ f−1W ) = − 1

4ln

1

4︸︷︷︸W00

− 1

4ln

1

4︸︷︷︸W01

− 1

4ln

1

4︸︷︷︸W10

− 1

4ln

1

4︸︷︷︸W11

= ln 4

Hn+1 ≡ H(W ∨ f−1W ∨ ... ∨ f−nW ) = ln 2n+1

Per determinare la quantità media di informazione acquisita ad ogni iterazione della mappa, sidenisce

h = limn→∞

1

nHn.

Numericamente, si trova che una denizione più utile, ma equivalente, è

h = limn→∞

[Hn+1 −Hn].

Questa denizione dipende ancora dalla scelta della partizione. La denizione dell'entropia

di Kolmogorov-Sinai corrisponde al supremum di h su tutte le partizioni iniziali W nite:

hKS = supWi

h.

4.7. L'ENTROPIA DI KOLMOGOROV-SINAI 63

Questa è una proprietà della mappa che, evidentemente, non dipende più dalla partizione W .

Un sistema dinamico per cui vale hKS > 0 è detto K-system, mentre una partizione per cuivale h = hKS è chiamata partizione generante.

Per evitare il calcolo del supremum, è suciente scegliere una partizioneW detta partizionedi Markov10, ossia una partizione che soddisfa le seguenti proprietà:

(i)W i ∩

W j = ∅ per ogni i 6= j;

(ii) i bordi di Wi coincidono con le direzioni attrattive e repulsive;

(iii) se x ∈Wi e f(x) ∈Wj , allora

f(E+x ∩Wi) ⊃ E+

f(x) ∩Wj e f(E−x ∩Wi) ⊂ E−f(x) ∩Wj

dove E+x è la retta che passa per x e che ha come vettore direttore l'autovettore di dilatazione,

mentre E−x è ha come vettore direttore l'autovettore di restrizione.In altre parole, ogni volta che l'immagine f(Wi) di un elemento della partizione interseca un ele-mento della partizioneWj , l'immagine deve coprire completamente tale elemento nella direzionerepulsiva, mentre deve essere all'interno di tale elemento nella direzione attrattiva.

Concludiamo questa sezione riportando un utile teorema, detto teorema di Pesin11.

Per un sistema dinamico chiuso e iperbolico, ossia tale che la mappa f è suriettiva e tale che

la misura è invariante (cioè µ(A) = µ(f−n(A)) per ogni A ⊂ Γ e n ∈ N), allora l'entropia di

Kolmogorov-Sinai di f è uguale alla somma degli esponenti di Ljapunov positivi associati a f.

hKS =∑i

λi con λi > 0

Precedentemente abbiamo calcolato che, per una data partizione, Hn+1 = ln 2n+1 nel casodella mappa del panettiere. Dimostreremo ora che la partizione che abbiamo scelto è una parti-zione di Markov, al ne di usare questa partizione per calcolare l'entropia.

(i) Tutti i sottoinsiemiWi della partizioneW sono disgiunti, pertanto l'intersezione della parteinterna di Wi e Wj equivale all'insieme vuoto.

(ii) Per la mappa del panettiere si osserva una dilatazione nella direzione orizzontale e unarestrizione in quella verticale. I sottoinsiemi Wi della partizione W sono dei rettangoli, icui bordi sono paralleli o perpendicolari ai lati del quadrato [0, 1]2. Di conseguenza, i bordidi Wi coincidono con le direzione attrattive e repulsive della mappa.

10Andrej Andreevi£ Markov (1856-1922) fu un matematico e statistico russo, noto per i suoi studi nel campo dellateoria dei numeri, dell'analisi matematica, della teoria delle probabilità e della statistica. Fu attivo principalmentea San Pietroburgo, dove studiò prima e divenne professore poi. Durante i tumulti studenteschi del 1908, i professoridell'università di San Pietroburgo erano tenuti a controllare i loro allievi. Markov riutò questo compito e motivòla sua scelta dicendo di non essere un agente del governo. Di conseguenza, gli fu vietato di continuare a insegnare.Il nome partizione di Markov è dovuto al fatto che la dinamica del sistema in questione ubbidisce alla proprietàdi Markov.

11Yakov Pesin è un professore di matematica all'Università della Pennsylvania. La sua attività scientica siconcentra soprattutto nel campo dei sistemi dinamici.


(iii) Non dimostreremo questa proprietà ma ci limiteremo a vericarla per un caso particolare.Consideriamo il punto x = (x, y) in cui 1

4 < x < 12 . Il punto si trova quindi in W0, mentre

f(x) ∈ W1. L'immagine di E+x ∩W0 sarà espansa su tutto la lunghezza orizzontale dello

spazio delle fasi, mentre nella direzione verticale la sua coordinata y sarà uguale alla metàdi quella del punto x.E+f(x) ha la stessa coordinata y di f(E+

x ∩W0). Otteniamo quindi f(E+x ∩W0) = E+

f(x). È

chiaro che E+f(x) ∩W1 è incluso in E+

f(x), da cui consegue che la proprietà è vericata.La gura 4.5 illustra la verica per questo caso particolare.

W0 W1

0 1/2 1

1/2

1

0

x

f(x)

E+x ∩W0

f(E+x ∩W0)

E+

f(x)∩W1

Figura 4.5: Verica che vale f(E+x ∩W0) ⊃ E+

f(x) ∩W1 per il caso particolare del punto x = (x, y) con14< x < 1

2.

In modo analogo si verica la seconda condizione della proprietà (iii). La gura 4.6 riportala verica per il caso particolare in cui x = (x, y) con 1

2 < x < 34 .

W0 W1

0 1/2 1

1/2

1

0

x

f(x) E−x ∩W1

f(E−x ∩W1)

E−f(x)

∩W0

Figura 4.6: Verica che vale f(E−x ∩ W1) ⊂ E−f(x) ∩ W0 per il caso particolare in cui x = (x, y) con

12< x < 3

4.

Siccome questa è una partizione di Markov, si ha

hKS = h = limn→∞

[Hn+1 −Hn] = limn→∞

[(n+ 1)ln 2− n ln 2] = ln 2

4.8. L' EQUAZIONE DI PERRON-FROBENIUS 65

Abbiamo quindi calcolato l'entropia di Kolmogorov-Sinai per la mappa del panettiere. Si osservache questo valore equivale all'esponente di Ljapunov calcolato per questa mappa nella sezione3.2. Il risultato è quindi in accordo con il teorema di Pesin.

4.8 L' equazione di Perron-Frobenius

Intendiamo ora introdurre l'equazione di Perron12-Frobenius13 che sarà necessaria per denirel'equazione di Boltzmann e il teorema annesso detto teorema H.

Supponiamo di avere un sistema dinamico discreto (Γ; f) che presenta sensibilità alle con-dizioni iniziali. Consideriamo inoltre di avere una distribuzione di punti nello spazio delle fasi.Dopo alcune iterazioni della mappa, la distribuzione cambia, siccome i punti si muovono nellospazio delle fasi secondo la funzione f. Vista la sensibilità alle condizioni iniziali, è impossibileprevedere l'evoluzione del sistema per tempi lunghi.Tuttavia, ci possiamo chiedere se sia possibile avere delle indicazioni di carattere probabilisticosui diversi punti dello spazio delle fasi. Ci domandiamo dunque se esista e come evolve una di-stribuzione di probabilità su Γ.

Consideriamo a tale scopo un ensemble statistico nello spazio delle fasi composto da Npunti che consideriamo delle condizioni iniziali xj0 e uniformemente distribuiti su Γ. La mappa fgenera le orbite O(xj0). Parallelamente consideriamo una partizione uniforme di Γ data da Ake consideriamo la frazione Nn,k di punti delle N orbite che all'iterazione n appartengono a Ak.Allora, posto xk il centro di Ak e |δx| la taglia di Ak, la funzione

ρn(xk) =numero di punti Nn,k in Ak in posizione xk dopo n iterazioni

numero totale di punti N per la dimensione di Ak

denisce una densità di probabilità. In altre parole, vengono generate N orbite dalle iterazionidella mappa, ciascuna contenente n elementi. Abbiamo quindi Nn punti. La funzione ρn(xk) èuna frazione in cui si divide il numero di questi punti che si trovano nell'insieme Ak per la misuradi Ak (ossia δx) e per il numero di orbite considerate, in questo caso N .

La funzione appena scritta, ρn(xk), è normalizzata, ossia

∑ρn(xk)δx =

∑Nn,kδx

Nδx= 1,

dove∑ρn(xk) è la somma delle funzioni ρn di tutti gli elementi Ak della partizione.

Nel limite N →∞ e |δx| → 0 si ha∑ρn(xk)δx→

∫Γρ(x)dx = 1.

12Oskar Perron (1880-1975) fu un matematico tedesco. Insegnò dapprima all'università di Heidelberg e poi aquella di Monaco, dove rimasse dal 1922 no alla ne dei suoi giorni. La sua attività si concentrò soprattutto nelcampo delle equazioni dierenziali.

13Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) fu un matematico tedesco conosciuto per il suo contributo allo studiodelle funzioni ellittiche e alla teoria dei gruppi. Frobenius nacque a Charlottenburg e studiò a Berlino, doveconseguì un dottorato sulla soluzione di equazioni dierenziali. Tra il 1875 e il 1892 fu professore al Politecnico diZurigo, città in cui si sposò ed ebbe dei gli. Negli ultimi anni della sua vita, tornò a Berlino, sempre lavorandocome professore.


La questione è trovare un'equazione che descriva la dinamica della densità ρn(x) quando sivaria n, ossia un'equazione che dà delle informazioni su come cambia ρn(x) con le iterazioni dellamappa. Ponendo x′ = f(x), eettuiamo il cambio di variabile

ρ(x′)dx′ =∑

x|x′=f(x)

ρ(x)dx

e quindi

ρ(x′) =∑

x|x′=f(x)

ρ(x)1

| det Df(x)| .

Se ora identichiamo ρn+1(x′) = ρ(x′) e ρn(x) = ρ(x), si ha l'equazione che descrive ladinamica della densità, che è detta equazione di Perron-Frobenius:

ρn+1(x′) =∑

x|x′=f(x)

ρn(x)1

| det Df(x)| .

Introducendo l'operatore di Perron-Frobenius

Pρ(x′) =∑

x|x′=f(x)

ρ(x)1

| det Df(x)| ,

si ottieneρn+1(x) = Pρn(x).

Quest'ultima equazione assomiglia all'applicazione denita in modo ricorsivo xn+1 = f(xn),che descrive la dinamica dei singoli punti, mentre l'equazione di Perron-Frobenius descrive ladinamica della distribuzione di probabilità, denita sulla base di un ensemble statistico di punti.

I punti ssi dell'operatore di Perron-Frobenius, ossia le densità di probabilità che soddisfanoρ∗(x) = Pρ∗(x), sono dette densità invarianti. Esse permettono di caratterizzare le misureinvarianti di un sistema dinamico, cosa che ci sarà utile nella prossima sezione.

Citeremo ora un esempio di equazione di Perron-Frobenius di un sistema dinamico, mentreun secondo esempio sarà esposto nella sezione successiva.

Nella mappa diadica, l'equazione di Perron-Frobenius vale

ρn+1(x′) =1

2

∑x|x=d−1(x′)

ρn(x′)

.Per ogni x′ ∈ [0, 1], esistono due possibili x tali che x = d−1(x′). Essi sono dati da x′ = 2x ex′ = 2x− 1, quindi

ρn+1(x′) =1

2

[ρn

(x′

2

)+ ρn

(x′ + 1

2

)].

Si osserva che la densità ρ(x) = 1, ossia costante, è l'unico punto sso normalizzato14 dell'opera-tore di Perron-Frobenius. Ciò signica che solo la distribuzione omogenea dei punti nello spaziodelle fasi possiede ρn(x) invariante.

14Infatti vi è un'altra soluzione ρ(x) = 12ma questa non è normalizzata.

4.9. L'EQUAZIONE DI BOLTZMANN PER LA MAPPA DEL PANETTIERE 67

Di conseguenza, date delle condizioni iniziali qualsiasi uniformemente distribuite su Γ, si ot-terranno densità uguali in ogni sottoinsieme di misura δx, per n→∞ e δx→ 0.

A tal proposito, si osservi la gura 4.7 che rappresenta un esperimento numerico ottenuto conExcel. In primo luogo sono state generate 72 condizioni iniziali in modo casuale. In seguito ne sonostate calcolate le orbite per le prime 45 iterazioni della mappa diadica, così da ottenere un totaledi 3 240 valori compresi tra 0 e 1. Sono poi stati creati 20 intervalli, ciascuno di misura δx = 0,05,e per ognuno di essi si è contato quanti dei 3 240 valori appartenevano al dato intervallo. Il gracodella gura 4.7 riporta dunque il numero di valori appartenenti a ogni intervallo.

Figura 4.7: Esperimento numerico della disposizione di 3 240 punti, appartenenti alle orbite di 72condizioni iniziali, nello spazio delle fasi. Graco generato con Excel.

Si nota che la distribuzione è abbastanza omogenea e che ogni intervallo contiene circa 162dei valori calcolati, ossia ogni intervallo ha circa la densità media di Γ. Questa immagine, benchésia costruita solo con le prime 45 iterazioni a causa del problema informatico già trattato alla nedella sezione 3.1, sostiene dunque quanto aermato riguardo alla densità di probabilità invariante.

4.9 L'equazione di Boltzmann per la mappa del panettiere

In meccanica statistica Boltzmann introduce la funzione di ripartizione F (x,v, t), denita sul-lo spazio delle fasi a una particella, notato Γ1, di dimensione 6. Questa funzione è tale cheF (x,v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si trovano nel volume dxdv localiz-zato attorno al punto (x,v) dello spazio delle fasi Γ1. Si osservi che, dividendo F (x,v, t)dxdvper il numero N di particelle, si ottiene una densità di probabilità f(x,v, t). Questa funzione,nel caso di un gas all'equilibrio termodinamico, è semplicemente la funzione di ripartizione diMaxwell-Boltzmann ben conosciuta.

Di grande importanza per quanto svilupperemo nel seguito è il fatto che la funzione F (x,v, t)si ottiene a partire dalla funzione di ripartizione per le N particelle. In pratica si prende la fun-zione F (x1,v1,x2,v2, . . . ,xN ,vN , t), denita sullo spazio delle fasi Γ = ΓN1 di dimensione 6N ,e la si integra su N−1 particelle, ciò che comporta una drastica riduzione del numero di variabili.

Boltzmann trovò poi un'equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale della funzioneF (x,v, t). Essa, in termini di una dettagliata analisi microscopica, è basata in particolare sullostudio delle collisioni, le quali modicano la velocità e la posizione delle particelle e provocano


quindi l'entrata e l'uscita di particelle da un dato volume nello spazio delle fasi. Inoltre questaequazione si fonda su un'importante ipotesi (Stosszahlansatz ) per la quale le particelle che en-trano in collisione non sono correlate (perdita di memoria dopo una collisione).

Lo scienziato austriaco scoprì in seguito che è possibile associare a F (x,v, t) un'appropriatafunzione H(t), denita come

H(t) =

∫ ∫F (r,v, t) ln[F (r,v, t)]drdv,

la quale possiede la proprietà di essere decrescente, cioè dHdt ≤ 0. La derivata di H(t) si annul-

la nel caso in cui F (x,v, t) è data dalla funzione di ripartizione di Maxwell-Boltzmann, ciò checorrisponde ad una situazione di equilibrio. Questo stato è caratterizzato da un bilancio nullotra le collisioni che provocano l'entrata delle particelle nel volume dello spazio delle fasi dxdv equelle che ne provocano l'uscita.

Costruiremo ora un modello simile per la mappa del panettiere. Essendo questo un mo-dello semplice, il senso sico è abbastanza limitato. Lo spazio delle fasi bidimensionale dellamappa rappresenta le 6N dimensioni di un sistema termodinamico, mentre la riduzione a unadimensione che faremo rappresenta le 6 dimensioni dello spazio ad una particella.

La funzione f, che determina l'evoluzione di un punto nella mappa del panettiere, è invertibilee la sua inversa vale

f−1(x, y) =

(x/2, 2y) se y < 1

2((x+ 1)/2, 2y − 1) se y ≥ 1

2

L'equazione di Perron-Frobenius si scrive, essendo la mappa biettiva denita nel quadrato[0, 1]2,

ρn+1(x) = ρn(f−1(x))

esplicitamente

ρn+1(x, y) =

ρn(x/2, 2y) se y < 1

2ρn((x+ 1)/2, 2y − 1) se y ≥ 1

2

.

Consideriamo una densità ridotta, integrando sulla variabile y, che rappresenta la direzioneattrattiva:

Wn(x) =

∫ 1

0ρn(x, y)dy =

∫ 12

0ρn−1(x/2, 2y)dy +

∫ 2

12

ρn−1((x+ 1)/2, 2y − 1)dy

e, ponendo il cambiamento di variabile y′ = 2y nel primo integrale e y′ = 2y − 1 nel secondo,otteniamo

Wn(x) =1

2

[∫ 1

0ρn−1(x/2, y′) + ρn−1((x+ 1)/2, y′)dy′

]=

1

2

[Wn−1

(1

2

)+Wn−1

(x+ 1

2

)].

L'equazione

Wn(x) =1

2

[Wn−1

(x2

)+Wn−1

(x+ 1

2

)]è un'equazione di Boltzmann per la mappa del panettiere: essa permette di calcolare l'evolu-zione temporale della densità di probabilità ridotta alla sola variabile x.

4.9. L'EQUAZIONE DI BOLTZMANN PER LA MAPPA DEL PANETTIERE 69

Risolviamo l'equazione di Boltzmann scrivendo Wn(x) in serie di Fourier.

Wn(x) =∞∑k=0

ak(n)e2πikx

allora

Wn+1(x) =1

2

∞∑k=0

ak(n)(e2πik x

2 + e2πik x+12

)=

1

2

∞∑k=0

ak(n)e2πik x2 (1 + eπik)

e, poiché eπik = −1 per k dispari, mentre eπik = 1 per k pari, si ottiene

Wn+1(x) =∞∑

k=0,pari

ak(n)e2πik x2 =

∞∑`=0

a2`(n)e2πi`x.

Osserviamo la perdita con un'iterazione dei termini ak con k dispari. Nella successiva iterazione,si perderanno i termini ak con k corrispondente a due volte un numero dispari e così via. Nellimite n → ∞, l'unico termine che rimane è a0 che dà W∞(x) = a0 costante. La densità diprobabilità ridotta converge verso una densità costante

W∞(x) = 1.

Si noti che si sarebbe potuto dimostrare in modo analogo che la densità per la mappa diadica ècostante nel limite n→∞.

La grandezza H introdotta da Boltzmann per il nostro modello discreto equivale a

Hn =

∫ 1

0Wn(x) ln Wn(x)dx.

L'evoluzione temporale di Hn è data da

Hn+1 =

∫ 1

0Wn+1(x) ln Wn+1(x)dx =

∫ 1

0

1

2

[Wn

(x2

)+Wn

(x+ 1

2

)]ln

1

2

[Wn

(x2

)+Wn

(x+ 1

2

)]dx.

La funzione da integrare è della forma F (a+b2 ) con F (z) = z ln z. Poiché F è convessa, vale

12(F (a) + F (b)) ≥ F (a+b

2 ) e, ponendo a = Wn(x2 ) e b = Wn(x+12 ), si ha

Hn+1 ≤1

2

∫ 1

0

[Wn

(x2

)ln Wn

(x2

)+Wn

(x+ 1

2

)ln

(x+ 1

2

)]dx.

Inne, con il cambiamento di variabile x′ = x2 nel primo termine e x′ = x+1

2 nel secondo, siottiene

Hn+1 ≤1

2

∫ 12

0Wn(x′) ln Wn(x′)dx′ +

∫ 1

12

Wn(x′) ln Wn(x′)dx′ = Hn.

Abbiamo dunque ottenuto un teorema H per la mappa del panettiere:

Hn+1 ≤ Hn.

Osserviamo che se W è costante, allora H rimane pure costante. Ciò coincide con il raggiungi-mento di una densità ridotta che descrive un punto sso, ossia lo stato di equilibrio.


4.10 Meccanica statistica e caos

Per concludere questo lavoro di maturità, metteremo in relazione la proprietà di ergodicità e dimixing con il caos.

Abbiamo detto, anché la funzione di un sistema dinamico isolato raggiunga il suo valore diequilibrio, il sistema dovrebbe essere mixing. Questa condizione porta a delle proprietà dinamichetipiche di un comportamento caotico.

In primo luogo, un sistema mixing possiede la proprietà della transitività, perché, per de-nizione, un insieme A nello spazio delle fasi, inizialmente disgiunto da un altro insieme B, siespanderà, dopo un intervallo t, su tutta la supercie di energia costante e quindi sarà tale cheAt ∩B 6= ∅.La transitività deriva dall'ergodicità, proprietà che presenta ogni sistema mixing. L'ipotesi ergo-dica comporta anche il concetto dell'eterno ritorno nel corso dell'evoluzione temporale, l'orbitadel sistema nello spazio delle fasi deve passare innitamente vicino a ogni congurazione possi-bile, ossia a ogni punto nello spazio delle fasi.

Inne un sistema mixing è anche sensibile alle condizioni iniziali. Abbiamo detto che unaregione, non importa quanto piccola essa sia, dello spazio delle fasi di un sistema mixing siespanderà, dopo un certo intervallo in modo uniforme sulla supercie di energia costante o, più ingenerale, sull'insieme invariante di Γ dove è connata la dinamica. Ciò signica che due condizioniiniziali appartenenti a questa regione si ritroveranno molto lontane nel corso dell'evoluzione delsistema. Una dierenza iniziale molto piccola è quindi amplicata: siamo di fronte al fenomenodella sensibilità alle condizioni iniziali tipico dei sistemi dinamici caotici.Questo fenomeno di espansione corrisponde più concretamente alla richiesta che la descrizionedi un sistema termodinamico in equilibrio non debba risentire molto delle condizioni iniziali cheproducono quello stato, poiché ogni regione dello spazio delle fasi (insieme di condizioni iniziali)porterà a un simile stato macroscopico del sistema all'equilibrio.

Bibliograa

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71

Indice analitico

K-system, 63Γ, 13, 15A , 41B, 42σ-algebra, 41

di Borel, 42Liber abbaci, 35Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,

2

Algebra, 41Approssimazione lineare, 16Aristotele, 2Arnold Vladimir, 33Attrattore, 7, 10, 27, 33, 38, 49

Ricostruzione, 11Descrizione matematica, 21di Lorenz, 8Strano, 18, 39, 40

Autovalore, 16, 20, 29, 31, 34, 36, 37Autovettore, 17, 21, 29, 34, 36, 52

Contrazione, 29, 34Dilatazione, 29, 34

Bacino di attrazione, 22, 39Base binaria, 27, 29, 32Bibbia, 1Biliardo, 19, 25

di Sinai, 60Birkho George, 46Boltzmann Ludwig, 44Borel Felix, 42

Calvino, 5Cantor Georg, 39Cardinalità, 39, 61Caso, 3Causa nale, 2Classe C1, 14Collisione, 44, 67Convezione atmosferica, 8Cosmo, iiiCreazione, 1

Crescita dell'informazione, 61Cristianesimo, 2

Densità, 18, 26, 32, 37, 50di probabilità, 65, 67, 68Invariante, 66

Descrizione matematica dell'ergodicità, 48Determinismo, 2, 4

Caotico, 9Laplaciano, 4

Devaney Bob, 18Dieomorsmo, 51Dimensione di Hausdor, 39Dimensione frattale, 39Dinamica newtoniana, 44Dio, 1, 2, 5Dissipazione, 7, 15, 19, 22, 39Distanza, 42Distribuzione di probabilità, 65

Eetto farfalla, 9Ensemble, 45, 47, 59, 60

Microcanonico, 45, 46, 48Entropia, 44

della partizione, 62di Boltzmann, 45di Kolmogorov-Sinai, 60

Equazionedi Boltzmann, 65di Liouville, 59di Perron-Frobenius, 65, 68Dierenziabile, 2

Equilibrio, 59, 60, 69, 70Equilibrio termodinamico, 44, 45, 56Ergodicità, 44, 48, 56, 70

nella mappa del panettiere, 52nella mappa diadica, 50nella mappa rotante, 51

Esiodo, 1Esponente di Ljapunov, 6, 18, 20, 25, 31, 36, 63Eterno ritorno, 70

Fibonacci Leonardo, 35

73

74 INDICE ANALITICO

Fourier Jean Baptiste, 51FRACMAT, 10Frobenius Ferdinand, 65Funzione

Caratteristica, 47, 48, 62di autocorrelazione, 58di correlazione, 58di ripartizione, 67di Maxwell-Boltzmann, 67

Informazione, 62

Geometria frattale, 13, 19, 39Gibbs Josiah, 55Gradi di libertà, 8, 9Gran Bretagna, 40

Hausdor Felix, 39

Indipendenza dalle condizioni iniziali, 22, 70Induismo, 2Industriale, 10Insieme

di tipo Cantor, 39Disgiunto, 42Misurabile, 41

Ipotesi ergodica, 44, 45Irreversibilità, 44, 45Islam, 2

Jacobi Carl, 16Jung Carl, iii

Kolmogorov Andrej, 60

Laplace Pierre-Simon, 3Libero arbitrio, 4Linearizzazione, 14Liouville Joseph, 59Livello macroscopico, 44Livello microscopico, 44Ljapunov Aleksander, 20Lorenz Edward, 8

Mappa, 13, 17Bidimensionale, 15del panettiere, 28, 43, 52, 55, 61, 62, 68Dissipativa, 38

di Arnold, 33, 58di classe C1, 17Diadica, 23, 43, 50, 66, 69Rotante, 42, 50, 51, 58Unidimensionale, 13

Markov Andrej, 63Matrice

Aggiunta, 21di Jacobi, 15, 20, 28, 33, 34, 39Simmetrica, 35, 37

Meccanica, 2Classica, 3, 44Deterministica, 4Statistica, 3, 41

MediaStatistica, 48, 49Temporale, 48, 49

Meteorologia, 7Metodo di Ruelle-Takens, 11Misura, 41

Finita, 42Invariante, 42

Mitologia, 1Modulo, 23Morbillo, 10

Newton Isaac, 1

Operatore di Perron-Frobenius, 66Orbita, 14, 15, 23, 46

Periodica, 13, 14, 24, 30, 34, 46, 51Attrattiva, 14, 17Densa, 18, 26, 31, 32, 37Repulsiva, 14, 17, 24Repulsiva iperbolica, 17

Parametro di risoluzione, 60Partizione, 50

Microcanonica, 45di Markov, 63, 64Generante, 63

Perdita di memoria, 68Perron Oskar, 65Pesin Yakov, 63Poincaré Henri, 9, 49Predestinazione, 5Previsioni, 5, 7, 9, 10Principio di indeterminazione di Heisenberg, 3Problema dei tre corpi, 49Proiettore, 36Punto

di equilibrio, 6, 16Fisso, 1316, 19, 23, 26, 30, 69Attrattivo, 1416, 22Iperbolico, 29Periodico, 26

INDICE ANALITICO 75

Repulsivo, 1416, 23Repulsivo iperbolico, 16

Periodico, 13, 14, 17, 31, 32, 35Ricorrente, 49Vagante, 49

Quantistica, v, 14

Relatività, vReversibilità temporale, 44Risotto, 55Ruelle David, 6Russel Bertrand, 36

San Tommaso d'Aquino, 5Sant'Agostino, 5Saturno, 7Schrödinger Erwin, 4Scomponibilità metrica, 50, 56Secondo principio della termodinamica, 44Sensibilità alle condizioni iniziali, 6, 8, 18, 46,

65, 70Caso unidimensionale, 19Mappa del panettiere, 31Mappa diadica, 25Caso bidimensionale, 20Mappa di Arnold, 36

Serie di Fourier, 51, 69Serie temporale, 11Sinai Yakov, 60Sistema

Aleatorio, 4Caotico, 9, 13, 19, 23, 28, 33, 38, 70Complesso, 5Conservativo, 15, 29, 34, 44Deterministico, 6Dinamico, 4, 6, 13Chiuso, 63Iperbolico, 63Non lineare, 13

Dissipativo, 7, 15, 39Ergodico, 46, 47, 51, 56Evoluzione, 2, 10Mixing, 55Solare, 9Stabile, 7Termodinamico, 68

Spaziodi misura, 41, 42di probabilità, 42Metrico, 42

Misurabile, 41Spazio delle fasi, 7, 8, 46, 56

Ricostruzione, 10, 11SRAMA, 11Stabilità, 7, 14, 17

del sistema solare, 9delle orbite periodiche, 34

Statodi equilibrio, 44, 70Microcanonico, 45

Stosszahlansatz, 68Successione, 30, 31, 39

di Fibonacci, 35

Tempodi ricorrenza, 49di soggiorno, 49

Teogonia, 1Teorema

H, 65, 69della ricorrenza, 49di Birkho, 46, 49, 52, 53di Pesin, 63Ergodico, 46Spettrale, 36

Thom René, 4Toro, 33, 38Transitività, 18, 25, 31, 37, 70Trasformazione

Misurabile, 42Preserva la misura, 42

Zaerano, 55

Sistemi Dinamici Caotici - Liceo Locarno · La teoria del caos ci mostra che l'evoluzione di un...

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