Integrali doppi Cambiamenti di variabile

Integrali doppi – Cambiamenti di variabile

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Estremi assoluti (I) Analisi Matematica B 1 / 28

Cambiamento di variabili

Definizione (Cambiamento di variabili)

Siano U,V ⊆ R2 due aperti. Diciamo che G : V → U e un cambiamentodi variabili di classe C 1 tra U e V se G ∈ C 1(V ), G e invertibile conG−1 : U → V di classe C 1.

Interpretazione: passiamo dalle coordinate (x , y) ∈ U alle nuovecoordinate (u, v) ∈ V definite da

x = G1(u, v), y = G2(u, v).

Jacobiano

Definizione (Jacobiano di un cambio di variabili)

Siano U,V ⊆ R2 due aperti e sia G : V → U un cambiamento di variabilidi classe C 1. Chiamiamo jacobiano di G l’applicazione JG : V → Rdefinita da

JG (u, v) = det

∂uG1(u, v) ∂vG1(u, v)

∂uG2(u, v) ∂vG2(u, v)

Teorema (Cambiamento di variabili)

Siano U,V ⊆ R2 due aperti e sia G : V → U un cambiamento di variabilidi classe C 1. Sia f : U → R una funzione integrabile e sia Ω ⊂ U uninsieme di Jordan. Allora G−1(Ω) e di Jordan e vale∫∫

Ωf (x , y) dx dy =

∫∫G−1(Ω)

f (G1(u, v),G2(u, v)) |JG (u, v)| du dv (2)

L’insieme G−1(Ω) e la controimmagine di Ω tramite l’appiczione G :

G−1(Ω) = (u, v) ∈ V : G (u, v) ∈ Ω.

Confronto con la formula di cambiamento divariabile per integrali in una variabile

Coordinate polari

Sono le coordinate (r , θ) ∈ [0,∞)× [0, 2π] definite dal cambio di variabili

x = r cos θ, y = r sin θ.

Quindi u = r , v = θ,G1(r , θ) = r cos θ e G2(r , θ) = r sin θ. Calcoliamo lojacobiano:

Esempio 1: Consideriamo l’integrale doppio∫∫Ω

1 + x2 + y2dx dy ,

doveΩ = (x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1.

Esempio 2: Consideriamo l’integrale doppio∫∫Ω

y√x2 + y2

dx dy ,

doveΩ = (x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y.

Coordinate polari generalizzateSono le coordinate (r , θ) ∈ [0,∞)× [0, 2π] definite dal cambio di variabili

x = a r cos θ, y = b r sin θ, a, b > 0.

Quindi u = r , v = θ,G1(r , θ) = ar cos θ e G2(r , θ) = br sin θ.

Calcoliamo lo jacobiano:

Esempio: Calcoliamo l’area dell’insieme

(x , y) ∈ R2 :

b2≤ 1

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