Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Integrala improprie

1 Integrala improprie de speta întâiDefinitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

2 Integrala improprie de speta douaDefinitia integralei improprii de speta douaCriterii de convergenta

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Definitia integralei improprii de speta întâi

Fie f : [a,+∞)→ R, a ∈ R.

Definitia

f se numeste integrabila pe [a,+∞) daca1. f este integrabila pe intervalul [a,b], ∀b ∈ R

2. exista si este finita limita limb→+∞

∫ b

af (x)dx. Vom nota∫ +∞

af (x)dx = lim

b→+∞

∫ b

af (x)dx . (1)

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul comparatiei

Teorema

Fie integralele∫ +∞

af (x)dx si

∫ +∞

ag(x)dx.

1. Presupunem ca sunt îndeplinite conditiile

∫ +∞

ag(x)dx este convergenta (2)

| f (x) |≤ g(x), x ≥ x1, x1 ∈ R (3)

atunci rezulta ca integrala∫ +∞

af (x)dx este absolut convergenta.

2. Daca ∫ +∞

af (x)dx este divergenta (4)

0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ≥ x2, x2 ∈ R (5)

rezulta ca integrala∫ +∞

ag(x)dx este divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul cu limita

Teorema1. Daca

limx→+∞

| f (x) | xα < +∞ si α > 1 (6)

atunci∫ +∞

af (x)dx este absolut convergenta.

2. Dacalim

x→+∞f (x)xα > 0 si α ≤ 1 (7)

atunci∫ +∞

af (x)dx este divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista

k > 0 astfel ca |∫ b

af (x)dx | ≤ k ,∀b > a

g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Criteriul lui Abel

Teorema

Fie integrala∫ +∞

af (x)g(x)dx.

Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)

g(x) monotona si marginita pe [a,∞)

atunci∫ +∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Studiati convergenta urmatoarelor integrale, iar daca esteposibil calculati limita.

1.∫ +∞

a

dx1 + x2 2.

∫ +∞

−∞

dx1 + x2 3.

∫ +∞

a

arctan x1 + x2 dx

4.∫ +∞

a

dxx ln x

,a ≥ 1 5.∫ ∞−∞

dxx2 + 4x + 9

6.∫ ∞

1

√x

(1 + x)2 dx 7.∫ +∞

a

dxx√

x2 + 1

8.∫ +∞

a

dx(x2 + a2)n 9.

∫ +∞

1

dxx√

x2 − 1

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

Studiati convergenta urmatoarelor integrale

1.∫ +∞

0

cos x1 + x2 dx 2.

∫ +∞

−∞e−x2

dx 3.∫ +∞

0

dx1 + x4

4.∫ +∞

1

dxx√

1 + x25.

∫ +∞

0

arctan xx

dx

6.∫ +∞

1

dx

2x + (x2 + 1)13 + 5

7.∫ +∞

0

xdx

(x5 + 1)12

8.∫ +∞

0

dxx2 +

3√

x4 + 19.

∫ +∞

0

x52

1 + x2 dx

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta

10.∫ +∞

c

dx√x(x − a)(x − b)

, b < a < c

11.∫ +∞

0(e−

a2

x2 − e−b2

x2 )dx

12.∫ +∞

0xµe−axdx , µ > o,a > 0

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Definitia integralei improprii de speta a doua

Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.

Definitia

Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0

2. exista si este finita limita limε→0

∫ b−ε

af (x)dx . Vom nota∫ b

af (x)dx = lim

ε→0

∫ b−ε

af (x)dx . (8)

Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b

a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Definitia integralei improprii de speta a doua

Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.

Definitia

Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0

2. exista si este finita limita limε→0

∫ b−ε

af (x)dx . Vom nota∫ b

af (x)dx = lim

ε→0

∫ b−ε

af (x)dx . (8)

Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b

a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Definitia integralei improprii de speta a doua

Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.

Definitia

Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0

2. exista si este finita limita limε→0

∫ b−ε

af (x)dx . Vom nota∫ b

af (x)dx = lim

ε→0

∫ b−ε

af (x)dx . (8)

Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b

a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Criteriu de comparatie

Teorema

Fie integralele∫ b

a f (x) si∫ b

a g(x)dx. Daca

∫ +∞

ag(x)dx este convergenta (9)

| f (x) |≤ g(x), x ∈ [c1, b), c1 ≥ a (10)

rezulta ca∫ b

af (x)dx este absolut convergenta.

Daca ∫ b

af (x)dx este divergenta (11)

0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈ [c2, b), c2 ≥ a (12)

rezulta∫ b

ag(x)dx este divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Criteriul cu limita

Teorema1. Daca

limx→b,x<b

| f (x) | (b − x)α < +∞ si α < 1 (13)

atunci∫ b

af (x)dx este absolut convergenta.

2. Dacalim

x→b,x<bf (x)(b − x)α > 0 si α ≥ 1 (14)

atunci∫ b

af (x)dx este divergenta.

Integrala improprie

Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua

Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta

Studiati convergenta urmatoarelor integrale

1.∫ 3

0

dx(x − 1)2 2.

∫ 1

0

dx√1− x2

3.∫ 1

0

xdx√1− x4

4.∫ 1

0

dx√x

5.∫ 1

2

0

dxx ln x

6.∫ 2

−1

dx√| x |

7.∫ 2

1

dxln x

8.∫ 1

−1

dx3√

1− x29.

∫ 1

0

arcsin x√1− x2

dx

10.∫ b

a

xdx√(x − a)(x − b)

11.∫ ∞

0

x ln x(1− x2)2 dx

Integrala improprie