Post on 02-Oct-2015
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1
Il potenziale elettrico Consideriamo un sistema di cariche statiche qualsiasi e indichiamo con il campo elettrico da
esso generato. Dimostriamo che la forza che agisce su una carica di prova q0
una forza conservativa.
EqFe
0
A
B
g g
eF
sd
(1)
(2)
2
(3)
A
B
g
eF
sd
q
O
dr = ds cosq
3
(5)
(4)
(6)
4
Sistema di cariche puntiformi
energia potenziale associata alla carica qi
(7)
(8)
(8)
5
Caso generale:
6
La variazione del potenziale elettrico tra due punti A e B (indicata in breve con d.d.p.):
uguale al lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica unitaria (1 Coulomb nel SI) quando si sposta
da A a B (lavoro che ovviamente non dipende dal cammino scelto, solo da A e B).
(11)
Il potenziale elettrico
(9)
(10)
7
su un qualsiasi cammino chiuso g.
Unit di misura nel sistema internazionale (SI)
g sd
eF
(12)
8
Potenziale generato da una distribuzione di cariche qualsiasi
I) Sistema di cariche puntiforme
potenziale generato dalla
carica qi nella posizione P
z
x
y
qi
O
P
q1
q2
q3
(13)
9
II) Distribuzioni continue di cariche
dV
V
a) Distribuzione di densit volumetrica r in un volume V
P
b) Distrubuzione di carica superficiale di densit s su una superficie S
S
dS
O
P
(14)
(15)
10
ds
g
O
c) Distribuzione di carica su una curva g di densit lineare l
P
Osservazione:
(16)
11
risultante delle forze su q
La variazione dellenergia potenziale di q tra A e B quindi uguale al lavoro che deve
deve compiere unagente esterno per portarla da A a B (indipendente dal cammino g scelto)
Conservazione dellenergia di una carica in un campo elettrico
costante del moto (17)
(18)
A
B
eF
extF
q g
12
La forza esterna compie un lavoro positivo se il moto della carica opposto alla
forza elettrica Fe, negativo se nella direzione di Fe.
(g cammino qualsiasi da A a B) (19)
(20)
Unit di energia usata in fisica atomica:
13
Potenziale di un campo uniforme
x x x0
linee di forza del campo
elettrico unifome
potenziale di un campo elettrico uniforme diretto come lasse x (21)
14
Campo non uniforme
g A
B
15
Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche
Calcoliamola esplicitamente per un sistema di 3 cariche:
q1 q2
lavoro L2
q1
q3
q2
lavoro L3
16
Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche (cont.)
(22)
(22)
17
Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V
(23)
vettore spostamento infinitesimo tra P e P con
(24)
(25)
18
(espressione valida in tutti i punti dello spazio)
NOTA: le derivate parziali sono sempre intese valutate
nel punto P considerato, anche se dora in poi omettiamo
di indicarlo esplicitamente nella notazione.
(26)
Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V (cont.)
(27)
19
Cenno al concetto di gradiente di una funzione
(28)
(29)
(30)
(31)
20
Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V (cont.)
21
Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale: campi a simmetria radiale
rdrsd
linee di forza
del campo
22
(13)
Verifica della relazione tra campo elettrico e il potenziale per un sistema di N cariche puntiformi
23
24
Riassumendo quanto visto finora, si possono usare tre diversi metodi per
calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche:
a) direttamente dalla legge di Coulomb (e il principio di sovrapposizione)
somma vettoriale dei contributi delle singole cariche
b) calcolando il potenziale elettrico
somma scalare dei contributi delle singole cariche
e poi ricavando il campo elettrico dalla la relazione
c) usando il teorema di Gauss
Nella pratica, questultimo metodo puo applicarsi solo per distribuzioni di cariche con un alto grado
di simmetria (ad es. sferica, cilindrica o piana). In questi casi particolari tuttavia, semplifica molto la
risoluzione del problema.
(equivalente alla legge di Coulomb)
25
Osservazione 1:
Osservazione 2:
sd
26
Superfici equipotenziali
(sup. equipotenziali)
A B
g
Il risultato vale per un qualsiasi cammino g tra A e B, che non appartiene alla
superficie S, purch i punti iniziali e finali A e B vi appartengano.
(32)
27
Superfici equipotenziali (cont.)
sd
28
Quando le superfici equipotenziali vengono mostrate graficamente a intervalli equispaziati DV come
in figura, appaiono pi fitte dove il campo piu intenso (come le linee di forza).
Superfici equipotenziali (cont.)
Per quanto visto prima, le linee di forza del campo elettrico intersecano le superfici equipotenziali
in modo ortogonale.
d A B
d
linee di forza di E sup. equipotenziali
Per un campo uniforme, sia le linee
di forza che le sup. equipotenziali sono
equispaziate e ortogonali tra loro
campo uniforme
linee di forza de E
sup. equipotenziali
29
Superfici equipotenziali e linee di forza: alcuni esempi
a) carica singola
b) dipolo elettrico
c) due cariche positive identiche
(nel punto centrale dove le superfici
equipotenziali si intersecano E=0) d) piastra carica + carica puntiforme
30
Dipolo in un campo elettrico uniforme
d
Si misura un momento di dipolo p=6.3x10-30 Cm, che corrisponde a una separazione tra i centri delle
cariche positive e negative d=p/q=6.3x10-30 Cm/10e=3.9x10-12m (circa 1/13 del raggio di Bohr a0=0.53) 31
Molecole polari (dotate di un momento di dipolo permanente)
Alcune molecole, dette polari, hanno una distribuzione assimetrica delle cariche tale
che :
centro delle cariche positive (nuclei) centro delle cariche negative (elettroni)
Si ha quindi una separazione tra il centro delle cariche positive e quello delle cariche negative
(anche in assenza di un campo elettrico esterno) e la molecola si comporta come un dipolo
elettrico.
Un esempio quello della molecola dacqua H2O: i due elettroni degli atomi di idrogeno vengono ceduti
con facilit allatomo di ossigeno, fortemente elettronegativo.
Il centro delle cariche positive si trova leggermente spostato verso i due atomi H, rispetto a quello delle
cariche negative piu vicino al nucleo dellossigeno.
equivale a +
d
+q
q
p = qd = 6.3x10-30 Cm p
con q=10e carica dei
10 protoni/elettroni
32
Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
dO
momento della coppia di un dipolo in
un campo elettrico uniforme
(33)
(34)
33
Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
(33)
P2
2112 rrr
P1
34
Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
+
+
35
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
O
sd
sd
(35)
36
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
O
sd
(36)
37
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
Energia potenziale di un dipolo
in un campo elettrico uniforme (37)
38
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
+
+ +
+
O p
p
O
39
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
U=-pEcosq
q
p
E
p
E
p
E
p
E
p
E
Equil. instabile Equil. stabile Equil. instabile coppia massima
Grafico del potenziale U in funzione della posizione angolare q (qp e qp indicano la stessa posizione)
coppia massima
40
Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)
Lavoro (negativo) dovuto all attrazione
reciproca tra le due cariche
x x+ x O