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0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Introduzione Mentre era su una piattaforma panoramica questa ragazza si accorse che i suoi capelli le si rizzavano in testa. Suo fratello, divertito, le scattò
questa foto. Cinque minuti dopo un fulmine cadde sulla piattaforma e la distrusse.
Molti fenomeni elettrici sono associati a trasferimenti di grandi quantità di energia. Per esempio, un fulmine che si abbatte a terra libera
energia per circa 108 J sotto forma di luce, calore, onde acustiche e altre vibrazioni
meccaniche. Da dove viene tutta questa energia e come è immagazzinata dentro le nuvole?
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Introduzione • L’approccio energetico allo studio della dinamica ha portato a delle semplificazioni
e ad una comprensione più profonda della materia
• Un vantaggio pratico del metodo energetico è che mentre la forza è un vettore l’energia è uno scalare
• Inoltre l’energia è connessa al lavoro compiuto dalle forze ed obbedisce ad una legge generale di conservazione
• Il metodo energetico viene esteso allo studio dell’elettrostatica.
• Si introduce l’energia potenziale elettrica ed il concetto di potenziale elettrico
• Si mostra infine che campo elettrico e potenziale elettrico sono completamente correlati; dato uno, si può ricavare l’altro
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Forze elett rostat iche e grav i taz ional i : approccio energet ico
Fe =
14πε0
q1q2r122 r̂12
Fg = −G
m1m2
r122 r̂12 Forze
forze radiali dipendenti solo dalla distanza g =
Fgm0
E =Feq0
Campi
Lab =F ⋅ds
a
b
∫
non dipende dal percorso
integrale di linea Sono forze conservative
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Forze elett rostat iche e grav i taz ional i : approccio energet ico
Il lavoro fatto da una forza conservativa nello spostamento da un punto a ad un punto b qualsiasi del campo di definizione non dipende dal percorso
Differenza di energia potenziale
U x, y, z( ) ; ΔU = −Lab ; Ub −Ua = −F ⋅ds
a
b
∫
Energia potenziale
Ub = −F ⋅ds
a
b
∫ +Ua Ua = 0(nel punto a arbitrario)
Ub = −F ⋅ds
a
b
∫
Importante differenza • Le forze gravitazionali sono solo attrattive • Le forze elettrostatiche sono attrattive e repulsive
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Differenza di energia potenziale elettr ica
particella mobile da a a b
integrale indipendente dal cammino Ub −Ua = −Lab = −
F ⋅ds
a
b
∫ = −qE ⋅ds
a
b
∫
campo elettrico generato da una distribuzione di cariche
Sistema di due cariche (Lavoro = lavoro della forza elettrica)
Lab < 0 ΔU > 0 ULab > 0 ΔU < 0 U
aumenta [sistema immagazzina]
diminuisce [sistema rilascia]
segni opposti (attrazione)
si allontanano
si avvicinano
Lab > 0 ΔU < 0 ULab < 0 ΔU > 0 U
diminuisce [sistema rilascia]
aumenta [sistema immagazzina]
segni uguali (repulsione)
si allontanano
si avvicinano sistema immagazzina E => energia che arriva al sistema da lavoro esterno
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Energia potenziale di due cariche
Ub −Ua = −q2E ⋅ds
a
b
∫ = −q2 Ex
i ⋅dr
i
ra
rb
∫ = −q2 Ex drra
rb
∫
Ub −Ua = −14πε0
q1q2drr2ra
rb
∫ =14πε0
q1q21rb−1ra
$
%&
'
()
• Vale per qualsiasi combinazione di segni delle cariche • Vale per qualsiasi a e b • Vale per qualsiasi cammino che unisce a e b
differenza di energia potenziale
Ua = 0 quando ra =∞ arbitrariamente
Energia potenziale elettrica
U r( ) = 14πε0
q1q2r
Energia potenziale gravitazionale U r( ) = −G m1m2
r
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Energia potenziale di un sistema di cariche (car iche punt i fo rmi t ra t tenute in pos iz ion i fisse da fo rze “esterne” )
U r( ) = 14πε0
q1q2r12
+14πε0
q1q3r13
+14πε0
q2q3r23
• L’energia potenziale è una proprietà del sistema non di ogni singola carica
• L’energia potenziale è una quantità scalare
si trasporta la carica q2 dall’infinito
Le ≠ 0 Le =U =14πε0
q1q2r12
Interpretazione dell’energia potenziale di un sistema
Le = 0 U = 0
si trasporta la carica q1 dall’infinito
lavoro di un agente esterno
si trasporta la carica q3 dall’infinito
Le ≠ 0 Le =14πε0
q1q3r13
+14πε0
q2q3r23
U =14πε0
q1q2r12
+14πε0
q1q3r13
+14πε0
q2q3r23
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Energia potenziale di un sistema di cariche
L’energia potenziale elettrica di un sistema di particelle puntiformi fisse è uguale al lavoro che un agente esterno deve fornire per aggregare il sistema stesso, trasportando ogni carica nella sua posizione da una distanza infinita
U =14πε0
+q( ) −4q( )d
++q( ) +2q( )
d+−4q( ) +2q( )
d"
#$
%
&'=
−10q2
4πε0d=
= − 8.99 ⋅109Nm2 / C2( )10( ) 150 ⋅10−9C( )
2
0,12m= −1, 7 ⋅10−2 J = −17mJ
r1=r2=r3=d=12 cm, q1=+q, q2=-4q, q3=+2q, q=150 nC
esempio
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
I l potenziale elettr ico Sistema di due cariche
Forza elettrica Campo elettrico (forza per unità di carica)
F = 1
4πε0qqor2
r̂E =Fq0=
14πε0
qr2r̂
associato alla carica q
Energia potenziale elettrica U =14πε0
qqor Potenziale elettrico V =
Uq0=
14πε0
qr
Sistema di più cariche fisse
Potenziale elettrico nel punto P originato dal
sistema di cariche VP =
UP
q0
grandezza scalare
indipendente dal valore di q0 (positiva) Distribuzione carica positiva: per portare da infinito una carica qo di prova positiva, lavoro negativo à energia positiva
Potenziale elettrico nei pressi di una carica positiva è positivo (carica negativa è potenziale negativo) Se in un punto il potenziale è nullo non è detto che lo sia anche il campo!
(per esempio nel punto a metà strada tra due cariche opposte) Sarà invece nullo il lavoro complessivo per portarvi una carica dall’infinito (forza e spostamento perp.)
Metodo operativo di misura del potenziale
P UP U∞ = 0
q0
L = -UP
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
I l potenziale elettr ico Differenza di potenziale elettrico
ΔV =Vb −Va =Ub −Ua
q0
Vb >Va[lavoro del campo negativo]
[lavoro esterno positivo]
Vb <Va[lavoro del campo positivo]
[lavoro esterno negativo]
Unità di misura del potenziale elettrico
VP =UP
q0joule
coulomb= volt
!
"#$
%& (tensione) ΔU joule( ) = q coulomb( )ΔV volt( )
ΔU elettronvolt( ) = q e( )ΔV volt( )
1elettronvolt =1e ⋅1V = 1,60 ⋅10-19 C( ) 1J/C( ) =1,60 ⋅10-19 J
Invece di riferirsi ad un punto all’infinito, è spesso preferibile determinare la differenza tra due punti
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Calcolo del potenziale dato i l campo Campo uniforme e cammino rettilineo
Lab =F ⋅ds
a
b
∫ = FxΔx = −q0E( ) D( ) = −q0ED
ΔU = −Lab ; Vb −Va =Ub −Ua
q0
=−Labq0
= ED (>0 ⇒Vb >Va )
Caso generale
Lab =F ⋅ds
a
b
∫ = q0E ⋅ds
a
b
∫
integrale di linea
Vb −Va =Ub −Ua
q0=−Labq0
= −E ⋅ds
a
b
∫
indipendente dal cammino
E = Vb −VaD
voltm
=NC
"
#$%
&'
a punto di riferimento all’infinito (per convenzione Vinf = 0)
Vb = −E ⋅ds
∞
b
∫ integrale di linea del campo
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Vb =14πε0
qr
q > 0 q < 0
Il potenziale non dipende dalla carica di prova q0
Potenziale di una carica puntiforme Cammino radiale Vb −Va = −
E ⋅ds
a
b
∫ = − Edrra
rb
∫
• Vale per tutti i cammini da a a b • Vale anche per punti qualsiasi a e c
Vb −Va = −q4πε0
drr2ra
rb
∫ =q4πε0
1rb−1ra
#
$%
&
'(
Punto a di riferimento all’infinito
ra →∞ e Va = 0
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Esempi Quale deve essere il valore di una carica puntiforme positiva isolata affinché il potenziale elettrico a 15 cm sia 120 V?
q =V4πε0r = 120V( ) 4π( ) 8,9 ⋅10−12 C2 / Nm2( ) 0,15m( ) = 2,0nC
Carica paragonabile alle cariche prodotte per attrito, per esempio strofinando un palloncino
Vb =14πε0
qr= 8,99 ⋅109 Nm2 / C2( )
79( ) 1,6 ⋅10−19 C( )7,0 ⋅10−15 m
=1,6 ⋅107 V
Quale è il potenziale elettrico alla superficie di un nucleo di oro. (Z=79e; R=7,0 10-15 m)
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Potenziale di un insieme di cariche puntiformi P VP
VP = Vii=1
N
∑ =14πε0
qirii
∑
VP =V1 +V2 +V3 +.....+VNSomma algebrica di scalari
p; p = qd
Principio di sovrapposizione applicato ai potenziali
Potenziale di dipolo
p!
VP = Vi =i∑ V1 +V2 =
14πε0
qr1+−qr2
#
$%
&
'(=
q4πε0
r2 − r1r1r2
r >> d r2 − r1 ≈ d cosθ r1r2 ≈ r2
momento di dipolo elettrico indotto
VP =q4πε0
d cosθr2
=14πε0
pcosθr2
=14πε0
p ⋅ rr3
(V = 0 per θ= 90°)
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Potenziale di quadrupolo
VP = Vii∑ =
14πε0
qr − d
+−2qr
+q
r + d#
$%
&
'(=
=14πε0
2d 2qr r2 − d 2( )
=14πε0
2d 2qr3 1− d 2 / r2( )
d << r VP =14πε0
2qd 2
r3=
14πε0
Qr3
momento di quadrupolo
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I l potenziale di distr ibuzioni continue di cariche • Stesso metodo utilizzato per il calcolo del campo elettrico • Il potenziale è uno scalare • Il calcolo è più semplice, non si tiene conto delle direzioni
dV =14πε0
dqr
→dq = λ dsdq =σ dAdq = ρ dV
carica lineare carica superficiale carica di volume
V =14πε0
dqr=∫ 14πε0
qR2 + z2
Anello uniformemente carico
(anello)
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
I l potenziale di distr ibuzioni continue di cariche Disco circolare uniformemente carico
dq =σ 2πw( )dw
dV =14πε0
dqr=
14πε0
σ 2πwdww2 + z2
z >> R R2 + z2 = z 1+ R2
z2!
"#
$
%&
12= z 1+ R2
2z2+.....
!
"#
$
%& ≈ z+
R2
2z
V = dV =∫ =σ4ε0
w2 + z2( )−12 2wdw
0
R
∫ =σ4ε0
0
R
w2 + z2( )12
12
#
$
%%%
&
'
(((
V =σ2ε0
R2 + z2 − z( ) (disco)
V =σ2ε0
z+ R2
2z− z
"
#$
%
&'=
σπR2
4πε0z=
14πε0
qz
carica puntiforme
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Superfici equipotenzial i Rappresentazioni del campo tramite linee di forza e superfici equipotenziali
campo elettrico uniforme piani paralleli nello spazio carica puntiforme
superfici sferiche nello spazio dipolo elettrico
Superfici equipotenziali a differenza di potenziale costante (ma non sempre a distanza costante)
A B1
B2
Vb −Va = −!E ⋅d!s
a
b
∫
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Superfici equipotenzial i Quando una carica di prova si sposta su una superficie equipotenziale il campo non compie lavoro
ΔV =ΔUq0
=−Labq0
Il risultato vale indipendentemente dal cammino percorso
• Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo quindi al campo elettrico
• Se così non fosse il campo avrebbe una componente parallela alle superfici equipotenziali, quindi muovendosi lungo una linea della superficie il lavoro del campo non sarebbe nullo (contraddizione!)
1 → Lab = 02 → Lab = 03 → Lab = − VB −VA( )q04 → Lab = − VB −VA( )q0
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Calcolo del campo dato i l potenziale Lavoro fatto dal campo nello spostamento ds
dL = −q0dV ; dL =F ⋅ds = q0
E ⋅ds
−q0dV = q0Edscosθ ; E cosθ = − dVds
Es = −dVds
voltmetro"
#$%
&'
Componente di nella direzione
Eds
E è rivolto verso V decrescenti
derivata direzionale di V
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Calcolo del campo dato i l potenziale • Quando è diretto come (direzione e verso)
Eds Es è massimo
E = −dVds
"
#$
%
&'max
E = Es
gradiente di V
Si ha valore massimo della derivata direzionale quando la direzione di è perpendicolare (cosθ = 1) alla superficie equipotenziale
ds
• Se coincide, di volta in volta, con le direzioni degli assi x,y,z ds
Ex = −∂V∂x
; Ey = −∂V∂y
; Ez = −∂V∂z
E = −∂V
∂x
i − ∂V
∂y
j − ∂V
∂z
k
∇ =
∂∂x
i + ∂
∂y
j + ∂
∂z
k ;
E = −
∇V = −gradVOperatore differenziale (nabla)
Dato il campo si ottiene il potenziale tramite integrazione Dato il potenziale V(x,y,z) si ottiene il campo tramite un gradiente
E
E
V = −E ⋅ds∫
E = −
∇V
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Esempio
V =σ2ε0
R2 + z2 − z( )
Ez = −∂V∂z
= −σ2ε0
ddz
R2 + z2( )1/2− z( )
Ez =σ2ε0
1− zR2 + z2
"
#$$
%
&''
Utilizzando l’espressione del potenziale assiale di un disco uniformemente carico, calcolare il campo elettrico
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
I l conduttore isolato in termini di potenziale
Una carica in eccesso su un conduttore isolato si sposta tutta sulla superficie esterna
Dalla legge di Gauss
In termini di potenziale elettrico Una carica in eccesso posta su un conduttore isolato si distribuisce sulla superficie in modo che tutti i punti del conduttore, sulla superficie e all’interno, assumano il medesimo potenziale
• Non vi sono correnti in un conduttore isolato • Se vi fossero punti a potenziale diverso le cariche libere si sposterebbero • Il campo elettrico vicino alla superficie di un conduttore è perpendicolare alla superficie. La
superficie di un conduttore è equipotenziale.
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Guscio sfer ico conduttore isolato (o sfera condutt t r ice piena)
q=1,0 µC; R=1,0 m
potenziale
campo elettrico
E = −∂V∂r
Conduttore in un campo esterno
0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)
Esempi In un conduttore isolato, anche avente delle cavità al suo interno, la carica in eccesso si distribuisce sulla superficie in modo da annullare il campo elettrico all’interno
V =14πε0
q1R1=
14πε0
q2R2
→q1q2=R1R2
σ1σ 2
=q1 / 4πR1
2
q2 / 4πR22 =
q1R22
q2R12 →
σ1σ 2
=R2R1
Scarica per effetto corona
http://www.youtube.com/watch?v=Bm75yKLkvXc
(densità superficiale #dipende dalla forma)
https://www.youtube.com/watch?v=mZSu-Qf2JME