I concetti di basesulle equazioni

frazionarie© 2013 Gustavo Mezzetti

Ist. mag. st. «A. di Savoia Duca d’Aosta» di Padova

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Parte di questa presentazioneè stata realizzata durante la giornata di protesta

dei docenti delle scuole padovanedel 18 dicembre 2012.

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Questa giornataè una delle numerose iniziative

volte a far conoscere il prezioso lavorosvolto dai docenti,

il quale va molto oltre le 18 ore settimanalidi lezione frontale in classe.

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Lo scopo di questa presentazione è di chiarire gli aspetti concettuali che riguardano le equazioni algebriche frazionarie (o fratte) e la loro risoluzione.

Come sempre, infatti, imparare solo a risolvere meccanica-mente gli esercizi, senza aver chiari i concetti, serve a poco.

Prima di trattare le equazioni frazionarie, vogliamo anche riprendere i concetti riguardanti le equazioni in generale:

che cos’è una soluzione di un’equazione;cosa vuol dire risolvere un’equazione;ecc. ecc.

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Sulle equazioniin generale

Intervallo

Sulle equazionifrazionarie

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Sulle equazioniin generale

Sulle equazioni in generaleÈ importante rivedere i concetti di base sulle equazioni perché alla scuola media inferiore si impara a risolvere un solo tipo di esercizio, che non fa capire bene la questione.

Se si chiede a un alunno fresco di media inferiore che cosa voglia dire risolvere un’equazione, praticamente sempre risponderà che significa «trovare il valore della x».

Vediamo perché quest’idea è troppo semplicistica.

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Ricordiamo che una equazione (in una sola incognita) è un’uguaglianza fra due espressioni contenenti un’incognita:

L’incognita x rappresenta un “valore numerico sconosciuto”.

Intuitivamente, il problema che ci si pone è quello di trovare “i valori” (non è detto che ce ne sia uno solo!) tali che…

F(x) = G(x)Prima espressione Seconda espressione

Incognita

… se li si sostituisce al posto dell’incognita e si eseguono le operazioni indicate dalle due espressioni, si ottiene una uguaglianza vera.

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F(x) = G(x)

… se li si sostituisce al posto dell’incognita e si eseguono le operazioni indicate dalle due espressioni, si ottiene una uguaglianza vera.

Ci si pone il problema di trovare “i valori” tali che…

Ciò sottointende che l’incognita x indichi qualcosa per cui ha senso eseguire tutte le operazioni indicate da F(x) e G(x).

I valori da sostituire a x dovranno quindi essere “pescati”da un opportuno insieme numerico.

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Vediamo un altro aspetto collegato a questo problema dell’insieme dal quale “pescare” i valori dell’incognita.

Problema: il papà di Anna e di Bruno ha 20 caramelle e le vuole distribuire fra loro due in modo che Anna abbia il doppio delle caramelle di Bruno.Quante caramelle dà a ciascuno?

2x = numero di caramelle date a Bruno,2x = numero di caramelle date ad Anna; allora

2x + x = 202x + x = 20

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2x + x = 20

L’equazione 2x + x = 20, cioè 3x = 20, non ha soluzioni nell’insieme dei numeri naturali!

Quindi, il problema posto non ha alcuna soluzione.

Si noti che la condizione che l’incognita x debba indicare un numero naturale è posta dalla natura stessa del problema.

In altre parole, anche l’insieme dal quale “pescare” i valori da attribuire all’incognita, fra i quali si trovano le eventuali soluzioni dell’equazione, fa parte dei dati del problema.

Ma x dev’essere un numero naturale (sono caramelle)!

20 non è multiplo di 3.

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Siamo ora pronti a definire con precisione il concetto di soluzione di un’equazione.

Dati:un’uguaglianza contenente una incognita F(x) = G(x);un insieme A (“ambiente” in cui cercare le soluzioni);

chiameremo soluzione dell’equazione data qualsiasi numero, preso dall’insieme A, che, sostituito al posto della incognita nell’equazione, la rende un’uguaglianza vera.

In generale, un’equazione può avere diverse soluzioni!

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Riconoscere se un numero dato è o non è soluzione di un’equazione data è banale:

basta sostituire quel numero all’incognita e controllare se l’uguaglianza risulta soddisfatta.

Risolvere un’equazione vuol dire una cosa ben più difficile:dati un’equazione e un insieme “ambiente” A…… si vogliono trovare tutti gli elementi di A che sono soluzioni dell’equazione data.In altre parole, si vuole ritagliare dentro l’insieme A il suo sottoinsieme S formato da tutte e sole le soluzioni.

… i quali ora non sono dati!

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3x-2 = x

Per comprendere al meglio il primo problema, quello banale, immaginate una macchina dotata di due lampadine, una rossa e una verde, e di due ingressi.

Negli ingressi si inseriscono una equazione e un numero:

se il numero è soluzione della equazione, la macchina accende la lampadina verde;se il numero non è soluzione, accende la lampadina rossa.

33-2 = 3?Sì!

31-2 = 1?No!

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Il secondo problema (risolvere un’equazione) è invece ben rappresentato da una macchina con due ingressi e un’uscita.

Nei due ingressi si inseriscono un’equazione e un insieme A.

La macchina fa dei conti “misteriosi” e manda all’uscita il sottoinsieme S di A costituito dalle soluzioni dell’equazione.

In questo caso spetta alla macchina fabbricare le soluzioni.

ℤx3 = 4x

{ -2; 0; 2 }{ -2; 0; 2 }

SA

Tutte e solele soluzioni.

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{-2/3}3x + 2 = 0

ℚ

Negli esercizi di risoluzione delle equazioni, voi siete al posto di questa «macchina con due ingressi e un’uscita».

Vi si chiede come risposta l’insieme delle soluzioni S.

Sappiate che, se scrivete “a caso” un’equazione, il compito di individuarne esattamente le soluzioni è di solito impossibile.

Imparerete a risolvere solo certi tipi particolari di equazioni.

{-2/3}Dati ⬊ ⬋ Risposta

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ARipetiamo ancora una volta che l’insieme S delle soluzioni deve essere un sottoinsieme dello insieme “ambiente” A (dato).

Concettualmente, dunque, la risoluzione di un’equazione procede così:

dato l’insieme A…… si ritaglia dentro di esso l’insieme S delle soluzioni.

S

Ricordate

questa figura!

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Dato un insieme A (“ambiente” in cui cercare le soluzioni), due equazioni si dicono equivalenti in A se i sotto-insiemi di A formati dalle rispettive soluzioni sono uguali…

… (cioè, le due equazioni hanno le stesse soluzioni in A).

Ricordiamo che il procedimento che avete imparato per risolvere un’equazione prevede che essa venga trasformata in equazioni equivalenti via via più semplici…

… finché si ottiene un’equazione talmente semplice che si sa dire “a vista” qual è il suo insieme delle soluzioni.

Intervallo

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Sulle equazioni frazionarie

Sulle equazioni frazionarieLe equazioni frazionarie rientrano nella famiglia delle equazioni algebriche razionali.

Ricordiamo che un’equazione si dice algebrica razionale se è (equivalente a) un’equazione della forma

con R(x) funzione razionale, cioè una frazione algebrica.

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R(x) = 0

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Informalmente, un’equazione si dice frazionaria(o fratta) quando l’incognita “appare a denominatore”.

Per esempio, la seguente equazione è frazionaria:

Naturalmente, la presenza di denominatori puramente numerici non rende frazionaria un’equazione:

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Le equazioni frazionarie presentano un problema che non si presentava nelle equazioni intere.

Abbiamo detto che ciò che va sostituito all’incognita deve essere qualcosa per cui abbia senso eseguire tutte le operazioni che l’equazione prescrive per l’incognita stessa.

Nelle equazioni intere, qualsiasi numero può essere sosti-tuito all’incognita, e le operazioni si eseguono senz’altro.

Ma se l’incognita compare a denominatore, non è più detto che tutte le operazioni (incluse le divisioni) siano possibili.

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A seconda del numero che si sostituisce al posto dell’incognita, possono infatti succedere tre cose:1) il numero sostituito (p.e., 3)

rende vera l’uguaglianza;2) il numero sostituito (p.e., 2)

rende falsa l’uguaglianza;3) il numero sostituito (p.e., 1)

rende l’uguaglianza priva di significato.

Divisione

per zero! ?!?

Sì!

No!

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È evidente che solo nel caso 1 (l’equazione si tramuta in una uguaglianza vera) il numero sostituito si può considerare una soluzione.

Nei casi 2 (uguaglianza falsa) e 3 (uguaglianza priva di significato), il numero sostituito non è una soluzione, ma ciò accade per ragioni diverse nei due casi.

Questo ha delle conseguenze nel procedimento risolutivo:quando si “ritaglia” l’insieme delle soluzioni, i numeri che ricadono, rispettivamente, nei casi 3 e 2 vengono “tagliati fuori” in due fasi diverse.

Qualcuno vuole sostenere il contrario?

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ASi dice dominio dell’equazione (qui indicato con D) il sottoinsie-me dell’insieme “ambiente” A formato da quei numeri che, sostituiti al posto dell’incognita, danno luogo a un’uguaglianza che ha significato.

L’insieme S delle soluzioni deve essere un sottoinsieme del dominio D. Vi ricorda

qualcosa?

D

Non importase vera o falsa. S

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A Dato l’insieme “ambiente” A…

… nelle equazioni fratte la ricerca dell’insieme S delle soluzioni procede in due stadi successivi:1) si determina il dominio D;2) dentro D si ritaglia l’insieme

delle soluzioni S.

D

S

Il motivo per cui bisogna procedere così è legato all’utilizzo appropriato dei principi di equivalenza: vediamo perché.

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Nella risoluzione di equazioni con denominatori numericisi applicava il secondo principio di equivalenza…

… il quale consente di molti-plicare ambo i membri per uno stesso numero ≠ 0.

Ora che i denominatori possono contenenere l’incognita, servirebbe un principio di equivalenza analogo che consenta di moltiplicare per espressioni dipendenti dall’incognita.

Condizione

cruciale!

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Purtroppo, non si può garantire che, moltiplicando per una tale espressione, si ottenga un’equazione equivalente in A a quella data.

Vediamo un esempio:un’equazione frattache, moltiplicata per una quantità dipen-dente dall’incognita,si trasforma in una non equivalente.

A proposito, che fine fa la condizione «≠ 0»?

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Se fossero equivalenti, avrebbero le stesse soluz.

Però, sostituendo 1:l’equazione intera è verificata (1 è soluz.);l’equazione fratta è priva di significato (1 non è soluzione).

Dunque, le due equazioni non sono equivalenti!

Fratta:

Intera:

Intera:

Fratta:

Sì!

?!?

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Ma anche se possono non essere equivalenti in A, le due equazioni lo sono senz’altro nel dominio D.

Fratta:

Intera:

(Ciò non è difficile da verificare, ma non approfondiamo.)

Quindi, le soluzioni che si trovano risolvendo l’equazione intera ottenuta sono anche soluzioni di quella fratta data…

… a patto di controllare, per ciascuna di esse, che apparten-gano al dominio D (precedentemente determinato).

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Dei dettagli del procedimento risolutivo, però, parleremo con calma nella prossima lezione.

Qui volevamo solo porre le basi concettuali che ci permettano di capire perché il procedimento è formulato in quel modo.

Il punto essenziale è quello di ricordarsi di controllare che le soluzioni trovate appartengano al dominio dell’equazione.

Vedrete che, anche se la teoria può forse un po’ disorientare all’inizio, in pratica il procedimento per risolvere gli esercizi si riduce a poche regolette molto semplici.

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