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Urto in una dimensione -Urto centrale• L’urto centrale avviene quando il parametro

d’urto b è nullo.– Le forze sono dirette lungo la congiungente delle

due particelle– Che coincide con la retta di azione della velocità

iniziale

• Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale

– Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali

– Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle

• L’uro centrale è un urto unidimensionale.

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x

12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale.Se l’urto è elastico si può aggiungere:

v1

bm1 m2

v1

m1 m2

x

Urto centrale

Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite:Il sistema ammette soluzione

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Urto centrale elastico-bersaglio fermo

• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2v'2x

2

• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

v1x +v'1x( )=v'2x

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v1x +v'1x( )v1x +v'1x( )=v'2x

v1x m1 −m2( ) =v'1x m1 +m2( )v1x +v'1x( )=v'2x

v'1x=v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

v1x +v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =v'2x

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

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Urto centrale elastico: casi particolari

• La particella bersaglio, dopo l’urto si muoverà sempre nello stesso verso della particella incidente

• La particella proiettile invece

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

• In caso di forti asimmetrie:

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

procede nello stesso verso che aveva prima dell'urto se m1 >m2

procede in verso opposto a quello che aveva prima dell'urto se m1 <m2

si fermase m1 =m2

m1 >>m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1xm1

m1

=v1x v'2x=v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m1

=2v1x

m1 <<m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1x−m2

m2

=−v1x v'2x =v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m2

≈0

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Applicazione

• Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è 0.13. A riesce a fermarsi, ma Be che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata.

• Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto.• E la velocità della vettura B prima dell’urto.

ΔK =WP +WN

=01 2 4 3 4 +WFa

=WFa

P

N

Fa

WFa=−FaΔx =−μmgΔx

K f −K i =0−12

mv2 =−μmgΔx

v = 2μgΔx

vA = 2×0.13×9.81×8.2 =4.6ms

vB = 2×0.13×9.81×6.1=3.9ms

mBvo =mBvB +mAvA ⇒ vo =mBvB +mAvA

mB

=1400×4.6+1100×3.9

1400=7.6m

S

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Urto centrale elastico-bersaglio mobile• In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella

della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle.

• Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

v2

Urto centrale

• Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato:

m1v1x +m2v2x =m1v'1x+m2v'2x

12

m1v1x2 +

12

m2v2x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v'2x −v2x( )

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2 v'2x

2 −v2x2

( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

m1 =m2 ⇒v'1x=v2x

v'2x =v1x

• Se le particelle hanno la stessa massa, nell’urto si scambiano le velocità

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Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

v'1=v'2=vCM =m1v1 +m2v2

m1 +m2

=2.0×10+5.0×3

7.0=

35.07.0

=5ms

• Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto all’altro

– Prima della massima compresione si sono avvicinati– Successivamente si allontanano– La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa– Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a

quella iniziale:

– La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla

12

m1v12 +

12

m2v22 −

12

m1 +m2( )vCM2 =

12

k Δx( )2 Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

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Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

– Da cui

Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

Δx =2×100+5×9−7×25

1120=

701120

=116

=14

=.25m

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

=1047

+3.037

=497

=7ms

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

=10−37

+3.0107

=0ms

– Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico: