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G.M. - Informatica B- Automazione 2002/03 Urto in una dimensione - Urto centrale L’urto centrale avviene quando il parametro d’urto b è nullo. Le forze sono dirette lungo la congiungente delle due particelle Che coincide con la retta di azione della velocità iniziale Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle L’uro centrale è un urto unidimensionale. r P 1i + r P 2i = r P 1f + r P 2f m 1 v 1x =m 1 v' 1x +m 2 v' 2x 1 2 m 1 v 1x 2 = 1 2 m 1 v' 1x 2 + 1 2 m 2 v' 2x 2 Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale. Se l’urto è elastico si può aggiungere: v 1 b m 1 m 2 v 1 m 1 m 2 x Urto centrale Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite: Il sistema ammette

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Urto in una dimensione -Urto centrale• L’urto centrale avviene quando il parametro

d’urto b è nullo.– Le forze sono dirette lungo la congiungente delle

due particelle– Che coincide con la retta di azione della velocità

iniziale

• Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale

– Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali

– Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle

• L’uro centrale è un urto unidimensionale.

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x

12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale.Se l’urto è elastico si può aggiungere:

v1

bm1 m2

v1

m1 m2

x

Urto centrale

Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite:Il sistema ammette soluzione

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Urto centrale elastico-bersaglio fermo

• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2v'2x

2

• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

v1x +v'1x( )=v'2x

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v1x +v'1x( )v1x +v'1x( )=v'2x

v1x m1 −m2( ) =v'1x m1 +m2( )v1x +v'1x( )=v'2x

v'1x=v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

v1x +v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =v'2x

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

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Urto centrale elastico: casi particolari

• La particella bersaglio, dopo l’urto si muoverà sempre nello stesso verso della particella incidente

• La particella proiettile invece

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

• In caso di forti asimmetrie:

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

procede nello stesso verso che aveva prima dell'urto se m1 >m2

procede in verso opposto a quello che aveva prima dell'urto se m1 <m2

si fermase m1 =m2

m1 >>m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1xm1

m1

=v1x v'2x=v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m1

=2v1x

m1 <<m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1x−m2

m2

=−v1x v'2x =v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m2

≈0

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Applicazione

• Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è 0.13. A riesce a fermarsi, ma Be che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata.

• Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto.• E la velocità della vettura B prima dell’urto.

ΔK =WP +WN

=01 2 4 3 4 +WFa

=WFa

P

N

Fa

WFa=−FaΔx =−μmgΔx

K f −K i =0−12

mv2 =−μmgΔx

v = 2μgΔx

vA = 2×0.13×9.81×8.2 =4.6ms

vB = 2×0.13×9.81×6.1=3.9ms

mBvo =mBvB +mAvA ⇒ vo =mBvB +mAvA

mB

=1400×4.6+1100×3.9

1400=7.6m

S

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Urto centrale elastico-bersaglio mobile• In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella

della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle.

• Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

v2

Urto centrale

• Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato:

m1v1x +m2v2x =m1v'1x+m2v'2x

12

m1v1x2 +

12

m2v2x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v'2x −v2x( )

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2 v'2x

2 −v2x2

( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

m1 =m2 ⇒v'1x=v2x

v'2x =v1x

• Se le particelle hanno la stessa massa, nell’urto si scambiano le velocità

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Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

v'1=v'2=vCM =m1v1 +m2v2

m1 +m2

=2.0×10+5.0×3

7.0=

35.07.0

=5ms

• Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto all’altro

– Prima della massima compresione si sono avvicinati– Successivamente si allontanano– La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa– Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a

quella iniziale:

– La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla

12

m1v12 +

12

m2v22 −

12

m1 +m2( )vCM2 =

12

k Δx( )2 Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

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Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

– Da cui

Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

Δx =2×100+5×9−7×25

1120=

701120

=116

=14

=.25m

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

=1047

+3.037

=497

=7ms

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

=10−37

+3.0107

=0ms

– Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico: