G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Urto in una dimensione -Urto centrale Lurto centrale...
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Urto in una dimensione -Urto centrale• L’urto centrale avviene quando il parametro
d’urto b è nullo.– Le forze sono dirette lungo la congiungente delle
due particelle– Che coincide con la retta di azione della velocità
iniziale
• Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale
– Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali
– Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle
• L’uro centrale è un urto unidimensionale.
r P 1i +
r P 2i =
r P 1f +
r P 2f
m1v1x =m1v'1x +m2v'2x
12
m1v1x2 =
12
m1v'1x2 +
12
m2v'2x2
Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale.Se l’urto è elastico si può aggiungere:
v1
bm1 m2
v1
m1 m2
x
Urto centrale
Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite:Il sistema ammette soluzione
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Urto centrale elastico-bersaglio fermo
• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma:
r P 1i +
r P 2i =
r P 1f +
r P 2f
v1
m1 m2
x
Urto centrale
m1v1x =m1v'1x +m2v'2x12
m1v1x2 =
12
m1v'1x2 +
12
m2v'2x2
m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x
m1 v1x2 −v'1x
2( ) =m2v'2x
2
• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:
m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x
v1x +v'1x( )=v'2x
m1 v1x −v'1x( ) =m2 v1x +v'1x( )v1x +v'1x( )=v'2x
v1x m1 −m2( ) =v'1x m1 +m2( )v1x +v'1x( )=v'2x
v'1x=v1xm1 −m2( )m1 +m2( )
v1x +v1xm1 −m2( )m1 +m2( )
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =v'2x
v'1x=v1x
m1 −m2( )m1 +m2( )
v'2x =v1x2m1
m1 +m2( )
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Urto centrale elastico: casi particolari
• La particella bersaglio, dopo l’urto si muoverà sempre nello stesso verso della particella incidente
• La particella proiettile invece
r P 1i +
r P 2i =
r P 1f +
r P 2f
v1
m1 m2
x
Urto centrale
• In caso di forti asimmetrie:
v'1x=v1x
m1 −m2( )m1 +m2( )
v'2x =v1x2m1
m1 +m2( )
procede nello stesso verso che aveva prima dell'urto se m1 >m2
procede in verso opposto a quello che aveva prima dell'urto se m1 <m2
si fermase m1 =m2
m1 >>m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2
m1 +m2
≈v1xm1
m1
=v1x v'2x=v1x2m1
m1 +m2
≈v1x2m1
m1
=2v1x
m1 <<m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2
m1 +m2
≈v1x−m2
m2
=−v1x v'2x =v1x2m1
m1 +m2
≈v1x2m1
m2
≈0
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Applicazione
• Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è 0.13. A riesce a fermarsi, ma Be che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata.
• Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto.• E la velocità della vettura B prima dell’urto.
ΔK =WP +WN
=01 2 4 3 4 +WFa
=WFa
P
N
Fa
WFa=−FaΔx =−μmgΔx
K f −K i =0−12
mv2 =−μmgΔx
v = 2μgΔx
vA = 2×0.13×9.81×8.2 =4.6ms
vB = 2×0.13×9.81×6.1=3.9ms
mBvo =mBvB +mAvA ⇒ vo =mBvB +mAvA
mB
=1400×4.6+1100×3.9
1400=7.6m
S
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Urto centrale elastico-bersaglio mobile• In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella
della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle.
• Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x:
r P 1i +
r P 2i =
r P 1f +
r P 2f
v1
m1 m2
x
v2
Urto centrale
• Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato:
m1v1x +m2v2x =m1v'1x+m2v'2x
12
m1v1x2 +
12
m2v2x2 =
12
m1v'1x2 +
12
m2v'2x2
m1 v1x −v'1x( ) =m2 v'2x −v2x( )
m1 v1x2 −v'1x
2( ) =m2 v'2x
2 −v2x2
( )
v'2x =v1x2m1
m1 +m2
+v2xm2 −m1
m1 +m2
v'1x=v1xm1 −m2
m1 +m2
+v2x2m2
m1 +m2
m1 =m2 ⇒v'1x=v2x
v'2x =v1x
• Se le particelle hanno la stessa massa, nell’urto si scambiano le velocità
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Applicazione
• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.
• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.
v'1=v'2=vCM =m1v1 +m2v2
m1 +m2
=2.0×10+5.0×3
7.0=
35.07.0
=5ms
• Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto all’altro
– Prima della massima compresione si sono avvicinati– Successivamente si allontanano– La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa– Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a
quella iniziale:
– La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla
12
m1v12 +
12
m2v22 −
12
m1 +m2( )vCM2 =
12
k Δx( )2 Δx =m1v1
2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM
2
k
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Applicazione
• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2.
• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.
– Da cui
Δx =m1v1
2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM
2
k
Δx =2×100+5×9−7×25
1120=
701120
=116
=14
=.25m
v'2x =v1x2m1
m1 +m2
+v2xm2 −m1
m1 +m2
=1047
+3.037
=497
=7ms
v'1x=v1xm1 −m2
m1 +m2
+v2x2m2
m1 +m2
=10−37
+3.0107
=0ms
– Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico: