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Vincenzo Tucci Esercizi di Elettrotecnica
Circuiti in regime sinusoidale 1
CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE ESERCIZIO N. 1 Per il circuito in figura, con k costante reale, si determini: a) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti puramente resistiva ed il valore da essa assunto; b) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500 ; c) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti ohmico- induttiva.
SOLUZIONE Applicando la L.K.T. all'unica maglia del circuito, con i riferimenti di figura 1, si ha:
jXVIVIjXV 1C1C1
=+= )k1(k
figura 1
Applicando poi la L.K.C. al nodo 1 si ha:
jXI
VjX
VRVI+I=I 111CR
+
==+= )k1(
R1
1Z)k1( eq&
quesito a) La parte immaginaria di tale impedenza nulla, e quindi l'impedenza equivalente risulta puramente resistiva, quando k=1; in tal caso l'impedenza misurata ai morsetti vale proprio R.
X=1000 ; R=1000
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Circuiti in regime sinusoidale 2
quesito b) Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500 deve valere:
0k)k1(1
1000)k1(
R1
1500500Zeq =+=
+==
jjX
j&
quesito c) Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti reattiva induttiva deve valere la seguente disuguaglianza: [ ]
[ ][ ] 1k0)k1(0)k1(1)k1(1)k1(11000)ZIm( eq >>>+
=jj
j&
ESERCIZIO N. 2 Per il circuito in figura, in condizioni di regime sinusoidale permanente, si determini: a) il sistema delle correnti con il metodo delle correnti di maglia; b) il sistema delle correnti con il metodo dei potenziali nodali; c) il generatore equivalente di Thvenin ai capi della resistenza R.
SOLUZIONE a) Metodo delle correnti di maglia A causa della presenza di un generatore di corrente (pilotato) che chiude un anello possibile considerare due sole correnti di anello incognite. Per la corrente erogata dal generatore pilotato di corrente, infatti, si pu scegliere arbitrariamente il percorso dal nodo B al nodo C attraverso il ramo di impedenza R2+jX2 (figura 2). Adottando per le correnti di maglia J1 e J2 i riferimenti indicati in figura 2, possibile scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:
E1=100ej0V R1=10 R2=20 R=25 X1=5 X2=10; k=5 h=2
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++++=+=++=+=
1222221222
12211121111
JjXRJjXRRJJjXVJJjXJjXRVJjXREh)()()h(kk)h(k)(k)(
figura 2
=++++=++
0)5(2)5(5)10(
22221222
1221211
JjXjXRRJjXjXREJjXJjXjXR (1)
La cui soluzione :
+==
A65.29.3A64.278.1
jJjJ
2
1
Le correnti di lato risultano pertanto:
A66.2j9.3
AhA64.278.1
+=====+=
==
24
213
122
11
JIj5.3A - 5.7- JJI
j2.62 - 0.34IJIjJI
b) Metodo dei potenziali di nodo Scegliendo come nodo di riferimento il nodo C ed osservando che il potenziale del nodo A fissato dal generatore pilotato di tensione, si ottiene il seguente sistema in cui la seconda equazione ottenuta applicando la LKC al nodo B.
==
++
==
11
A11
22BA
22
B22A
jX-RV-EI
jX+RRV
RV
jX+RVjXVV
22111
55
=
++
+
=
11
1
22B
11A
B22
2A
jX-RE
jX+RRV
jX-RRV
VjX+R
jXV
21121
05
(2)
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Risolvendo tale sistema si ottiene:
=+=
=
V4933V5.17131
V0
jVjV
V
B
A
C
da cui:
A66.2j9.3VV
AV
A64.278.1V
BA
B
A
+====
=+=
==
RI
j5.3A - 5.7- III
j2.62 - 0.34jXR
I
jjX-R
EI
4
413
222
11
11
c) Generatore equivalente alla Thvenin Per determinare la tensione a vuoto ai morsetti A-B si pu far riferimento al sistema di equazioni (2) in cui si faccia tendere R ad infinito. Il sistema (2) diventa quindi:
=
+
=
11
1
22B
11A
B22
2A
jX-RE
jX+RV
jX-RV
VjX+R
jXV
212
05
=+=
V5.3925V11104
jVjV
B
A
La tensione a vuoto VAB0 pu dunque essere valutata come: V5.50j79 +== BAAB0 VVV Limpedenza equivalente Zeq della rete passivizzata, vista dai morsetti A-B pu essere valutata come rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ICCAB. Tale corrente pu essere calcolata rapidamente utilizzando il sistema di equazioni (1), in cui si sostituisca ad R il valore 0 (si sostituisce ad R un corto circuito). Essa coincide proprio con la corrente di maglia J2 del sistema (3) di seguito riportato:
=+++=++
0)5(2)5(5)10(
22221222
1221211
JjXjXRJjXjXREJjXJjXjXR
(3)
la cui soluzione risulta:
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=+=
A816A48jJ
jJ
2
1
E' ora possibile valutare l'impedenza del generatore equivalente di Thvenin:
Zeq = = VI j
AB0
CCAB
5 2 0 55. . ;
ESERCIZIO N. 3 Per il circuito in figura in cui V3=(40+j30)V si determini il valore di Z.
SOLUZIONE La soluzione pu essere ottenuta attraverso utilizzando in modo opportuno il metodo dei potenziali nodali. Infatti, indicati con A, B, C e D i quattro nodi del circuito (figura 1) e scelto D come nodo di riferimento, si osserva che risulta incognito il potenziale del solo nodo B. E possibile pertanto scrivere la LKC a tale nodo:
figura 3.1
011111 =
++
++++
22C
2211B
1A jXR
VjXRjXR
VR
V
dove:
50100 jEVA == e 3040 jVV 3C +== .
E=(100-j50)V J=(30+j20)A R1=20 R2=12 X2=16 X3=10 X4=5
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Si ottiene quindi che:
j2.04)V + (1.46 VB = da cui si ricava la corrente I2:
AI j4.7) + (-5.3 jXRV-V
22
CB2
+=
Osservando che sul condensatore stata fatta la convenzione del generatore, si ottiene:
A14j3I =
=
3
C3 jX
V
La corrente I nella impedenza Z risulta pertanto:
A)( j10.7+ 27.7JIII 32 ++= L'impedenza Z pu quindi essere valutata come:
)( j2.0 + 2.2I
VVZ AC =&
ESERCIZIO N. 4 Per il circuito in figura, in condizioni di regime permanente, si determini il valore massimo dellenergia immagazzinata in un periodo corrispondente alla pulsazione , rispettivamente nel condensatore C e nellinduttore L.
SOLUZIONE Per determinare la tensione vC(t) ai capi del condensatore e la corrente nell'induttore iL(t) a regime si pu applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si indicano rispettivamente con I e V i contributi forniti, a regime, dal generatore di tensione stazionario E ad iL(t) e vC(t). Facendo riferimento al circuito di figura 4.1, ottenuta spegnendo il generatore di tensione sinusoidale e sostituendo all'induttore un bipolo corto circuito ed un bipolo circuito aperto al condensatore, si ha:
e(t)= 10sint V =1000 rad/s E=40V R1=40 R2=10 C=40F L=0.25mH
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figura 4.1
A
R+RRREI
21
215== VEV 40==
Per determinare i contributi a regime forniti dal generatore di tensione sinusoidale e(t) si applichi il metodo fasoriale al circuito di figura 4.2 in cui il generatore stazionario costante risulta spento.
figura 4.2
Indicando con 210=E il fasore rappresentativo di e(t) e con
C1
C1C jXR
jXRZ = )(& ,
L2
L2L jX+R
(jXRZ )=& ed applicando le formule del partitore di tensione e del partitore di corrente, si ha rispettivamente:
Ve3.23 rad3.1j=+= LCC
C ZZZEV &&&
Ae06.9ZZ
06.0j
LC
=+= L22
L jX+RREI &&
Antitrasformando tali espressioni si ottengono i contributi del generatore sinusoidale a iL(t) e vC(t). Sommando per ciascuna variabile i due contributi determinati precedentemente, si ha:
V ][vC )3.1t10000sin(3.23240)t( +=
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A][iL )06.0t10000sin(06.925)t( += In definitiva, le energie massime WLmax (immagazzinata nell'induttore) e WCmax (immagazzinata nel condensatore) valgono rispettivamente:
J9.06]2-[-5iW 22LmaxLmax 04.01025.021L
21 3 ==
J.3]22-[-40vW 22CmaxCmax 1.03104021C
21 6 ==
ESERCIZIO N. 5 Per il circuito in figura si determini: a) il generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-B; b) il generatore equivalente di Norton ai morsetti C-D;
SOLUZIONE a) generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-B Per il calcolo della tensione a vuoto VAB0 si pu applicare la sovrapposizione degli effetti.
JEAB0 AB0AB0 VVV +=
Consideriamo dapprima il contributo dovuto al generatore di tensione. Indicando con Zs1 la impedenza della serie tra R2 e XL e con Zp1 il parallelo tra Zs1 e XC, si ha:
Vj3.98 - 6.74 jXR
RZR
ZEV
L2
2
p11
p1EAB0
++= &&
Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del parallelo tra R1 e XC:
VJ j12.33+ 13.17- jXZR
jXRVLp22
L2
JAB0
++= & La tensione totale risulta pertanto:
E=(10+j0)V J=(1+j2)A R1=5 R2=25 XC=20 XL=10
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V10.54e j8.35 + 6.43- VVV -j0.91JEAB0 AB0AB0 +=
Con le notazioni prima introdotte limpedenza equivalente data da:
j5.74 + 5.66 jXZR
jXZ(RZ
Lp22
Lp22ABeq ++
+= &&& )
b) generatore equivalente di Norton ai morsetti C-D Per il calcolo della corrente di corto circuito ICC si pu applicare la sovrapposizione degli effetti.
JECC CCCC III +=
Osservando che la reattanza XL corto circuitata ed indicando con Zp3 limpedenza del parallelo tra R2 e XC si ha:
Aj2.69 + 1.59 jXR
jX-ZR
EIC2
C
p31
ECC
+= & Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del parallelo tra R1 e XC:
AJ j2 + 1 IJCC
= La tensione totale risulta pertanto:
V22.46e j17.96+ 13.48- VVV -j0.93JEAB0 AB0AB0 +=
Limpedenza equivalente data da:
j9.08 + 3.09 jXZRRZ(jX
ZLp22
2p2LCDeq ++
+= &&& )