Esercizi svolti - Circuiti in corrente alternata

Vincenzo Tucci Esercizi di Elettrotecnica

Circuiti in regime sinusoidale 1

CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE ESERCIZIO N. 1 Per il circuito in figura, con k costante reale, si determini: a) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti puramente resistiva ed il valore da essa assunto; b) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500 ; c) il valore di k per cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti ohmico- induttiva.

SOLUZIONE Applicando la L.K.T. all'unica maglia del circuito, con i riferimenti di figura 1, si ha:

jXVIVIjXV 1C1C1

=+= )k1(k

figura 1

Applicando poi la L.K.C. al nodo 1 si ha:

jXI

VjX

VRVI+I=I 111CR

+

==+= )k1(

R1

1Z)k1( eq&

quesito a) La parte immaginaria di tale impedenza nulla, e quindi l'impedenza equivalente risulta puramente resistiva, quando k=1; in tal caso l'impedenza misurata ai morsetti vale proprio R.

X=1000 ; R=1000



quesito b) Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500 deve valere:

0k)k1(1

1000)k1(

R1

1500500Zeq =+=

+==

jjX

j&

quesito c) Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti reattiva induttiva deve valere la seguente disuguaglianza: [ ]

[ ][ ] 1k0)k1(0)k1(1)k1(1)k1(11000)ZIm( eq >>>+

=jj

j&

ESERCIZIO N. 2 Per il circuito in figura, in condizioni di regime sinusoidale permanente, si determini: a) il sistema delle correnti con il metodo delle correnti di maglia; b) il sistema delle correnti con il metodo dei potenziali nodali; c) il generatore equivalente di Thvenin ai capi della resistenza R.

SOLUZIONE a) Metodo delle correnti di maglia A causa della presenza di un generatore di corrente (pilotato) che chiude un anello possibile considerare due sole correnti di anello incognite. Per la corrente erogata dal generatore pilotato di corrente, infatti, si pu scegliere arbitrariamente il percorso dal nodo B al nodo C attraverso il ramo di impedenza R2+jX2 (figura 2). Adottando per le correnti di maglia J1 e J2 i riferimenti indicati in figura 2, possibile scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

E1=100ej0V R1=10 R2=20 R=25 X1=5 X2=10; k=5 h=2



++++=+=++=+=

1222221222

12211121111

JjXRJjXRRJJjXVJJjXJjXRVJjXREh)()()h(kk)h(k)(k)(

figura 2

=++++=++

0)5(2)5(5)10(

22221222

1221211

JjXjXRRJjXjXREJjXJjXjXR (1)

La cui soluzione :

+==

A65.29.3A64.278.1

jJjJ

2

1

Le correnti di lato risultano pertanto:

A66.2j9.3

AhA64.278.1

+=====+=

==

24

213

122

11

JIj5.3A - 5.7- JJI

j2.62 - 0.34IJIjJI

b) Metodo dei potenziali di nodo Scegliendo come nodo di riferimento il nodo C ed osservando che il potenziale del nodo A fissato dal generatore pilotato di tensione, si ottiene il seguente sistema in cui la seconda equazione ottenuta applicando la LKC al nodo B.

==

++

==

11

A11

22BA

22

B22A

jX-RV-EI

jX+RRV

RV

jX+RVjXVV

22111

55

=

++

+

=

11

1

22B

11A

B22

2A

jX-RE

jX+RRV

jX-RRV

VjX+R

jXV

21121

05

(2)



Risolvendo tale sistema si ottiene:

=+=

=

V4933V5.17131

V0

jVjV

V

B

A

C

da cui:

A66.2j9.3VV

AV

A64.278.1V

BA

B

A

+====

=+=

==

RI

j5.3A - 5.7- III

j2.62 - 0.34jXR

I

jjX-R

EI

4

413

222

11

11

c) Generatore equivalente alla Thvenin Per determinare la tensione a vuoto ai morsetti A-B si pu far riferimento al sistema di equazioni (2) in cui si faccia tendere R ad infinito. Il sistema (2) diventa quindi:

=

+

=

11

1

22B

11A

B22

2A

jX-RE

jX+RV

jX-RV

VjX+R

jXV

212

05

=+=

V5.3925V11104

jVjV

B

A

La tensione a vuoto VAB0 pu dunque essere valutata come: V5.50j79 +== BAAB0 VVV Limpedenza equivalente Zeq della rete passivizzata, vista dai morsetti A-B pu essere valutata come rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ICCAB. Tale corrente pu essere calcolata rapidamente utilizzando il sistema di equazioni (1), in cui si sostituisca ad R il valore 0 (si sostituisce ad R un corto circuito). Essa coincide proprio con la corrente di maglia J2 del sistema (3) di seguito riportato:

=+++=++

0)5(2)5(5)10(

22221222

1221211

JjXjXRJjXjXREJjXJjXjXR

(3)

la cui soluzione risulta:



=+=

A816A48jJ

jJ

2

1

E' ora possibile valutare l'impedenza del generatore equivalente di Thvenin:

Zeq = = VI j

AB0

CCAB

5 2 0 55. . ;

ESERCIZIO N. 3 Per il circuito in figura in cui V3=(40+j30)V si determini il valore di Z.

SOLUZIONE La soluzione pu essere ottenuta attraverso utilizzando in modo opportuno il metodo dei potenziali nodali. Infatti, indicati con A, B, C e D i quattro nodi del circuito (figura 1) e scelto D come nodo di riferimento, si osserva che risulta incognito il potenziale del solo nodo B. E possibile pertanto scrivere la LKC a tale nodo:

figura 3.1

011111 =

++

++++

22C

2211B

1A jXR

VjXRjXR

VR

V

dove:

50100 jEVA == e 3040 jVV 3C +== .

E=(100-j50)V J=(30+j20)A R1=20 R2=12 X2=16 X3=10 X4=5



Si ottiene quindi che:

j2.04)V + (1.46 VB = da cui si ricava la corrente I2:

AI j4.7) + (-5.3 jXRV-V

22

CB2

+=

Osservando che sul condensatore stata fatta la convenzione del generatore, si ottiene:

A14j3I =

=

3

C3 jX

V

La corrente I nella impedenza Z risulta pertanto:

A)( j10.7+ 27.7JIII 32 ++= L'impedenza Z pu quindi essere valutata come:

)( j2.0 + 2.2I

VVZ AC =&

ESERCIZIO N. 4 Per il circuito in figura, in condizioni di regime permanente, si determini il valore massimo dellenergia immagazzinata in un periodo corrispondente alla pulsazione , rispettivamente nel condensatore C e nellinduttore L.

SOLUZIONE Per determinare la tensione vC(t) ai capi del condensatore e la corrente nell'induttore iL(t) a regime si pu applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si indicano rispettivamente con I e V i contributi forniti, a regime, dal generatore di tensione stazionario E ad iL(t) e vC(t). Facendo riferimento al circuito di figura 4.1, ottenuta spegnendo il generatore di tensione sinusoidale e sostituendo all'induttore un bipolo corto circuito ed un bipolo circuito aperto al condensatore, si ha:

e(t)= 10sint V =1000 rad/s E=40V R1=40 R2=10 C=40F L=0.25mH



figura 4.1

A

R+RRREI

21

215== VEV 40==

Per determinare i contributi a regime forniti dal generatore di tensione sinusoidale e(t) si applichi il metodo fasoriale al circuito di figura 4.2 in cui il generatore stazionario costante risulta spento.

figura 4.2

Indicando con 210=E il fasore rappresentativo di e(t) e con

C1

C1C jXR

jXRZ = )(& ,

L2

L2L jX+R

(jXRZ )=& ed applicando le formule del partitore di tensione e del partitore di corrente, si ha rispettivamente:

Ve3.23 rad3.1j=+= LCC

C ZZZEV &&&

Ae06.9ZZ

06.0j

LC

=+= L22

L jX+RREI &&

Antitrasformando tali espressioni si ottengono i contributi del generatore sinusoidale a iL(t) e vC(t). Sommando per ciascuna variabile i due contributi determinati precedentemente, si ha:

V ][vC )3.1t10000sin(3.23240)t( +=



A][iL )06.0t10000sin(06.925)t( += In definitiva, le energie massime WLmax (immagazzinata nell'induttore) e WCmax (immagazzinata nel condensatore) valgono rispettivamente:

J9.06]2-[-5iW 22LmaxLmax 04.01025.021L

21 3 ==

J.3]22-[-40vW 22CmaxCmax 1.03104021C

21 6 ==

ESERCIZIO N. 5 Per il circuito in figura si determini: a) il generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-B; b) il generatore equivalente di Norton ai morsetti C-D;

SOLUZIONE a) generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-B Per il calcolo della tensione a vuoto VAB0 si pu applicare la sovrapposizione degli effetti.

JEAB0 AB0AB0 VVV +=

Consideriamo dapprima il contributo dovuto al generatore di tensione. Indicando con Zs1 la impedenza della serie tra R2 e XL e con Zp1 il parallelo tra Zs1 e XC, si ha:

Vj3.98 - 6.74 jXR

RZR

ZEV

L2

2

p11

p1EAB0

++= &&

Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del parallelo tra R1 e XC:

VJ j12.33+ 13.17- jXZR

jXRVLp22

L2

JAB0

++= & La tensione totale risulta pertanto:

E=(10+j0)V J=(1+j2)A R1=5 R2=25 XC=20 XL=10



V10.54e j8.35 + 6.43- VVV -j0.91JEAB0 AB0AB0 +=

Con le notazioni prima introdotte limpedenza equivalente data da:

j5.74 + 5.66 jXZR

jXZ(RZ

Lp22

Lp22ABeq ++

+= &&& )

b) generatore equivalente di Norton ai morsetti C-D Per il calcolo della corrente di corto circuito ICC si pu applicare la sovrapposizione degli effetti.

JECC CCCC III +=

Osservando che la reattanza XL corto circuitata ed indicando con Zp3 limpedenza del parallelo tra R2 e XC si ha:

Aj2.69 + 1.59 jXR

jX-ZR

EIC2

C

p31

ECC

+= & Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del parallelo tra R1 e XC:

AJ j2 + 1 IJCC

= La tensione totale risulta pertanto:

V22.46e j17.96+ 13.48- VVV -j0.93JEAB0 AB0AB0 +=

Limpedenza equivalente data da:

j9.08 + 3.09 jXZRRZ(jX

ZLp22

2p2LCDeq ++

+= &&& )

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