Equazioni del 2. ordine Equazioni del 2. ordine omogenee a coeff. costantiomogenee a coeff. costanti

Hanno la forma

• Ricordiamo che la soluzione dell’equazione

e’

• Pertanto cerchiamo le soluzioni sempre sotto forma di esponenziali.

0

0)(

0

2

2

2

=++⇒

=++⇒

=′′=′

=

=+′+′′

ba

Ceba

CeyCey

CeyTry

byyay

x

xx

x

λλλλ

λλ

λ

λλ

λ

02 =++ baλλBisogna risolvere

l’equazione

A seconda del segno del discriminante abbiamo:• 2 radici reali, • 2 radici complesse coniugate• una radice reale doppia

1. Caso – Radici reali distinte

(∆>0)

• La soluzione e’

xx ececy 2121

λλ +=

2. Caso– Radici complesse coniugate(∆<0)

• La soluzione e’

)sincos(

2

1

xBxAey

ia

ia

ax ωω

ωλωλ

+=

−=+=

3. Caso – Radice reale doppia(∆=0)

• La soluzione e’

( ) xexccy λ21 +=

Sistemi di equazioni Sistemi di equazioni differenzialidifferenziali

• Molti problemi sono governati non da una sola equazione differenziale ma da un sistema di equazioni differenziali.

• Ad esempio questo succede se si vuole descrivere un sistema ecologico di due popolazioni.

Esempio

in forma matriciale

e’ un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti

Strategia di soluzioneStrategia di soluzione

• Come nel caso di una singola equazione supponiamo la soluzione sia del tipo esponenziale

A

Acece

cey

cey

AyySolve

tt

t

t

=⇒

=⇒

=′′=

=′′

2

2

2

λλ

λλλ

λ

λ

x vettore

Risolvo y’=Ayy=xeλt

y’=λx eλt

λx eλt =A xeλt

• Ora non si puo’ dividere per x,

perche’ x e’ un vettore

Questo e’ il problema degli autovalori

dividiamo per eλx

Quindi, la soluzione del sistema e’ stata ridotta a trovare autovalori e autovettori di una matrice. Abbiamo l’equazione caratteristica

0=−⇒=−⇒

=

)A(det

0x)A(xAx

λλ

λ

I

Esempio:Esempio:

In questo caso autovalori ed autovettori sono:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

1

2,6

2

1,1

22

11

x

x

λ

λ

La soluzione generale e’ una La soluzione generale e’ una combinazione lineare delle soluzionicombinazione lineare delle soluzioni

Ogni coppia autovalore/autovettore Ogni coppia autovalore/autovettore produce una soluzione:produce una soluzione:

Autovalori reali distinti:Autovalori reali distinti:

La soluzione generale e’:La soluzione generale e’:

Autovettori:Autovettori:

Autovalori complessiAutovalori complessi

Autovettori:Autovettori:

Le soluzioni sono allora Le soluzioni sono allora combinazione lineare di combinazione lineare di

Autovalori doppi:Autovalori doppi:

• Se ho 2 autovettori indipendenti:Se ho 2 autovettori indipendenti:

• altrimenti e’ complicatoaltrimenti e’ complicato

Visualizziamo le soluzioni dei Visualizziamo le soluzioni dei sistemi di eq. differenzialisistemi di eq. differenziali

• Visualizziamo le soluzioni nel

Piano delle fasi

• Il piano delle fasi e’ il disegno di

(y1,(t), y2 (t)) (come curve soluzione)

Le curve soluzione sono le traiettorie del campo (y1,’, y2 ‘)

Esempio: disegnamo il campo per il sistema

Scriviamo alcuni vettori del campo

Se facciamo questo per un gran numero di vettori otteniamo il seguente disegno

le traiettorie sono

Si possono ovviamente disegnare le traiettorie partendo dalla soluzione generale. Ad esempio per la soluzione generale:

tt ecec 42

21 1

1

1

1 −−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=y

Example phase plot

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y1

y2

Analizziamo il piano delle fasi in Analizziamo il piano delle fasi in questo casoquesto caso

All’aumentare del tempo, le soluzioni di muovono verso l’origine (cioe’ il punto di equilibrio del sistema e’ y1=y2=0).

Nodo stabile o improprioNodo stabile o improprio• Nell’esempio si ha un nodo stabile in

quanto tutte le curve del piano delle fasi convergono verso l’origine

Nodi propri o instabiliNodi propri o instabili

• In un nodo instabile c’e’ una curva soluzione che esce in ogni direzione :

tt ecec ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

01

21y

NodiNodi

• I sistemi lineari hanno nodi se hanno autovalori reali con lo stesso segno

Stabili se positivi / instabili se negativi

• Nell’esempio per il nodo stabile gli autovalori erano –2 e –4.

• Nell’esempio di nodo instabile gli autovalori erano 1 (doppio).

Punti a sellaPunti a sella

• I punti a sella si presentano nel caso di autovalori reali con segni opposti (uno positivo e uno negativo).

Saddle

-1-0.8

-0.6-0.4

-0.20

0.2

0.40.6

0.81

-10 -5 0 5 10

y1

y2

Punti a sellaPunti a sella

• Nei sistemi che hanno punti a sella ci sono solo 2 curve che vanno verso il punto (nel caso in figura la retta y1=0) e due che escono dal punto (la retta y2=0).

Centri o vorticiCentri o vortici

• Se l’ equazione ha autovalori immaginari puri, le curve del piano delle fasi sono ellissi “centrate nell’origine”

Centri o vortici: esempioCentri o vortici: esempio

• Consideriamo il sistema di equazioni differenziali

• Gli autovalori sono:

yy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0410'

ii 22

044

1

21

2

−==⇒

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=−

λλ

λλ

λλ )IA(det

Centri o vortici: esempiCentri o vortici: esempi

• Gli autovettori sono:

cioe’

• La soluzione generale del sistema e’:

• E’ piu’ conveniente scriverla nella forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ii 2

1,

2

1

Centri o vortici: esempioCentri o vortici: esempio

• Si possono scrivere le curve del piano delle fasi eliminando il tempo tra le equazioni...

Spirali o fuochiSpirali o fuochi

• Per sistemi di equazioni che hanno autovalori complessi (ma non immaginari puri) le curve del piano delle fasi sono spirali o fuochi.

Spiral

-0.5-0.4

-0.3-0.2

-0.10

0.1

0.20.3

0.40.5

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5

y1

y2

Stabili:Stabili:

Nodo stabile:Nodo stabile:Autovalori reali <0Autovalori reali <0

Fuoco stabile:Fuoco stabile:Autovalori complessiAutovalori complessicon parte reale <0con parte reale <0

Instabili:Instabili:

Nodo instabile:Nodo instabile:Autoval. reali >0Autoval. reali >0

Fuoco instabile:Fuoco instabile:Autovalori complessiAutovalori complessicon parte reale >0con parte reale >0

Sella: sempre instabileSella: sempre instabileAutovalori reali di segno Autovalori reali di segno oppostoopposto