Disequazioni Esponenziali

xa

Definizioni e proprietà

Esponenziale:

Proprietà: 1.

2. allora

3. allora

xa a x

0xa 0, ax

10 a'' xx aaxx

1a'' xx aaxx

Disequazioni Esponenziali

Def. Le disequazioni esponenziali sono quelle nelle quali l’incognita compare ad esponente di una certa espressione.

Soluzione

Le disequazioni esponenziali si risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.

Es.1

Applico 2

322

1

x

5

55

2

1

2

1232

5

2

1

2

1

x 5/ xxS

Es.2

Applico 3

164 x

244 x

2x

2/ xxS

Es.3

Cambio variabile

0133 12 xx

01333 2 xx

zx 3

013 2 zz 6

131

6

131

z

Da z torno a x:

6

1313

6

131

x

0..vs

?

Problema….

Dobbiamo trovare quel numero tale che:

?

6

1313?

Logaritmi

Def.

Nel nostro caso:

bacb ca log

6

1313?

a

c

b 6

131log? 3

?????

Definizione:

Definizione: dati due numeri a,b strettamente positivi con si definisce logaritmo in base a di b il numero c al quale si deve elevare a per ottenere b; si ha quindi:

1a

bacb ca log

Dalla definizine di logaritmo si ha:

baba log

ba ba log

Allora un qualsiasi numero b può essere espresso attraverso il logaritmo in una qualsiasi base a>0 (diversa da 1) utilizzando una delle due relazioni viste.

Dalla definizione di logaritmo…….

Proprietà:

1.

2. Se allora

3. Se allora

01log a 1,0 aa

10 a '' loglog xxxx aa

0, ' xx

1a '' loglog xxxx aa 0, ' xx

4.

5.

6.

7.

)(logloglog xyyx aaa 0, yx

)(logloglogy

xyx aaa 0, yx

xpx ap

a loglog 0x

a

bb

c

ca log

loglog 1,0,0.1,0 ccbaa

Alle disequazioni logaritmiche

Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono l’incognita nell’argomento di un logaritmo.

Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodichè si sfruttano le proprietà appena elencate.

Es.1

CDE

Per def.di logaritmo

3log2

1 x

0x

3

2

1

2

1 2

1loglog

x 8loglog

2

1

2

1 x

La base è minore di uno, vale la 2. Allora passando dalla disuguaglianza tra logaritmi a quella tra i rispettivi argomenti il verso della disuguaglianza cambia verso.

8x

8loglog2

1

2

1 x

8/ xxS

CDEok

Es.2

CDE:

(Per def log)

4log 2 x

0x

422 )2(loglog x

poiché la base è maggiore di 1, passo alla disuguaglianza tra gli argomenti

(uso 3.)

16loglog 22 x

16xCDEok

16/ xxS

Es.3

CDE:

03

log2

3

1 xx

03

032

x

xx

03 xx

Passo agli argomenti rovesciando la disuguaglianza:

03

log2

3

1 xx 1log

3log

3

1

2

3

1 xx

13

2

xx

2

1313

x

2

131x

03 xx CDEok

2

131

2

1313 xxS

Proposta:

24log x

soluzione

CDE:

24log x

04

04

x

x 4x

la base del logaritmo è “e”, la base naturale, ed essendo e=2.7182…la disequazione di partenza può essere scritta come:

2log4log ex

Da cui:

Elevo al quadrato ambo i membri

24 ex

positivopositivo

44 ex

Ricordo la CDE e la combino con la soluzione appena trovata:

44 ex

4x 44/ 4 exxS

Esercizi:

1)

2)

3)

4)

2)2(log3 x

2)2(log3

1 x

2)7(log 2

4

1 x

11log3

1 x