Circuiti Elettrici Lineari − a.a. 2017/18 Prof. Luca Perregrini Metodi di analisi, pag. 1

Metodi di analisi

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica

Facoltà di IngegneriaUniversità degli studi di Pavia

Circuiti Elettrici Lineari

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Sommario

• Metodo di analisi nodale

• Metodo di analisi agli anelli

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Metodi di analisi

Due metodi sistematici per l’analisi dei circuiti:

ANALISI NODALE(basata su KCL e legge di Ohm)

ANALISI AGLI ANELLI(basata su KVL e legge di Ohm)

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Analisi nodale

Le incognite sono le tensioni di nodoDato un circuito con n nodi il metodo si articola in tre passi:

1. un qualunque nodo viene scelto come riferimento; si indicano con v1, v2, …, vn–1 le tensioni dei rimanenti nodi rispetto al nodo di riferimento;

2. si applica la KCL agli n–1 nodi, usando la legge di Ohm per esprimere le correnti di ramo in funzione delle tensioni di nodo;

3. si risolvono le equazioni così ottenute, ricavando le tensioni di nodo v1, v2, …, vn–1.

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Analisi nodale

Esempio:

Rb Rd

Ra Rc I0

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Rb Rd

Ra Rc I0

Analisi nodale

v1 v2 v3

Esempio: 1. Scelta del nodo di riferimento e definizione delle tensioni incognite

N.B.: 4 nodi 3 incognite

0 V

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− id − I0 = 0− ib + ic + id = 0− ia + ib = 0

Analisi nodale

v1 v2 v3

ia icib id

Esempio: 2. Applicazione della KCL

Rb Rd

Ra Rc I0 … e della legge di Ohm

00 211 =−

+−

ba Rvv

Rv

00 32212 =−

+−

+−

dcb Rvv

Rv

Rvv

0023 =−

− IR

vv

d

0 V

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Analisi nodale

Esempio: 3. Soluzione sistema

v1 v2 v3Rb Rd

Ra Rc I0

00 211 =−

+−

ba Rvv

Rv

00 32212 =−

+−

+−

dcb Rvv

Rv

Rvv

0023 =−

− IR

vv

d

v1 , v2 , v3

0 V

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Analisi nodale

PROBLEMA!

Se su un ramo è presente un generatore di tensione la corrente che lo attraversa non può essere espressa in

funzione delle tensioni nodali

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ia

Analisi nodale

Caso 1: generatore di tensione collegato a massa

− id − I0 = 0− ib + ic + id = 0− ia + ib = 0

v1 v2 v3

icib idRcV0

0 21 =−

+bRvv

00 32212 =−

+−

+−

dcb Rvv

Rv

Rvv

0023 =−

− IR

vv

d

?

Rb Rd

Rc I0+–

0 V

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00 32212 =−

+−

+−

dcb Rvv

Rv

Rvv

0023 =−

− IR

vv

d

Analisi nodale

Caso 1: generatore di tensione collegato a massa

− id − I0 = 0− ib + ic + id = 0v1 v2 v3

icib idRcV0

Rb Rd

Rc I0+–

Il problema si semplifica: un’incognita è già nota

v1 = V0

v1 = V0

0 V

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Ra

Analisi nodale

− id − I0 = 0− ib + ic + id = 0− ia + ib = 0

v1 v2 v3

ia icibid

Rd

Rc I0

+–V0

0 01 =+−

aRv

00 322 =−

+−

+dc Rvv

Rv

0023 =−

− IR

vv

d

??

Caso 2: generatore di tensione non collegato a massa

0 V

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Supernodosi applica la KCL

generalizzata

Analisi nodale

− id − I0 = 0v1 v2 v3

ia icid

Rd

Ra Rc I0

+–V0

0023 =−

− IR

vv

d

Caso 2: generatore di tensione non collegato a massa

− ia + ic + id = 0

000 3221 =−

+−

+−

dca Rvv

Rv

Rv0 V

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Supernodosi applica la KCL

generalizzata + la KVL

Analisi nodale

− id − I0 = 0v1 v2 v3

ia icid

Rd

Ra Rc I0

+–V0

0023 =−

− IR

vv

d

Caso 2: generatore di tensione non collegato a massa

v2 − v1 = V0

v2 − v1 = V0

− ia + ic + id = 0

000 3221 =−

+−

+−

dca Rvv

Rv

Rv0 V

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Analisi agli anelli

Si applica soltanto ai circuiti planari, cioè ai circuiti che possono essere disegnati su un piano senza che vi

siano rami che si incrociano.

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Analisi agli anelli

Circuito planare

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Analisi agli anelli

Circuito non planare

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Analisi agli anelli

Le incognite sono le correnti di magliaDato un circuito con n maglie il metodo si articola in tre passi:1. Si assegnano le correnti di anello i1, i2, …, in agli n

anelli;2. si applica la KVL a ciascuno degli n anelli, usando la

legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini di correnti di anello;

3. si risolvono le equazioni così ottenute, ricavando le correnti di anello i1, i2, …, in.

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Analisi agli anelli

Esempio:

RbV0

Ra Rc

+– Rd

Re

Rf

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Analisi agli anelli

Esempio:

i1 RbV0

Ra Rc

+– Rdi2

1. Definizione delle correnti d’anello incogniteRe

i3 Rf

N.B.: 3 anelli 3 incognite

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−V0 − va + vb = 0

Analisi agli anelli

Esempio:

i1 RbV0

Ra Rc

+– Rdi2

− vb − vc + vd = 0

2. Applicazione della KVL

… e della legge di Ohm

Re

i3 Rf

va +– vc +–+–vb

+–vd

ve +– +–vf

+ vc − ve + vf = 0

0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0)()( 23212 =+−+− iRiiRiiR dcb

0)( 3323 =++− iRiRiiR fec

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Analisi agli anelli

3. Soluzione sistemaEsempio:

i1 RbV0

Ra Rc

+– Rdi2

Re

i3 Rf0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0)()( 23212 =+−+− iRiiRiiR dcb

0)( 3323 =++− iRiRiiR fec

i1 , i2 , i3

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PROBLEMA!

Se su un ramo è presente un generatore di corrente la tensione ai suoi capi non può essere espressa in

funzione delle correnti d’anello

Analisi agli anelli

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+ vc − ve + vf = 0

Analisi agli anelli

Caso 1: generatore di corrente appartenente ad un anello

i1 RbV0

Ra

+– i2

i3Rf

va +– vc +–+–vb

ve+– +–vf

−V0 − va + vb = 0− vb − vc + vd = 0

I0

Rd+–vd

Rc

0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0)()( 23212 =+−+− iRiiRiiR dcb

0 )( 323 =++− iRiiR fc ?

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Analisi agli anelli

Caso 1: generatore di corrente appartenente ad un anello

−V0 − va + vb = 0− vb − vc + vd = 0

i3 = I0

0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0)()( 23212 =+−+− iRiiRiiR dcb

03 Ii =

i1 RbV0

Ra

+– i2

i3Rf

va +– vc +–+–vb

+–vf

I0

Rd+–vd

Rc

Il problema si semplifica: un’incognita è già nota

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Analisi agli anelli

Caso 2: generatore di corrente appartenente a due anelli

i1 RbV0

Ra

+– i2

i3 Rf

va +– vc+–+

–vb

ve +– +–vf

−V0 − va + vb = 0− vb − vc + vd = 0+ vc − ve + vf = 0I0

Rd+–vd 0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0 )( 212 =++− iRiiR db

0 33 =++ iRiR fe??

Re

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Superanellosi applica la KVL

Analisi agli anelli

Caso 2: generatore di corrente appartenente a due anelli

i1 RbV0

Ra

+– i2

i3 Rf

va +– +–vb

ve +– +–vf

−V0 − va + vb = 0

I0

Rd+–vd

Re

0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

− vb − ve + vf + vd = 0

0)( 23312 =+++− iRiRiRiiR dfeb

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Superanellosi applica la KVL

+ la KCL

Analisi agli anelli

Caso 2: generatore di corrente appartenente a due anelli

i1 RbV0

Ra

+– i2

i3 Rf

va +– +–vb

ve +– +–vf

−V0 − va + vb = 0

I0

Rd+–vd

Re

− vb − ve + vf + vd = 0i2 − i3 = I0

0)( 2110 =−++− iiRiRV ba

0)( 23312 =+++− iRiRiRiiR dfeb

032 Iii =−