Post on 01-May-2015
Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata
A. A. 2008/2009
Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica -
Università di Pavia
MATEMATICA APPLICATAALLA BIOLOGIA
(I MODULO)
MATEMATICA APPLICATAALLA BIOLOGIA
(I MODULO)
MATEMATICAMATEMATICA = Strumento investigativo ( indagine multidisciplinare)
MODELLIZZAZIONE = MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale
MATEMATICAMATEMATICA e mondo matematico
NUOVONUOVO utilizzo dello strumento matematico attraverso la costruzione di MODELLI
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
Processo interdisciplinare con
cui si intende interpretare,
simulare, predire i fenomeni reali
MODELLIZZAZIONE MATEMATICA
MODELLOMODELLO oggetto utilizzato per
rappresentare qualcosa d’altro
rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
FENOMENOFENOMENO
REALEREALE
VARIABILI
VARIABILI
OP
ER
AT
OR
IO
PE
RA
TO
RI
FUNZIONIFUNZIONI
EQ
UA
ZIO
NI
EQ
UA
ZIO
NI
PARAMETRI
PARAMETRI
IP. CHIM
ICHE
IP. CHIM
ICHE IP. GEOLOGICHE
IP. GEOLOGICHE
IP. FISICHE
IP. FISICHE
IP. BIOLOGICHEIP. BIOLOGICHE
IP. F
ISIO
LOG
ICH
EIP
. FIS
IOLO
GIC
HE
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
DATI
SPERIMENTALI
OPPORTUNE
EQUAZIONI
FORMULAZIONE
DEL
PROBLEMA
ANALISI
MATEMATICA
DEL
MODELLOUNICITA’
ESISTENZA
RISOLUBILITA’
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
SVILUPPO
DI UN
ALGORITMO
IMPLEMENTAZIONE
VALIDAZIONE
DEL
MODELLO
SIMULAZIONE
NUMERICA
TEST SU CASI
NOTILucia Della Croce - Matematica
applicata alla Biologia
MODELLO
DELLE CELLULE
DEL SANGUELucia Della Croce - Matematica
applicata alla Biologia
FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE
CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali)
CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE(proliferanti)
MATURAZIONE(non proliferanti)
CIRCOLAZIONE SANGUIGNA
MORTE
CONTROLLOFEEDBACK
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
it 1it
ix 1ixT0
unità di tempoii tt 1
n° di cellule al tempo tiix
MODELLO MATEMATICO
La popolazione di cellule del sangue
varia nel tempo
)()(1 iiii
xpxdxx
)(i
xd
)(i
xp
n° di cellule distrutte
n° di cellule prodotte
nell’intervallo di tempo
[ti , ti+1]Lucia Della Croce - Matematica
applicata alla Biologia
La funzione deve essere “identificata” sulla base di dati sperimentali
)(xd
iixcxd )(
c coefficiente di distruzione
Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso
La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
Esiste un livello critico al di sotto del quale l’organismo non recupera
La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
p(0) = 0
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato.
Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule
0)( xp
p(x) decresce per x grande
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
mm
m
xxb
xp
)( Mackey-Glass
1971
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120Modello di Mackey-Glass
b=20
theta=10
m=3
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
rsxsexbxp )( Lasota
1977
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
40
45Modello di Lasota
b=2
r=5
s=5
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
b, r, s, m sono parametri da identificare
0 200 400 600 8000
50
100
150b=20theta=10m=3
0 200 400 600 8000
2
4
6b=2theta=5m=3
0 200 400 600 8000
100
200
300
b=10theta=50m=3
0 200 400 600 8000
50
100
150
200
250 b=30theta=15m=5
MODELLO DI
MACKEY
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
b, r, s, m sono parametri da identificare
0 20 40 600
50
100
150
200b=20
r=10
s=3
0 20 40 600
5000
10000
15000
b=2r=15s=5
0 50 1000
5
10
15x 10
5
b=10r=50s=4
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5x 10
-4
b=3
r=1s=10
MODELLO DI LASOTA
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
IL MODELLO DIVENTA
)(1 iiii
xpxcxx
)(1 ii
xfx
)()1()( xpcxxf
che è della forma
Dove la funzione d’iterazione f è:
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
LIVELLO STAZIONARIO
In condizioni normali, le cellule raggiungono un
livello stazionario al quale produzione e distruzione
avvengono alla stessa velocità
)()(: xpxdx
)(xfx
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
tempo
num
ero
di c
ellu
leLivelli stazionari di Mackey - Glass
o
oo
p(x) = d(x)
p(x)
d(x)
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA
0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
tempo
num
ero
di c
ellu
leLivelli stazionari di Lasota
o
o
oo
o
o
p(x) = d(x)
p(x)
d(x)
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario
Analisi della stabilità del modello
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia
Livelli stazionari possono essere stabili o instabili
Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare
Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata
in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale
Instabile
Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema
Regione di attrazione
Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia