Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata A. A. 2008/2009 Lucia Della Croce...

Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata

A. A. 2008/2009

Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica -

Università di Pavia

MATEMATICA APPLICATAALLA BIOLOGIA

(I MODULO)

MATEMATICA APPLICATAALLA BIOLOGIA

(I MODULO)

MATEMATICAMATEMATICA = Strumento investigativo ( indagine multidisciplinare)

MODELLIZZAZIONE = MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale

MATEMATICAMATEMATICA e mondo matematico

NUOVONUOVO utilizzo dello strumento matematico attraverso la costruzione di MODELLI

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Processo interdisciplinare con

cui si intende interpretare,

simulare, predire i fenomeni reali

MODELLIZZAZIONE MATEMATICA

MODELLOMODELLO oggetto utilizzato per

rappresentare qualcosa d’altro

rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione


FENOMENOFENOMENO

REALEREALE

VARIABILI

VARIABILI

OP

ER

AT

OR

IO

PE

RA

TO

RI

FUNZIONIFUNZIONI

EQ

UA

ZIO

NI

EQ

UA

ZIO

NI

PARAMETRI

PARAMETRI

IP. CHIM

ICHE

IP. CHIM

ICHE IP. GEOLOGICHE

IP. GEOLOGICHE

IP. FISICHE

IP. FISICHE

IP. BIOLOGICHEIP. BIOLOGICHE

IP. F

ISIO

LOG

ICH

EIP

. FIS

IOLO

GIC

HE


DATI

SPERIMENTALI

OPPORTUNE

EQUAZIONI

FORMULAZIONE

DEL

PROBLEMA

ANALISI

MATEMATICA

DEL

MODELLOUNICITA’

ESISTENZA

RISOLUBILITA’


SVILUPPO

DI UN

ALGORITMO

IMPLEMENTAZIONE

VALIDAZIONE

DEL

MODELLO

SIMULAZIONE

NUMERICA

TEST SU CASI

NOTILucia Della Croce - Matematica

applicata alla Biologia

MODELLO

DELLE CELLULE

DEL SANGUELucia Della Croce - Matematica


FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE

CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali)

CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE(proliferanti)

MATURAZIONE(non proliferanti)

CIRCOLAZIONE SANGUIGNA

MORTE

CONTROLLOFEEDBACK


it 1it

ix 1ixT0

unità di tempoii tt 1

n° di cellule al tempo tiix

MODELLO MATEMATICO

La popolazione di cellule del sangue

varia nel tempo

)()(1 iiii

xpxdxx

)(i

xd

)(i

xp

n° di cellule distrutte

n° di cellule prodotte

nell’intervallo di tempo

[ti , ti+1]Lucia Della Croce - Matematica


La funzione deve essere “identificata” sulla base di dati sperimentali

)(xd

iixcxd )(

c coefficiente di distruzione

Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione


La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso

La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche

)(xp

p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo


Esiste un livello critico al di sotto del quale l’organismo non recupera


)(xp

p(0) = 0



)(xp

La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato.

Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule

0)( xp

p(x) decresce per x grande


mm

m

xxb

xp

)( Mackey-Glass

1971

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120Modello di Mackey-Glass

b=20

theta=10

m=3


rsxsexbxp )( Lasota

1977

0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

35

40

45Modello di Lasota

b=2

r=5

s=5


b, r, s, m sono parametri da identificare

0 200 400 600 8000

50

100

150b=20theta=10m=3

0 200 400 600 8000

2

4

6b=2theta=5m=3

0 200 400 600 8000

100

200

300

b=10theta=50m=3

0 200 400 600 8000

50

100

150

200

250 b=30theta=15m=5

MODELLO DI

MACKEY


b, r, s, m sono parametri da identificare

0 20 40 600

50

100

150

200b=20

r=10

s=3

0 20 40 600

5000

10000

15000

b=2r=15s=5

0 50 1000

5

10

15x 10

5

b=10r=50s=4

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5x 10

-4

b=3

r=1s=10

MODELLO DI LASOTA


IL MODELLO DIVENTA

)(1 iiii

xpxcxx

)(1 ii

xfx

)()1()( xpcxxf

che è della forma

Dove la funzione d’iterazione f è:


LIVELLO STAZIONARIO

In condizioni normali, le cellule raggiungono un

livello stazionario al quale produzione e distruzione

avvengono alla stessa velocità

)()(: xpxdx

)(xfx


LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

tempo

num

ero

di c

ellu

leLivelli stazionari di Mackey - Glass

o

oo

p(x) = d(x)

p(x)

d(x)


LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA

0 5 10 150

20

40

60

80

100

120

tempo

num

ero

di c

ellu

leLivelli stazionari di Lasota

o

o

oo

o

o

p(x) = d(x)

p(x)

d(x)


Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario

Analisi della stabilità del modello


Livelli stazionari possono essere stabili o instabili

Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare

Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata

in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale

Instabile

Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema

Regione di attrazione


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