MATEMATICA & MEDIOEVO

Liceo Classico, classi IC, IIC, IIIC

Coordinatrice Lucia Fellicò

MATEMATICA & MEDIOEVO

La Matematica

nell’Architettura e nell’Arte,

nella Cultura e nei Giochi

del Medioevo

SOMMARIOSOMMARIO

L’ARCHITETTURAL’ARCHITETTURA LA CULTURALA CULTURA I GIOCHII GIOCHI METODI MODERNI PER PROBLEMI ANTICHIMETODI MODERNI PER PROBLEMI ANTICHI

La atematica La atematica

nell’architettura e nell’arte nell’architettura e nell’arte edievale edievale

La sezione aureaLa sezione aurea Il Castello di Ruggiero II ad AversaIl Castello di Ruggiero II ad Aversa Il Castel del Monte in PugliaIl Castel del Monte in Puglia

Ogni costruzione architettonica di per sé, avendo forma e dimensioni è legata alla matematica, ma alcune più di altre sono veramente impregnate dello “spirito della geometria”.

Per analizzare questa presenza in due castelli medievali dobbiamo riscoprire il valore estetico del rapporto aureo tra due segmenti, noto fin dai tempi più antichi.

“Dividere un segmento in modo che il rettangolo dell’intero segmento e la parte maggiore sia equivalente al quadrato

della parte rimanente.”

È il problema posto da Euclide nella

proposizione 11 del libro II

Con linguaggio moderno:

Dividere un segmento in due parti in modo che la parte maggiore sia media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente

A H B

Determinare H in modo che:

AB : AH = AH : HB

A

B

D

C

E

H

H divide il segmento AB in media ed

estrema proporzione.

LA SOLUZIONE DI EUCLIDE

Detti a la lunghezza del segmento AB e x quella della sezione AH richiesta, la costruzione geometrica è quindi un procedimento per risolvere l’equazione quadratica:

(a-x)a = x2 ovvero x2 + ax = a2

IL VALORE ESTETICO

In effetti osservando quattro segmenti diversi ravvicinati a, b, c, d se essi sono in proporzione, cioè se a:b=c:d la sensazione visiva che se ne ricava è piacevole.

Tale piacevolezza estetica diventa poi ancora maggiore, per il ritmo che se ne ricava, se b = c, cioè se la proporzione diventa a:b = b:d (proporzione continua).

Se poi tra le grandezze c’è l’ulteriore relazione d = a-b (e siamo nel caso della sezione aurea) l’occhio, o meglio la mente tramite l’occhio, avverte l’esistenza della doppia relazione e ne trae una sensazione di grande armonia.

L’ASPETTO “MAGICO”

Consideriamo la proporzione ottenuta

AB : AH = AH : HB A H B

e applichiamo la proprietà dello scomporre:

(AB – AH) : AH = (AH – HB) : HBcioè

HB : AH = (AH – HB) : HB ovvero

AH : HB = HB : (AH – HB)

Cioè HB è la sezione aurea di AH; dunque la sezione aurea ha la proprietà di rigenerarsi.

IL RETTANGOLO AUREO E IL TRIANGOLO AUREO

Hanno le dimensioni in rapporto aureo

Anche per essi vale la proprietà di rigenerarsi:

36°

36°

Staccando un quadrato dal rettangolo si ottiene un nuovo rettangolo aureo;Tracciando la bisettrice dell’angolo alla base si ottiene un nuovo triangolo aureo

Siamo ora pronti per apprezzare l’impianto progettuale di due castelli medievali: quello di Ruggero II ad Aversa e quello di Federico II in Puglia.

Nel 1135 Ruggero II vinse, con le sue truppe, un duro assedio della città di Aversa in Campania. La città si ampliò secondo l’originario sistema radiocentrico inglobando all’interno di un nuovo tracciato murario le parrocchie normanne di S.Maria a Piazza, S.Nicola, S.Giovanni Evangelista e S.Andrea che avevano favorito la nascita di nuovi quartieri.

Ruggero II di Altavilla (1095-1154)

Entrambi fanno largo uso della sezione aurea, sia per il suo valore estetico, ma

anche per la sottolineata valenza “magica”

IL CASTELLO DI RUGGIERO II

Di forma quadrata, con torri merlate agli angoli fu elaborato con il modulo della sezione aurea che vediamo ripetersi più volte nell’impianto dello schema, anche se, in seguito a vari rifacimenti, la struttura originaria è stata più volte trasformata.

Sorse ad Aversa nel 1135. Poiché i costruttori del castello di Saone furono Roberto, figlio di Tancredi, e Guglielmo suo figlio, gli stessi che erano al seguito di Ruggiero, nella I Crociata, anche a costoro potrebbe assegnarsi il Castello di Aversa, che presenta analogie con quello di Saone.

Esaminandone la pianta originaria si notano quattro torri quadrate i cui basamenti, che misurano 84 piedi per lato, sono posti a distanza di 168 piedi l'uno dall'altro, a formare un grande quadrato dal lato di 336 piedi.

La circonferenza inscritta in questo secondo quadrato contiene esattamente al suo interno l'antico nucleo del castello vero e proprio, sempre di forma quadrata.

Su questi basamenti si ergono le torri, che formano un altro quadrato (lato 272 piedi), interno al precedente.

Ora è immediato verificare che il lato delle torri (52 piedi) è la sezione aurea del lato dei basamenti (84 piedi), e questo è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al castello (136 piedi), mentre la distanza tra i basamenti delle torri (168 piedi) è la sezione aurea del diametro di tale circonferenza (272 piedi).

Inoltre, constatiamo che:336=12x28=12x(4+6+8+10)

cioè il numero 336, lato del castello, è il risultato della moltiplicazione del numero sacro 12 (12 sono i segni zodiacali, 12 i mesi dell'anno, 12 le ore del giorno, 12 le porte del Paradiso ecc.), per la somma della serie di numeri pari, rappresentativi dei poligoni regolari dal quadrato al decagono (=circolo), quest'ultima ritenuta figura geometrica universale e perfetta. Senza contare che 28 è un numero perfetto, cioè è uguale alla somma dei suoi divisori (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).

336

Federico II, l'illuminato Imperatore medioevale protettore di scienziati e matematici, tra cui Leonardo Fibonacci, che gli dedicò il suo lavoro "Practica geometriae" visitò più volte il castello di Aversa e ne creò il porticato interno, ed è molto probabile che il suo impianto sia servito come tipologia ai castelli pugliesi e siciliani.

Federico II di Svevia

IL CASTEL DEL MONTE

Il più famoso, il più bello, Castel del Monte, gioca con il sole, con i numeri, con la matematica e l'astronomia. Sembra la perfetta incarnazione della razionalità.

Indubbiamente Fibonacci, che discuteva con Federico II e gli scienziati della sua corte di problemi matematici, deve avere influito sulle scelte progettuali, così piene di implicazioni astronomiche, geografiche e matematiche, cosi impregnate dello "spirito della geometria".

Leonardo Pisano, figlio di Bonacci, il più grande matematico del

medioevo

Anche in questo capolavoro architettonico c'è una presenza massiccia della media ed estrema proporzione, che è ben visibile, ancor prima di entrare, nel timpano del portale (un triangolo i cui lati sono la sezione aurea della base), ed anche negli archi ciechi che collegano il piano superiore al cortile, e nelle sale trapezoidali in cui la base minore è la sezione aurea della maggiore.

Vediamo ora in dettaglio come il castello nasca da una formulazione geometrica che unisce armonicamente le leggi della matematica e della geometria con quelle naturali dell'astronomia e della geografia.

Se tracciamo quattro rettangoli aurei che si intersecano perpendicolarmente a due a due, notiamo subito che al centro si disegna un ottagono, ed un secondo ottagono si traccia alla periferia.

Questi due ottagoni saranno le pareti delle sale del castello. E' immediato constatare che i lati dei due ottagoni sono in rapporto aureo.

Infatti, se dal centro della composizione conduciamo delle rette che passino per i punti in cui i rettangoli tracciati prima si intersecano, otteniamo dei triangoli simili come OAB e OA'B', le cui altezze sono rispettivamente la metà delle due dimensioni dei rettangoli, perciò il loro rapporto di similitudine è aureo.

O

A B

A’ B’

H

H’Ma non basta, perchè i triangoli isosceli evidenziati nel disegno, con le loro altezze determineranno lo spessore delle cortine, ossia dei muri esterni del castello e con la lunghezza dei cateti quella che deve essere la lunghezza di ogni lato della torre.

E le torri dovranno necessariamente essere ottagonali perchè l'impone l'angolo di 135° che si apre tra le coppie dei triangoli.

Infine i raggi tracciati prima producono il disegno trapezoidale delle sale, nelle quali, pertanto, la base minore è la sezione aurea della maggiore.

La atematica La atematica

Nella cultura edievaleNella cultura edievale

LEONARDO PISANOLEONARDO PISANO AL KWARIZMIAL KWARIZMI NICOLA DA ORESMENICOLA DA ORESME

Ma con la nascita dei comuni le cose cambiarono. Ci fu una vera e propria rivoluzione economica .

Il mercante medievale era audace e intraprendente. Il progresso economico risvegliò l’amore per il sapere; ma ancora più decisivo

fu il contagio della cultura araba.

Dopo lo scisma dell’Impero romano la grande eredità culturale del mondo antico era stata divisa in due.

L’Europa era rimasta con il retaggio latino, che le aveva dato un lingua comune e le fondamentali concezioni del Diritto.

La Filosofia e le Scienze erano monopolio della cultura greca, da cui l’Occidente era rimasto irrevocabilmente separato.

“Intellettuale” nel Medioevo era colui che conosceva il latino e le leggi. Non sapeva nulla di medicina né di geometria: ignorava il

compasso, ignorava lo zero.

Né l’uomo medievale d’occidente aveva soverchie curiosità culturali: era sopraffatto dalla fame, dal freddo e dalla paura.

I mediatori tra la cultura araba e l’Europa furono gli ebrei: essi conoscevano sia l’arabo che il latino , e tradussero l’uno nell’altro. Una loro dinastia, gli Halevi , regalò all’Europa gli Elementi di Euclide, il Canone di Avicenna e i commentari di Averroè ad Aristotele.

Euclide

Il canone di medicina di Avicenna

Averroè

I mercanti italiani dunque portarono da terre lontane con le droghe e l’oro anche nuove (e antiche) conoscenze.

Uno di essi, un mercante di Pisa, Leonardo detto Fibonacci dette un enorme impulso alle conoscenze matematiche dell’epoca

Nacque verso il1170 da un notaio della repubblica di Pisa. Questi nel 1192 fu inviato alla dogana di Bougie, vicino Algeri, e di qui invitò il figlio perché imparasse i nuovi procedimenti aritmetici che gli Arabi avevano appreso dagli Indiani.

Leonardo, affascinato dalla nuova scienza,andò molto oltre le richieste del padre, lasciò Bougie e percorse tutto il Mediterraneo per studiare. Conobbe gli Elementi di Euclide e le idee di Al Khwarizmi.

A proposito di quest’ultima opera scrive lo stesso Leonardo:

Con studio assiduo e impegnandomi in discussioni giunsi a comprendere quanto di essa si studiava in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza, luoghi che ripetutamente visitai per i miei viaggi commerciali. Per questo considerai l’algoritmo e gli Archi di Pitagora quasi un errore in confronto al procedimento degli Indi. Riassunto in breve tale procedimento degli Indi, studiandolo più attentamente e aggiungendovi qualcosa di mia iniziativa e altro ancora apponendovi delle sottigliezze dell’arte geometrica di Euclide, mi sono impegnato a comporre nel modo più chiaro possibile questo libro diviso in 15 capitoli.

Ed in effetti la Practica Geometriae è modellato sugli Elementi di Euclide e il Liber Abaci è un compendio di quanto aveva

appreso da Al Khwarizmi e da Abu Kamil,

La numerazione adottata a quell’epoca era quella romana, di tipo addittiva. Tale scrittura additiva dei numeri rendeva però complessa l'esecuzione delle operazioni aritmetiche. Si utilizzava un apposito strumento, l’abacus: costituito da una tavoletta di legno o terracotta con delle scanalature parallele nelle quali si disponevano le pietruzze, dette calculi, da cui la parola calcolo per indicare qualsiasi procedimento operativo.

La numerazone posizionale che Leonardo aveva appreso da Al Khwarizmi semplificava notevolmente la procedura, e proprio dal nome di questo matematico arabo deriva il termine algoritmo

Al-Khwarizmi scrisse tra l’altro il trattato “Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi”, in cui veniva descritto il sistema posizionale decimale inventato dagli indiani; esso venne tradotto in latino attorno al 1120 con il titolo “Algoritmi de Numero indorum”. La traduzione latina iniziava così: “Dixit Algoritmi… e per questo a poco a poco la parola Algoritmo finì per indicare non il nome del matematico, ma quello di qualsiasi procedimento di calcolo.

Grande fu la disputa all’epoca tra abacisti e algoritmisti e Leonardo, con il suo Liber Abaci contribuì certamente

all’affermarsi di questi ultimi

Stampa allegorica che rappresenta la disputa tra

abbacisti e algoritmisti

LA MATEMATICA

Pitagora(abacista)

Boezio(algoritmista)

Nei primi sette capitoli Fibonacci presenta le nove “figure” degli Indiani e il signum 0 e le operazioni con essi. Ogni figura ha il valore che le compete, moltiplicato per la potenza di 10 corrispondente al suo posto (numerazione posizionale). Lo 0 serve per occupare i posti vuoti:

2325 significa 2·103+3·102+2·10+5

4204 significa 4·103+2·102+4

Notiamo come nel primo numero lo stesso segno, 2, ha significati diversi a seconda della posizione e così il segno 4 nel secondo numero, dove lo 0 in penultima posizione indica che non vi sono decine

IL “LIBER ABACI”

Per sommare due numeri Leonardo raccomanda di metterli in colonna, come si insegna oggi ai bambini delle elementari, anche se la notazione è leggermente diversa: la somma compare in alto, così:

7211232

1953

E poiché 10 unità fanno una decina, 10 decine un centinaio, ecc., se la somma supera 10 si aggiungono unità alla somma delle cifre a sinistra (regola del “riporto”):

LE OPERAZIONI

168547

715

Per moltiplicare un numero di più cifre per un numero di una sola cifra si moltiplica questo per ognuno dei segni, a partire dalle unità, applicando la regola del riporto detta prima:

47 7 = 329

Per moltiplicare due numeri di più cifre si fa uso della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

77 + 7410 =

49 + 280 =

Osservazione:Moltiplicando un numero per 10 si ottiene un numero le cui cifre sono tutte spostate di un posto, e l’ultimo posto è vuoto:

LA MOLTIPLICAZIONE

36 10 = 31010 + 610 = 360

decine unità decine unitàcentinaia

37 45 = 37 5 + 37 410 = 185 +1480 = 1665

3 7

4

5 5 1 8

8 1 4

5661

unità

unità

decine

decine

decine

centinaia

centinaia

centinaia

migliaia

migliaia

decine

Per moltiplicare numeri di più cifre si usa sempre la proprietà distributiva, tenendo conto di quanto detto a proposito della moltiplicazione per 10:

In pratica si usa la seguente tabella:

La sezione algebrica del “Liber Abaci” è dedicata interamente allo studio delle equazioni algebriche di primo e secondo grado secondo i metodi di Al Khwuarizmi, Abu Kamil e Al Karaji.

Forse Fibonacci aveva letto l’Aritmetica di Diofanto, nella quale sono posti e risolti 189 problemi, più di 50 tipi diversi, ma non viene fatto alcun tentativo di classificazione per tipo, ed ogni problema è risolto singolarmente.

LE EQUAZIONI

E qui c’è la novità che Fibonacci mutua dagli Arabi: una trattazione sistematica e la classificazione delle equazioni:

Numerus radix o cosa census

Prima vengono descritti i termini primitivi dell’algebra:

Termine noto quadrato dell’incognitaincognita

Poi vengono classificati sei tipi di equazioni:

quadrato uguale alla radice

quadrato uguale a un numero

radice uguale a un numero

quadrato più radice uguale a un numero

quadrato più numero uguale radice

radice più numero uguale quadrato

Esse sono descritte verbalmente usando i termini introdotti prima, infatti a quell’epoca non esisteva né il simbolo +, né =, né quello di potenza, né

venivano usate lettere per indicare numeri (noti o incogniti)

Le equazioni di secondo grado vengono trattate con il metodo del completamento del quadrato

quadrato uguale alla radice

quadrato uguale a un numero

radice uguale a un numero

quadrato e radice uguale a un numero

quadrato e numero uguale radice

radice e numero uguale quadrato

ax2 = bx

ax2 = c

bx = c

ax2 + bx = c

ax2 + c = bx

bx + c = ax2

Con il simbolismo moderno si avrebbe:

Tutte le equazioi rientrano nel caso generale ax2 + bx +c = 0 con a, b, c positivi, negativi o nulli, ma in quell’epoca i numeri negativi non erano

assolutamente considerati

In effetti la matematica indiana non ebbe timore di dare legittimità ai numeri negativi: erano tranquillamente accettati nelle operazioni contabili quali poste debitorie.Fibonacci, grazie alla sua formazione contabile e alla sua pratica mercantile, fu tra i primi occidentali ad accettare i numeri negativi. Sosteneva che quantità negative erano prive di senso se considerate come valori di un capitale, ma valide se considerate come debiti.

cona, b, c > 0

Per ogni tipo, secondo gli insegnamenti di Al Khwarizmi viene dato un procedimento (algoritmo) per la soluzione, naturalmente sempre in modo

retorico, senza fare uso cioè, né di abbreviazioni né di simboli

a) Prendi il coefficiente 1 [numero dei lati considerati]. b) Dividilo a metà. Tu hai1/2c) Moltiplica 1/2 con 1/2 [fa 1/4] d) Congiungi 1/4 con 3/4 e fa 1 che ha 1 come radice quadrata. e) 1/2 che tu hai moltiplicato [per se stesso], sottrai da 1 e (fa) 1/2f) (che) è (il lato del) quadrato.

Ecco un esempio di un problema antichissimo:

In simboli moderni: x = √(1/2)2 + ¾ - ½ che altro non è se non la formula risolvente che ogni alunno conosce, applicata all’equazione data

Ho sommato la superficie [e un lato] del quadrato: fa 3/4

L’equazione corrisponde a: x2 + 1x = 3/4

RISOLUZIONE

Naturalmente la soluzione negativa non è contemplata

Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, nativo della regione del Khwarezm (antica

Corasmia) è stato un matematico musulmano, astronomo, astrologo e

geografo di origine persiana. Nacque verso il 780, e morì nell’850 circa.

Visse a Baghdad presso la corte del califfo al-Ma’mūn, che lo nominò responsabile della sua biblioteca, la famosa Bayt al-Hikma, "Casa della Sapienza", di Baghdad. Sotto la sua direzione furono tradotte in arabo

molte delle principali opere matematiche dell'antichità.

Il metodo di al-Khwārizmī per risolvere equazioni lineari e di 2° grado si basa principalmente nel ridurre l’equazione a uno

dei sei tipi elencati prima

Al-muqābala è il procedimento utilizzato per portare le quantità dello stesso segno dallo stesso membro dell’equazione.

Per esempio, x2+14 = x+5 si riduce ax2+9 = x.

Le equazioni vengono modificate usando le due operazioni al-jabr ("completamento") e al-muqābala ("bilanciamento").

Al-jabr è il procedimento utilizzato per rimuovere i numeri negativi, le radici e i quadrati aggiungendo la stessa quantità

ad entrambi i membri dell’equazione.

Per esempio, x2 = 40x - 4x2 è ridotto a

5x2 = 40x

aggiungendo 4x2 ad entrambi i membri.

Ed è esattamente con questo metodo, che Fibonacci risolve nel suo “Liber Abaci” 22 problemi tratti dall’Algebra di al

Khwarizmi e 53 dall’algebra di Abu Kamil.

Il libro contiene poi altri problemi di vario tipo, risolti usando le proporzioni, oppure con il metodo della falsa posizione, oltre

che con il metodo diretto (quello degli Arabi); contiene il calcolo approssimato delle radici, ed infine problemi risolti sfruttando

proprietà geometriche.

I problemi sono dunque il pretesto per insegnare metodi di risoluzione,in modo sistematico: una breve trattazione teorica,

una successione graduata di esercizi, problemi di carattere concreto.

Il libro è dunque una propaganda dei nuovi metodi: alcuni problemi, risolti prima con complicati passaggi aritmetici, sono poi risolti nuovamente con il “metodo diretto” per mostrarne la

convenienza.

LA FALSA POSIZIONEÈ un metodo per risolvere equazioni del tipo ax = b

ESEMPIO

Di un albero 1/4 e 1/3 sono sotto terra. La parte sotterranea dell’albero misura 21 palmi.

si tratta di risolvere l’equazione (7/12 ) x = 21 che dà per soluzione x = 21(12/7) = 36

Fibonacci ragiona così: partiamo da un valore scelto arbitrariamente per la misura dell’albero. Conviene scegliere 12, che è multiplo sia di 4 che di 3.

La somma di 1/4 di 12 (cioè 3) e 1/3 di 12 (cioè 4) fa 7

Questa sarebbe la lunghezza della parte interrata dell’albero se esso fosse alto in tutto 12 palmi. Ma poiché la parte interrata misura 21 palmi, cioè il triplo di 7

l’albero sarà alto il triplo di 12, cioè 36 palmi.

Nella sua argomentazione Fibonacci richiama il procedimento per risolvere una proporzione: 7 sta a 21 come 12 sta all’altezza richiesta.

<<Poiché il prodotto tra il primo e il quarto è = al prodotto tra il secondo e il terzo, tu moltiplica il secondo per il terzo (2112) e dividi per il primo 7: troverai il triplo di 12 che è 36>>

Nel Liber Quadratorum, scritto nel 1225, Fibonacci, per primo, nota che i numeri quadrati possono essere costruiti come

somme di numeri dispari, descrivendo, in linea essenziale, un procedimento induttivo e usando la formula n2+(2n+1)=(n+1)2.

La sequenza dei quadrati è infatti:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …..

3

CENNI SU ALTRE OPERE DI LEONARDO

IL “LIBER QUADRATORUM”

5 7 9 11 13 …

Una suggestiva interpretazione

geometrica.

1 4 9 16 ….Non è l’unica sccessione studiata da Leonardo: accanto a quella famosissima che porta il suo nome, di cui parleremo più vanti vogliamo ricordare che un problema del “Liber abaci” viene da lui risolto calcolando la somma di quella che noi oggi chiamiamo progressione aritmetica. Egli dice che, qualunque sia la ragione, la somma di un qualsivoglia numero di termini è data dal prodotto tra la metà del numero dei termini della successione e la somma tra il primo e l’ultimo termine.

Anche qui possiamo dare una interpretazione “visiva”:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. ….. 49 50

100 99 98 97 96 95 94 93 ……. …… 53 52 51

101+10+101+101+….. +101+101+101

+

= 50101Fibonacci raggiunse questo risultato molto prima di Gauss, cui è attribuita la formula

(a1+an)n/2

Come già si è detto questo lavoro ricalca l’opera di Euclide; è un trattato di geometria teorica e pratica, in cui si discutono questioni riprese dagli elementi di Euclide; in particolare si costruisce il pentagono e il

decagono regolare (poligoni legati alla sezione aurea), che poi abbiamo ritrovato nell’impianto

progettuale del Castel del Monte

PRACTICA GEOMETRIAE

NICOLA DA ORESME

Fu uno dei più famosi e influenti pensatori del tardo Medio Evo; fu inoltre un teologo appassionato, traduttore competente, influente consigliere del Re Carlo V di Francia e vescovo di Lisieux. Viene considerato uno dei principali fondatori e divulgatori delle scienze moderne e uno dei più originali pensatori del XIV secolo.

Vogliamo infine ricordare un altro grande matematico del tardo Medioevo.

Nacque intorno al 1320-1325 nel villaggio di Allemagne in Normandia

In molti campi Nicola da Oresme è stato precursore di altri scienziati più conosciuti

Oresme infatti ebbe l’idea di utilizzare ciò che dovremmo chiamare coordinate rettangolari nella terminologia moderna, una lunghezza proporzionale alla longitudo, l’ascissa di un dato punto e una ad essa perpendicolare, proporzionale alla latitudo, l’ordinata. I parametri longitudo e latitudo possono variare (latitudo difformis) o rimanere costanti (latitudo uniformis).

Oresme, in questo modo, ottiene l’equazione della retta come insieme di punti con latitudo uniformis, e quindi precede di molto Cartesio nell’invenzione della geometria analitica.

Studiando la latitudo uniformiter difformis ottenne la legge dello spazio percorso nel caso del moto che varia uniformemente. Oresme in questo modo precedette la dimostrazione della legge del moto uniformemente vario di Galileo.

Oresme si interessò anche di musica studiando il monocordo, cambiando la divisione pitagorica in intervalli come 8/9, 1/2, 3/4, 2/3, e fornì lo strumento per generare l' eguale temperamento qualche secolo prima di Werckmeister. Ecco un esempio della suddivisione equa di un’ottava in dodici parti:

La divisione dell’ottava in rapporti razionali, cari ai Pitagorici, non è in effetti comoda perché non consente di mantenere con precisione gli stessi rapporti nelle ottave successive, e quindi crea problemi pratici nell’accordatura degli strumenti musicali.

Per superare questi problemi Oresme decise di rinunciare ai rapporti razionali, suddividendo in maniera uniforme l’ottava in dodici semitoni, con rapporto costante tra le frequenza di due suoni che differiscono di un semitono.

Poiché da un DO al DO successivo la frequenza si raddoppia per ottenere 12 semitoni a intervalli regolari tale rapporto costante deve essere 12 2.

Si ottiene così la scala temperata, in cui i rapporti tra le frequenze di una nota e la successiva sono:

1212 2 222 (1 (1 tono)tono)

1212 2 22 2

(1 tono)(1 tono)

1212 2 2 (1semitono)(1semitono)

1212222 2 (1 (1 tono)tono)

1212222 2 (1 (1 tono)tono)

1212222 2

(1 tono)(1 tono)

12122 2 (1semitono)(1semitono)

E le frequenze di ogni nota, rapportate al DO precedente sono dunque:

LA SCALA TEMPERATA

DO RE MI FA SOL LA SI DO

DO RE MI FA SOL LA SI DO

1 12 22 12 24 12 25 12 27 12 29 12 211 12212 =2

Infine Oresme si interessò molto ai limiti, ai valori di soglia e alle serie infinite mediante addizioni geometriche (Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Questiones super geometriam Euclidis) che prepararono la via per il calcolo infinitesimale. Dimostrò la divergenza della serie armonica, utilizzando il metodo standard insegnato ancora oggi nelle lezioni di calcolo:

SERIE ARMONICA

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ……

Già con la serie geometrica si era acquisito il concetto che una somma di infiniti addendi può dare un risultato finito se ciò che si aggiunge diventa via

via sempre più piccolo.

Ma Oresme dimostrò che questo non si verifica ogni volta che aggiungiamo termini via via più piccoli (infinitesimi)

Oggi parliamo di condizione necessaria ma non sufficiente.

La serie armonica infatti ha il termine generale infinitesimo, ma non converge:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + …

> 1/2 > 1/2 > 1/2

Sostituendo 1/3 con 1/4 che è più piccolo si ottiene 2/4 = 1/2

Sostituendo 1/5, 1/6, 1/7 con 1/8 che è più piccolo si ottiene 4/8 = 1/2

Continuando questo procedimento all’infinito si ottiene la serie

1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

che sicuramente non converge

Oggi diciamo che la serie armonica è minorata da una serie a termini positivi definitivamente costanti e pertanto diverge.

DIVERGENZA DELLA SERIE ARMONICA

La atematica La atematica

Nei giochi edievaliNei giochi edievali

•IL GIOCO DEI DADI

•UN TORNEO ALLA CORTE DI FEDERICO II

I GIOCHII giochi più diffusi nel medioevo sono quelli, antichissimi, con i dadi, e tra questi la zara. La stessa parola “azzardo” deriva proprio da zara.

Se tutti e tre i numeri sono uguali vi sono 6 possibilità; se due sono uguali e l'altro è differente ci sono 30 casi, in quanto le coppie possono essere scelte in sei modi e l'altro in cinque; se tutti e tre sono differenti ci sono 20 modi. Ci sono 56 possibilità.Ma se tutti e tre sono uguali v'è un solo modo per ciascun numero; se due sono uguali ed uno differente vi sono tre modi; e se tutti sono differenti vi sono sei modi.

Non esisteva a quel tempo alcuna teoria sulla probabilità, ma già nel XIII secolo Richard de Fournival (1200 – 1250) conta i vari modi in cui si possono presentare tre dadi nell’opera “De Vetula”:

Segue, anche se non è esplicitamente detto:

(6 1) + (30 3) + (20 6) = 216

Non vi è alcuna definizione di probabilità, ma non sfuggiva a nessuno che le combinazioni che si possono avere in minor numero di modi erano più rare ad uscire.

Ora siccome con tre dadi le uscite che si possono manifestare in un minor numero di modi (quindi più raramente) sono 3 e 18, (in un sol modo) e 4 e 17 (in tre modi) queste venivano chiamate AZARI e non computate nel gioco:

In tre dadi si è tre lo minore numero che vi sia. E non può venire, se non in un modo, cioè quando ciascun dado viene in asso. Quattro non può venire in tre dadi, se non in uno modo, cioè: uno in due e due in asso. E però che

questi numeri non possono venire, se non per uno modo per volta, per schifare fastidio, e per non aspettare troppo, non sono computati nel giocho

e sono appellati azari. Lo simile di 17 e 18" (Jacopo della Lana).

Il gioco dei dadi era diffusissimo in tutti i ceti sociali, ma come abbiamo visto non ancora aveva dato luogo a quella che poi

sarà una vera e propria teoria matematica.

Vogliamo invece parlare di un vero e proprio torneo di matematica indetto da Federico II alla corte di Palermo.

L’illuminato Imperatore amava circondarsi di scienziati e seguiva con interesse la disputa tra algoritmisti e abbacisti, così incaricò il maggiore esperto della sua corte – Maestro Giovanni da Palermo – di proporre i più ardui problemi di calcolo al migliore algoritmista dell’epoca, il nostro Leonardo Pisano.

Il più famoso è il problema dei conigli:

Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinetur: Quidam posuit unum par coniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret quot ex eo par germinatur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant.

Fibonacci, come sempre, spiega verbalmente il procedimento, che noi possiamo illustrare facilmente con la seguente tabella:

mesemese Coppie Coppie immatureimmature

Coppie Coppie fertilifertili

totaletotale

00 00 11 11

11 11 11 22

22 11 22 33

33 22 33 55

44 33 55 88

55 55 88 1313

66 88 1313 2121

77 1313 2121 3434

88 2121 3434 5555

99 3434 5555 8989

1010 5555 8989 144144

1111 8989 144144 233233

1212 144144 233233 377377

Infatti ogni mese le coppie fertili producono altrettante coppie immature mentre le coppe immature diventano fertili e si aggiungono a quelle già fertili

Il totale dopo 12 mesi è 377

Fibonacci, dopo aver spiegato il procedimento annota solo l’ultima colonna, spiegando come ogni termine si ottiene sommando i due che lo precedono, e dice espressamente <<si può procedere per un numero infinito di mesi>>

È nata la prima successione della storia!

UN’ALTRA SFIDA

Nel “Liber quadratorum” viene risolto un altro dei problemi proposti da Giovanni da Palermo:

Trovare un numero razionale tale che aggiungendo 5 o sottraendo 5 al suo quadrato si ottenga ancora il quadrato di

un numero razionale

x2 + 5 = y2 x2 – 5 = z2

Si tratta dunque di trovare tre numeri razionali quadrati perfetti (detti congruenti) che differiscono tra loro di una quantità fissa,

nel caso in questione 5, detta congruo.

Fibonacci trova la soluzione: 41/12Infatti

(41/12)2 + 5 = (49/12)2 e (41/12)2 – 5 = (31/12)2

ETODI ODERNI PER PROBLEMI ANTICHI

•UN CAVALLO PER QUATTRO UOMINI

•LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

•I QUADRATI CONGRUENTI

UN CAVALLO PER QUATTRO UOMINI

Abbiamo immaginato di partecipare anche noi al torneo,

ed abbiamo risolto alcuni dei problemi proposti con i metodi studiati a scuola.

"Quattro uomini trovano un cavallo in vendita.Ognuno di loro vorrebbe comprarlo ma nessuno ha sufficienti

bisanti a disposizione. Il primo dice «Io posso comprarlo, se mi date la meta' dei vostri bisanti». Il secondo, a sua volta, dice

«Anch'io posso comprarlo, se mi date 1/3 dei vostri bisanti». E il terzo: «Io invece lo posso comprare, se mi date 1/4 dei vostri bisanti». Il quarto infine dice: «Io posso comprarlo, se mi date

1/5 dei vostri bisanti».Se i prezzi sono espressi in numeri interi (i piu' piccoli

possibili), quanti bisanti possiede ognuno degli uomini e quanto costa il cavallo?"

Il problema si risolve con un sistema di quattro equazioni.

Poiché le incognite sono cinque il problema è indeterminato.

Ma la soluzione diventa univoca se aggiungiamo due ulteriori condizioni:

•Tutte le quantità sono espresse in numeri interi di bisanti.

•Cerchiamo la soluzione più piccola che soddisfi la condizione precedente.

SOLUZIONE

x + 1/2 y +1/2 z + 1/2 t = p

1/3 x + y + 1/3 z + 1/3 t = p

1/4 x + 1/4 y + z + 1/4 t = p

1/5 x + 1/5 y + 1/5 z + t = p

Con x, y, z, t, p interi

Il sistema si può riscrivere:

2x + y + z + t = 2p

x + 3y + z + t = 3p

x + y + 4z + t = 4p

x + y + z + 5t = 5p

Eliminando un’incognita con il metodo di sostituzione otteniamo:

t = 2p – 2x –y – z

x + 3y + z + 2p – 2x –y – z = 3p

x + y + 4z + 2p – 2x –y – z = 4p

x + y + z + 5(2p – 2x –y – z) = 5p che si riscrive:

t = 2p – 2x –y – z

-x + 2y = p

-x + 3z = 2p

9x + 4y + 4z = 5p

Risolviamo con il metodo di Cramer il sistema delle ultime tre equazioni, nelle tre incognite x, y, z, considerando p come un parametro:

-1 2 0

-1 0 3

9 4 4

= 0 + 54 – 0 – 0 + 8 + 12 = 74 =

x= p 2 0

2p 0 3

5p 4 4

= 0 + 30p + 0 – 0 – 16p – 12p = 2p

y= -1 p 0

-1 2p 3

9 5p 4

= -8p + 27p + 0 – 0 + 4p + 15p = 38p

z= -1 2 p

-1 0 2p

9 4 5p

= 0 + 36p – 4p – 0 + 10p + 8p = 50p

x = x / = 2p/74 = p/37

y = y / = 38p/74 = 19p/37

z = z / = 50p/74 = 25p/37

t = 2p – 2x – y – z = 28p/37

Dando a p il valore 37 si ottengono per x, y, z, t i valori interi 1, 19, 25, 28. Ma se vogliamo che anche i negoziati tra i quattro uomini si effettuino con un numero intero di bisanti occorre che x, y, z e t siano divisibili per 2, 3, 4 e 5, cioè per il loro m.c.m. 60

Quindi il risultato richiesto è:x = 60; y = 1140; z = 1500; t = 1680: Il cavallo costa 2220 bisanti

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci è definita per ricorsione, cioè ogni termine si ottiene dai precedenti secondo una legge prestabilita.

Una successione del genere può descrivere un fenomeno reale nel caso in cui il sistema evolva a passi costanti.

In termini moderni una tale successione viene chiamata sistema dinamico discreto: S.D.D.

S.D.D.

SISTEMA DINAMICO DISCRETO

una o più grandezze che si evolve mediante a passi costanti una legge ricorsiva nel tempo

Per definire un S.D.D. serve:

1) Una legge ricorsiva 2) La/le condizioni iniziali

an+2 = an+1 + an

a0 = 1 a1= 1

Nel nostro caso:

Le condizioni sono 2 perché la ricorsione è su due passi

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

2584

4181

6765

10946

17711

28657

46368

75025

121393

196418

317811

514229

832040

Ci siamo serviti di un foglio di lavoro (Fibonacci.excel, colonna A) per calcolare i primi termini della successione di Fibonacci per ricorsione, ottenendo:

Potremmo desiderare una legge che descriva lo stesso fenomeno, ma non in modo ricorsivo, bensì come una legge che ad ogni n associa an. Una tale legge si chiama soluzione del sistema dinamico.

Ci siamo poi domandati se fosse possibile trovare la soluzione del S.D.D.

Supponendo che la legge richiesta fosse del tipo a = n ci siamo proposti di trovare

Poiché an+2 = an+1 + an

deve essere: n+2 = n+1 + n da cui, dividendo per n

2 = + 1

L’equazione, risolta, dà due soluzioni: 1 = (1-5)/2 2 = (1+5)/2

Si assume dunque an = c1 [(1 - 5)/2]n + c2 [(1 + 5)/2]n

Per determinare c1 e c2 ci serviremo delle condizioni iniziali:a0 = 1 a1 = 1 cioè

c1 + c2 = 1

c1 [(1 - 5)/2] + c2 [(1 + 5)/2] = 1

risolvendo il sistema otteniamo:

c1 = (5 – 1)/(25)

c2 = (1 + 5)/(25)E quindi an = (1/5){[(1+5)/2]n+1- [(1-5)/2]n+1}

Verifichiamo se la soluzione trovata riproduce lo stesso S.D.D.:

Per n = 0 a0 = (1/5){[(1+5)/2] - [(1-5)/2]} = (1/5)(2 5/2) = 1

Per n = 1 a1 = (1/5) [(1+5)/2]2 - [(1-5)/2]2 = (1/5){[(1+5+25)/4] - [(1+5-25)/4]} =

(1/5)(45)/4 = 1

E così via.

Con il foglio di lavoro abbiamo calcolato i primi termini della successione con la formula trovata, (colonna C) ottenendo esattamente gli stessi valori trovati per ricorsione.

Non ci è certo sfuggito che la soluzione trovata richiama nella sua formulazione il numero aureo = (1 + 5)/2 e ci siamo chiesti che legame c’è tra la succesione di Fibonacci e

Il sorprendente risultato è il seguente:

Il rapporto tra ciascun termine e il precedente si avvicina sempre più al numero aureo, al crescere di n (colonna F):

a(n)/a(n-1)

0,000000000000

0,500000000000

1,000000000000

1,500000000000

2,000000000000

2,500000000000

0 5 10 15 20 25 30 35

Nel foglio di lavoro abbiamo calcolato il valore approssimato di fino alla dodicesima cifra decimale, 1,618033988750 (cella E2) e i rapporti fino ad a30/a29, e si vede che quest’ultimo coincide con fino all’undicesima cifra decimale: a30/a29= 1,618033988751 (cella D32)

Il grafico precedente ci mostra che l’approssimazione avviene alternativamente per difetto e per eccesso; abbiamo perciò separato i termini di posto pari da quelli di posto dispari (colonne M e O) e abbiamo nuovamente calcolato i rapporti. Naturalmente convergono entrambi a , ma i rapporti an+1/an con n pari crescono, mentre quelli con n dispari decrescono:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

disp/pari

pari/disp

Con i metodi dell’analisi matematica:

limn

(1/5){[(1+5)/2]n- [(1-5)/2]n}

(1/5){[(1+5)/2]n+1- [(1-5)/2]n+1}=

[(1+5)/2]n+1{1- [(1-5) / (1+5]n+1}

[(1+5)/2]n{1- [(1-5) / (1+5]n}

0 (perché la base

è <1)

0(perché la base è <1)

=limn

(1+5)/2

=an+1

an

limn

Semplificando, raccogliendo, e semplificando nuovamente:

I QUADRATI CONGRUENTI

Trovare un numero razionale tale che aggiungendo 5 o sottraendo 5 al suo quadrato si ottenga ancora il quadrato di un

numero razionale

Si tratta di risolvere il sistema

x2 + 5 = y2

x2 – 5 = z2

x2 + 5 = (m2 + 5n2)/n2

x2 – 5 = (m2 – 5 n2)/n2

Con x, y, z razionali

Ponendo x = m/n, si ha

Il problema dunque diventa:

m2 + 5n2 = p2

m2 – 5n2 = q2Con m, n, p, q interi

Anche questo sistema è indeterminato perché ha più incognite (quattro) che equazioni (due), ma c’è la condizione

aggiuntiva che le soluzioni vanno ricercate in N.Risolvendo rispetto ad m2 ed n2 si ha, con il metodo di

addizione e sottrazione:

m2 = (p2 + q2)/2

n2 = (p2 – q2)/10

Ora si tratta di dare dei valori a p e q in modo che m2 ed n2 siano quadrati perfetti.

In un foglio di lavoro abbiamo elencato nella prima colonna i numeri naturali e nella seconda i loro quadrati tra cui scegliere p2 e q2. La seconda relazione ci dice che essi, perché la loro differenza sia un multiplo di 10, devono terminare con lo stesso numero.

Nella terza colonna abbiamo selezionato tutti i quadrati che terminano con lo stesso numero, cominciando da 1 e nelle successive,mediante la funzione “SE”, abbiamo selezionato tra questi quelli la cui differenza, divisa per 10, è un quadrato perfetto.

Tra i quadrati perfetti che terminano con 1 sono risultati abbinabili (colonne X e Y) le coppie:

1, 361 la cui differenza divisa per 10 dà 36 = 62

81,121 la cui differenza divisa per 10 dà 4 = 22

81, 441 la cui differenza divisa per 10 dà 36 = 62

81, 1521 la cui differenza divisa per 10 dà 144 = 122

441, 2401 la cui differenza divisa per 10 dà 196 = 132

961, 2401 la cui differenza divisa per 10 dà 144 = 122

1521,1681 la cui differenza divisa per 10 dà 16 = 42

Tra queste coppie va scelta quella che soddisfa l’altra condizione, cioè che la somma, divisa per 2 sia un quadrato perfetto. L’unica (colonna

AA) è la coppia 961 (=312), 2401 (= 492) perciò:

m2 = (2401 + 961)/2 = 1681 = 412

n2 = (2401 – 961)/10 = 144 = 122

m = 41 n = 12

La frazione richiesta è, in accordo con Fibonacci, 41/12(41/12)2+5 = 1681/144 + 5 = 2401/144 = (49/12)2

(41/12)2 - 5 = 1681/144 - 5 = 961/144 = (31/12)2 infatti