Corso di Fisica Moderna

1Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010

Università degli Studi di Udine

Corso di laurea in Fisica Computazionale

Sara Padovani

1. Particelle identiche e spin

2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann)

3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)

4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)

5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac)

6. Teoria delle bande per i solidi (cenni)

7. Fisica dei semiconduttori

In Meccanica Quantistica non esiste il concetto di traiettoria, che presuppone

la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle.

Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche, e di determinare

con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante t , trovando due

posizioni r1 e r2 . Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante t’,

trovando delle posizioni r1’ e r2 ‘. Siamo in grado di dire se la particella in 1 era

quella che si trovava in r1 , oppure viceversa? La risposta è NO.

Particelle identiche

Supponiamo di avere due particelle identiche in una scatola.

In Meccanica Classica: possiamo pensare di seguire il moto di ogni particella e

individuarne la traiettoria, senza “disturbare” il sistema.

Questo è un principio generale che prende il nome di:

PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ‘

dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una

misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle

In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni

possibili.

Principio di indistinguibilità

Il principio di indistinguibilità per le particelle identiche deve sempre

essere tenuto presente nelle trattazioni di MQ, in particolare nella forma in

cui scrivere la funzione d’onda di una particella.

La funzione d’onda che descrive il sistema deve essere insensibile allo

scambio di due particelle.

la funzione d’onda che descrive il sistema costituito da due particelle

identiche non interagenti , tale per cui all’istante t

• la particella a si trova nella posizione r1

• la particella b nella posizione r2

( ) ( )trrtrrba ,,,, 2121, Ψ=Ψ

Sistema costituito da due particelle identiche

Un sistema costituito da due particelle può essere descritto dalla funzione

d’onda:

che soddisfa all’equazione di Schrödinger:

con H hamiltoniano del sistema:

( )trr ,, 21Ψ

i ˆ=∂

( )trrUmm

H ,,22

+∇−∇−=hh

La probabilità di trovare la particella 1 nell’elemento di volume d3r1, e la

particella 2 nell’elemento d3r2 è definita dal modulo quadro della funzione

d’onda:

che va normalizzato su tutto il volume

( ) 1,, 2

21 =Ψ∫ rdrdtrr

21 ,, rdrdtrrdw Ψ∝

Se l’energia potenziale U non dipende dal tempo, è possibile risolvere

l’Equazione di Schrödinger con il metodo della separazione delle variabili,

ponendo:

In tal caso la funzione d’onda dipende solo dalle coordinate

spaziali e soddisfa all’Equazione di Schrödinger stazionaria:

SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA

( ) ( ) hiEt

errtrr−

Ψ=Ψ 2121 ,,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121

rrErrrrUrrm

ψψψψ =+∇−∇−hh

( )21,rrΨ

La MQ mi fornisce gli strumenti per costruire una funzione d’onda che descrive

lo stato di un sistema costituito da particelle identiche senza specificare quale

particella sta in uno stato e quale nell’altro.

Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono

soddisfare al vincolo E = Ea+Eb

( ) ( ) ( )2121, , rrrr abab ΨΨ=Ψ

( ) ( ) ( )2121, , rrrr baba ΨΨ=Ψ

Operatore di scambio

Definiamo l’operatore di scambio P che inverte la posizione delle particelle:

Applicando l’operatore P due volte, si deve riottiene la situazione iniziale ossia:

Quindi:

P2 ha autovalore 1

P ha autovalori ±1

Significa che esistono due tipologie di funzioni d’onda che possono descrivere

il sistema:

( ) ( )1221 ,, rrrrP Ψ=Ψ

( ) ( ) ( )211221

2 ,,, rrrrPrrP Ψ=Ψ=Ψ

( ) ( )( ) ( )2112

Ψ−=Ψ

Ψ+=Ψ Simmetrica

Antisimmetrica

Ci sono due funzioni d’onda che descrivono un sistema costituito dalla

combinazione lineare degli stati A e B :

Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono

soddisfare al vincolo E = Ea+Eb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abba ΨΨ±ΨΨ=Ψ±

( ) ( ) ( )2121, , rrrr abab ΨΨ=Ψ

( ) ( ) ( )2121, , rrrr baba ΨΨ=Ψ

Esistono due tipologie di particelle!!!

Bosoni e fermioni

Funzione simmetrica

Funzione antisimmetrica

BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI

Particelle con spin

intero

Particelle con spin

semi- intero

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaSS ΨΨ+ΨΨ=Ψ=Ψ+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaAA ΨΨ−ΨΨ=Ψ=Ψ−

Sistema a due particelle

Supponiamo di avere due fermioni identici, ovvero che

Si ha che

Fermioni identici

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico

Ritorniamo alla funzione antisimmetrica che descrive due fermioni:

( ) ( )11 rr ba Ψ=Ψ

( ) ( )22 rr ba Ψ=Ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0, 212121 =ΨΨ−ΨΨ=Ψ rrrrArr abbaAA

( ) 0,2

21 =Ψ rrA

Formulato nel 1925 dichiara che:

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato

quantico.

Principio di esclusione di Pauli

E' il principio di esclusione di Pauli che permette ad un oggetto di non

dissolversi nelle vostre mani, dato che ogni fermione occupa uno spazio

vitale che non può spartire.

La funzione d’onda totale può essere espressa come il prodotto di una

funzione spaziale α e una di spin β

Funzione d’onda totale = αααα (funzione spaziale) × ββββ(funzione di spin)

La parte spaziale descrive il

moto orbitale di una

particella rispetto all’altra ed

e’ rappresentata dalle

armoniche sferiche Ylm(θθθθ,ϕϕϕϕ)

E’ una funzione

• simmetrica per spin paralleli

• antisimmetrica per spin antiparalleli

BOSONI: α e β entrambe simmetriche o antisimmetriche

FERMIONI:α simmetrica

β antisimmetrica… o viceversa

Bosoni e fermioni

)(),( spinYm

l βϕϑ ×=Ψ

FERMIONI: funzione d’onda anti-simmetrica per inversione spaziale. Non

possono quindi coesistere nello stesso stato (al più possono esistere due

fermioni nello stesso stato energetico, ma con spin opposto)

BOSONI: funzione d’onda simmetrica per inversione spaziale. Come

conseguenza di questo fatto possono coesistere nello stesso stato anche in

numero molto grande.

Bosoni e fermioni

Funzione simmetrica

BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI

Particelle con spin

intero

Particelle con spin

semi- intero

FERMIONI (quanti di materia) corrispondono alle particelle che costituiscono la

materia (nuclei, atomi, molecole) cioè i quark (di cui sono formati i protoni e i

neutroni, costituenti del nucleo atomico), l'elettrone e il neutrino, più altre repliche

dello stesso tipo di particelle (con le stesse interazioni) ma molto più pesanti e

quindi instabili.

BOSONI (quanti di forza): particelle che, nella concezione duale onda-

corpuscolo della MQ, sono i portatori delle forze fondamentali che si esercitano

tra le particelle elementari e che quindi ne determinano le interazioni.

Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle

fondamentali: i quanti di materia e i quanti di forza.

Modello standard: bosoni e fermioni

FORZE FONDAMENTALI

l'elettromagnetica l'elettromagnetica

deboledebole

forte forte

gravitazionalegravitazionale

fotonefotone

bosoni bosoni WW±± e Ze Z

gluonigluoni

gravitonegravitone

Modello standard: bosoni e fermioni

γγγγγγγγ±±±±±±±±

νννννννν

Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle

fondamantali: i quanti di materia e i quanti di forza.

Nel suo famoso articolo del 1925, in cui enunciò il principio di

esclusione, Wolfgang Pauli introdusse per la prima volta

quattro numeri quantici per descrivere compiutamente lo

stato degli elettroni all'interno degli orbitali atomici.

Il quarto numero quantico introdotto da Pauli era lo "spin",

momento angolare intrinseco associato alla particella.

Lo spin

Dal punto di vista sperimentale, nel frattempo, i tempi erano maturi per

l'osservazione degli effetti di tale ipotesi.

2. Meccancia statistica classica (Maxwell-Boltzmann)

La meccanica statistica è un ramo della fisica che studia il comportamento e

le proprietà medie di sistemi costituiti da un numero molto grande di particelle:

lo strumento di queste analisi sono i metodi e le tecniche della statistica,

applicati alla descrizione del moto delle particelle.

Si è sviluppata nel corso del XIX secolo principalmente per merito del fisico

inglese James Clerk Maxwell, del fisico austriaco Ludwig Boltzmann e del

fisico matematico statunitense J. Willard Gibbs. Convinti che la materia fosse

costituita da un gran numero di particelle minuscole (atomi e molecole) in

costante movimento, questi scienziati erano consapevoli del fatto che la

determinazione del moto di ogni singola particella, in base all'applicazione della

meccanica newtoniana, fosse un procedimento impraticabile.

Maxwell, Boltzmann e Gibbs svilupparono metodi statistici che permettessero

di descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle

variabili microscopiche, e di dedurre da questi le caratteristiche

termodinamiche macroscopiche dei sistemi.

Meccanica statistica

Negli anni Venti la meccanica statistica venne riformulata, al fine di includere i

nuovi principi della teoria quantistica. La natura delle particelle infatti, così

come viene intesa dalla teoria quantistica, è diversa da quella tipica della teoria

classica, basata sui principi della dinamica di Newton. Due particelle classiche

sono teoricamente distinguibili, (possono essere distinte apponendo a ciascuna

un'etichetta di riconoscimento) le particelle quantistiche sono del tutto

indistinguibili.

La nuova teoria di fisica richiese una ridefinizione generale dei principi della

meccanica statistica: inoltre, fu necessario utilizzare due diversi metodi statistici

per descrivere le proprietà fisiche di sistemi di particelle quantistiche. Per la

descrizione statistica di sistemi di particelle dotate di spin semi-intero

(fermioni) si richiedeva la statistica di Fermi-Dirac, mentre per sistemi di

particelle dotate di spin intero (i bosoni) era necessaria la statistica di Bose-Einstein.

Meccanica statistica quantistica

Statistica classica:

C. MaxwellL. Boltzmann

La statistica di Maxwell-BoItzmann è stata ricavata nell'ambito dello studio della

teoria cinetica dei gas, nella quale si assume che le molecole interagiscono tra

di loro molto debolmente e solo durante le collisioni: si possono quindi

trascurare tutti gli altri tipi di forze possibili.

Sistema chiuso di N particelle distinguibili “debolmente” interagenti

Meccanica statistica classica: Maxwell e Boltzmann

1 2 3 ... S

ε1 ε 2 ε 3 … ε S

N1 N2 N3 … NS

IPOTESI:

1. Sistema chiuso

2. Particelle distinguibili

3. Interazioni deboli particelle non-interagenti

4. N=cost. E=cost.

5. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema

sono costanti.

6. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... S e

le loro energie ε1, ε2, ...

Vincoli

ii EN1

Statistica di Maxwell-Boltzmann

1 2 3 ... S

ε1 ε 2 ε 3 … ε S

N1 N2 N3 … NS

Ho realizzato una ripartizione detta MACROSTATO

Questa ripartizione può essere fatta in un certo numero di MODI o MICROSTATI (W)

Vincoli

ii EN1

In quanti modi posso

realizzare questa

ripartizione?

Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili

Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può

essere realizzato col massimo numero di modi possibili (principio di massima

verosimiglianza)

Voglio determinare:

1. Il numero di modi W associato ad una certa ripartizione (macrostato)

2. La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio

termico

Numero di modi: sistema con numero finito di stati

Possibilità di mettere N1 particelle nello stato 1 ordinatamente

ciascuna di queste può essere ottenuta con N1! differenti permutazioni delle

particelle quindi le possibilità distinte sono

Lo stato 2 potrà essere occupato

nel numero di modi:

si ottieneSWWWW ⋅⋅⋅= K21

Numero di modi

( )( ) ( )( )( )!

NNNNNNW

−=−−−−= K

( )( )!!

−−

i iNNW

Coefficiente

binomiale

Applichiamo ora il PRINCIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA:

un sistema fisico reale le particelle tenderanno a disporsi secondo la

configurazione che prevede il numero massimo possibile di modi W

Questo significa che per un sistema fisico reale l’equazione di W sarà

massimizzata da una particolare configurazione delle partizioni N1, ..., NS.

Ricordiamo che non tutte le configurazioni delle partizioni sono ammesse, ma

solo quelle che rispettano i vincoli di esclusione introdotti prima.

Inoltre ipotizziamo che all’equilibro termodinamico il sistema è nella sua

configurazione più probabile.

Distribuzione più probabile

Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare

il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una

massimizzazione semplice di una funzione in Ni.

Tale metodo consiste nel massimizzare la funzione:

−⋅−

−−= ∑∑

ENNNWNNLS

1 ln),,,,( εβαβαK

La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si

annullino:

Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

ii EN1

Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile

−⋅−

−−= ∑∑

ENNNWNNLS

La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si

annullino:

=−−∂

Wβεα

Formula di Stirling

( ) NNNN −≅ ln!ln

Formula di Stirling

i iNNW

1! ∑

∆−=∆s

!lnln!ln!lnln1

( ) NNNN −≅ ln!ln

∆−≅∆s

ii NNW1

Distribuzione

ieeN i βεα

ln=−−

Wβεα

La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di

stati che avranno occupazione medio bassa.

Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un

numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie

εi1, εi2, εi3,…

Tale che sia

∆E <<Ei gi >> 1 Ni>> 1

Avrò quindi una ripartizione delle

particelle nei vari intervalli,

caratterizzata dalle Ni e tale per cui

∑ = NN i

Numero di modi: caso generale

I modi per disporre N1 particelle nel primo intervallo sono

Ma le N1 particelle possono essere messe nei g1 stati, quindi avrò g1

possibilità per la prima, g1 per la seconda ecc...

In totale avrò quindi possibilità diverse di sistemazione

si ottieneSWWWW ⋅⋅⋅= K21

Numero di modi

∑∑∑===

=∆−∆≅∆

gNNNgW

lnlnlnln

Distribuzione più probabile: caso generale

Distribuzione

=−−∂

Wβεα

∑∑==

−+=s

ii NgNNW11

!lnlnlnln

La distribuzione più probabile, che risulta essere:

Distribuzione di Maxwell- Bollzmann

valida per particelle “classiche” distinguibili

Distribuzione più probabile: caso generale

Fattore di Boltzmann

numero medio di

particelle per stato

i βεα

i βεα=

Al fine di determinare i parametri α e β si definisce la funzione di partizione Z

ed si esprime il numero medio di particelle per stato ni in funzione di Z:

Funzione di partizione

Ne =−α

∑ ∑∑ −−−− ===stati stati

iiii egeeegNN

βεαβεα

∑ −=stati

NZ lnln −=α

i βεα=

Descriviamo l’energia media per particella termini della funzione di partizione:

∑ −−=∂

Z βεεβ

ββεε βε

∂−=

∂−=== ∑∑ − Z

∂−==

βε−=

Energia media per particella

∑ −=stati

Nel caso in cui lo spettro di energia di particella singola possa essere

considerato continuo, e ciò avviene quando il volume è grande:

Distribuzione più probabile: distribuzione continua di stati

( ) ( )ε

εεε

( ) ( )( ) E

βαε

numero di particelle che popolano i livelli compresi

nell’intervallo εεεε e εεεε+dεεεε

numero medio di particelle che occupano

un singolo stato ieeg

i βεα

i βεα=

βε−=

Numero medio di particelle per stato

∑ −=stati

( ) εε βεdeg

Ndn i−=

( ) εε βεdegZ

−∞

Distribuzione continua di stati

dsEg =Se la densità degli stati è definita come:

( ) εεβεβεdge

Ndseedn iia −−− ==

i βεα

∂−=

Energia media per particella

( ) εε βεdeg

Ndn i−=

NZ lnln −=α

( ) εε βεdegZ

−∞

Calcolo densità degli stati per un sistema classico

Calcolo di αααα e ββββ

Per il calcolo dei parametri αααα e ββββ è necessario procedere

al calcolo della funzione di partizione Z.

Densità degli stati

Numero di stati nel volume infinitesimo

dello spazio delle fasi

Integrando su tutto il volume occupato dal gas

zyx dpdpCdxdydzdpds =*

dppCVdpdpCVdpds zyx

24π==

Energia delle particelle liberem

dppCVgpCVds )(4 2 == π

( ) ( ) 21

22/ επεε VmCVddsg ==

Calcolo della funzione di partizione

( ) ( ) 21

22 εεπε BVVmCg ==

πβεε βε −−

== ∫ BVdegZ

( ) 23

= βπ CVmZ

Nota la densità degli stati:

Calcolo la funzione di partizione:

( ) εε βεdegZ

−∞

∂−=

1=βTeoria cinetica del

gas ideale

NZ lnln −=α ( )

2ln βπα CmN

( ) 23

= βπ CVmZ

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

( ) ( ) KTMB eKTf

ε−−

Numero medio di particelle per stato ( ) εε βεαdeegdn i−−=

1=Funzione di distribuzione

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

2ln βπα CmN

( ) ( ) 21

22 εεπε BVVmCVg ==

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature

( ) ( ) KTMB eKTf

ε−−

Distribuzione di Maxwell delle velocità

( ) ( ) KTMB eKTf

ε−−

1mv=ε ε

2= ( )( ) dv

dvfdvvF

εε=)(

( ) KTmv

mvF 22

( ) KTmv

mvF 22

( )dvvFvv ∫= 22

La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce delle buone previsioni sul

comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atm;

temperatura ambiente: T = 300 °K).

Ma molti fenomeni risultano comunque del tutto incomprensibili dal punto di vista

della fisica classica, tra cui ricordiamo:

1. Calore specifico dei solidi a basse temperature

2. Emissione corpo nero (legge di Rayleigh/Jeans)

Calore specifico

KT3=ε

Calore specifico a volume costante

RCV 3=

Gas monoatomico

Una mole di solido (Gli atomi vengono trattati come oscillatori

tridimensionali)

Calore specifico a basse temperature

Calore specifico CV del rame in funzione della temperatura

Secondo la fisica classica, il calore specifico deve rimanere finito anche allo

zero assoluto. Questo fatto è però in contrasto con l'esperienza: infatti il calore

specifico decresce man mano che ci si avvicina allo zero assoluto (la cosa fu

predetta da Nerst nel 1916 ed il processo, allora ancora ignoto, secondo cui il

calore specifico decresce lo chiamò degenerazione del gas, mentre un gas a

temperature vicine allo zero assoluto venne chiamato degenere).

Radiazione di corpo nero

Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della

radiazione emessa da un corpo nero.

Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse

in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero

come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed

assorbire radiazione ad ogni frequenza:

Legge di Rayleigh/Jeans

Il calcolo di Rayleigh e Jeans

riproduce i dati sperimentali solo per

grandi λ, per piccole λ la formula è

errata

CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA

Lezione 2

1. Statistiche quantistiche

• Fermi-Dirac

• Bose-Einstein

2. Gas di Fermi

Meccanica statistica classica

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature

( ) ( ) KTMB eKTf

ε−−

Maxwell e Boltzmann svilupparono metodi statistici per descrivere la dinamica delle singole

particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche, e di dedurre da questi le

caratteristiche termodinamiche macroscopiche dei sistemi.

La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce

delle buone previsioni sul comportamento di

un gas in condizioni normali (pressione

atmosferica: P = 1 atm; temperatura ambiente:

T = 300 °K).

PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ

dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che

una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due

particelle

Il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.

PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico.

Funzione simmetrica

BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI

Particelle con spin

intero

Particelle con spin

semi- intero

Statistiche quantistiche

E. Fermi

P. Dirac

A. Einstein

S. N. Bose

Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili

Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può

essere realizzato col massimo numero di modi possibili

Abbiamo determinato:

Il numero di modi W (MICROSTATI) associato ad una certa configurazione

(MACROSTATO)

La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico

i βεα

1 2 3 ...

ε1 ε 2 ε 3 …

N1 N2 N3 …

1. Sistema chiuso

2. Interazioni deboli particelle non-interagenti

3. N=cost. E=cost.

4. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema

sono costanti.

5. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... s e le loro energie ε1, ε2, ...

Vincoli

=⋅1i

ii ENε

Ipotesi

6. Particelle indistinguibili (c’è solo un modo di mettere Ni particelle nello stato i)

7. Particelle dipendenti (se la particella 1 si trova nello stato g1, altera la

probabilità che 2 si trovi in g2)

Statistiche

Esempio: 2 particelle in 3 stati

=== ∏=

Maxwell-Boltzmann: il numero di modi W

associato ad una certa configurazione

Particelle

distinguibili

Bosoni

Fermioni

9 modi

6 modi

3 modi

La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di

stati che avranno occupazione medio bassa.

Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un

numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie

εi1, εi2, εi3,…

Tale che sia

∆E <<Ei gi >> 1 Ni>> 1

Avrò quindi una ripartizione delle

particelle nei vari intervalli,

caratterizzata dalle Ni e tale per cui

∑ = NN i

Statistiche

p1 p2 p3 p4 p5

I gi stati possono essere occupati in gi! modi diversi

Per ciascuno di questi modi vi sono (gi-Ni) stati liberi che possono essere

realizzati in (gi-Ni)! modi diversi indistinguibili

Anche gli Ni! modi di scegliere gli stati occupati sono equivalenti perché le

particelle sono indistinguibili

Particelle indistinguibili: FERMIONI

In totale i modi possibili sono:

gi stati

Ni fermioni

gi- Ni stati vuoti

( )∏−

Il numero di disposizioni possibili di particelle e setti è:

Di queste Ni! rappresentano diverse disposizioni delle particelle (indistinguibili) e

(gi-1)! sono le disposizioni dei setti (che non comportano modifiche al sistema)

Particelle indistinguibili: BOSONI

gi stati

Ni bosoni

gi- 1 setti mobili

Descrizione della configurazione:

combinazione di Ni+ (gi-1) oggetti

( )[ ]( )!1!

( )[ ] !1' −+= iii gNW

( )[ ]( )∏

IPOTESI: Ni<<gi e particelle indistinguibili

L’ occupazione di uno stato non modifica significativamente il numero di stati

disponibili, quindi possibilità di mettere Ni particelle nello stato i

ordinatamente:

Particelle indistinguibili: sistema diluito

iiiii ggggW =⋅⋅⋅= K'

ciascuna di queste può essere ottenuta in Ni! modi diversi, cambiano l’ordine

delle particelle. Poiché le particelle sono indistinguibili tutti questi modi sono

fisicamente identici, ed il numero di configurazioni fisicamente differenti è:

In totale i modi possibili sono: ∏=!i

STATI IDENTICI

Particelle indipendenti

Particelle indistinguibili: sistema diluito

Fermioni

Bosoni

( )∏−

( )[ ]( )∏

Confronto dei risultati

∏=!i

( )∏−

( )[ ]( )∏

Numero di modi W associato ad una certa configurazione

Particelle distinguibiliMAXWELL-BOLTZMANN

Particelle indistinguibiliFermioni

FERMI-DIRAC

Particelle indistinguibiliBosoni

BOSE-EINSTEINSistema diluito

Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare

il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una

massimizzazione semplice di una funzione in Ni.

Ragioniamo come se le variabili N1, ..., NS siano continue e non discrete.

Calcoliamo il massimo della funzione lnW, invece che di W per il seguente

motivo:

i massimi di W, sono anche i massimi di lnW essendo W>0.

Quindi invece di cercare il massimo di W, calcoliamo il massimo per la funzione

Utilizzamo l’approssimazione di Stirling, nell’ipotesi Ni>>1.

∂ 1ln

−⋅−

−−= ∑∑

ENNNWNNLS

La condizione necessaria per avere un estremo (massimo) è che le derivate

parziali si annullino:

ii EN1

=−−∂

βαFornisce i valori N1, ...,

NS per la distribuzione

più probabile

=−−∂

Statistica di Fermi-Dirac

Distribuzione

( )∏−

gW ∑ ∆

−≅∆ i

gW 1lnln

Stirling

ii βεα

=−−∂

Statistica di Bose-Einstein

Distribuzione

Stirling

∑ ∆

+≅∆ i

gW 1lnln

ii βεα

( )[ ]( )∏

Confronto dei risultati

( )∏−

( )[ ]( )∏

ii βεα

i βεα

Distribuzione di Fermi-Dirac

L’andamento di questa distribuzione è molto particolare:

• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che

l’enegia ε sia maggiore o minore dell’energia di Fermi:

• Per εεεε =εεεε F fFD = 1/2

εεεεF ENERGIA

DI FERMI

εεε

Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa”

T > 0T = 0

Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac

εεεεF ENERGIA

DI FERMI

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di Fermi-

Dirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la

probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia

E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi,

vale ½.

Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature

sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione

ai livelli eccitati

MOLECOLE

FERMIONI

Nel caso dei fermioni, esiste un valore

massimo di popolazione (al max la

generazione dei livelli)

Nel limite di T 0, le particelle riempiranno

tutti i livelli ad energia minima

compatibilmente col principio di

esclusione, fino al livello EF

Livelli energetici e energia di Fermi

T=alta

T=bassaT=0

è !"# à # é "

Confronto tra le statistiche

• GAS DI BOSONI: si origina una condensazione del gas stesso, cioè, i bosoni costituenti il gas tendono ad occupare tutti lo stesso stato energetico (E = E0)

• GAS DI FERMIONI: un solo fermione si troverà nello stato a cui compete energia zero, tutti gli altri andranno ad occupare stati ad energia superiore fino a che non siano esauriti i fermioni stessi (livello energetico EF).

E -> 0 (cioè per T -> 0 ma T0)

ε( )kT

=1 ( )

Distribuzione di Bose-Einstein

Il significato fisico della distribuzione per i BOSONI è completamente

differente di quella per i FERMIONI non esiste alcun vincolo superiore

all’occupazione di un qualunque livello energetico

MOLECOLE

FERMIONI

BOSONI

Gas di Fermi

E. Fermi

P. Dirac

Densità degli stati: N particelle indistinguibili in una scatola cubica

Si abbiano N particelle in una scatola di volume V=L3.

All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger

indipendente dal tempo di ogni particella è:

Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.

)()(2 2

rErzyxm

ψψ =

∂−

⋅= z

nAsenrk

πππψ 321)(

La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:

Gas di Fermi

K2,1,0=nconL

π11 =

π22 =

Densità degli stati: N particelle in una scatola cubica

I valori di energia sono:

( ) ( )2

2nnnEnnn

LmE ++=++

Essendo:

Gas di Fermi

N particelle in una scatola cubica: densità degli stati

dSEg =

Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS

stati, la densità degli stati è definita come:

( ) 212

dSkg 2

Gas di Fermi

Calcolo della funzione di partizione

( ) 21

πε BVV

πβεε βε −−

== ∫ BVdegZ

Nota la densità degli stati:

Calcolo la funzione di partizione:

( ) εε βεdegZ

−∞

Gas di Fermi

NZ lnln −=α

22ln β

Gas di Fermi

… non lo dimostriamo...

( ) dE

EgdnKT

( ) 21

πε BVV

Gas di Fermi

Gas di fotoni

A. Einstein

S. N. Bose

Quindi essendo e

π11 =

π22 =

Gas di Fotoni

hp ++= ( )2

hcE ++=

kp h= cpE =

Studio del “gas di fotoni” come applicazione della statistica di Bose-Einstein.

Consideriamo un volume di spazio nel quale onde elettromagnetiche sono in

equilibrio termico con le pareti del contenitore.

I fotoni, trattati come particelle quantistiche, rappresentano onde elettromagnetiche

e per soddisfare le condizioni al contorno con le pareti devono venire associate

con onde che si annullano ai bordi.

Le condizioni di quantizzazione periodica per il numero d’onda k sono:

Ci interessa la densità degli stati g(E)=ds/dE.

Consideriamo lo spazio 3D con coordinate n1, n2 e n3,

raggio n, ed elemento di volume sferico 4 πn2dn. Ci si

limita ad un ottante di sfera, e si considerano 2 modi di

polarizzazione distinti:

dnndndn

dsdnng

12)( π

dnEngEg ))(()( =

38)( E

Gas di Fotoni

( ) dEe

EgdnKT

38)( E

Gas di Fotoni

Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della

radiazione emessa da un corpo nero.

Rayleigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse

in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero

come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed

assorbire radiazione ad ogni frequenza:

Legge di Rayleigh/Jeans

Il calcolo di Rayleigh e Jeans

riproduce i dati sperimentali solo per

grandi λ, per piccole λ la formula

errata

CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA

Nel 1900 Planck propose una teoria della radiazione di corpo nero che

riproduceva i dati sperimentali a tutte le lunghezze d’onde.

La legge di radiazione postulata da Planck è:

Legge di Planck

λλπ

Partendo dalla legge di radiazione postulata da Planck si trova:

Legge di Planck

λλπ

Alte lunghezze d’onda (hν<<KT)

Legge di Rayleigh-Jeans

Basse lunghezze d’onda (hν>>KT)

Legge di Wien

dI πν

dI νπν

Legge di Planck

dI πν

Oscillatori armonici classici

Legge di Rayleigh-Jeans

Legge di Planck1

νεOscillatori armonici quantistici

Il problema era quello di giustificare la legge di Planck.

Fu Einstein a rendersi conto che Planck aveva introdotto un nuovo concetto

nella fisica: il quanto di luce.

Legge di Planck

Legge di Planck1

νπν

Abbiamo dunque ricavato il modello di quantizzazione della radiazione

elettromagnetica, che è in eccellente accordo con gli spettri di emissione

osservati per un corpo nero in equilibrio termico.

Inoltre, la legge di Planck è ora pienamente giustificata da una trattazione

statistica nella quale i fotoni sono descritti in termini della quantistica bosonica.

VdnEU /)( =ν

2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann)

Metalli

METALLI

La linea rossa divide i metalli dai non metalli

Alcalini

Alcalino terrosi

Transizione

Terre rare

Gas nobili

Alogeni

Non metalli

IIA IIIA IVA VA VIA

Circa i tre quarti degli elementi chimici conosciuti sono metalli.

IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB

Altri metalli

Metalli

Gruppo IA

1 elettrone di valenza in un orbitale s

ALCALINIALCALINI

Gruppo IIA

2 elettroni di valenza in un orbitale s

ALCALINOALCALINO--TERROSITERROSI

Gruppo IIIA

2 elettroni di valenza in un orbitale s,

1 in orbitale p

Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p

Gli elettroni più esterni di un atomo che sono coinvolti in un legame sono

chiamati elettroni di valenza. Gli elettroni del nocciolo non vengono coinvolti

nel legame. Il numero degli elettroni di valenza è eguale al numero del gruppo.

Metalli

Gruppo IVA

2 in orbitale p

Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p

Gruppo VA

3 in orbitale p

Gruppo VIA

4 in orbitale p

Metalli

La più numerosa famiglia di metalli è quella degli elementi di transizione,

comprendente 33 membri; in essa gli elettroni di valenza sono disposti

secondo regole non semplici negli orbitali d ed s. La famiglia è stata suddivisa

in otto gruppi.

Gruppi: IB-VIIIB

Gli elettroni di valenza in questi metalli sono disposti secondo regole

complicate negli orbitali f e s.

Metalli di transizione

Lantanidi e attinidi

Strutture cristalline

14 Reticoli

Metalli

Il 90% dei metalli presenta struttura:

• cubica a corpo centrato

• esagonale compatta

• cubica a facce centrate

Sono strutture ad alto impacchettamento

Metalli

Il legame metallico

I metalli sono caratterizzati da un alta conducibilità elettrica ed in un metallo un

gran numero di elettroni (in genere 1 o 2 per atomo) è libero di muoversi

liberamente (elettroni di conduzione).

Il legame metallico è dovuto alla “nuvola

di elettroni liberi” e presenta energie di

legame modeste rispetto a gli altri legami

(ionico, covalente) quindi po’ essere

considerato un legame debole.

I metalli hanno bassa energia di ionizzazione (quantità di energia

necessaria per strappare un elettrone a

un atomo neutro) quindi i loro elettroni

esterni sono attratti debolmente dai

rispettivi nuclei, e se ne separano

facilmente.

Gas di elettroni liberi: modello di Drude

Secondo Drude tutti gli elettroni di

valenza diventano conduttori di

elettricità e sono chiamati elettroni di conduzione.

• " #

• à è %& ττ

• èèèè

• à è

'()!* ì

Assunzioni del modello di Drude

( ) KTmv

mvF 22

• à

" - !.#

La teorica classica di Drude non spiega:

• capacità termica

• cammino libero medio elettronico l = vτ

• à è %& ττ

• èèèè

• è

Assunzioni del modello di Sommerfeld

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld

• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che

l’enegia ε sia > o < dell energia di Fermi:

• Per ε = ε F, allora fFD=1/2

εεεεF ENERGIA DI FERMI

εεε

Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa”

Si definisce temperatura di Fermi TF ≡ EF/ k.

Quando T >> TF, fFD tende a diventare un esponenziale decadente.

T >> TFT = TF

T > 0T = 0

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di Fermi-

Dirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la

probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia

E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi,

vale ½.

Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature

sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione

ai livelli eccitati

MOLECOLE

FERMIONI

Nel caso dei fermioni, esiste un valore

massimo di popolazione (al max la

generazione dei livelli)

Nel limite di T 0, le particelle riempiranno

tutti i livelli ad energia minima

compatibilmente col principio di

esclusione, fino al livello EF

Livelli energetici e energia di Fermi

T=alta

T=bassaT=0

Buca di potenziale infinita: 1 dimensione

Buca di potenziale infinita: 2 dimensioni

Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica

Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.

All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger

indipendente dal tempo di ogni particella è:

Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.

)()(2 2

rrzyxm

kkk ψεψ =

∂−

πππψ 321

La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:

Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.

Funzioni d’onda che soddisfino alle condizioni periodiche agli estremi:

Ugualmente per y e z.

Le funzioni d’onda che soddisfano all’equazione di Schrödinger stazionaria,

alla normalizzazione sul volume e alle condizioni di periodicità sono onde

piane della forma:

),,(),,( zyLxzyx kk +=ψψ

π= K2,1,0=n

I valori di energia sono: ( )2222

22zyx kkk

L’ampiezza del vettore d’onda k è legato alla lunghezza d’onda:

Nello stato fondamentale di un sistema ad N

elettroni liberi gli stati occupati possono essere

rappresentati come punti all’interno di una sfera

nello spazio k. L’energia sulla superficie della

sfera è detta energia di Fermi:

Energia di Fermi

dSEg =

Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS

stati, la densità degli stati è definita come:

( ) 212

Densità degli stati per l’elettrone libero

( ) 212

mVgDensità degli stati per l’elettrone libero

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

( ) ( )εε gTf ,

Stati pieni a T=0

Il modello di Drude non spiga la capacità termica dei metalli.

Capacità termica

La meccanica statistica classica

prevede che una particella libera

puntiforme abbia capacità termica

Quindi per un metallo con N atomi

(1 elettrone di valenza)

Sperimentalmente il contributo elettronico a temperatura ambiente è non più

dell’ 1% di questo valore !!!

Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità

Capacità termica

Modello di Sommerfeld: non tutti gli elettroni per riscaldamento dallo zero

assoluto acquistano un’energia ∼ KT. Solo quegli elettroni che appartengono

a stati entro l’intervallo di energia KT rispetto al livello di Fermi vengono

eccitati termicamente.

Se N è il numero totale di elettroni, soltanto una frazione dell’ordine di ∼ T/TF

può essere eccitata termicamente alla temperatura T

el ≈

EC ≈

Ciascuno di questi NT/TF elettroni ha

un’energia dell’ordine di KT:

Energia termica totale degli elettroni

Capacità termica

Ricaviamo espressione per la capacità

termica valida a basse temperature FF EKTKT =<<

( )KTEgC Fel

( ) 212

( ) ( ) ( ) dET

fEEgdE

fEEgfdEEEg

∂≅

∂= ∫∫∫

∞∞∞

FT ∼ 2-6 × 104 k

Capacità termica sperimentale

A temperature inferiori alla temperatura di Fermi la capacità termica a volume

costante nei metalli segue la relazione:

3ATTCCC retel +=+= γ

Contributo elettronicopredomina a basse

temperature

Contributo reticolare

Capacità termica: risultati sperimentali

3ATTCCC retel +=+= γ

Si usa introdurre una massa efficacie dell’elettrone di valenza mte*

γ γ γ γf

γCorrezione dovuta a interazione:

e- valenza - e- valenza

e- valenza - reticolo

e- valenza - fonone

C+= γ

Capacità termica: risultati sperimentali

In una vibrazione reticolare l’energia è quantizzata.

Il quanto di energia associato all’onda elastica è il FONONE, in analogia col

fotone, quanto di energia delle onde elettromagnetiche.

Il fonone interagisce con altre particelle e campi come se avesse un momento

Fononi

Conduzione: effetto del campo elettrico

pdF −=== h

dtFkd =

Impulso di un elettrone libero

In un campo elettrico E la forza F che

agisce sull’elettrone è

In assenza di collisioni la sfera di Fermi

risulta traslata (dopo dt) di:

E ≠ ≠ ≠ ≠0

Conduzione: effetto del campo elettrico

τFkd =

Quando la forza applicata viene tolta i processi di collisione (degli elettroni con

impurezze, imperfezioni reticolari e fononi) tendono a riportare il sistema nel

suo stato stazionario.

Se il tempo di collisione è τ, lo spostamento della sfera di Fermi all’ equilibrio è

Conduzione: legge di Ohm

ττ Em

Fvd −==

envnedj

Ej σ= τσm

Questo spostamento contribuisce a ciascun

elettrone ad un incremento della velocità:

Se vi sono n elettroni per unità di volume, la

densità di corrente elettrica è:

La relazione per j ha la forma della legge di Ohm, e σ è la conduttività elettrica:

La resistività elettrica è:τσ

Libero cammino medio elettronico

στ =Tempo di rilassamento

ove n è la densità degli elettroni di conduzione

Il libero cammino medioFvl τ=

Libero cammino medio elettronico: confronto modello di Drude e modello di Sommerfeld

=Legge di Ohm: sne

210−≅=

Drude: Maxwell-Boltwmann

AvlcmsvKTmv &10102

1 172 ≈=≈= − τ

AvlcmsvEmv FFF&10010

1 182 ≈=≈= − τ

Sommerfeld: Fermi-Dirac

A temperatura ambiente per il rame

s14102 −×≅τ Aml &300103 8 =×≅ −

Resistività elettrica sperimentale

Agitazione termica del

reticolo

Scattering degli elettroni

da impurezze

La resistività elettrica calcolata secondo il

modello ad elettroni liberi: τσρ

iL ρρρ +=La resistività elettrica:

Alte temperature

Basse temperature

Resistività residua ρi

Resistività elettrica sperimentale

iL ρρρ +=La resistività elettrica:θρ

Conduttività termica

La conduttività termica K di un solido è definita come:

Ove Q è il flusso di energia termica (energia trasmessa in unità di area e tempo).

Il processo di conduttività termica può essere descritto mediante un processo di

urti. Si trova dalla teoria cinetica dei gas che la conduttività termica può essere

espressa mediante la capacità termica C, la velocità media delle particelle v e il

libero cammino medio l, dalla seguente relazione:

In generale, nei solidi la conduttività termica è somma di un contributo

elettronico ed uno fononico:

Nei metalli a temperatura ambiente il contributo dominante è quello

elettronico.

1FF mv=ε

TnKKel

22 τπ=

τ=lvF

Conduttività termica

Utilizzando le relazioni ricavate nel modello ad elettroni liberi di Sommerfeld:

Si ottiene che il contributo elettronico alla conduttività termica è:

fonel KKK +=

22 τπ=

Legge di Widemann-Franz

La legge di Widemann-Franz stabilisce che per i metalli il rapporto tra

conduttività termica ed elettrica è direttamente proporzionale alla

temperatura, con valori della costante di proporzionalità indipendenti dal

metallo stesso.

Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz

2.54 ××××10-8 W Ω Ω Ω Ω/K2

L non dipende ne’ da m ne’ da n!!!

Legge di Widemann-Franz: conferme sperimentali

Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz

2.54 ××××10-8 W Ω Ω Ω Ω/K2

SUCCESSO MODELLO ELETTRONI LIBERI

Modello di Drude

Modello ad elettroni liberi

Modello di SommerfeldDistribuzione di

Maxwell-BoltzmannDistribuzione di

Fermi-Dirac

Legge di Ohm τσm

210−≅=

στ τσ

210−≅=

Libero cammino medio elettronico

cmsvKTmv

≈= −

τ Avl

cmsvEmv

≈= −

Capacità termicaF

TNKC 2

1π=NKCel

Legge di Widemann-Franz

àààà

Limiti del modello ad elettroni liberi

Inoltre, il modello non spiega perché alcuni elementi chimici cristallizzano in

modo da diventare buoni conduttori di elettricità, mentre altri diventano isolanti,

altri ancora semiconduttori, con proprietà elettriche che variano notevolmente a

seconda della temperatura

Il modello a elettroni liberi è molto semplice, ma funziona molto bene per

diversi metalli, ad es. gli alcalini, Mg, Al, ecc. nei quali la sovrapposizione fra i

vari livelli è molto alta.

Tuttavia, in altri casi, nei quali la sovrapposizione è meno ampia, il modello

non è sufficiente.

Si deve, allora, passare ad un modello più complesso che tiene conto della interazione degli elettroni con gli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una successione regolare di buche di potenziale.

Metalli, isolanti e semiconduttori

La conduttività e la resistività elettrica a

temperatura ambiente sono molto

differenti per le tre tipologie di solidi:

àààà ΩΩΩΩ

ρρρρ

Resistività e conduttività elettrica

Come variano la resistività con la temperatura?

• Metalli: Gli elettroni sono liberi di muoversi. La conducibilità diminuisce con

la temperatura.

• Semiconduttori. Allo zero assoluto non c’è conducibilità elettrica e la

conducibilità cresce con la temperatura.

• Isolanti: Conducibilità zero in un ampio intervallo di temperature.

Metalli, isolanti e semiconduttori

Resistività elettrica

Bande di energia

Supponiamo di avere N atomi identici

isolati: presentano livelli energetici con la

stessa energia

Ma mano che si avvicinano gli atomi, un

particolare livello energetico dell’atomo

isolato si scinde in N livelli energetici

differenti

Nel caso di un solido i livelli energetici sono

così vicini che appaiono come un continuo:

si crea una banda di energia.

Bande di energia

Modello a bande di energia

Elettrone non è libero, ma è soggetto ad un potenziale periodico dovuto

agli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una

successione regolare di buche di potenziale

Il modo più semplice per studiare il moto

in un potenziale periodico consiste nel

sostituire il potenziale reale con una

sequenza regolare di buche quadrate

(Potenziale di Kroning e Penney).

Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per un potenziale periodico è,

ovviamente, più complessa di quella del modello a elettroni liberi.

L’ampiezza dell’onda non è più costante ma è periodica in x, come il potenziale,

per cui la forma non è più

ψ(x) = Aeikx ma ψ(x) = uk(x) eikx Teorema di Bloch

con uk(x) funzione periodica: uk(x) = uk(x + a)= uk(x + na)

per cui la funzione d’onda totale è

Le soluzioni dell’eq. di Schrödinger per un

potenziale periodico è, ovviamente, più

complessa di quella del modello a elettroni

liberi. b a

ΨΨΨΨ(x,t) = uk(x)e(ikx-iωωωωt)

En(k)= En(k+K)

E è una funzione continua e periodica in k.

La periodicità in k comporta l’apertura dei gap.

Teorema di BlochEn(k)= En(k+K)

Le bande “permesse” sono separate da intervalli di energia “vietati” (bande vietate o

band gaps). Cioè (in quella direzione) l’elettrone non può propagarsi con quelle energie.

Bande di energia

Le bande possono essere ampiamente distanti tra di loro, vicine o addirittura

sovrapposte: è la loro configurazione che determina le proprietà elettriche

dei solidi.

SODIO METALLICO SEMICONDUTTORE

Bande di energia

Gli elettroni nei solidi sono disposti in bande di energia, separate da regioni nelle quali non sono permessi stati elettronici (intervalli proibiti).

La banda di valenza è parzialmente piena e/o comunque si sovrappone alla banda di conduzione.

Gli elettroni possono occupare facilmente uno qualsiasi dei livelli e quindi

ritrovarsi associati ad un qualsiasi atomo.

Questa abbondanza di portatori liberi di muoversi fa dei metalli degli ottimi

conduttori di corrente.

Bande di energia: metallo

→ à

• ! à

Funzione di Fermi

Banda di valenza

parzialmente pienaE = 0

Bande di energia: metallo

La banda di valenza, completamente piena, èmolto distante dalla banda di conduzione. Affinché

un elettrone riesca a passare dalla BDV alla BDC è

necessario fornire una energia almeno pari al gap.

Questa energia, negli isolanti, è ben maggiore della

energia termica degli elettroni, per cui la transizione è

altamente improbabile.

In termini di legami, gli atomi sono interessati da

legami tanto forti che difficilmente vengono rotti per

mettere in libertà un elettrone che possa trasportare

corrente.

Nella banda di valenza piena non è possibile la

conduzione perché gli elettroni possono solo

scambiarsi tra di loro le posizioni ma non dare luogo

ad un flusso netto di carica.

Un ottimo isolante, molto usato nella realizzazione di

dispositivi elettronici, è l’ossido di silicio, SiO2, il cui gap

vale Eg=8eV.

Bande di energia: isolante

• è è

→ à

• è à #$%& '(

• ! )*)

→ à

Banda di conduzione

Bande di energia: isolante

Funzione di Fermi Banda di

valenza piena

La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV) per

cui non è impensabile fornire ad un elettrone

di valenza una quantità di energia che gli

permetta di raggiungere la conduzione.

I semiconduttori hanno principalmente

legami covalenti. Nella rappresentazione a

legami, questo equivale a dire che il legame

covalente può, con relativa facilità, venire

spezzato ed il suo elettrone diventare libero

e quindi capace di condurre corrente.

Bande di energia: semiconduttore

Banda di conduzione

parzialmente piena

Funzione di Fermi Banda di valenza

parziamentepiena

• è

• + è à #,& '(

àààà

C N O F

Tl Pb Bi Po

La Ce Pr Nd PmSm GdEu Tb Dy Ho Er TmYb Lu

Ac Th Pa U Np Pu AmCmBk Cf Es FmMd No Lr

VIAIVA

IIA IIIA VA VIIA

Lantanidi

Attinidi

VIBIIIB IVB VB VIIB VIIIB IB IIB

Semiconduttori

I materiali semiconduttori appartengono alle colonne IV (Si, Ge), III-V (GaAs, InP,

GaN, InSb), II-VI (CdSe, CdTe), IV-VI (PbS, PbSe).

I semiconduttori hanno una struttura cristallina, con legami (completamente o parzialmente) covalenti tra gli atomi

Semiconduttori

Configurazioni elettroniche

Semiconduttori

Struttura cristallina

I semiconduttori di maggiore interesse hanno una

struttura tipo cubico a facce centrate (fcc).

La base e’ formata da due atomi, uno a (000), l’altro

ad a/4 (111)

La struttura reale puo’ essere pensata come formata

da due reticoli fcc interpenetrati.

Se i due atomi della base sono uguali si parla di

struttura del diamante, se sono diversi di struttura a

zincoblenda.

(0,0,0)

(1/4,1/4,1/4)

(0,0,0)

1. Semiconduttri elementari

Si, Ge

2. Semiconduttori binari

InP, GaAs

Semiconduttori

Struttura Diamante

Struttura Zincoblenda

Semiconduttori

Alcuni importanti semiconduttori hanno una struttura esagonale compatta (hcp), corrispondente a 3 layer successivi di sfere ad alto impaccamento nelle

posizioni A, B, A.

La base e’ formata da due atomi.

Struttura wurzite

Ogni atomo di Si si lega con altri 4 atomi

La disposizione spaziale è perfettamente simmetrica con gli atomi ai vertici di

un tetraedro

Tetraedri contigui si legano a formare il cristallo mediante legami covalenti

In 1 cm3 di silicio ci sono 5×1022 atomi

Semiconduttori

Silicio

Semiconduttori

Altri semiconduttori

• Germanio (Ge)

• Composti binari dei gruppi III-V:

GaAs, InP, GaN, …

• Composti ternari o quaternari: GaAlAs, AlInGAP, InGaN, …

• Composti binari dei gruppi II-VI: CdTe, CdSe, …

La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV)per è possibile di pensare di fornire ad un

elettrone di valenza una quantità di

energia che gli permetta di raggiungere

la conduzione.

Bande di energia

ASSORBIMENTO

Un elettrone in BDV assorbe un fotone

viene eccitato in BDC.

Affinché questo avvenga è necessario

che l'energia del fotone hν sia

maggiore o uguale alla differenza di

energia tra i due livelli energetici

coinvolti nella transizione

gapEEEh =−≥ 12ν

EMISSIONE SPONTANEA

L'emissione spontanea rappresenta il

processo inverso all’assorbimento: si

manifesta quando l’elettrone dalla BDC

si riporta alla BDV emettendo un fotone

di energia pari a

gapEEEh =−= 12ν

Nel caso di un semiconduttore a band-gap diretto il massimo

dell'energia nella banda di valenza ed il minimo in quella di

conduzione si presentano per lo stesso valore del vettore d'onda k.

Nei semiconduttori a gap diretto, un elettrone nella banda di

conduzione può subire una transizione energetica verso un livello

vuoto della banda di valenza, emettendo un fotone, senza che

siano necessari cambiamenti del vettore d'onda.

Semiconduttore a gap diretto

Nel caso di gap indiretto invece, (Si o Ge), la transizione di un

elettrone tra la banda di conduzione e quella di valenza deve

coinvolgere anche una variazione del vettore d'onda. In altre parole,

la transizione può avvenire solo se si verifica anche una interazione

con una unità quantica che descrive l'oscillazione meccanica, ovvero

un fonone del cristallo. Questo, ovviamente, riduce la probabilità delle

transizioni indirette → “phonon-assisted transition”.

Semiconduttore a gap indiretto

Solo i materiali a gap diretto permettono di realizzare dispositivi per applicazioni

fotoniche (laser, LED, …) efficienti, essendo la probabilità di transizioni

elettroniche estremamente elevata.

Semiconduttori a

gap diretto

tipicamente

impiegati sono

GaAs, InP, InAs,

InGaAs, InGaAsP.

Proprietà ottiche

Semiconduttori

Band gap dei principali semiconduttori

Banda di conduzione

parzialmente piena

Funzione di Fermi Banda di valenza

parziamentepiena

• è

→ à

• è à !" #$

→ à &

Legge dell’azione di massa

Vogliamo dapprima determinare il numero di elettroni eccitati nella banda

di conduzione ad una certa temperatura T.

Distribuzione di Fermi : ( )1

con µ livello di Fermi.

Alle temperature di interesse: εεεε-µµµµ >> KT (KT=25meV a T ambiente)

Descrive la probabilità che uno stato di

conduzione elettronico sia occupato

( ) kTe ef

( ) 212

mVgDensità degli stati per l’elettrone libero

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

( ) ( )εε gTf ,

Stati pieni a T=0

Energia di un elettrone in banda di conduzione:

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε:

( ) ( ) εεπ

εε dEm

Il numero di elettroni in banda di conduzione per

unità di volume sono:

( ) ( ) kT

KTmdDfn

−∞

== ∫

εεε2

Energia di una lacuna in banda di valenza:

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε delle lacune in cima alla banda di valenza:

( ) ( ) εεπ

εε dm

−=ε

Il numero di lacune in banda di valenza per unità di

volume sono:

( ) ( ) kThhh e

KTmdDfp

εεε−

∞−

== ∫

Funzione di distribuzione per le lacune ( ) ( ) kTeh eff

εε−

≅−=1

Valida sotto l’unica ipotesi che la distanza tra il livello di Fermi µ e i limiti di

entrambe le bande sia >> KT (KT=25meV a T ambiente)

Si osservi che np:

• non dipende dalla presenza o meno di impurezze nel semiconduttore

• non dipende da µ

Moltiplicando le espressioni ricavate per n e p, concentrazioni di elettroni in

BDC e di lacune in BDV, si ottiene la relazione di equilibrio:

( ) kT

Concentrazione dei portatori intrinseci

Inoltre, uguagliando le espressioni

Semiconduttore intrinseco (puro):

L’eccitazione termica di un elettrone di BDC lascia dietro di se una lacuna.

( ) kT

KTpn 24

µπ 2

22kTh e

µπ −

si ottiene

mKTE ln

Se mh=me allora gE2

Semiconduttore intrinseco (puro):

EFEgap

mKTE ln

Il silicio

In un cristallo puro di silicio

A temperatura ambiente

n = p =1.4×1010 portatori/cm3

Valore che va confrontato con la densità di atomi di silicio: 5×1022 atomi/cm3

Stima di ni a 300K:

da confrontarsi con ≈ 1023 cm-3 per i conduttori

( ) 310182/3216

1032/1.1

)102(6

)(103105,02,02e

−−−

⋅⋅−−

−−

≈≈

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅≈

Mobilità regione intrinseca

La mobilità è definita come:

La conducibilità elettrica:

Quindi:

he pene µµσ +=

e τµ

τµ ==

Sperimentalmente si osserva che la mobilità nei semiconduttori è piu’ alta

che nei metalli

Semiconduttore intrinseco ed estrinseco

Se un semiconduttore non contiene impurezze, che ne modifichino le proprietà

elettriche, viene detto si dice intrinseco

E si trova che:

• la concentrazione di portatori intrinseci è fortemente dipendente dalla

temperatura

• la concentrazione dei portatori a temperatura ambiente non è così alta da

poterli considerare dei buoni conduttori.

n = p ≅ ≅ ≅ ≅ 1010 portatori/cm3

Nei Metalli (1023 portatori/cm3)

µπ 2

22kTh e

µπ −

Semiconduttore intrinseco ed estrinseco

Al fine di migliorare le proprietà di conduzione di un semiconduttore si

introducono delle opportune impurezze chimiche “droganti.

Un semiconduttore drogato viene detto estrinseco.

La loro concentrazione del drogante è sempre di molti ordini di grandezza

inferiore a quella degli atomi del semiconduttore (1022 cm-3).

Le concentrazioni di drogante vanno da 1013 a 1018 cm-3.

Per concentrazioni inferiori a 1013 le impurezze non hanno effetti sul

comportamento elettrico del materiale, a concentrazioni superiori a 1018 si

comincia a modificare la natura del materiale.

Semiconduttore estrinseco

Un atomo estraneo al reticolo può collocarsi in due posizioni:

• Sostituzionale: prende il posto di un atomo del reticolo;

• Interstiziale: si mette al centro (di solito) della cella formata dagli

atomi del reticolo.

L’aggiunta volontaria di impurezze al semiconduttore viene denominata

DROGAGGIO, e il drogaggio viene effettuato con impurezze sostituzionali.

Consideriamo il caso tipico del SILICIO, elemento

del gruppo IV, con quattro elettroni di valenza.

Il Si cristallizza nella struttura del diamante ed ogni

atomo forma quattro legami covalenti uno con

ciascuno dei suoi primi quattro vicini.

Consideriamo di drogare un elemento tetravalente (gruppo IV, Si, Ge) con un

elemento pentavalente (gruppo V, P, As, Sb).

Un atomo del gruppo V ha 5 elettroni di valenza: essendo sostituzionale,

utilizza 4 elettroni per formare i 4 legami dell’atomo di silicio del quale ha

preso il posto, e il quinto elettrone è non legato.

Visto che questi atomi donano il loro elettrone al semiconduttore si dicono

DONORI e il semiconduttore si dice di tipo n

L’elettrone “donato” deve avere un’energia superiore a quelli che formano il

legame (e stanno nella banda di valenza), ma inferiore a quella degli elettroni

liberi nella banda di conduzione. Quindi, deve cadere nel gap!

Semiconduttore di tipo n

drogaggio tipo “n”

con un atomo

pentavalente (fosforo)

Donore

L’elettrone in eccesso si muove in un potenziale che deriva dallo ione di

impurezza, pari a

dove ε è la costante dielettrica del mezzo (=12 per il Si).

Il fattore di 1/ ε tiene conto dell’attenuazione della forza coulombiana tra le

cariche ed è dovuto alla polarizzazione elettronica del mezzo.

Energia di legame dei donori può essere utilizzando la teoria di Bohr per

l’atomo d’idrogeno, tenendo in considerazione la costante dielettrica del

Con raggio di Bohr

hε−=

Semiconduttore di tipo n

Semiconduttore drogati di tipo n

Se il suo livello (ED) è molto vicino a CB, basterà l’agitazione termica a

ionizzarlo, promuovendo l’elettrone in banda di conduzione.

Il numero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donori, ND

[atomi/cm3].

drogaggio tipo “n”

con un atomo

pentavalente (fosforo)

livello del

donore

Semiconduttore drogati di tipo p

Le stesse considerazioni possono essere effettuate per il drogaggio con

elementi del gruppo III (B, Al, Ga e In).

In questo caso in un legame manca un elettrone (c’è una lacuna). Se il relativo

livello energetico è di poco superiore a VB sarà facile che un elettrone della

banda di valenza salti nella buca, lasciandone una in banda di valenza.

Queste impurezze che catturano elettroni “donando” buche, si dicono

accettori e il semiconduttore si dice di tipo p.

livello

dell’accettore

drogaggio tipo

“p” con un

atomo trivalente

accettore

Semiconduttori drogati

Le energie di ionizzazione per donori ed accettori sono le stesse.

Il modello di Bohr modificato è valido quantitativamente sia per lacune che per

elettroni.

T=300K KT =25 meV: a temperatura ambiente accettori e donori giocano un ruolo importante per la conduttività

Energie di ionizzazione

In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è

nulla (condizione di neutralità della carica) perché il drogante ionizzato è

compensato dal suo portatore.

Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi valida a temperatura

ambiente):

• le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli ioni

degli atomi donori ND

• le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni liberi, n, e

degli atomi accettori NA

La condizione di neutralità di carica si traduce in:

Semiconduttore drogato

DA NNnp −=−0)( =−−+ AD NnNpq

Ricordando la legge di azione di massa

Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante,

la concentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente

disponibili. Si ritrova che p e n dipendono da:

- la quantità netta di drogante, |NA-ND|;

- la concentrazione di portatori intrinseci, ni

innp =

DA NNnp −=−

DADA nNNNN

ADAD nNNNN

Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento

La densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densitàdi drogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di

massa.

Nella pratica costruttiva dei dispositivi elettronici si è quasi sempre in questa

situazione, essendo i livelli di drogaggio normalmente utilizzati pari a 1014-1018

[atomi/cm3] contro un valore di ni=1.4×1010 [atomi/cm3]

iDA nNN >− ||

DA NN >>

AD NN >>

ANp ≅

DNn ≅

Semiconduttore tipo p

Semiconduttore tipo n

edn en µσ =

con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Nd dei donori

con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Na degli accettori

hap en µσ =

Semiconduttore drogato: conducibilità

Allo zero assoluto tutte le impurezze sono neutre

(non ionizzate).

Quindi tutti i livelli di donore sono pieni e, per

definizione, il livello di Fermi deve stare allo

stesso livello o sopra all’ultimo livello

occupato. Esso, perciò, starà tra ED e CB.

Semiconduttore drogato: livello di Fermi

Per gli accettori avviene il simmetrico. Allo zero

assoluto EF sta tra il livello accettore e VB.

Al crescere della temperatura il livello di

Fermi si porta alla metà del gap.

A temperature non troppo alte, il livello di Fermi starà sempre nel gap, ma vicino alla banda di conduzione nel tipo n, vicino alla banda di valenza nel tipo p

Giunzione pn

Dall’unione di un semiconduttore di tipo N e uno di tipo P nasce la così detta

giunzione PN. Per diffusione, le lacune presenti nel cristallo P tendono a

spostarsi in quello N, e viceversa gli elettroni: in prossimità della giunzione si

forma così un sottile strato isolante chiamato regione di svuotamento.

Le giunzioni PN sono comunemente usate come diodi: interruttori elettronici

che permettono un flusso di corrente in una direzione ma non in quella

opposta. Nel caso del diodo, applicando una polarizzazione diretta ai capi

della giunzione si osserva il passaggio della corrente.

Giunzione pn

I due livelli di Fermi non coincidono.

Se ora li portiamo a contatto il livello di Fermi del sistema deve divenire unico,

cioè ci sarà un travaso di elettroni dalla regione dove EF è più alto (n) a quello

dove è più basso (p). Viceversa per le lacune, che andranno da p a n.

Per cui all’interfaccia si formano due zone ove sono presenti solo cariche fisse

(ioni) e non portatori liberi. Tale zona di larghezza do si chiama zona svuotata o di carica spaziale.

Giunzione pn

Polarizzazione diretta

Applicando una d.d.p. positiva al semiconduttore di tipo P le lacune vengono

respinte, e si dirigono verso la zona di svuotamento. Analogamente fanno gli

elettroni nel semiconduttore N. La zona di svuotamento si assottiglia, fino a

che, in corrispondenza di una tensione di soglia Vs, si riempie completamente

ed una corrente comincia a scorrere nel diodo.

Giunzione pn

Polarizzazione inversa

Se invece la differenza di potenziale positiva viene applicata al semiconduttore

N, allora elettroni e lacune si allontanano ulteriormente dalla zona di

svuotamento, che si ispessisce: il diodo rimane isolante, a meno di una

piccola corrente detta corrente oscura.

La curva caratteristica di un diodo è descritta dalla seguente relazione:

• la quantità I0 corrisponde alla corrente che si ottiene per una forte

polarizzazione inversa: è la corrente oscura del diodo. E’ dell’ordine del mA

• la presenza del fattore KT mostra come la conduzione del diodo sia un

fenomeno dipendente dalla temperatura: se T aumenta, l’esponenziale

diminuisce, e quindi la corrente aumenta: infatti cresce il numero dei

portatori in grado di staccarsi dal reticolo. A temperatura ambiente,

KT/e=1/40 Volt

• il coefficente η dipende dalle caratteristiche del materiale: nel diodo al

silicio, vale circa 2.

Giunzione pn

Curva caratteristica

−= 10

eII η

L’espressione completa della corrente di un diodo è:

V > 0 (p+, n-) = polarizzazione diretta

V < 0 (p-, n+) = polarizzazione inversa

Giunzione pn

Curva caratteristica

−= 10

eII η

Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)

νh=gapE

Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)

νh=gapE

AlInGaP AlInGaN

Rosso-giallo Verde-blu

Celle fotovoltaiche

Il principio di funzionamento su cui si

basa una cella fotovoltaica è l’effetto

fotoelettrico.

L’assorbimento della radiazione solare è

strettamente legato al semiconduttore. Ogni

semiconduttore assorbe una specifica parte

dello spettro solare in dipendenza dall’energy

SILICIO

Efficienza 10-17%

CELLE MULTIGIUNZIONE AD ALTA EFFICIENZA

I semiconduttori più utilizzati sono: InGaP, GaAs, Ge Fonte CESI

Sara Padovani

Centro Ricerche Plast-optica S.p.A.

Via J. Linussio 1, Amaro (UD)

sara.padovani@crp.crf.it

0433 487 522

Corso di Fisica Moderna

Documents

Transcript of Corso di Fisica Moderna

Appunti NON UFFICIALI del corso di Fisica 5F, tenuto …giammy.com/files/appuntifisica5f.pdf · Lerner Fisica Moderna, Vol. 4, Zanichelli: testo “ufﬁciale” del corso: eserci-

Fisica moderna per la scuola

Fisica Moderna - Virgilio Acosta

DISPENSE DEL CORSO DI FISICA MODERNAbecchi/fismode_new.pdfCORSO DI STUDI IN FISICA DISPENSE DEL CORSO DI FISICA MODERNA Carlo Maria BECCHI Massimo D’ELIA Dipartimento di Fisica,

Corso di Fisica - Università di Firenze. · Prof. Mara Bruzzi – Cenni di Fisica Moderna 1 Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni a.a.08-09 Corso di Fisica Cenni

CAMPUS di MATEMATICA e di FISICA MODERNA

fisica moderna

Introduzione alla fisica moderna - people.na.infn.itpeople.na.infn.it/~delellis/Didattica/WYP/FisicaModerna.pdf · Fisica “classica “ e “moderna” Sempre più studiata sui

Le grandi idee della Fisica Moderna Luigi Benussi.

Corso di approfondimento in Fisica Moderna A.S. 2006-2007 LA FISICA DEI QUANTI E LATOMO Marco Ostili.

4. Introduzione alla fisica moderna

La scuola estiva di eccellenza sulla fisica moderna

Corso di Fondamenti di Fisica Moderna Relatrici Napolitano Anna Romano Stefania Big Bang ed Evoluzione dellUniverso.

Fisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei …imbimbo/Raccolta_ScrittiFM.pdfFisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 13/09/2017 Problema 1 Una particella

DISPENSE DEL CORSO DI FISICA MODERNA - ge.infn.itbecchi/fismode_new.pdf · 4.0.12 L’equilibrio termico col metodo di Gibbs . . . . . . . . . 108 ... D.Halliday, R.Resnick, J.Walker,

Parte Prima Introduzione: LA NASCITA DELLA FISICA MODERNA

Fisica Moderna - Fasciculo4

Fare scienza con il computer FISICA (“MODERNA”) E … · FISICA (“MODERNA”) E PROBABILITÀ!! Giorgio Pastore (pastore@ts.infn.it) Maria Peressi (peressi@ts.infn.it) 3 febbraio

Laboratorio di Fisica Moderna Cosmologia · Laboratorio di Fisica Moderna Cosmologia. Programma di oggi ... In fisica a qualunque misura è associato un errore o incertezza. Essa

Fisica III/Fisica Moderna