Fare scienza con il computer

FISICA (“MODERNA”) E PROBABILITÀ

Giorgio Pastore (pastore@ts.infn.it) Maria Peressi (peressi@ts.infn.it)

3 febbraio 2011

L'imprevedibilità di alcuni fenomeni fisici può essere controllata in modo statistico attraverso il concetto di distribuzione di probabilità. ��Esempi di fenomeni intrinsecamente probabilistici:

ce n’e` molti nella fisica classica, ma qui ne consideriamo alcuni riguardanti la fisica moderna�

e piu’ precisamente la meccanica quantistica ��Ne discuteremo attraverso esempi di calcoli relativi alla trattazione quantistica degli elettroni (rilevati su uno schermo, o in atomi e molecole).�

Perche’ ci interessiamo di meccanica quantistica?�

... per affrontare un argomento nuovo…�

Ma c'è anche una ragione pratica che rende attuale questo argomento. I più recenti sviluppi della tecnologia (come la nanotecnologia) si basano sulla manipolazione di singoli atomi, elettroni, molecole e sul tentativo di usare questi oggetti per applicazioni innovative. Il comportamento di questi oggetti microscopici obbedisce alla meccanica quantistica. Questa non è dunque solo importante per il progresso della conoscenza scientifica; sicuramente essa diventerà sempre più determinante per lo sviluppo delle tecnologie del futuro.�

Prima di parlare di meccanica quantistica e fenomeni probabilistici, dobbiamo mettere a fuoco che cosa e’ una distribuzione di probabilita’ in generale e imparare a generarla.

Distribuzioni di probabilità Ad es. il lancio di un dado: la variabile “numero che compare sulla faccia superiore” e’ una variabile casuale. Piu’ lanci danno una sequenza di numeri casuali, cioe’ una sequenza di numeri che sembrano impredicibili ma che hanno ben definite proprieta’ statistiche. I singoli risultati ci interessano poco, ma possiamo chiederci: -  Qual e’ l’istogramma delle frequenze o distribuzione

di probabilita’ ? (contiamo quante volte e’ uscito un certo numero) -  Qual e’ il valore medio (o massimo) ?

Distribuzione uniforme di probabilità

E’ il caso del lancio di un singolo dado alla volta e della variabile casuale associata

“numero che compare sulla faccia superiore” VariabiliCasuali.java lanciato con Nvariabili=1, Nvalori=6, Nconf=3000!

•  istogramma delle frequenze ?�

•  valore medio? valore piu’ probabile?�

VariabiliCasuali.java !lanciato con Nvariabili=2 o piu’, Nvalori=6, Nconf=….!

Giochiamo con due o piu’ (N) dadi..�Lanciati simultaneamente, e consideriamo la sequenza

dei risultati ottenuti per la variabile casuale�“somma dei numeri delle facce superiori di N dadi”�

Distribuzioni non uniformi di probabilità

Distribuzioni non uniformi di probabilità “somma dei numeri delle facce superiori di piu’ dadi”�

Somma di�2 dadi

Somma di�10 dadi

Distribuzione triangolare Distribuzione gaussiana

•  Come generare in un modo piu’ generale�una distribuzione di probabilita’ assegnata ?�

•  Algoritmo rifiuto-accettazione �per generare in altro modo alcune distribuzioni �di probabilita’ ottenute con i dati�

•  Sguardo a programmi e uso gnuplot �

Distribuzioni di probabilità

Algoritmo rifiuto-accettazione Si vuole generare una variabile casuale x con distribuzione di probabilità f(x) su un intervallo [a,b].��1.  si genera una coppia di variabili (x,y) distribuite in modo uniforme nel rettangolo

definito dagli intervalli [a,b][0,M] (M dev’essere maggiore o uguale al massimo di f(x) in [a,b]) e si calcola f(x).�

2.  si accetta il valore di x se y<f(x), lo si rifiuta se e’ y>f(x) (cioe’: lo si accetta con probabilità pari a f(x)/M, lo si rifiuta con probabilità 1- f(x)/M )�

3.  Il conteggio dei valori di x accettati da’ un istogramma che ha la forma di f(x) (poi va normalizzato)�

•  Punti corrispondenti a �valori di x accettati�

•  Punti corrispondenti a �valori di x rifiutati�f(x)

M

a b

Teniamo presente quanto abbiamo imparato sulle distribuzioni di probabilita’ e cominciamo ad addentrarci nella meccanica quantistica …

Cos’è la Meccanica quantistica? - 1

A livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutroni �le leggi della meccanica classica non valgono più.�

La fisica del ‘900 ha scoperto nuove leggi più adeguate a descrivere�e progettare sistemi e dispositivi di dimensioni atomiche.�

�Per quanto poco familiari possano apparire alla nostra percezione del�

mondo costruita sulla base di esperienza su scala macroscopica, �i principi e risultati della meccanica quantistica (MQ) sono �

coerenti e basati su fatti sperimentali, esattamente come quelli della�meccanica classica. Quest’ultima diventa un caso limite della MQ, �

quando masse, energie e dimensioni divengono confrontabili con quelle �della scala quotidiana.�

A livello formale è possibile partire da principi analoghi ai principi �di Newton della meccanica classica (MC). Tuttavia, la struttura

matematica della MQ è più complessa di quella della MC.���

Ci limitiamo quindi ad enunciare due dei principi della MQ in forma �qualitativa, senza pretesa di essere completi o rigorosi.�

��

Cos’è la Meccanica quantistica? - 2

1.  Ogni misura di una proprietà fisica del sistema permette, in �generale, di fare predizioni puramente probabilistiche sui valori di �

misure successive dello stesso o altri osservabili (però, in alcuni casi, �la probabilità può anche arrivare ad 1)�

��

2. Non c’è nessun limite (salvo di tipo pratico) sulla precisione con �cui posso misurare una singola quantità fisica. Ma ogni misura può �(secondo regole fisse) modificare la distribuzione di probabilità di �

altre quantità fisiche dello stesso sistema. �

Cos’è la Meccanica quantistica? - 3

Conseguenze pratiche: ��

1.  Lo stato del sistema non è più caratterizzabile, come in meccanica �classica, mediante i valori di (poche) quantità osservabili �

(es: posizione, velocità, energia,…) ma richiede di assegnare (misurare)�una distribuzione di probabilità per i diversi possibili valori; �

�2. Le distribuzioni di probabilità di alcune quantità fisiche sono collegate: �

un aumento di precisione sul valore di una quantità �(distribuzione di probabilità più concentrata) �

implica una diminuzione di precisione su un’ altra�(distribuzione di probabilità meno concentrata)�(relazioni di indeterminazione di Heisenberg).�

Cos’è la Meccanica quantistica? - 4

Misure di posizione��

1.  La descrizione più completa sulla distribuzione di probabilità �relativa ad una misura di posizione r è data, in MQ, dalla funzione �d’onda Φ(r); per una singola particella, questa è una funzione della �

coordinata r (in 3D: r=(x,y,z)), il cui quadrato |Φ(r)|2 fornisce la distribuzione di probabilità di misure di posizione.�

�

Cos’è la Meccanica quantistica? - 5

Elettroni e probabilita’�

C’e’ un esperimento che ci fa ben capire la natura probabilistica della posizione di un elettrone.�

Consideriamo un cannone elettronico che invii elettroni su uno schermo, dopo aver attraversato una doppia fenditura: quali saranno le posizioni piu’ probabili? ��Facciamo come i dadi: lanciamone tanti, e, poiche’ ciascun elettrone colpisce lo schermo in una posizione ben precisa, individuata dalla macchia luminosa che produce (come ogni lancio di un dado ci da’ un numero ben preciso), guardiamo il risultato... �

Esperimento �doppia fenditura�

� (a)  Con pochi elettroni non possiamo dire

molto circa la probabilita’ che una parte o l’altra dello schermo venga colpita: le posizioni sembrano distribuite in modo casuale e uniforme �

(b)  Ancora..�

(c)  Ora invece si cominciano a distinguere delle zone piu’ o meno colpite, cioe’ una distribuzione non uniforme �

(d)   Aumentando il numero di elettroni questo e’ sempre piu’ evidente�

(e)  Si tratta di un’alternanza di zone piu’ o meno popolate…�

e’ una tipica figura di interferenza �

Esperimento doppia fenditura��

Un filmino dell’esperimento: http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html

E anche (alcuni italiani lo hanno fatto per primi!):

http://www.bo.imm.cnr.it/users/lulli/downintel/index.html

Esperimento doppia fenditura��

…ad esempio le onde (sulla superficie dell’acqua): �

Ma queste figure di interferenza vi ricordano qualcosa dal mondo reale macroscopico a noi piu’ familiare?�

…viste anche in questo filmino: �http://www.youtube.com/watch?v=5PmnaPvAvQY&feature=related

Esperimento doppia fenditura��

La figura di interferenza che gli elettroni danno e’ simile a

quella di onde materiali (acqua) o anche onde luminose

(esperienza un po’ meno comune, ci serve un laser e

due fenditure sottili sottili per vederla)

Esperimento doppia fenditura�� La figura di interferenza che

gli elettroni danno e’ diversa da quella che potrebbero dare

oggetti macroscopici

Non per nulla abbiamo cominciato a parlare di meccanica quantistica�

dicendo che �a livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni,

neutroni �le leggi della meccanica classica non valgono più.�

Esperimento doppia fenditura - computazionale

Implementazione codice – visualizzazione��

Commenti: ��•  Effetti di aumento della statistica�•  …�

L’ atomo di idrogeno E’ il piu’ semplice atomo, costituito da un protone (nucleo)�e da un elettrone. L’elettrone puo’ avere diverse energie �e, in corrispondenza, diverse funzioni d’onda Φ (orbitali), �

che danno (|Φ|2) le distribuzioni di probabilita’ di posizione �nello spazio attorno al nucleo.�

Poiche’ l’elettrone ha carica, una distribuzione di probabilita’

della sua posizione corrisponde ad una densita’ di carica.�

�Questa e’ una raffigurazione della

distribuzione di probabilita’ dell’elettrone dell’atomo di H nello

stato ad energia piu’ bassa (1s) �

L’ atomo di idrogeno Queste sono altre raffigurazioni della distribuzione di probabilita’

dell’elettrone dell’atomo di H nello stato precedente e in altri

stati a energia piu’ alta �

L’ atomo di idrogeno Implementazione codice – visualizzazione�

�Commenti: ��•  Effetti di aumento della statistica�•  Nodi delle funzioni d’onda�•  Estensione delle funzioni d’onda�•  (eventualmente: atomi idrogenoidi e dipendenza da

Z) ��•  Si potrebbe anche calcolare l‘energia potenziale…

Come?�

Molecole e �spiegazione quantistica del

legame H2

+ e sovrapposizione di orbitali atomici�

Molecole e �spiegazione quantistica del

legame H2

+ e sovrapposizione di orbitali atomici �Implementazione codice – visualizzazione�

�•  Studio distribuzione di carica in funzione

della distanza intramolecolare R �

•  Verifica dell’accumulo di elettroni nell’orbitale legante �

Ancora atomi e molecole

Ora che sappiamo qualcosa, possiamo anche vedere altri programmini… : - Per l’atomo di idrogeno: http://www.falstad.com/qmatom/ -  Per lo ione molecolare H2

+: http://www.falstad.com/qmmo/