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Corrente continua 16 giugno 2011
Corrente elettrica
Densità di corrente
Legge di Ohm, resistenza
Resistività, conduttività
Mobilità dei portatori
Composizione di resistenze
Energia e potenza nei circuiti elettrici
Corrente elettrica
• Per definizione è il rapporto tra la carica passata attraverso una superficie e il tempo impiegato
• Corrente media e corrente istantanea• Inizialmente ci occuperemo principalmente di
correnti stazionarie, cioe` costanti nel tempo• Esempi di corrente:
– corrente in un filo conduttore– Corrente di un fascio di particelle– Corrente ionica in un liquido
t
QI
dt
dqI
2
Il Tevatron di Fermilab
• The Tevatron is currently colliding 36 proton against 36 antiproton bunches, where either beam consists of 3 equally spaced trains of 12 bunches in a common single vacuum chamber
• The two beams are separated by a helical orbit except at the two locations of High Energy Physics (HEP) experiments, where they collide head on
• Recently, the total beam intensities injected into the Tevatron has been slightly over 10×1012 protons and 1.2×1012 antiprotons
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Corrente elettrica
• Alla corrente possono contribuire sia cariche positive che negative
• I contributi si sommano se le velocità sono opposte
• Il verso convenzionale della corrente è quello della velocità delle cariche positive
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Dimensioni fisiche. Unità di misura
• Le dimensioni della corrente sono carica diviso tempo
• L’unità di misura è l’ampere (A) definito come coulomb diviso secondo
• Nel SI puro è il coulomb ad essere definito in termini di ampere
1QTI
s
CA
5
Corrente nei metalli
• In un oggetto metallico, alcuni degli elettroni più esterni degli atomi costituenti vengono condivisi da tutto l’oggetto
• Sono quindi liberi di muoversi entro l’oggetto, ma vincolati a non lasciarlo da forze alla superficie
• Posseggono un moto di agitazione termica che è del tutto casuale, ovvero la velocità per diversi elettroni o in diversi istanti assume le diverse orientazioni possibili in modo casuale
• La velocità termica ha, in modulo, un valore molto elevato
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Corrente nei metalli
• L’applicazione di un campo E produce una forza su tutti gli elettroni liberi, che di conseguenza si muovono con una velocità di deriva
• La velocità di deriva di tutti gli elettroni ha la medesima direzione (opposta a E)
• La velocità di deriva ha valore piuttosto piccolo
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Corrente e densità dei portatori• Consideriamo un filo metallico sede di corrente
stazionaria, di sezione (retta) costante A• sia n la densità di portatori
• e vd la velocità di deriva
• Il numero di portatori N che passa attraverso A nel tempo è pari al numero di portatori presenti nel volume del cilindro di base A e altezza
• La corrente è dunque
tvd
tvd
A
ttvd
Anqvt
Vqn
t
qNI d
8
Corrente e densità dei portatori• Se la sezione non è retta, il volume è
• Dove è l’angolo formato dai vettori area A e velocità vd
cioè:• La corrente si può allora scrivere:
• Il numero di portatori puo` anche non essere distribuito uniformemente, allora
• Ove n e` la densita` numerica dei portatori e quella di carica
tAvV d
AvAvnqt
Vqn
t
qNI dd
costAvV d
VnN ndVdN
dV
dNn
dV
dNqqn
9
Corrente e densità di corrente
• La corrente si può scrivere anche
• Ove è stato introdotto il vettore densità di corrente
• La corrente si può interpretare come il flusso del vettore densità di corrente attraverso la sezione A
dd vvnqJ
AJI
10
Corrente e densità di corrente• Se il flusso di carica non è uniforme sulla sezione del
conduttore, possiamo generalizzare la definizione di corrente come integrale del flusso della densità di corrente sull’elemento di area della sezione
• Generalizzazione della densita` di corrente a più specie di portatori
N
kk
N
kkk
N
kkkk JvvqnJ
111
S
AdJI
11
Corrente attraverso superfici chiuse
• Relazione tra densità di carica e di corrente
• Conservazione della carica
• Applicando il teorema della divergenza al primo membro
0i0
dt
dq0
dt
dq0i
dt
dqi
)(SS
dVdt
dAdJ
)()( SS
dVt
dVJ
J
Ad
AdJ
12
Equazione di continuità
• Dall’uguaglianza degli integrali, segue
• Se non c’è dipendenza dal tempo, si ha uno stato stazionario:
tJ
0t
0 J
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Densità di corrente
• Per un filo di sezione uniforme, il modulo è il rapporto tra intensità di corrente e sezione retta del filo
• Dimensioni
• Unità di misura
2TL
Q
A
IJ
dnqvA
IJ
2sm
CJu
14
Confronto tra velocità termica e di deriva
• Velocità termica a 300 K
• Velocità di deriva in un filo di Cu di sezione A=1mm2 per una corrente di 1A
smm
kTv
kTmv
th
th
/102.11011.9
3001038.133
2
3
2
1
52
1
31
23
2
smnqA
Iv
nqAvI
d
d
/104.710106.11047.8
1 561928
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Metalli - Legge di Ohm
• Lega la differenza di potenziale con l’intensità di corrente in un conduttore metallico
• Le due grandezze V e I risultano proporzionali– R: resistenza– K: conduttanza
• Dimensioni fisiche della resistenza
• Unità di misura è l’ohm ()
KVI RIV
I
VR
A
V
AB VVV
A BI
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Resistività• La resistenza dipende dalle
dimensioni geometriche – lunghezza l, sezione A
• e dalla natura del conduttore– resistività
• Resistività– Dimensioni– Unità di misura
• Conduttività: è l’inverso della resistività
• La resistività dipende dalla temperatura
A
lR
l
RA
RLm
1
201 2020 t)(T 17
Campo E in un filo
• Campo E in un filo conduttore a sezione costante
• Cioè V è proporzionale alla lunghezza, ne segue che il campo è uniforme
J
A
i
x
VE
A
xixiRxVV )()(0
xV0-V(x)
Legge di Ohm microscopica,ha validita` generale
18
JE
Relazione tra vd e E
• Risolvendo per i
• e dall’espressione della corrente in funzione della velocità di deriva dei portatori
• Segue che tale velocità è proporzionale al campo– Il moto non è uniformemente accelerato,
come accade per una carica libera in un campo E
– : mobilità
EA
i
Aqnvi d
Eqn
Evd
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Mobilità dei portatori
• Dimensioni
• Unità
M
QT
ML
TIL
U
IL
VQ
IL
LRQ
L
qn
2
222231
kg
Csu
20
Composizione di resistenze
• Composizione in serie. 1 e 2 sono entrambe percorse dalla stessa corrente I, ai capi di 1 c’è una caduta di potenziale V1 e ai capi di 2 una caduta V2
• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando è percorsa dalla stessa corrente I, troviamo ai suoi capi la caduta di potenziale V1+V2
• Cioè la resistenza equivalente è la somma delle resistenze
2121 IRIRVV
IRV
21 RRR
21
Composizione di resistenze
• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno una ugual caduta di potenziale V ai loro capi e sono percorse dalle correnti I1 e I2 risp.
• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando ai suoi capi c’è la stessa caduta di potenziale V essa è percorsa dalla corrente I1+I2
• Cioè l’inverso della resistenza equivalente è la somma degli inversi delle resistenze 1 e 2
2121 R
V
R
VII
R
VI
21
111
RRR
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Energia nei circuiti elettrici• Consideriamo due punti 1 e 2 su di un filo conduttore a
potenziale V1 e V2 risp.• Una carica Q passa da 1 a 2, l’energia potenziale varia
di• Per la conservazione dell’energia, l’energia cinetica
degli elettroni dovrebbe aumentare• In realta` abbiamo visto che la velocità dei portatori non
cambia, c’è una perdita netta di energia dei portatori• L’energia cinetica è infatti ceduta per urto agli ioni del
reticolo del conduttore e si manifesta come energia termica: effetto Joule
• L’energia e` fornita, in ultima analisi, dal generatore
01212 VVQQVQVU
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Potenza dissipata• La potenza Joule è uguale
all’energia dissipata diviso il tempo
• È fornita dal generatore elettrico
• Dimensioni fisiche
• Unità di misura
• Forme alternative (per conduttori ohmici)
TQT
QIVP
EE
IV
t
VVQ
tP
21E
Ws
J
C
J
s
CAVPu
R
VRIIVP
22
24