Coniche nelle prove d’ingresso all’Università

Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

Daniela Valenti, Treccani Scuola 2

Presenza delle coniche

Sono molto numerose le Università italiane e ogni Università offre vari corsi di laurea e propone una particolare organizzazione delle prove iniziali, quindi non è facile avere un panorama esauriente delle prove di ingresso e della presenza delle coniche in queste prove. Tuttavia, la presenza di quesiti sulle coniche è costante dove sono previste prove di ingresso a corsi di laurea scientifici come ingegneria, matematica, fisica, statistica o medicina… Nella prossima attività affronterete alcuni di questi quesiti.

Attività 2. Quesiti sulle coniche tratti da prove iniziali all’Università

Daniela Valenti, Treccani Scuola

Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.

Avete 35 minuti di tempo

3

Daniela Valenti, Treccani Scuola 4

Riflessioni sulla soluzione dei quesiti

Daniela Valenti, Treccani Scuola 5

Tipologia di quesito

I quesiti sono tutti a risposta multipla e vengono somministrati su carta o via computer in varie università italiane.

I quesiti si possono raggruppare nei temi seguenti: -  definizione, proprietà focale ed equazioni cartesiane di

•  circonferenza; •  ellisse; •  parabola; •  iperbole;

-  intersezioni conica - retta; -  intersezioni fra due coniche.

Daniela Valenti, Treccani Scuola 6

Quesito 1 su equazione e grafico di parabola

Parabola descritta da un’equazione del tipo y = a(x – p)2 + q

La parabola ha vertice V(1, 0)

a = 1, p = 1, q = 0

Quesito 2 su proprietà della parabola

Daniela Valenti, Treccani Scuola 7

Equazione della parabola

Del tipo y = ax2 + bx + c Con a = 1, b = −4 , c = 3

€

p = −b

2a⇒ p =

42

= 2

q = ap2 +bp+ c⇒ q = 4 −8+ 3 = −1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Calcolo le coordinate del vertice V

Trovo V(2, −1)

Così trovo corretta l’ultima risposta ed escludo le altre 3.

a = 1 > 0 concavità verso l’alto

Quesito 3 su equazione di circonferenza

Daniela Valenti, Treccani Scuola 8

Centro C(1, 1) Raggio r = 1

Centro: C(p, q) Raggio: r Equazione: (x − p)2 + (y − q)2 = r2

(x − 1)2 + (y − 1)2 = 12 Equazione A

Quesito 4 sulla definizione di iperbole

Daniela Valenti, Treccani Scuola 9

L’iperbole è formata da due rami separati

Un’unica definizione per descrivere i due rami. La curva è il luogo dei punti C del piano per cui risulta:

|CF’ – CF| = 2a

Quesiti 5 e 6 sull’ellisse

Daniela Valenti, Treccani Scuola 10

€

Eccentricità e =ca

=2c2a

Quesito 7 sull’equazione dell’iperbole

Daniela Valenti, Treccani Scuola 11

Funzione omografica. In questo caso è facile rispondere per esclusione. Solo la curva E passa per il punto (0; 1), mentre tutte le curve passano per il punto (2; 0).

Quesito 8 sulle intersezioni parabola - retta

Daniela Valenti, Treccani Scuola 12

Si può anche procedere per esclusione. Da F(0, -3) e direttrice y = 1 segue: -  V(0, -1) [esclusi C, B, A] -  asse di simmetria l’asse y [escluso E]

Quesito 9 sulle intersezioni parabola - retta

Daniela Valenti, Treccani Scuola 13

€

y = x2 y = x+ k

⇒⎧ ⎨ ⎩

x+ k = x2 y = x+ k

⇒⎧ ⎨ ⎩

x2 − x − k = 0 Δ =1+ 4k y = x+ k

⎧ ⎨ ⎩

Per determinare i punti di intersezione retta - parabola

Retta e parabola NON hanno punti di intersezione solo se il sistema NON ha soluzioni reali. E questo avviene solo se Δ < 0 cioè 1 + 4k < 0

Quesito 10 sulle intersezioni retta - circonferenza

Daniela Valenti, Treccani Scuola 14

Centro: C(p, q) Raggio: r Equazione: (x − p)2 + (y − q)2 = r2

(x − 1)2 + (y − 3)2 = 32

Quesito 11 sulle intersezioni fra due coniche

Daniela Valenti, Treccani Scuola 15

Quesito 12 per riflettere

Daniela Valenti, Treccani Scuola 16

€

x2 −1 = 0⇔ x −1( ) x+1( ) = 0 ⇒x −1 = 0 ⇒ x =1 x+1 = 0 ⇒ x = −1

Attenzione! Lavoriamo nel piano Oxy. Tutti i punti hanno ascissa x e ordinata y. Scrivere x = 1 significa fissare solo l’ascissa x. P(1, y) percorre la retta a parallela all’asse y. E così P’(-1, y) percorre la retta b.

Attenzione! La parabola avrebbe equazione

y = x2 – 1