DIDATTICA A DISTANZA CARRELLATA SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI.

DIDATTICA A DISTANZA

“CARRELLATA” SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI

BREVE STORIA DELLE CONICHE

PROPRIETA’:

Circonferenza Ellisse

Parabola Iperbole

LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE

Circonferenza ellisse

Parabola iperbole

Come risolvere i problemi

ESERCIZI RISOLTI E NON

Mappa della presentazione

d efi niz ione

equaz ione

f or mule

c as i par t ic olar i

c onc avit à

par ab ola

d efi niz ione

equaz ione

c as i par t ic olar i

f or mule

c ir c onf er enza

d efi niz ione

equaz ione

f or mule

i. equilat er a

i. t r as lat a

iper b ole

d efi niz ione

equaz ione

gr afi co

f or mule

ell is se t r as lat a

ell is se

Classifi caz ione

mat emat ic i gr eci

t r at t at i d i A pollonio

pens ier o

A pollonio

S t or ia

iper b ole .

el l is se

c ir c onf er enza

par ab ola

Cost r uz ione

Quadro riassuntivo delle formule

Coniche Classificazione

Le curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione,

ma con il seguente ordine:

rette

cerchi

luoghi piani

sezioni coniche

luoghi solidi

tutte le alt re curve

luoghi lineari

t re categor ie


Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto;

scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che

constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei

quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca,

applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti.


Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni

coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione.

Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o

in coni retti.Coniche Classificazione

(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse

stato fatto negli scritti degli altri autori.(2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e

delle tangenti.(3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la

sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti.

(4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra.


(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica.

(6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni

trascurate da altri autori.(7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e

contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse.

(8°libro)Tratta problemi simili.


Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:

>

= 90°

=

<

L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R

Ellisse

Circonferenza

Parabola

Iperbole


Circonferenza

Ellisse

Parabola

Iperbole

circonferenza ellisse

parabolaiperbole


LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA

• La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare

all’asse di rotazione del cono .


Definizione

Equazione

Casi particolari

Formule


Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.


xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R


xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2) raggio: raggio: r =r =


x2 + y2 = r2

C(

O

x2 + y2 + ax + by = 0

. C(

x2 + y2 + ax + ay+c = 0

O


L’ ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di

quello della retta generatrice del cono.


Definizione

Equazione

Grafici

Formule

Ellisse traslata


Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1+ PF2= k k R R++

y

x


xx22 y y22

+ = 1+ = 1aa22 b b22

aa: semiasse maggiore

bb: semiasse minore

cc:: F1F2 / 2

Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y

x


Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).

(x - )2 (y - )2

a2 b2

vettore V (; ) centro C (; )

vertici: A’(a ; ) B’( ; b)

fuochi:

a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2

a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2

+ =1y

x


C(0;0) a>bC(0;0) b>a

y

x

y

x


L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.

0<e<1 ellisse

a2 = b2 + c2

Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b

Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)


LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA

• La parabola si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo

uguale a quello della retta generatrice del cono.


Definizione

Equazione

Formule

Casi particolari

concavità


Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.

d

F

x

y


y=ax2+bx+c

x=ay2+by+c

x

y

x

y


y=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)


Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura.

Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura

.

http://digilander.libero.it/scaroselli/images/an_archi.png

b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx

c=0 e b=0 y=ax2

x

y

y

x

x

y


a>0 a<0

x

y y

x

x

y y

x


L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del

cono di un angolo minore di quello della retta

generatrice del cono.

Sezione iperbole

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Definizione

Equazione

I. Equilatera

Formule

I. Traslata


Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1- PF2 = k k R R++


xx22 y y22

- = +1- = +1aa22 b b22

c = semidistanza F1 -F2

asse focale: 2c

I caso

II caso

xx22 y y22

- = -1- = -1aa22 b b22


I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)

II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)

asintoti: y= (b/a) x

eccentricità e = c/a

e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole


Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b

xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22

asintoti:asintoti: y = y = x x

c = a2

e = 2


Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )

I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b

asintoti: y - = (b/a) (x- )


Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa

succede...


Torcia a livello della sommità della palla...


Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla...


Spostando la torcia verso destra...


Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla...


Quadro riassuntivo


PARABOLAy=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V

(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F

(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice d

y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione asse

x=-b/(2a) y=-b/(2a)

CIRCONFERENZAxx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0 + ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

Centro:Centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)

raggio: raggio: r =r =

ELLISSEa2 = b2 + c2; Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

a>b a<b

(- a a22 - b - b22 ; ;0), (+ a a22 - b - b22 ; ;0) (0;- b b22 - a - a22 ), (0;+ a a22 - b - b22 )

Eccentricità 0<e<1

e=c/a e= c/b

IPERBOLEa2 +b2= c2;

a>b a<b

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

(- a a22 + b + b22 ; ;0), (+ a a22 + b + b22 ; ;0) (0;- b b22 + a + a22 ), (0;+ a a22 + b + b22)

Eccentricità e>1

e=c/a e= c/b

asintoti: y= (b/a) x

c - (b/2) - (a/2) 22

C1)Come riconoscere se una equazione è quella di una circonferenza? a)I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali; b)Non vi deve essere il termine misto in xy; c)Il calcolo del raggio deve risultare positivo. tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.C2)Come verificare se un punto P(x, y),del quale sono note le coordinate, è esterno, interno o appartenente alla circonferenza?Se la somma dei quadrati delle coordinate di P(x,y) risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio; se la suddetta somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio; se tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.

C3) Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una circonferenza e una retta? Come si determinano gli eventuali punti d’intersezione tra due circonferenze? E nel caso più generale?Basta risolvere (come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze. In generale, con il sistema, si trovano sempre le intersezioni. interno al cerchio; C4) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una circonferenza?I procedimenti possono essere due: Si cerca la distanza del (punto) centro C(α,β), della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante.Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b2 -4ac). Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se Δ =0 allora la retta è tangente(due intersezioni coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.

C5)Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla circonferenza?Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla circonferenza allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla circonferenza allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y 0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla circonferenza. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza.

eC6) Come trovare l’equazione di una circonferenza di centro C(α,β), noto, e passante per un punto P(x,y) noto?Dopo aver trovato la distanza (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza, in quanto sono noti centro e raggio

C7) Come scrivere l’equazione di una circonferenza se conosco le coordinate di due punti, estremi del diametro?Si determinano le coordinate del punto medio che sarà il centro C(α,β). La distanza tra il centro e uno dei due punti dati sarà il raggio.

0cbyaxyxNZACIRCONFERE 22


C8)Come scrivere l’equazione di una circonferenza sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note?I procedimenti possibili sono due:si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC. Si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; Si cerca quindi la distanza tra centro e uno dei punti dati e si trova il raggio. Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; si risolve il sistema nelle tre 3 incognite (a,b,c, da porre nell’equazione della circonferenza). Infatti si otterranno tre equazioni in queste incognite sostituendo nell’equazione canonica, per tre volte, le coordinate dei 3 punti A(x A, yA), B (xB, yB) C(xC,yC). Poi si scriverà l’equazione della circonferenza ponendo i tre valori di a, b, c trovati.

P1)Come riconoscere se una equazione canonica è quella di una parabola? I gradi delle variabili x e y devono essere diversi (1, 2)

P2) Come rappresentare graficamente una parabola? Necessita trovare almeno le coordinate del Vertice e le intersezioni con gli assi

P3) Come posso scrivere l’equazione di una parabola sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note?Si procede in modo simile a quanto detto per la circonferenza al punto C8. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3 punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica.

P4) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate del vertice e quelle di un punto che le appartiene?Si scrive l'equazione generica della parabola; creando un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Nella prima si sostituiscono in x e y le coordinate del Vertice; nella seconda equazione le coordinate del punto e nella terza equazione si uguaglia l'ascissa(ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda che se l’equazione della parabola è y=ax2+bx+c allora l'asse della parabola sarà verticale e il vertice avrà ascissa come da formula. Se invece l’equazione della parabola è x=ay2+by+c allora l'asse sarà orizzontale e il vertice avrà ordinata come da formula. P5) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione dell’asse ?Si procede in modo simile al precedente punto: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone . Trovati a,b,c si sostituiscono nell'equazione generica.P6)Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione della direttrice?Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone .

P7) Come posso trovare l’intersezione i punti d’incontro (intersezione) tra una retta e una parabola o tra la parabola e una qualunque altra curva?Problema simile a quanto detto per la circonferenza al punto C3. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole, o della parabola con la circonferenza, o della parabola con l’ellisse, ecc. ..

P8) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola?: Problema ' simile al punto C4 ) della circonferenza. Si risolve il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b2 -4ac). Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se Δ =0 allora la retta è tangente (due intersezioni coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).

cbyayx;cbxaxyPARABOLA 22


P9) Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla parabola? Si premette che se il punto è esterno alla parabola allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla parabola allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla parabola allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y 0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine un’equazione parametrica di secondo grado (parametro m). S’impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola.

E1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’ellisse? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere concordi nel segno ma diversi tra loro; x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; E2) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura di un asse e le coordinate di un punto che le appartiene? Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b dimezzando il valore dato; Si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a. E3) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore del semiasse a e di c (op.di -c). Si calcola b con la formula relativa . E4) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b. E5) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?:Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2-b2 (oppure b2- a2) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b.

E6) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di due suoi punti?Nell'equazione dell'ellisse si pone e . Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di 2 equazioni nelle incognite u e v. Trovati i valori, si pone a=1/u e b=1/v e si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole.E7) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx 2+py2=q ?Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione.

E8) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’ellisse? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto C5 della circonferenza o P9 della parabola.

1b

y

a

x ELLISSE

2

2

2

2


I1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’iperbole? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere discordi nel segno. Se l’iperbole non è equilatera riferita ai propri asintoti allora x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; I2)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate dei fuochi? Sapendo che gli asintoti hanno equazione x e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad tale che c 2 = a2+b2, si risolve un sistema ponendo in una equazione b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nell'altra equazione a2+b2= c2.

I3) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate di un suo punto? Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni ponendo nella prima b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nella seconda sostituendo nell'equazione,al posto di x e y, le coordinate del punto.

I4) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera (riferita agli assi) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a.I5)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera(riferita agli asintoti) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è xy=k , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k.

I6) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’iperbole? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto 5 della circonferenza o 9 della parabola.

I7)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Si calcolano a o b con la formula relativa .

I8) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b. I9) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?:Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2+b2 e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. I10) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx 2-py2=q ?Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione.

I11) Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una iperbole e una retta? Come si determinano gli eventuali punti d’intersezione tra due iperbole? E nel caso più generale?Basta risolvere(come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dall’ equazione dell’iperbole con le equazioni delle altre curve.

1b

y

a

x Iperbole

2

2

2

2

222 ayx Equilatera rif. agli assiEquilatera rif. ai propri asintoti xy=k


Problema 1Determinare l'equazione della circonferenza passante per P(–1;0) e Q(0; –1).Osservando la figura, si nota che la circonferenza è tangente agli assi cartesiani in A e in B. Dunque il centro della circonferenza si ottiene dalla intersezione delle rette perpendicolari agli assi passanti per A e per B e quindi il centro risulta C (–1 ; –1).Il raggio della circonferenza è r = 1. Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y +1= 0 . Problema 2 Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette y = x e x + y + 2 = 0 e passante per l'origine degli assi .Risolvendo il sistema formato dalle due rette date, si trova il centro C(–1;–1). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO . Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y =0 Problema 3 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 – 4x – 6y = 0 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva nel punto O ( 0 ; 0 )Si scrive l'equazione y = mx del fascio proprio di rette di centro O. Si ricava il centro C della circonferenza ; si ha C (2 ;3).Si trova il coefficiente angolare della retta CO; si ottiene m = 3/2.. Poiché la retta CO è perpendicolare alla tangente, in quanto il raggio della circonferenza appartiene alla retta CO, imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, si ha m = –2/3.Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y = (–2/3)x. Dunque l'equazione della retta è 2x + 3y = 0. Problema 4 Determinare l'equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4).Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c; basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del vertice V alla parabola e 3)la coincidenza dell'ascissa del vertice della parabola con l'ascissa di V.Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 4, c = 4.Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 4x + 4 Problema 5 Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per P(0; 1), per B (–1 ; –1 ) e ivi tangente alla retta y – x = 0 .Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c, basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B alla parabola e 3)la condizione di tangenza tra la parabola e la retta y = x.Si ottengono le tre equazioni c = 1, , a – b + c = –1, (b–1)2– 4a c = 0Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 1.Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 +3x + 1.

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Problema 6Determinare l'equazione della parabola passante per A (–4 ; 1 ), per B (–1 ; 4 ) e avente vertice V (–3 ; 0 ) .Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + cbasta imporre: 1)l'appartenenza del punto A alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B e 3)l'appartenenza del vertice V. Si ottengono le tre equazioni : 16a–4b+c = 1, a–b+c = 4, 9a–3b+c = 0. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 6, c = 9. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 6x + 9 Problema 7 Determinare l'equazione della parabola con asse coincidente con l'asse x, avente il vertice nel centro della circonferenza di equazione x2+y2–4x=0 e passante per A(–2;1).Essendo il vertice sull'asse x, si ha –b/2a = 0 da cui b = 0. Considerata l'equazione della parabola x = ay2+cbasta imporre: 1) l'appartenenza del centro della circonferenza C ( 2 ; 0 ) alla parabola e 2) il passaggio per il punto A .Si ottengono le due equazioni: c = 2, –2 = a + c, Risolvendo il sistema formato da queste equazioni si ottengono i valori a = – 4 , c = 2.Dunque l'equazione della parabola è : x = – 4y2 +2 Problema 8 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y = x2 – 4x nel punto A(1; –3)Si scrive l'equazione y +3 = m(x – 1) del fascio proprio di rette di centro A. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ = 0. Si ottiene (4+m) 2 – 4(m+3) = 0 , cioèm2 + 4m + 4 = 0 da cui m = –2. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y + 3 = – 2(x – 1).Dunque l'equazione della retta è 2x + y +1= 0. Problema 9 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola y = x2+ 2x + 1 e parallela alla retta 4x + y + 4 = 0.Si scrive l'equazione 4x + y + k = 0 del fascio improprio di rette parallele a 4x + y + 4 = 0.Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ= 0. Si ottiene 8 – k = 0 da cu i k = 8. Sostituendo tale valore al posto di k nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione della retta cercata: 4x + y + 8 = 0.

y = x2 + 4x + 4 Problema 10 Trovare le intersezioni della retta y = x + 4 con la parabola y = – x2 + 6x.Si pongono a sistema le due equazioni y = x + 4 e y = -x2 + 6x

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Problema 11Una parabola con l’asse parallelo all’asse delle y, passa per il punto G(1,0) ed ha il vertice V(4,9). Scriverne l’equazione e rappresentarla. La retta passante per (0,3), e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in A e B. Da A e B si conducono le perpendicolari all’asse delle x che intersecano l’asse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero ABCD. Problema 12Scrivere l’equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x = 2 e tangente nel punto A (4,0) ad una retta r parallela ad r1 di equazione 4x + y – 10 = 0. Inscrivere un rettangolo nella parte di piano limitata dell’arco di parabola giacente nel I° quadrante e calcolare le coordinate dei vertici B e C del rettangolo che stanno sulla parabola, conoscendo la lunghezza 2p = 10 del perimetro del rettangolo. Scrivere le equazioni delle rette tangenti in B e C alla parabola e calcolare l’area del triangolo da essa formato con la retta r1. Problema 13Nel piano cartesiano Oxy sono date le rette r) x + 2y – 4 = 0 ed s) x(√5 – 1) + 2y – 4√5 = 0. Detti A e B i punti in cui la retta r incontra gli assi, si determinino le coordinate dei punti C e D che appartengono alla retta s e che con A e B formano triangoli rettangoli di cui AB è l’ipotenusa. Determinare infine l’equazione di una parabola, con asse parallelo all’asse y, tale da avere il vertice in uno dei punti A,B,C,D, opportunamente scelto e che passi per due degli altri punti. Problema 14 Si consideri la parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(2, – 1) ; B(8,2) e C(10,7). Determinare :1) l’equazione della parabola ; 2) le coordinate del vertice 3) il grafico della parabola dopo averne determinato alcuni punti 4) le equazioni delle tangenti alla parabola, passanti per il punto D(6, – 2)5) le coordinate dei punti di tangenza 6) l’area del triangolo che ha per vertici il punto D e i punti di tangenza.

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L’ELLISSE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 15 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse maggiore di lunghezza 2a = 10 e fuochi nei punti F’(– 4 ; 0) ed F(4 ; 0).Essendo 2a = 10 si ottiene a = 5 e quindi a2 = 25. Dalla relazione c2 = a2 – b2, poichè c2 = 16 , si ottiene b2 = 25 – 16 = 9.Dunque l'equazione dell'ellisse è :9x2+25y2=225 Problema 16 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente vertici nei punti A(4 ; 0) e B(0 ; – 2).Essendo a = 4 e b = -2 si ottiene 4x2+16y2=64Problema 17 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente un fuoco nel punto F(– 3 ; 0) ed avente un vertice in V(0 ; 4). Problema 18Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse minore di lunghezza 2b = 8 e un fuoco nel punto F (– 4 ; 0) Problema 19 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, passante per A (0;2) e B(3;1). Problema 20Determinare l'equazione dell'ellisse avente l'asse maggiore sull'asse x, l'asse minore di lunghezza 2b = 8 e tangente alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 25. Problema 21 Determinare l'equazione dell'ellisse avente asse maggiore sull'asse y, eccentricità e = 4/5 e un fuoco nel punto F(0 ;– 4).Problema 22 Scrivere l’equazione dell’ellisse di fuochi F(0, ± 3) e di semiasse maggiore lungo 4. Trovare le intersezioni di essa con la curva x2 + y2 = 16. Problema 23 Trovare le equazioni delle tangenti all’ellisse 4x2 + y2 = 4 uscenti dal punto P(2,2). Problema 24 Determinare i punti comuni all’ellisse, di semiassi lunghi 5 e 2, con la circonferenza di centro O(0,0) e raggio lungo 3. Problema 24 Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi e l’eccentricità delle seguenti ellissi che soddisfano le seguenti condizioni :a) Il semiasse maggiore è uguale a 5 e l’ellisse passa per il punto A( 0,-5 /4 )b) Il semiasse minore è uguale a √2 e l’ellisse passa per il punto B(– 1,2)c) Il semiasse minore è uguale a 5 e uno dei fuochi è il punto F(3,0)

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L’IPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 25 Stabilire per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta un ellisse ed in particolare una

circonferenza e per quale valori rappresenta una iperbole ed in particolare una iperbole equilatera.Per stabilire quanto richiesto ci avvaliamo della definizione di eccentricità, cioè e=c/a. Studiamone il segno avremo : e=c/a >1 iperbole . e=c/a=1 circonferenza . e=c/a<1. ellisse Basterà studiare il primo caso con c2 = a2 + b2 e discutere il grafico, quindi in generale avremo:

nel nostro caso

il segno del numeratore e del denominatore sono discordi con – 1 < k < 0 questo comporta che nell’espressione dell’equazione uno dei denominatori è negativo e saremo in presenza di una iperbole. Inoltre saremo in presenza di una iperbole equilatera quando a = – b cioè :k = 1 il segno del numeratore e del denominatore sono concordi con: k > 2 questo comporta che nell’espressione dell’equazione saremo in presenza di coefficienti entrambi positivi, cioè una ellisseInoltre saremo in presenza di una circonferenza quando a = b cioè : 2k – 4 = k + 1 2k – k = 4 + 1 k = 5k < – 1 non accettabile Problema 26 Determinare l’equazione dell’iperbole avente come asse focale l’asse x, come asintoti le rette y =±3/4x e passante per il punto A(2;1). ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU’ CURVE E LORO RELAZIONI Problema 27 Scrivere l’equazione della parabola l con asse di simmetria parallelo all’asse delle y sapendo che ha vertice V(2;– 1), e passa per il punto A(1,0). Indicare con B l’ulteriore punto di intersezione della parabola con l’asse delle x. Condurre la normale n (cioè la perpendicolare alla tangente) in B alla curva, indicando con D l’ulteriore intersezione di n con la parabola. Determinare sull’arco BD un punto R in modo che l’area del triangolo RBDsia 15/8Scrivere l’equazione della circonferenza g sapendo che è tangente all’asse delle x, passa per E(– 1;2) e il suo centro appartiene alla retta di equazione x + y – 3 = 0. Esistono due circonferenze che soddisfano queste condizioni: scegliere quella che giace nel semipiano positivo delle ordinate. Una retta del tipo y = k interseca l in P e Q e g in M ed N. Determinare k in modo che sia MN = PQ.


11k

y

4k2

x 22

01a

ba1

a

ba

a

c 2222

0

4k2

1k

DIDATTICA A DISTANZA CARRELLATA SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI.

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