1

Superfici sferiche

2

Superficie sfericaDefinizione: la superficie sferica Σ di centro C e raggio R è l’insieme

dei punti dello spazio la cui distanza da C è uguale a R

Σ={P∈R3: ||P-C||=R}Se C=(a,b,c)

P(x,y,z) ∈ Σ ⇔(x- a)2+ (y- b)2+ (z- c)2 =R2

equazione cartesiana di ΣO anche, ponendo d= a2+b2 +c2 - R2

x2+y2+z2 – 2ax- 2by- 2cz+ d=0equazione cartesiana della sup. sferica Σ

di centro C(a,b,c) C(a,b,c) e raggioe raggio

R= √√√√(a2+b2+c2-d)

C=(1,1,2), R=2Non ha punti reali

Esempi

3

Intersezione di un piano con una

superficie sferica – Piano tangente

Data la sup. sferica S di centro C e raggio R, e il piano π, sia d=dist(C, π).

1) Se d>R, il piano è esterno a S, e S∩π=∅2) Se d=R, il piano è tangente a S in un suo punto P0, e S∩π={P0}

3) Se d<R, il piano è secante S in una circonferenza γ e S∩π= γ

Data la sup. sferica S di centro C e raggio R, e P0(x0,y0,z0)∈S, il piano tangente a S in P0 può essere individuato come il piano passante per P0 ortogonale al vettore n=C-P0

Esempio

Il centro di Σ è CΣ =(2,-1/2,1) e il suo raggio è RΣ=√45/ 2. Il piano β tangente a Σ in P0 è il piano

per P0 ortogonale al vettore CΣΣΣΣ-P0 =(1,-5/2, 2), dunque β: 2x-5y+4z+12=0.

Sol:

4

Circonferenza intersezione di un

piano con una superficie sferica

Data la sup. sferica S di centro C e raggio R,

e il piano α, sia d=dist(C, α)<R.

Il raggio della circonferenza γ=S∩ α è

rγ= √(R2-d2).

Il centro Cγ si trova come intersezione del

piano α con la retta n passante per C

ortogonale ad α

La retta t tangente alla circonferenza

C=Σ∩ π in un suo punto P0 è l’intersezione del

piano π con il piano π’ tangente a Σ in P0

n

C

5

Esempi

Trovare equazioni della retta tangente alla circonferenza in A=(-1,1,0)

1)

QUIZ)

Il centro di Σ è CΣ =(1/2,0,-1/2) e il suo raggio è RΣ=√14/ 2. La distanza di CΣ da π è d=√3<√14/2:

dunque γ è una cfr. a punti reali. Poiché rγ2=RΣ

2-d2 , il raggio di γ vale 1/√2. Il centro Cγ di γ si trova

intersecando π con la retta n passante per CΣ e ortogonale a π, di equazioni parametriche

(x,y,z)=(t+1/2,-t,-t-1/2); intersecando n con π si trova il punto Cγ =(-1/2,1,-1/2).

Il punto A appartiene a γ. La retta tangente a γ in A giace sul piano di γ e anche sul piano βtangente a Σ in A; β è il piano per A ortogonale al vettore CΣΣΣΣ-A =(3/2,-1,-1/2), dunque β:3x-y-z+5=0.

γ = Σ∩π

γ: Σπ

Sol:

6

Fasci di sfereSiano Σ: f(x,y,z)=0 e Σ’: g(x,y,z)=0 due sfere di centri C e C’ e raggi R ed

R’. Se la distanza tra C e C’ è minore di R+R’, ledue sfere si intersecano lungo una circonferenza (a punti reali)C=Σ∩Σ’, che giace sul piano π: p(x,y,z)=0.Si dice fascio di sfere ΦC su C l’insieme di tutte lesfere (eventualmente con raggio non reale) passanti per C.

Una qualunque combinazione lineare delle eq.

di due sfere di ΦC è ancora l’eq. di una sfera di ΦC

Dunque, al variare di λ,µ∈R l’equazioneΦC : λf+µg=0

fornisce tutte le sfere del fascio.

Come caso particolare, se λ=-µ la sfera diventa il piano π, che sidice piano radicale del fascio.L’equazione del fascio si può ottenere combinando linearmente una

qualunque sfera del fascio con il piano radicale.

ΦC : λf+µp=0oppure, in forma non omogenea (in cui non si ritrova il piano radicale)

ΦC\{π} : f+kp=0

7

Esempi

Trovare (se esistono) le sfere di raggio 1 che passano per γ

γ di equazioni:

Sono date le sfere S: x2+y2+z2-2x-2y-4z+2=0 e S’: x2+y2+z2-4x+y-2z+5=0.

Trovare il piano radicale p del fascio di sfere da esse individuato; rappresentare S, S’ e p.

1)

2)

3)

4)

8

Coniche – Quadriche

9

ConicaApollonio(262-190 a.C.) chiamò coniche le sezioni ottenute intersecando un

cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano.

Attribuì loro i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole.

Successivamente le leggi di Keplero (1571-1630) sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro proprietàgeometriche. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla direzione del corpo.

Inoltre, le coniche possono anche venire descritte come luoghi geometrici.

10

Equazione di una conica

Una equazione f2(x,y)=0, dove f2 è un polinomio di secondo

grado a coefficienti reali, definisce una conica. L'equazione

generale si scrive:

a11x2+2a12xy+a22y

2+2a13x+2a23y+a33=0

Alla conica si associano le matrici simmetriche B=(ahk) (h,k=1,2,3) e A=(ahk)

(h,k=1,2).

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane,

l'equazione di una conica si può riscrivere in una delle

seguenti forme:

(I) αx2+βy2=γ

(II) αx2=2δy

(III) βy2=2γx

Una conica la cui equazione sia così scritta si dice in forma

canonica; inoltre se i coefficienti sono tutti non nulli si dice

non degenere

11

Ellisse - CirconferenzaL'ellisse è una curva piana di equazione (in forma canonica (I)

con αβ>0):ellisse a punti reali a punti immaginari

Se a=b=R l'equazione dell'ellisse Se a=b=R l'equazione dell'ellisse diventa diventa

xx22+y+y22 =R=R22

ossia una ossia una circonferenzacirconferenza di centro di centro l'origine e raggio R. l'origine e raggio R.

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00), l), l’’eqeq. diventa. diventa::

12

Iperbole L‘iperbole ha equazione (in forma canonica (I) con αβ<0):

Le retteLe rette xx22/a/a22 --yy22/b/b22=0=0

ciocioèèy=y=±±±±±±±±((b/a)xb/a)x

sono gli sono gli asintotiasintoti..

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00), l), l’’eqeq. diventa:. diventa:

oo

x

y

y

x

Se Se a=ba=b ll’’iperbole iperbole èè equilateraequilatera, e gli, e gli

asintoti sono le bisettrici degli assiasintoti sono le bisettrici degli assi

13

Parabola

Parabola ad asse orizzontale(in forma canonica (III)):

βy2=2γx

Se il vertice è V(x0,y0), l’eq. diventa:

Parabola ad asse verticale(in forma canonica (II)):

αx2=2δy

Se il vertice è V(x0,y0), l’eq. diventa:

cioè y=ax2+bx+c

x

y

x

y

14

Esempi

(c)

1)

2)

3)

15

Quadriche

Una equazione del tipo f2(x,y,z)=0, dove f2 è un polinomio di

secondo grado a coefficienti reali, definisce una quadrica.

L’equazione generale si scrive:

a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y

2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0

A una quadrica si associano le matrici simmetriche B=(ahk) (h,k=1,2,3.4) e

A=(ahk) (h,k=1,2,3).

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane,

l'equazione di una quadrica si può riscrivere in una delle

seguenti forme:

(I) αx2+βy2+γz2=δ

(II) αx2+βy2=2δz

Una quadrica la cui equazione sia così scritta si dice in forma

canonica; inoltre se i coefficienti sono tutti non nulli si dice

non degenere

http://www.youtube.com/watch?v=5W9Bqd1ejBw

16

Ellissoide

EllissoideEllissoide

a punti realia punti reali

Ellissoide a punti Ellissoide a punti

immaginariimmaginari

Ellissoide a punti reali o Ellissoide a punti reali o immaginari di centro immaginari di centro C(xC(x00,y,y00,z,z00))

Se a=b=c=R lSe a=b=c=R l’’ellissoideellissoideÈÈ una una sferasfera di raggio Rdi raggio R

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Iperboloide a una falda

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):

EE’’ una una superficie rigatasuperficie rigata: : per ogni punto Pper ogni punto P00 della superficie S passano della superficie S passano due rette distinte interamente contenute su S; il piano tangentedue rette distinte interamente contenute su S; il piano tangente a S in Pa S in P00interseca S esattamente nelle due retteinterseca S esattamente nelle due rette

18

http://www.youtube.com/watch?v=YqzTgdooL5o

Iperboloide rigato

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=jymZ060T0iI&feature=endscreen

(Wolfram)

19

Iperboloide a due falde

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):

20

Paraboloide ellittico

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):

21

Paraboloide a sella

Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):

EE’’ una una superficie rigatasuperficie rigata

http://www.youtube.com/watch?v=cubLQf_IWg4

http://www.youtube.com/watch?v=TIrypBK4Fag

http://www.youtube.com/watch?v=TIrypBK4Fag

(Wolfram)

22

Esempi

23

Coni quadrici (quadriche degeneri)

Sono Sono superfici rigatesuperfici rigate

Cono iperbolico Cono parabolico

24

Cilindri quadrici (quadriche degeneri)

Cilindro ellittico Cilindro iperbolico Cilindro parabolico

Sono Sono superfici rigatesuperfici rigate

25

Coni, cilindri

Cono di vertice V e direttrice L : luogo delle rette congiungenti V con i punti di L

Cilindro con generatrici parallele a v e con direttrice L : luogo delle rette parallele a v passanti per i punti di L

Coni di vertice O: hanno equazione

fo(x,y,z)=0 dove foè un polinomio omogeneo in x,y,z (di qualunque grado)

Coni di vertice V=(a,b,c): hanno equazione

fo(x,y,z)=0 dove foè un polinomio omogeneo (di qualunque grado) in x-a,y-b,z-c

Cilindri con generatrici parallele agli assi coordinati:f(x,y)=0 ⇒ cil. parallelo asse z con direttrice L : f(x,y)=z=0f(x,z)=0 ⇒ cil. parallelo asse y con direttrice L : f(x,z)=y=0f(y,z)=0 ⇒ cil. parallelo asse x con direttrice L : f(y,z)=x=0

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Superfici di rotazione

Iperboloide a una falda di Iperboloide a una falda di rotazione intorno allrotazione intorno all’’asse delle zasse delle z

ToroToro (di rotazione di una circonferenza (di rotazione di una circonferenza intorno allintorno all’’asse delle z)asse delle z)

27

Superfici di rotazione intorno

agli assi coordinatiSia C:f(x,z)=y=0 una curva che giace nel piano (O,x,z).L’equazione della superficie S che si ottiene ruotando C intorno all’asse z si trova

sostituendo x con √(x2+y2)Sz:f(√(x2+y2),z)=0

Ruotando C intorno all’asse x l’eq. di S si trova

sostituendo z con √(y2+z2)Sx:f(x,√(y2+z2))=0

Se C:f(y,z)=x=0 giace nel piano (O,y,z):

Sz:f(√(x2+y2),z)=0Sy:f(y,√(x2+z2))=0

Se C:f(x,y)=z=0 giace nel piano (O,x,y):

Sy:f(√(x2+z2),y)=0Sx:f(x,√(y2+z2))=0

→ Sup. di rot. intorno all’asse z→ Sup. di rot. intorno all’asse y

→ Sup. di rot. intorno all’asse y→ Sup. di rot. intorno all’asse x

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EsempiRiconoscere e disegnare le seguenti superfici:

a) x2-2y2+4yz+ z2 =0 l) x2+4y2+ z2 -2x=0

b) x2+y2+4yz+2x+1=0 m) x2+y2 -4x=12

c) x2+y2=1 n) 2(y-1)+ √(x2 + z2)=0d) x2-z2=1 o) |x|=y2 + z2

e) y2+z2-2y=0 p) z= 1- (x2+y2)/9

f) z= x2+y2 q) z =√(-x2-y2) g) z2= x2+y2 r) y=1-x2

h) z=1-(x2+y2) s) y=sin x

i) z=√3(x2 + y2) t) y2+z2 =3/2 x

j) z=√(x2+y2) u) |y|=x

k) z =√(18-x2-y2) v) |z|=1-y2

3) Rappresentare le regioni D dello spazio definite dalle seguenti disequazioni:

2)

1)