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Classe 5Ccm Recupero di Matematica 1 Novembre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. Si risolvano i seguenti integrali indefiniti.
(a) (⇤/3 punti)
Zarcsenx dx
(b) (⇤/3 punti)
Zdx
x ln
3x
(c) (⇤/3 punti)
Zx+ 2
x(x
2 � 3x+ 2)
dx
(d) (⇤/4 punti)
Z1� 1
e
x
dx ??
2. Si calcolino i seguenti integrali definiti.
(a) (⇤/3 punti)
Z 3
�1
2
x� 3
4
dx
(b) (⇤/3 punti)
Z ⇡3
�⇡6
1
cos
2x
dx
(c) (⇤/5 punti)
Z 1
0
p1� x
2dx ??
3. (a) (⇤/3 punti) Calcolare il volume di un semisfera di raggio 2 ottenuta facendo
ruotare attorno all’asse delle ascisse la funzione f(x) =
p4� x
2. ?
(b) (⇤/3 punti) Calcolare la superficie laterale di un cono di altezza h = 4
ottenuto facendo ruotare attorno all’asse delle ascisse la retta di equazione
y = x� 23 . ?
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /13
c� s� p� f� d� i� r�
2 /11
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /30 ⇤ Ordine
Classe 5Ccm Test di Matematica 14 Dicembre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. (⇤/6 punti) Rappresentare il dominio della seguente funzione
f(x, y) = ln(x
2+ y
2 � 4)
2. (⇤/6 punti) Calcolare il gradiente della funzione
f(x, y) = y
2e
�x
3. (⇤/6 punti) Calcolare la matrice Hessiana della funzione
f(x, y) = x
2+ 2xy � xy
2
4. (⇤/6 punti) Rappresentare la sezione lungo il piano p
xz
della funzione
f(x, y) = lnx sen y � lnx
Classe 5Ccm Recupero di Matematica 20 Gennaio 2016
Cognome e nome: Voto:
1. Si consideri la funzione
f(x, y) =
ln(6y � x
2 � 9)p117� 9x
2 � 13y
2
(a) (⇤/7 punti) Determinarne il dominio rappresentandolo graficamente.
(b) (⇤/5 punti) Calcolare l’area della porzione de piano p
xy
corrispondente
al dominio della funzione.
2. Si consideri la funzione
f(x, y) =
x
2
4
� y
2
9
(a) (⇤/4 punti) Determinare l’equazione della sezione tale sezione lungo il
piano p
xz
e rappresentarla graficamente
(b) (⇤/4 punti) Calcolare l’area sottesa dalla sezione (rispetto l’asse x)
nell’intervallo definito dai punti A(�2, 0, 1) e B(2, 0, 1).
Piano Tangente ad una Superficie
Data una funzione z = f(x, y) di↵erenziabile in (a, b) l’equazione del piano
tangente alla sua superficie nel punto P (a, b, f(a, b)) e:
z = f(a, b) + f
x
(a, b) · (x� a) + f
y
· (y � b)
3. Si considerino la funzione f(x, y) = e
x/y
+ xy + 2 ed il punto P (1, 0, f(1, 0))
(a) (⇤/4 punti) Calcolare il gradiente rf(x, y)
(b) (⇤/2 punti) Determinare i valore del gradiente nel punto P .
(c) (⇤/4 punti) Determinare l’equazione del piano tangente alla superficie
di f(x, y) nel punto P .
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /12
c� s� p� f� d� i� r�
2 /8
c� s� p� f� d� i� r�
3 /10
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /30 ⇤ Ordine
Classe 5Ccm Recupero di Matematica 17 Febbraio 2016
Cognome e nome: Voto:
Indicazioni per lo svolgimento
Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 18 puntisvolgendo gli esercizi di seguito proposti.
E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamente, neicalcoli e nelle procedure, almeno quattro integrali o un eserciziosulle funzioni in due variabili.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento
della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.
1. Determinare le primitive dei seguenti integrali immediati.
(a) (⇤/3 punti)
Z3x
2 � x
3
3
+ 5x� 11 dx
(b) (⇤/3 punti)
Z2x
x
2+ 4
dx
(c) (⇤/3 punti)
Z7
x
2dx
(d) (⇤/3 punti)
Zctg(2x+ 1) dx
(e) (⇤/3 punti)
Z(x� 2)(x+ 3)
x
dx
2. Data la funzione f(x, y) = ln(1� x
2 � y
2)
(a) (⇤/4 punti) se ne calcolino dominio e segno rappresentandoli
graficamente;
(b) (⇤/4 punti) studiarne la sezione lungo il piano y = 0.
3. Data la funzione f(x, y) =
p4� y
2 � x
2
(a) (⇤/4 punti) calcolare e rappresentare il suo dominio;
(b) (⇤/8 punti) calcolare e rappresentare sul precedente grafico le curve di
livello L1 e L3
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /15
c� s� p� f� d� i� r�
2 /8
c� s� p� f� d� i� r�
3 /12
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /35 ⇤ Ordine
Terza Prova - Matematica
Congnome e Nome: Classe: Data
1. Data la funzione f(x, y) = ln(x
2+ y
2) rappresentarne graficamente il dominio e le curve di livello
Lln 2 e Lln 5.
2. Si dia una definizione di punto stazionario per una funzione in due variabili, descrivendo le varie
casistiche possibili. Facendo poi riferimento alla funzione del punto precedente se ne determinino,
se esistono, i punti stazionari. Giustificare in ogni caso la risposta.
3. Si indichi quale tra le seguenti funzioni genera ruotando attorno all’asse delle ascisse un solido di
rotazione la cui superficie laterale nell’intervallo I[0, 1] e pari a S =
1312⇡.
A. f1(x) =(x� 2)
4
16
B. f2(x) =2
(2x+ 1)
2
C. f3(x) =(x� 2)
2+ 1
8
D. f4(x) =1
2x+ 1
4. Se nel punto x = x0 si ha che f(x0) = 0 e in tale punto la funzione f(x) e crescente, allora ogni
primitiva F (x) di f(x)
A. ha un punto di minimo in x0
B. ha un punto di massimo in x0
C. ha un punto di sella in x0
D. ha uno zero in x0
5. Si determini la soluzione del seguente problema di Cauchy :
(y
0=
cosx
e
y
y(0) = 2
A. y(x) = ln(senx) · 2B. y(x) = ln(senx+ e
2)
C. y(x) = ln(cosx+ e
2)
D. y(x) = ln(senx+ 2)
6. Secondo il Teorema di Schwarz se in un certo aperto A ✓ R2una funzione ammette derivate
parziali seconde miste continue, allora
A. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono crescenti
B. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono costanti
C. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono nulle
D. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste coincidono
Classe 5Ccm Test di Matematica 23 Aprile 2016
Cognome e nome: Voto:
1. Si enunci il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
2. Si dia una definizione di curva di livello per una funzione in due variabili,
descrivendone l’utilizzo per lo studio della funzione stessa.
3. Facendo riferimento alla funzione f(x, y) =
px
2+ y
2 � 9 si utilizzino le curve
di livello per dedurne l’andamento.
4. Si determinino le soluzioni della seguente equazione di↵erenziale
ln
2x · y0 = 1
x cos 2y
5. Si consideri come universo l’insieme U = {↵,�, �, �, ✏}. Si costruisca lo spazio
dei campioni considerando estrazioni in blocco di campioni di numerosita 3
considerando di↵erenti due campioni se di↵eriscono per almeno un elemento.
Terza Prova - Matematica
Congnome e Nome: Classe: Data
1. Si dia una definizione dello stimatore media campionaria X, illustrandone la distribuzione
di frequenza nel caso di estrazioni bernoulliane di campioni di numerosita n = 2 dall’universo
U = {1, 3, 5, 7}. Si relazione infine tale stimatore con la media µ dell’universo.
2. Si descriva la procedura risolutiva di equazioni di↵erenziali mediante l’utilizzo del fattore inte-
grante per i casi del tipo y0 + a(x) · y = b(x).
3. La sezione della superficie di f(x, y) = ln(x+y�3)x�2y�3 con il piano xOz considerando ascisse nell’inter-
vallo di ascisse [4, 6] ha area
A.
ln
23
2
B.
ln 3
2
C.
ln
32
2
D. ln
23
4. Sapendo che mediante estrazione in blocco si ottiene la seguente distribuzione campionaria delle
medie
X 0 1 3 5 7
p
2
25
6
25
9
25
5
25
3
25
la media campionaria ha una varianza di
A. �2X
⇡ 3, 6
B. �2X
⇡ 5
C. �2X
⇡ 3
D. �2X
⇡ 5, 6
5. Si determini a quale problema di Cauchy e associata la soluzione y(x) = ln(senx+ 2)
A. y0 =cosx
ey^ y(0) = 2
B. y0 =cosx
ey^ y(0) = ln 2
C. y0 =senx
ey^ y(0) = 2
D. y0 =cosx
ey^ y(0) = 1
6. La primitiva della funzione f(x) = x cos(3x2 + 2) e
A. sen(3x2 + 2) + c
B. cos(3x2 + 2) + c
C.
1
6
sen(3x2 + 2) + c
D.
1
6
cos(3x2 + 2) + c
Classe 5Ccm Recupero di Matematica 13 Settembre 2015
Cognome e nome: Voto:
1. (⇤/6 punti) Data la funzione f(x) =
x
2
lnx+1
(a) determinarne gli intervalli di positivita;
(b) calcolarne i limiti agli estremi del dominio.
(c) Tracciare il grafico probabile della funzione.
2. (⇤/6 punti) Calcolare il valore dei seguenti limiti.
(a) lim
x!�1
x
4 � 3 + x
3 � 6x
x
3 � 4 + x
(b) lim
x!3�
✓x+
1
x� 3
◆
(c) lim
x!⇡
sen(x� ⇡)
⇡ � x
3. Calcolare le seguenti derivate.
(a) (⇤/2 punti) D [2 tg x� 1]
(b) (⇤/2 punti) D
3x
2 � 7x+ 1
4� x
2
�
(c) (⇤/2 punti) D [ln(1� cosx)]
4. (⇤/6 punti) Studiare l’andamento della funzione �(x) =
e
x�e
�x
x
2 , classificando gli
eventuali punti di massimo e di minimo, motivando la risposta.
5. Determinare le primitive dei seguenti integrali immediati.
(a) (⇤/2 punti)
Z3x
2 � x
3
3
+ 5x� 11 dx
(b) (⇤/2 punti)
Z2x
x
2+ 4
dx
(c) (⇤/2 punti)
Z7
x
2dx
Correzione
Es. Punti % Errori Altro
1 /6
c� s� p� f� d� i� r�
2 /6
c� s� p� f� d� i� r�
3 /6
c� s� p� f� d� i� r�
4 /6
c� s� p� f� d� i� r�
5 /6
c� s� p� f� d� i� r�
Tot. /30 ⇤ Ordine