Prove scritte di Analisi Matematica 1 -...

Michele Campiti

Prove scritte di

Analisi Matematica 1Ingegneria Industriale

a.a. 2012–2013

x

y

f

g

0

1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1” per Ingegneria Industriale, Facolta di

Ingegneria, Universita del Salento

1

Facolta di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 dicembre 2012, A

Foglio 1

1. Determinare le soluzioni della seguente equazione:

z5 + z = 0

e rappresentarle geometricamente.

2. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞∑n=0

(−1)nnn(1 + sinn)

n! 3n.

Foglio 2

3. Studiare il seguente limite:

limx→0

√1 + log(1 + x)− cosx

x.


limx→+∞

x3(1 + sin2 x)√1 + ex

.

Foglio 3

5. Teoria: Teoremi di confronto per i limiti (dim.).

6. Teoria: Serie a termini positivi e proprieta di regolarita. Criterio diRaabe e di condensazione.

2

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica I12 dicembre 2012, A

1. Si puo scrivere z(z4+1) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radiciquarte di −1 = cosπ + i sinπ, che sono date dalla formula

wk = cosπ + 2kπ

4+ i sin

π + 2kπ

4, k = 0, 1, 2, 3 .

La rappresentazione geometrica prevede l’origine e il quadrato di ver-tici (±

√2/2,±

√2/2).

2. Si tratta di una serie a segni alterni. Per quanto riguarda l’assolutaconvergenza, si osserva che

nn(1 + sinn)

n! 3n≤ 2

nn

n! 3n

e la serie∑+∞

n=1 2nn

n! 3n e convergente in quanto, dal criterio del rappor-to,

limn→+∞

2(n+ 1)n+1

(n+ 1)! 3n+1

n! 3n

2nn= lim

n→+∞

1

3

(n+ 1)n(n+ 1)

nn

n!

(n+ 1)!

=1

3lim

n→+∞

(n+ 1

n

)n

=e

3< 1 .

Pertanto, per il teorema di confronto per le serie a termini positivi, laserie assegnata e assolutamente convergente e quindi convergente.

3. Usando i limiti notevoli:

limx→0

√1 + log(1 + x)− cosx

x= lim

x→0

√1 + log(1 + x)− 1

x+

1− cosx

x

= limx→0

√1 + log(1 + x)− 1

log(1 + x)

log(1 + x)

x=

1

2.

4. Il termine x3 e un infinito di ordine 3 mentre il denominatore e uninfinito di ordine arbitrariamente grande in quanto composto da uninfinito di ordine arbitrariamente grande (la funzione 1 + ex) e uninfinito di ordine 1/2 (la funzione radice). Pertanto

limx→+∞

x3√1 + ex

.

Poiche ∣∣∣∣x3(1 + sin2 x)√1 + ex

∣∣∣∣ ≤ 2x3√1 + ex

,

anche il limite assegnato e uguale a 0.

3

Facolta di Ingegneria, LeccePrima prova di esonero di Analisi Matematica I12 dicembre 2012, B

Foglio 1


z3 − iz = 0



+∞∑n=0

(−1)nnn+1(1 + cosn)

(n+ 1)! 22n.

Foglio 2


limx→0

etanx√1 + x− 1

x.


limx→+∞

(1 + cos2 x)ex√1 + x4

.

Foglio 3

5. Teoria: Teorema sul limite delle funzioni composte (dim.). Ordinedella funzione composte di due infinitesimi o infiniti.

6. Teoria: Serie assolutamente convergenti e proprieta. Criterio sull’or-dine di infinitesimo.

4

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica I12 dicembre 2012, B

1. L’equazione si puo scrivere z(z2 − i) = 0 e quindi ha come soluzioniz = 0 e le radici quadrate di i = cosπ/2+ i sinπ/2, che sono date dallaformula

wk = cosπ/2 + 2kπ

2+ i sin

π/2 + 2kπ

2, k = 0, 1 ,

da cui w0 =√2/2 + i

√2/2, w1 = −

√2/2 − i

√2/2. Le soluzioni si

trovano sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante e sono costituitedall’origine e due punti simmetrici.

2. Si tratta di una serie a segni alterni. Per studiare l’assoluta conver-genza si osserva che la serie

+∞∑n=0

nn+1

(n+ 1)! 22n

e convergente in quanto dal criterio dal rapporto

limn→+∞

(n+ 1)n+2

(n+ 2)! 22(n+1)

(n+ 1)! 22n

nn+1= lim

n→+∞

(n+ 1)n+2

nn+1

22n

22(n+1)

(n+ 1)!

(n+ 2)!

= limn→+∞

(n+ 1

n

)n+1 n+ 1

4(n+ 2)= lim

n→+∞

1

4

(1 +

1

n

)n(1 +

1

n

)=

e

4< 1.

Poichenn+1(1 + cosn)

(n+ 1)! 22n≤ 2

nn+1

(n+ 1)! 22n,

anche la serie assegnata e assolutamente convergente e quindi conver-gente.

3. Usando i limiti notevoli

limx→0

etanx√1 + x− 1

x= lim

x→0

etanx(√1 + x− 1)

x+

etanx − 1

x

= limx→0

√1 + x− 1

x+

etanx − 1

tanx

tanx

x=

1

2+ 1 =

3

2.

4. Risulta limx→+∞ex√1+x4

= +∞ in quanto il numeratore e un infinito

di ordine arbitrariamente grande mentre il denominatore e un infinitodi ordine 2 e l funzione e positiva. Poiche

(1 + cos2 x)ex√1 + x4

≥ ex√1 + x4

anche il limite assegnato e uguale a +∞.

5

Facolta di Ingegneria, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I14 dicembre 2012, A

Foglio 1


z4 + iz = 0



+∞∑n=1

(−1)nlog nn

n3/2.


limx→0

√1 + x2 − cosx

xlog x .

Foglio 2

4. Teoria: Teorema di unicita del limite (dim.) e proprieta di permanenzadel segno.

5. Teoria: Serie armonica e serie geometrica. Proprieta di convergenza.

6

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica I14 dicembre 2012, A

1. Si ha z(z3 + i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze di−i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 e sono date da

wk = cos3π/2 + 2kπ

3+ i sin

3π/2 + 2kπ

3, k = 0, 1, 2 ,

e quindi sono w0 = cosπ/2+i sinπ/2 = i, w1 = cos 7π/6+i sin 7π/6 =−1/2− i

√3/2, w2 = cos 11π/6+ i sin 11π/6 = −1/2+ i

√3/2. Geome-

tricamente sono rappresentate dall’origine e dai vertici di un triangoloequilatero sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1.

2. Si ha log nn/n3/2 = n log n/n3/2 = log n/n1/2 e quindi la serie e atermini di segno alterno e il termine generale e un infinitesimo di ordineminore di 1/2 e maggiore di 1/2 − ε per ogni 0 < ε < 1/2. Quindi laserie e assolutamente divergente. La convergenza invece e assicuratadal criterio di Leibnitz.

3. Nel punto 0 si ha√1 + x2 − cosx =

√1 + x2 − 1+ 1− cosx ∼ x2/2+

x2/2 = x2 e quindi

√1 + x2 − cosx

x∼ x2

x= x

e un infinitesimo di ordine 1. Poiche log x e un infinito di ordinearbitrariamente piccolo, il limite assegnato e uguale a 0.

7

Facolta di Ingegneria, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica I14 dicembre 2012, B

Foglio 1


z4 − iz = 0



+∞∑n=1

(−1)n log n log(cos 1/n) .


limx→0+

tan3 x2 − e−1/x

x9.

Foglio 2

4. Teoria: Teoremi sul limite delle funzioni monotone (caso reale e infi-nito).

5. Teoria: Criterio di Raabe e serie armonica generalizzata.

8

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica I14 dicembre 2012, B

1. Si ha z(z3 − i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze dii = cosπ/2 + i sinπ/2 e sono date da

wk = cosπ/2 + 2kπ

3+ i sin

π/2 + 2kπ

3, k = 0, 1, 2 ,

e quindi sono w0 = cosπ/6+i sinπ/6 = 1/2+isqrt3/2, w1 = cos 5π/6+i sin 5π/6 = 1/2 − i

√3/2, w2 = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = −i. Geome-

tricamente sono rappresentate dall’origine e dai vertici di un triangoloequilatero sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1.

2. Poiche 0 < 1/n ≤ 1, si ha 0 < cos 1/n ≤ 1 e quindi log(cos 1/n) ≤0. Conseguentemente la serie e a termini di segno alterno. Inoltrelog(cos 1/n) = log(1 + (cos 1/n − 1)) ∼ cos 1/n − 1 ∼ −1/(2n2) equindi, a causa del termine log n, il termine generale della serie e uninfinitesimo di ordine minore di 2 ma maggiore di 2−ε per ogni 0 < ε <2. Segue che la serie e assolutamente convergente e quindi convergente.

3. Poiche, nel punto 0+, tan3 x2 ∼ (x2)3 = x6 e e−1/x e un infinitesimo diordine arbitrariamente grande, il numeratore e equivalente a tan3 x2 ∼x6 e quindi dalla regola di sostituzione il limite e uguale a +∞.

9

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I5 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:

f(x) = x e|x2−1| .

2. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/2

0sin2 8x sin 5x dx .

3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ +∞

0

√x+ log(1 + x)

x(x2 + 1)dx .

Foglio 2

4. Teoria: Punti di disocntinuita e classificazione.

5. Teoria: Teorema di Cauchy (con dim.).

10

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I5 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) = (x2 − 1) e|x| .

2. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/2

0cos2 6x sin 7x dx .


0

√x+ arctan2 x

x(x+ 1)dx .

Foglio 2

4. Teoria: Funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor.

5. Teoria: Teorema di Lagrange (con dim.).

11

Facolta di IngegneriaSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I6 febbraio 2013, A

Foglio 1


f(x) =

√x2 − 6x− 7

x− 1.

Foglio 2

2. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

0x5 ex dx .


0

log (1 + 3√x) +

√x

x4/3dx .

Foglio 3

4. Teoria: Teorema di Weierstrass (con dim.).

5. Teoria: Regole di l’Hopital.

12

Facolta di IngegneriaSeconda prova di esonero di Analisi Matematica I6 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) =

√x2 − 3x

x+ 3.

Foglio 2

2. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

1log7 x dx .


0

√x+ x2

ex log(1 + x)dx .

Foglio 3

4. Teoria: Formula di Taylor con il resto di Peano.

5. Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).

13

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I11 febbraio 2013, A

Foglio 1


f(x) =e|x|−1

x2 + 1.

Foglio 2

2. Calcolare le radici quarte del numero complesso

z =(1 +

√3i)6

(1− i)4.


+∞∑n=1

(−1)nlog n log

(1 + 1√

n

)n

.

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:∫sin3 x

1 + cos3 xdx .

14

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I11 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) =ex

2−1

|x|+ 1.

Foglio 2

2. Calcolare le radici quarte del numero complesso

z =(√3 + i)6

(1 + i)8.


+∞∑n=1

(−1)nlog(n+ 1) log

(1 + 1

n

)√n

.

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:∫cos3 x

1 + sin3 xdx .

15

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I12 febbraio 2013, A

Foglio 1


f(x) =e|x|

x2 + 1.

Foglio 2

2. Calcolare le radici terze del numero complesso

z =(1 +

√3i)6

(1− i)4.


+∞∑n=1

(−1)n log

(1 +

1

n√n

).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:∫sin3 x

2 + cosxdx .

16

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I12 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) =ex

2

|x|+ 1.

Foglio 2

2. Calcolare le radici terze del numero complesso

z =(√3 + i)6

(1 + i)8.


+∞∑n=1

(−1)n(e1/(n

√n) − 1

).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:∫cos3 x

2− sinxdx .

17

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I25 febbraio 2013, A

Foglio 1


f(x) = arctan|x2 − 1|

x.

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z |z|4 − z2 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n log n(log

(2 + n2

)− log

(1 + n2

)).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x − 1

e2x + 1dx .

18

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I25 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) = arctanx2 − 1

|x|.

Foglio 2


z |z|6 − z3 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n log

(1 +

1

n

)(log (2 + n)− log (1 + n)) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x + 1

e2x − 1dx .

19

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I27 febbraio 2013, A

Foglio 1


f(x) = arctan|x− 1| − 1

x.

Foglio 2


z − |z|2 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n sin31√n.

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫ex − 1

e2x + 1dx .

20

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I27 febbraio 2013, B

Foglio 1


f(x) = arctan|x+ 2| − 2

x.

Foglio 2


z − |z|2 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n log3(1 +

1√n

).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫ex + 1

e2x − 1dx .

21

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I15 aprile 2013, A

Foglio 1


f(x) = e|x2−1|

x .

Foglio 2

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = −(i− 1)2(√3 + i)3

(1 + i)4.


+∞∑n=1

(−1)n(log

(1 +

1

n2

)− sin

1

n3

).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos2 x− 1

cos3 x+ 1sinx dx .

22

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I15 aprile 2013, B

Foglio 1


f(x) = ex2

|x−1| .

Foglio 2

2. Determinare le radici quarte del numero complesso:

z = −(i− 1)3(√3 + i)6

(1 + i)5.


+∞∑n=1

(−1)n(e1/n

3 − cos1

n2

).

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log2 x− 1

log3 x+ 1

1

xdx .

23

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I22 aprile 2013, A

Foglio 1


f(x) = log|x− 4|

x.

Foglio 2


z − |z| = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n arctan

(1

n4+

1

n3

).

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x3

(x− 1)2(x+ 2)dx .

24

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I22 aprile 2013, B

Foglio 1


f(x) = log|x− 9|

x.

Foglio 2


z + |z| = 0 .


+∞∑n=1

(−1)n sin

(1

n2+

1

n3

).


(x− 1)3dx .

25

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I3 luglio 2013, A

Foglio 1


f(x) = log|x(x+ 3)||x− 1|

.

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + 1|3 = |z − i|3 .


+∞∑n=1

(−1)nen sinn!

n!.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos5 x sin2 x dx .

26


Foglio 1


f(x) = log|x(x+ 3)||x− 1|

.

Foglio 2


|z + 1|3 = |z − i|3 .


+∞∑n=1

(−1)nen sinn!

n!.


27

Cenni sulla soluzione3 luglio 2013, A


f(x) = log|x(x+ 3)||x− 1|

.

Per l’insieme di definizione bisogna imporre |x(x+3)||x−1| > 0 e |x − 1| =

0. Tenendo presente che il valore assoluto e sempre positivo e che siannulla solo quando il suo argomento si annulla, deve essere x = 0,x = −3 e infine x = 1. Quindi la funzione e definita in

Xf = R \ {−3, 0, 1} .

L’insieme di definizione non e simmetrico ne periodico e quindi nonpossono valere tali proprieta.

La funzione e positiva per |x(x+3)||x−1| ≥ 1 cioe per x(x+3)

x−1 ≥ 1 oppure perx(x+3)x−1 ≤ −1. La prima disequazione e equivalente a (x+1)2

x−1 ≥ 0 ed e

soddisfatta in {−1}∪]1,+∞[. La seconda e equivalente a x2+4x−1x−1 ≤ 0

ed e soddisfatta in ] − ∞,−2 −√5] ∪ [−2 +

√5, 1[. Riassumendo la

funzione e positiva in

]−∞,−2−√5] ∪ {−1} ∪ [−2 +

√5, 1[∪]1,+∞[

ed e negativa in [−2−√5,−3[∪]− 3, 0[∪]0,−2+

√5]. Vi sono interse-

zioni con l’asse x nei punti

A(−2−√5, 0) , B(−1, 0) , C(−2 +

√5, 0) .

La funzione e continua e quindi gli asintoti verticali vanno ricerca-ti nei punti di accumulazione reali non appartenenti all’insieme didefinizione. Si ha

limx→−3

f(x) = −∞ , limx→0

f(x) = −∞ , limx→1

f(x) = +∞ ,

e quindi le rette di equazione x = −3 e x = 0 sono asintoti verticaliin basso mentre la retta di equazione x = 1 e un asintoto verticale inalto.

Inoltre

limx→±∞

f(x) = +∞ , limx→±∞

f(x)

x= 0 ,

e quindi non esistono asintoti orizzontali ne obliqui.

Per quanto riguarda la derivabilita si osserva che il valore assolutonon e derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla, ma tali

28

punti sono esclusi dall’insieme di definizione. Pertanto la funzione ederivabile in Xf e si ha, per ogni x ∈ Xf ,

f ′(x) =1

|x(x+3)||x−1|

D

(|x(x+ 3)||x− 1|

)=

1|x(x+3)||x−1|

|x(x+3)||x−1|x(x+3)x−1

D

(x(x+ 3)

x− 1

)

=x− 1

x(x+ 3)D

(x2 + 3x

x− 1

)=

x− 1

x(x+ 3)

(x− 1)(2x+ 3)− x2 − 3x

(x− 1)2

=x2 − 2x− 3

x(x− 1)(x+ 3).

Il segno della derivata prima e positivo in ] − 3,−1]∪]0, 1[∪[3,+∞[ enegativo in ] − ∞,−3[∪[−1, 0[∪[1, 3[. Quindi f e strettamente cre-scente in ciascuno degli intervalli ] − 3,−1], ]0, 1[ e [3,+∞[ mentre estrettamente decrescente in ciascuno degli intervalli ]−∞,−3[, [−1, 0[e [1, 3[. Il punto −1 e un punto di massimo relativo proprio per f e siha f(−1) = 0; inoltre il punto 3 e di minimo relativo proprio per f esi ha f(3) = log 9.

Non ci sono massimi e minimi assoluti in quanto per la presenzadi asintoti verticali in alto e in basso la funzione non e limitata nesuperiormente ne inferiormente.

Infine f e derivabile due volte in Xf e si ha, per ogni x ∈ Xf ,

f ′′(x) = D

(x2 − 2x− 3

x3 + 2x2 − 3x

)=

−x4 − 4x3 + 18x2 + 12x− 9

(x3 + 2x2 − 3x)2.

Si omette lo studio del segno della derivata seconda per semplicita.

Il grafico approssimativo della funzione e il seguente.


|z + 1|3 = |z − i|3 .

Posto z = x+ iy, il modulo di z + 1 = (x+ 1) + iy e√

(x+ 1)2 + y2,mentre il modulo di z − i = x + i(y − 1) e dato da

√x2 + (y − 1)2.

Quindi (√(x+ 1)2 + y2

)3=

(√x2 + (y − 1)2

)3

da cui (x+1)2+y2 = x2+(y−1)2 e quindi sviluppando x2+2x+1+y2 =x2 + y2 − 2y + 1; semplificando si ottiene x = −y e quindi le soluzionisono date da tutti i numeri complessi z = x(1− i) con x ∈ R.

29


+∞∑n=1

(−1)nen sinn!

n!.

La serie e a segni di segno arbitrario in quanto sinn! non ha se-gno costante ne alternante. Si studia pertanto l’assoluta convergenzaconsiderando la serie

+∞∑n=1

en | sinn!|n!

.

Poiche, per ogni n ≥ 1,

en | sinn!|n!

≤ en

n!,

si considera dapprima la convergenza della serie

+∞∑n=1

en

n!;

dal criterio del rapporto

limn→+∞

en+1

(n+ 1)!

n!

en= lim

n→+∞

en+1

enn!

(n+ 1)!= e lim

n→+∞

1

n+ 1= 0

e quindi la serie converge. Dal primo criterio di confronto anche laserie assegnata converge assolutamente e quindi converge.

30


Posto t = sinx (da cui dt = cosx dx), si ha:∫cos5 x sin2 x dx =

∫cos4 x sin2 x cosx dx

=

∫(1− sin2 x)2 sin2 x cosx dx

=

∫(1− t2)2 t2 dt

=

∫(t2 − 2t4 + t6) dt

=t3

3− 2t5

5+

t7

7+ c

=sin3 x

3− 2 sin5 x

5+

sin7 x

7+ c, c ∈ R .

31

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I3 luglio 2013, B

Foglio 1


f(x) = log|x(x− 2)||x− 1|

.

Foglio 2


|z|3 = |z + i|3 .


+∞∑n=1

(−1)n√n+ 1 sinn2

n2.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin3 x cos3 x dx .

32

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I4 luglio 2013, A

Foglio 1


f(x) = e|x−1|

x .

Foglio 2


|z + i|3 = |z − i|3 .


+∞∑n=1

(−1)n3√en√n!

.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫ √x− 3

(x− 1)√xdx .

33

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I4 luglio 2013, B

Foglio 1


f(x) = e|x+1|

x .

Foglio 2


|z + 1|3 = |z + i|3 .


+∞∑n=1

(−1)n√en

3√n!

.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x

(ex − 1)2dx .

34



f(x) = arctan|x2 − 1|

x.


z |z| = z3 .


+∞∑n=1

(−1)n1√n

arcsin1√n.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1

sin3 xdx .

35

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I16 luglio 2013, B


f(x) = arctanx2 − 1

|x|.


z|z|3 = z .


+∞∑n=1

(−1)n1√n

log

(1 +

1√n

).

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫1

cos4 xdx .

36

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I17 luglio 2013, A


f(x) = logx2 + 1

|x|.


z =(1 + i)3

1− i.


+∞∑n=1

(−1)ne−n

n2.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin5 x dx .

37

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I17 luglio 2013, B


f(x) = logx2

|1− x2|.


z =(1− i)3

1 + i.


+∞∑n=1

(−1)n n2 e−n .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos5 x dx .

38

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I10 settembre 2013, A


f(x) =

∣∣∣∣log x2 − 1

x

∣∣∣∣ .


z =(1− i)6

(√3− i)3

.


+∞∑n=1

(−1)nlog n

n√n.


(x+ 1)(x2 + 1)dx .

39

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I10 settembre 2013, B


f(x) =

∣∣∣∣log x

x2 − 1

∣∣∣∣ .


z =(√3 + i)3

(1 + i)6.


+∞∑n=1

(−1)n√n log n

n2 + n+ 1.


(x− 1)2(x+ 1)dx .

40

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I24 settembre 2013, A


f(x) =

∣∣∣∣log x2 + 1

x

∣∣∣∣ .


z =(1 + i)9

(1− i)3.


+∞∑n=1

(−1)n1√

n sin√n.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin3 x+ sinx

1− cos4 xdx .

41

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I24 settembre 2013, B


f(x) =

∣∣∣∣log x2

1− x2

∣∣∣∣ .


z =(1− i)9

(1 + i)3.


+∞∑n=1

(−1)n log

√n+ 1√n

arctan1√n.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x+ cosx

1− sin4 xdx .

42

Facolta di Ingegneria, LecceProva scritta di Analisi Matematica I21 ottobre 2013, A


f(x) = |cos(2x)|+ sinx .

2. Determinare le soluzioni dell’equazione:

z |z| = z .


limx→0

sin2 x− x2

arcsinx2 − x sinx.


0

e−x

√xdx .

43

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica I22 ottobre 2013, A


f(x) = | cosx|+ sin 2x .

2. Determinare le soluzioni della seguente equazione in campo complesso:

z5z = |z|2 .


+∞∑n=1

(−1)n√n

(1− cos

1

n

).

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x2 + 1

x3 + 1dx .

Prove scritte di Analisi Matematica 1 -...

Documents

Transcript of Prove scritte di Analisi Matematica 1 -...