Testo Analisi Matematica 1

8/9/2019 Testo Analisi Matematica 1

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Appunti di analisi infinitesimale

di Fabio Maria Antoniali

versione del 18 maggio 2011


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Lintenzione che ha sostenuto questo lavoro e stata di mettere a disposizione in futuroun libro di analisi rigoroso e gratuito, che possa essere adottato unico testo di matematicaper il quintanno di liceo scientifico. Al momento cio non e pensabile, perche gli appuntisono molto carenti di esempi ed esercizi, elemento indispensabile di ogni testo di matema-tica. Inoltre, nel presentare alcuni argomenti, si e preferito un taglio che, privilegiando

sintesi ed eleganza, in taluni casi puo essere andato a discapito di una comprensione piuimmediata. Quindi, allo stato delle cose, gli appunti rappresentano solo un supportodellindispensabile lavoro svolto in classe con gli studenti. Spero tuttavia che lobiettivodi creare un testo piu completo e valido didatticamente possa essere raggiunto in unafutura versione.

Un elemento che caratterizza questi appunti e la presenza delle dimostrazioni dellamaggior parte dei teoremi, anche quelli che nei testi scolastici tipicamente vengono soloenunciati. Nel corpo degli appunti sono presentati i principali teoremi dellanalisi infi-nitesimale e le dimostrazioni che tradizionalmente vengono proposte agli allievi di liceoscientifico. Le dimostrazioni piu complesse ed alcuni teoremi di approfondimento sonoinvece riportati in appendice e rivolti a quei lettori che vogliono formarsi un quadro piu

completo della materia, cosa che, a mio avviso, non puo prescindere dalle dimostrazio-ni di alcuni teoremi chiave (ad esempio i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi),tipicamente sorvolate nei testi scolastici. Allo scopo di rendere queste dimostrazioni mag-giormente accessibili, dove possibile, pur nel rispetto del necessario rigore logico e formale,ho preferito un approccio piu diretto ed elementare di quello seguito dai testi di analisi.

Due scelte non tanto consuete nei testi scolastici sono state quelle di anteporre ilconcetto di continuita a quello di limite e lintroduzione dellintegrale definito mediantele funzioni a scalino, invece delle tradizionali successioni di Cauchy. La prima scelta estata fatta principalmente mirando alleleganza delle dimostrazioni; la seconda per dareuna definizione di integrale alla Riemann che non richieda lintroduzione (esplicita odimplicita) del concetto di limite di unarete, ma si basi solo sullassioma di continuita deinumeri reali.

Un ringraziamento va a Pietro Donatis e Carlo Cassola per avermi aiutato a darforma a questi appunti, discutendone assieme i punti piu delicati e dando un generosocontributo al lavoro di revisione. Ogni volta che sfoglio le pagine di questo testo mimbattoin qualche errore sfuggito alle precedenti letture. In questo lavoro di revisone che sembranon avere mai fine, saro grato a ciascun lettore per laiuto che potra dare nel comunicarmile eventuali manchevolezze riscontrate nel testo.

Nellintento di dare a questopera la piu ampia diffusione, essa viene pubblicata sotto unalicenzaCreative Commons. Tale licenza consente a chiunque di modificare, riprodurre, di-stribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico questopera alle condizioni riportate

nella pagina web:

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/it/

Udine, marzo 2009

Fabio Maria [email protected].


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Indice

Notazioni 5

1 Funzioni 71.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Successioni 242.1 Successioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Successioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Numeri reali 263.1 Assiomatica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Massimo ed estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Topologia canonica diR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Continuita 364.1 Alcuni teoremi sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Operazioni sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Continuita delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Limiti 445.1 Definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Limiti a destra e a sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Operazioni e teoremi sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Estensioni della retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Infinitesimi ed infiniti 62

7 Asintoti allinfinito 68

8 Funzioni continue su un intervallo 72

9 Funzioni continue su insiemi compatti 74

10 Calcolo differenziale 7610.1 Definizione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.2 Significato geometrico della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3 Operazioni e teoremi sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.4 Derivate elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11 Funzioni derivabili su un intervallo 86


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INDICE 2

12 Funzioni concave e convesse 94

13 Formule di Taylor 96

14 Teoria elementare dellintegrazione 10214.1 Larea del cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.2 Il trapezoide e i plurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10314.3 Le funzioni a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.4 Definizione dellintegrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.5 Significato geometrico dellintegrale definito per le funzioni positive . . . . 10714.6 Proprieta fondamentali dellintegrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . 10814.7 Significato geometrico dellintegrale definito per le funzioni di segno alterno 10914.8 Integrale in un intervallo orientato: teoremi di additivita e della media . . 110

14.9 Integrazione di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11214.10Volume dei solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.11Lunghezza di un arco di curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.12Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

15 Integrazione numerica 12215.1 Metodo dei rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.2 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16 Integrale indefinito 12616.1 Integrazione di funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

16.2 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.3 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

17 Metodi numerici per equazioni 13217.1 Metodo di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13217.2 Metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517.3 Metodo delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A Teoremi sulle funzioni continue 139A.1 Teorema sulle funzioni continue definite in intervalli . . . . . . . . . . . . . 139A.2 Teorema di Weierstrass e continuita uniforme sui compatti . . . . . . . . . 140

B Teoremi sulle funzioni convesse 145

C Teoremi dellintegrazione elementare 149

D Formulario 155D.1 Proprieta di esponenziali e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D.2 Formule trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D.3 Relazioni nei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156D.4 Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


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D.5 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159D.6 Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160


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Notazioni

N ={

0, 1, 2, . . .}

: insieme dei numeri naturali

N0 = N {0}Z ={0, 1, 2, . . . }: insieme dei numeri interiQ ={m

n :m Z, n N0}: insieme dei numeri razionali

Q+ ={x Q :x0}Q={x Q :x0}Q0 = Q

{0

}Q+0 ={x Q :x >0}Q0 ={x Q :x 0}R0 ={x R :x


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1 FUNZIONI 7

1 Funzioni

In questa sezione introduttiva vengono richiamati gli elementi essenziali delle funzioni efornita una rapida panoramica delle funzioni reali elementari.

1.1 Definizione

Il concetto di funzione viene introdotto a partire da quello di relazione, che in questatrattazione verra assunto come noto.

Definizione 1 Dati due insiemi non vuotiXeY, una relazionefche associa a ciascunelemento x dellinsiemeX uno ed un solo elemento y diY si dice funzione di X in Y,lelemento y diY prende il nome di immagine di x tramite fe viene indicato in simboli

conf(x).Linsieme X prende il nome di dominio della funzione f, mentre Y si dice codo-

minio della funzione f. Indichiamo in simboli con Imfo ,equivalentemente, conf(X),limmagine di f, ovvero l insieme delle immagini degli elementi diX tramitef. Pertanto

f(X) ={ yY| f(x) =y, per qualchexX}.

Per indicare in modo non ambiguo una funzione sono state introdotte nel tempo varienotazioni, ma in questo lavoro verra adottata la seguente:

f :X

Y

x f(x).Inoltre, quando X eY sono sottoinsiemi diR si dira chef e una funzione reale.

Definizione 2 Data una funzionef : XY, di dice grafico difil sottoinsiemeGf delprodotto cartesianoX Y definito ponendo

Gf={ (x, y)X Y| y = f(x) per qualchexX}.

Evidentemente, sef e una funzione reale il suo graficoGfpuo essere rappresentato sul pia-no cartesiano in modo canonico da una curvaf, che, con un piccolo abuso di linguaggio,

verra chiamata anchessa grafico dif.


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1 FUNZIONI 8

x

y

f: y=f(x)

x

y

Figura 1: grafico della funzione f

Definizione 3 Data una funzione f : X Y, e un elemento y Y, si dice contro-immagine di y linsieme denotato conf(y) e formato dagli elementix diXche hannocome immaginey, ovvero

f(y) ={ xX| y= f(x) }.

x

y

f: y=f(x)

x1

x2

x3

y

f

(y)={x1, x

2, x

3}

Figura 2: la controimmagine f(y) diy

Definizione 4 Si dira che una funzionef : XY e suriettiva, quando f(X) =Y; iniettiva, quandox1, x2X :x1=x2f(x1)=f(x2); biettiva, quanto e suriettiva ed iniettiva.


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1 FUNZIONI 9

Proposizione 1 Valgono le seguenti caratterizzazioni:

fsuriettiva se e solo se, per ogniy

Y, si haf(y)

=

;

f iniettiva se e solo se, per ogni y Y, linsieme delle controimmmagini f(y)contiene al piu un elemento;

f biettiva se e solo se, per ogni y Y, linsieme delle controimmmagini f(y)contiene esattamente un elemento, che in tal caso viene denotato con il simbolof1(y).

Definizione 5 Dato un insieme non vuoto X si dira funzione identita suX, la funzioneidX definita ponendo

idX :X

X

x x.Definizione 6 Date due funzionif : XY eg : YZ, e possibile definire in modounico una funzione

g f : XZ,detta funzione composta dig conf, ponendo

g f(x) =g(f(x)),

per ognixX.


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1 FUNZIONI 10

Figura 3: funzione composta f g

Definizione 7 Se f : X Y e biettiva, in virtu della proposizione dimostrata sopra,e possibile definire in modo univoco una funzione f1 : Y

X ove f1(y) e lunica

controimmagine di y Y. Questa funzione si dice funzione inversa di f, ed e altrescaratterizzata dalle due relazioni

f f1 =idY e f1 f=idX,o, equivalentemente, da

yY : f(f1(y)) = y e xX : f1(f(x)) = x.Due insiemi X e Y per i quali esiste una funzione biettiva f : X Y si dicono incorrispondenza biunivoca.


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1 FUNZIONI 11

Figura 4: funzione fe sua inversa f1

Definizione 8 Dataf : XYe un insieme non vuoto AX, si dicerestrizione di fad A la funzione

f|A : AY,definita ponendo

f|A(x) =f(x),per ognixA.

Esempio Si consideri la funzione f : N N in cui f(n) e il resto della divisione delnumero naturale n per 3. Chiaramente limmagine e f(N) ={0, 1, 2}. Gli insiemi dellecontroimmagini degli elementi del codominio N sono

f(0) = {3k | k N},f(1) = {3k+ 1 | k N},f(2) = {3k+ 2 | k N},

f(m) = , per ogni m3.

Se si poneA={3, 4, 5} eB ={0, 1, 2}, allora la restrizionef|A : AB e evidentementebiettiva. Questa e tale chef|A(n) =n3, per ogninA, pertanto la sua funzione inversa


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1 FUNZIONI 12

risultaf|1A :B A

n

n + 3.

Definizione 9 Si dice che una funzione f : I R definita su un intervallo I R emonotona

crescente, quandox1, x2I : x1< x2f(x1)< f(x2); debolmente crescente, quandox1, x2I : x1< x2f(x1)f(x2); decrescente, quandox1, x2I : x1< x2f(x1)> f(x2); debolmente decrescente, quandox1, x2I : x1 < x2f(x1)f(x2).

x

y

x2

x1

f(x1)

f(x2)

x

y

x2

x1

g(x1)

g(x2)

Figura 5: grafici di funzione crescente (f) e debolmente crescente (g)

Per le funzione monotone in senso forte, vale la seguente proposizione di immediatadimostrazione.

Proposizione 2 Ogni funzione monotona decrescente (o crescente) e anche iniettiva.


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1 FUNZIONI 13

Definizione 10 Si consideri una funzione f : A R definita su un insieme A Rsimmetrico rispetto allo zero, ovvero tale chexA :xA. Si dira chef e

pari, quandoxA : f(x) =f(x); dispari, quandoxA : f(x) =f(x).

x

y

y=x2

x x

f(x)=f(x)

x

y y=x3

xx

f(x)

f(x)=f(x)

Figura 6: grafici di funzioni pari e dispari


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1 FUNZIONI 14

Per le funzioni pari e dispari vale la seguente caratterizzazione:

Proposizione 3 Data una funzionef : A

R e indicato con f il suo grafico, si hachef e

pari se e solo sef e simmetrico rispetto lassey; dispari se e solo sef e simmetrico rispetto allorigineO(0, 0).

Definizione 11 Data una funzionef : A R, definita su un insieme A R, si dirache f e periodica se esiste un minimo numero realeT >0 tale che

xA, k Z : f(x) =f(x + kT).

In tal caso T prende il nome diperiodo della funzione. La richiesta dellesistenza di unminimo valoreT per la data funzione permette di escludere tra le funzioni periodiche lefunzioni costanti e funzioni dallandamento bizzarro, come la funzione caratteristica deirazionaliQ.

x

y

y=f(x)

x x+T

f(x)=f(x+kT)

x+2T

Figura 7: grafico di una funzione periodica


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1 FUNZIONI 15

1.2 Funzioni elementari

Potenze ad esponente intero

Si dividano le funzioni potenza potn ad esponente intero n Z in due gruppi: se n >0 sono del tipo

potn : R Rxxn

e hanno le seguenti proprieta:

sen e pari: potn e pari con immagine e potn(R) = R+;

se n e dipari: potn crescente, dispari, con immagine e potn(R) = R e quindibiettiva.

x

y

y=xn(n pari )

y=xm

(m dispari)

x

y

y=xn

(n pari )

y=xm

(m dispari)

Figura 8: grafici di funzioni potenza con esponenti interi

Le potenze ad esponente negativon


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1 FUNZIONI 16

Funzioni irrazionali

Si considerino le funzioni irrazionali elementari del tipo sqrtn

, ovvero le funzioni inversedelle funzioni potenza potn ad esponente intero positivo. Queste si possono suddividerein due gruppi in base alla parita dellindice dellindice del radicale.

se n2 pari sono del tipo

sqrtn : R+ R+x nx

la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R+ in se stesso ed e inoltre crescente;

se n

3 dispari sono del tipo

sqrtn : R Rx nx

la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R in se stesso ed e inoltre crescentee dispari.

x

y

y=sqrtn

(x) (n pari )

y=sqrtm

(x) (m dispari)

Figura 9: grafici di alcune funzioni irrazionali


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1 FUNZIONI 17

Potenze ad esponente realeLe funzioni potenza ad esponente reale >0 sono del tipo

pot : R+ R+xx.

Esse sono crescenti e biettive. Per esponenti > 1 hanno grafici con concavita versolalto, mentre per 0< 1)

y=x(1>>0)

y=x

Figura 10: grafici di alcune funzioni potenza ad esponente reale


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1 FUNZIONI 18

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

Dato un reale 0< a= 1 la funzione esponenziale di base a e del tipo

expa : R R+xax.

Essa risulta biettiva crescente se a >1, decrescente altrimenti; il suo grafico e asintoticoallasse x.La funzione inversa di expa si chiama logaritmo di base a:

loga : R+ Rxloga x.

Essa risulta biettiva crescente se a >1, decrescente altrimenti; il suo grafico e asintoticoallasse y . Nella figura 11 i grafici di alcune funzioni esponenziali e logaritmiche.

x

y

y=expax (a>1)

y=expbx (0


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1 FUNZIONI 19

Funzioni circolari e loro inverse

La funzioni circolari seno, coseno, tangente e cotangente sono definite come segue.

Si consideri la circonferenza di raggio uni-tario con centro nellorigine di un sistema diriferimento cartesiano (e dettacirconferen-za trigonometrica) e dato un qualunque rea-le x[0, 2[ si individui sulla circonferenzaquellunico punto P = (xP, yP) tale che la

misura in radianti dellangolo AOP siax. Siponga quindi

cos x def= xP, senx

def= yp.

x

y

x

AxP

PyP

O

Le funzioni senx e cos x vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodichecon periodo T = 2. Si osservi, in particolare, che per costruzione vale la seguentefondamentale identita:

cos2 x + sen2x= 1.

Si sono quindi costruite le due seguenti funzioni:

funzione coseno

cos : R Rxcos x.

e pari, non iniettiva, periodica di periodoT = 2, e con immagine cos(R) = [1, 1].Viene resa invertibile restringendone il dominio allintervallo [0, ], su cui risultadecrescente, e il codominio a [1, 1];

funzione seno

sen : R Rx

sen x.

e dispari, non iniettiva, periodica di periodo T = 2, e con immagine sen(R) =[1, 1]. Viene resa invertibile restringendone il dominio allintervallo [/2, /2],su cui risulta crescente, e il codominio a [1, 1].


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1 FUNZIONI 20

x

y

y=sen(x)

y=cos(x)

Figura 12: grafici di seno e coseno

Le funzioni sen e cos, opportunamente ristrette, risultano invertibili con inverse

funzione arcoseno:

arcsen : [1, 1][/2, /2]x arcsenx,

funzione arcocoseno:

arccos : [1, 1][0, ]xarccos x.

x

y

y=arcsen(x)

y=arccos(x)

/2

/2

Figura 13: grafici di arcoseno e arcocoseno


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1 FUNZIONI 21

Le funzioni tangente e cotangente sono definite sulla circonferenza trigonometrica nelseguente modo.

Nel piano cartesiano tracciamo le rette c :y = 1 e t : x = 1. Dato un qualunque rea-le x [0, [ si individui sulla circonferenzaquellunico punto P = (xP, yP) tale che la

misura in radianti dellangolo AOP siax e siconsideri la rettaOP. Sex=/2 alloraOPincontra t in un punto T = (1, yT), mentrese x= 0 la retta OP incontra c in un puntoC= (xC, 1).Si ponga quindi

tgx def= yT, ctgx def= xC.

x

y

x

A

T

xC

P

C

O

yT

c

t

Le funzioni tgx e ctgx vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodichecon periodo T = . Si osservi in particolare che per costruzione valgono le seguentiidentita

tgx = senx

cos x, tgx =

cos x

senx.

Si e quindi costruito la coppia di funzioni:

funzione tangente

tg : A

R

x tgx,

conA ={x R | k Z :x=/2 +k}, funzione cotangente

ctg : B Rx ctgx,

oveB ={x R | k Z :x=k}.

Tali funzioni risultano suriettive, dispari, periodiche di periodo e con grafici aventiinfiniti asintoti verticali corrispondenti ai punti di frontiera dei rispettivi dominii.

La funzione tangente puo essere resa biettiva restringendone il dominio a ] /2, /2[,mentre la funzione cotangente restringendolo a ]0, [.


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1 FUNZIONI 22

x

y

y=tg(x)y=ctg(x)

3/2

/2

/2

3/2

Figura 14: grafici di tangente e cotangente

Le funzioni inverse delle restrizioni di tangente e cotangente sono

funzione arcotangente:

arctg : R ] /2, /2[x arctgx,

la funzione arcocotangente

arcctg : R

]0, [x arcctgx.

x

y

y=arctg(x)y=arcctg(x)

/2

/2

Figura 15: grafici di arcotangente e arcocotangente


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1 FUNZIONI 23

Funzione valore assoluto

La funzione valore assoluto e di particolare importanza per lo sviluppo dei prossimicapitoli, pertanto se ne richiamano definizioni e proprieta fondamentali.La funzione valore assoluto, indicata con il simbolo| |, e una funzione reale definitaponendo per ognix R

|x| def=

x per x0,x per x


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2 SUCCESSIONI 24

2 Successioni

Questa sezione e dedicata ad una classe particolarmente interessante di funzioni, dettesuccessioni.

Definizione 12 Si dicesuccessione di numeri reali ogni funzione con dominio linsiemedei numeri naturali (o un suo sottoinsieme) a valori reali. In pratica, una successione facorrispondere ad ogni numero naturalen un ben preciso numero realean. Un successionenan, verra denotata indifferentemente con uno dei seguenti simboli

{an}nN o {an}n.

Le nozioni di crescenza e decrescenza si estendono in modo del tutto naturale alle succes-

sioni, ed e immediato costatare che

Proposizione 4 Un successione{an}n risulta crescente n N : an+1> an; decrescente n N : an+1< an.

Tra le successioni, occupano un posto di particolare rilievo le successioni aritmetiche egeometriche, che verranno trattate nelle seguenti sezioni.

2.1 Successioni aritmeticheDefinizione 13 Dato un numero reale d, una successione{an}n si dice aritmetica diragioned quando

n N : an+1 an= d.

Dalla definizione e immediato provare che il termine generale an di una successionearitmetica soddisfa

an= a0+ nd.

2.2 Successioni geometricheDefinizione 14 Dato un numero realeq tale cheq= 0 eq= 1, una successione{an}nsi dice geometrica di ragioneqquando

n N : an+1an

=q.


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2 SUCCESSIONI 25

Dalla definizione e immediato provare che il termine generale an di una successionegeometrica soddisfa

an= a0qn.

Per le successioni geometriche e di particolare interesse una formula che ci da la sommadei suoi primi N+ 1 termini:

Proposizione 5 Sia{an}n una successione geometrica di ragioneq, allora la somma deiprimiN+ 1 termini della successione, quantita indicata conSN, soddisfa

SN=a0+ + aN=a0 1 qN+1

1 q .

Dim. Per definizione si e posto

SN=a0+ a1+ + aN1+ aN,

e, dato che qan= an+1, moltiplicando perq i membri della precedente uguaglianze si puoscrivere

qSN=a1+ a2+ +aN+ aN+1.Sottraendo, membro a membro, i termini della prima a quelli della seconda uguaglianzadi ottiene

(q 1)SN=aN+1 a0,

da cui si ottieneSN=

aN+1 a0q 1 .

Tenuto conto che per una successione geometrica di ragione qsi ha aN+1= a0qN+1, si ha

infine

SN=a0qN+1 1

q 1 .


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3 NUMERI REALI 26

3 Numeri reali

In questa sezione vengono innanzitutto presentati gli assiomi dei numeri numeri reali,mostrando che essi costituiscono un campo ordinato e completo. Successivamente si in-troducono i concetti di massimo e minimo e di estremo superiore ed inferiore di un datosottoinsieme dei numeri reali. Infine vengono presentate le linee essenziali della topologiacanonica dei numeri reali, a partire dalla nozione dintorno di un punto.

3.1 Assiomatica dei numeri reali

Gli assiomi che ora verranno presentati specificano tutte le proprieta dei numeri reali, epossono essere riassunti affermando che linsieme dei numeri reali e un campo ordinato ecompleto.

Assiomi algebrici:

InR e definita unoperazione interna, detta addizionee indicata con il segno +, tale che

1. a, b: a +b= b + a(propr. commutativa),2. a,b,c: (a + b) +c= a + (b + c) (propr. associativa),3. esiste un elemento neutro per laddizione, detto zero e indicato con 0, cioe tale che:

a: a + 0 = 0 + a= a,4. per ogni a

R esiste un elemento detto opposto di a e indicato con

a, tale che

a + (a) = 0.InR e definita unaltra operazione interna, dettaprodottoe indicata con, tale che

1. a, b: a b= b a(propr. commutativa),2. a,b,c: (a b) c= a (b c) (propr. associativa),3. esiste un elemento neutro per il prodotto, detto unita e indicato con 1, cioe tale che:

a: a 1 = 1 a= a,4. per ogni a R0 esiste un elemento detto reciproco dia e indicato cona1, tale che

a a1

= 1.

Inoltre le operazioni di somma e prodotto si combinano tra loro in accordo alla seguentelegge distributiva

a,b,c: a (b + c) =a b + a c.Si dimostra facilmente che lelemento neutro delladdizione e quello della moltiplicazionesono unici. Sono inoltre unici lopposto e il reciproco di un numero reale. Vale inoltre:

Proposizione 6 Loperazione di prodotto soddisfa le seguenti proprieta:


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1. a: a 0 = 0,2.

a, b: a

b= 0

a= 0

b= 0 (legge di annullamento del prodotto).

Assiomi dordinamento:

In R e definita una relazione diordine totalecompatibile con le operazioni di addizionee prodotto, cioe tale che:

1. a,b,c: aba + cb + c,2. a, b 0c : aba cb c.

Assioma di completezza ordinale:

SeAeBsono due sottoinsiemi non vuoti di R tali che aA bB :ab(si dira in talcaso cheAeB sono una coppia diclassi separatee scriveremoAB) esiste allora almenoun elemento Rche separa le due classi, cioe tale cheaA bB : ab. Nelcaso in cui le classi separate soddisfano la proprieta

>0 aA, bB : b a < ,lelemento separatore delle classi e unico, e si parla diclassi contigue.

Si enuncia qui unimportante teorema che stabilisce una sorta di unicita dellinsieme dei

numeri reali.Teorema 7 Ogni campo ordinato e completo eisomorfo aR, ovvero puo essere stabilitatra questo edR una corrispondenza biunivoca che rispetta lordine e le operazioni di sommae prodotto.

Si ricorda infine che mediante gli assiomi dei numeri reali sopra citati, in particolarequello di completezza ordinale, e possibile definire le radicinesime di un numero realepositivo, costruire le funzioni circolari e le loro inverse, nonche le funzioni esponenziali elogaritmiche. Qui di seguito, per esemplificare limportanza della completezza dei numerireali, viene dimostrata lesistenza (e unicita) di

2.

Esempio 1 Gli insiemiA=

q Q+ |q2 2 e B = q Q+ |q2 2 ,

sono una coppia di classi contigue che ammette in R un unico elemento separatore , non razionale, soddisfacente 2 = 2.

Innanzitutto i due insiemi formano una coppia di classi separate, pi u precisamente si ha A B . Infatti se a2 < 2 eb2 >2, si puo scriverea2


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Si supponga per assurdo che lelemento separatore non soddisfi 2 = 2. Dovra essere quindi 2 < 2 o 2 > 2. Nel primocaso, si scelga innanzitutto un n N tale che

5

n


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3 NUMERI REALI 29

Il campo reale e totalmente ordinato, pertanto, se un suo sottoinsieme A ammette massimom, e immediato costatare che questo massimo e necessariamente unico. Infatti, se si

supponesse per assurdo che m1 e m2 siano massimi distinti, dato che entrambi devonoessere elementi di A, dalla definizione si potrebbe dedurre sia m1m2 sia m2m1, dacui deriverebbem1 = m2, in contraddizione con lipotesi. Pertanto, quando un insieme Aammette massimo m, si potra scrivere in modo univoco

m= max A.

Insiemi che non ammettono massimo, pur essendo superiormente limitati, sono ad esempiogli intervalli aperti a destra, come A = [0, 1[. In questo caso e facile rendersi conto che1 pur non essendo un massimo, dato che non appartiene allinsieme A, e la piu piccolalimitazione superiore di A; si potrebbe dire che 1 e, tra tutte, la limitazione superiore piu

addossata allintervallo [0, 1[.Puo essere sempre trovata una minima limitazione superiore? La risposta e affermativae discende dallassioma di completezza ordinale dei numeri reali.

Teorema 8 Dato un insiemeA R non vuoto e superiormente limitato esso ammetteuna e una sola minima limitazione superiore.

Dim. La dimostrazione e semplice. Sia linsieme delle limitazioni superiori di A. Si hachiaramente A , cioe i due insiemi formano una coppia di classi separate. Dunque,per lassioma di continuita, esiste un elementoche separa le due classi, cioe A.La prima disequazione ci dice che tale e un maggiorante diA, dunque deve essere

.

La seconda, , dice che tale e proprio il minimo elemento di , come volevasidimostrare. Lunicita di tale elemento deriva evidentemente dallargomento sullunicitadel minimo dellinsieme , a cui si e accennato precedentemente.

Si puo quindi dare la seguente definizione di estremo superiore:

Definizione 18 Dato un insieme A R non vuoto e superiormente limitato, si diraestremo superiore diA la minima limitazione superiore R diA; in formule scriveremo

sup A=

Altrimenti, nel caso in cui linsiemeA e superiormente il limitato, in formule si scrivera

sup A= +

E immediato costatare che se A ammette massimo questo e anche estremo superiore,viceversa lesistenza dellestremo superiore non implica lesistenza di un massimo, comenel caso dellinsieme [0, 1[.

Quando si vuole verificare operativamente se un punto e estremo superiore di uninsieme, la definizione sopra introdotta non e comoda, e ci si rivolge alla seguente carat-terizzazione:


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Teorema 9 Dato un insieme non vuotoA R superiormente limitato, un numero Re estremo superiore diA se e solo se

1. A2. >0 aA : a <

Dim. Se si pone = sup A, tale numero soddisfa per definizione la proprieta 1. Se perassurdo la 2 non fosse soddisfatta, esisterebbe un > 0 tale per cui per ogni a A siavrebbe a , ovvero a . Si avrebbe dunque lesistenza di una limitazionesuperiore dellinsieme A strettamente inferiore a , in contraddizione con il fattoche questultimo e estremo superiore.

Viceversa, detto s= sup A lestremo superiore di A, e dato un numero reale soddi-sfacente le condizioni 1 e 2 si supponga per assurdo che

= s. In tal caso dovra essere

s < , dato che e una limitazione superiore di A in virtu della 1. Fissato dunque ilnumero positivo = s, in virtu della proprieta 2, esistera un elemento aA tale percui a > , ma cio significa che s < a, in contraddizione con il fatto che s e lestremosuperiore diA.

Si definiscono in modo del tutto analogo il minimo e lestremo inferiore di un sottoinsiemediR, e si indicano con min Ae infA, rispettivamente.

Vale la pena di enunciare, senza pero darne la dimostrazione, la seguente caratterizzazionedellestremo inferiore:

Teorema 10 Dato un insieme non vuoto A R inferiormente limitato, un numero R e estremo inferiore diA se e solo se

1. A2. >0aA : a <

Esempio 2 Dati k N0 e b R+ , esiste un unico reale a >0 tale che ak =b.

Sia A ={x R | xk b}. Una limitazione superiore di tale insieme e b, infatti preso un qualunque reale z con b < z seguebbk < zk, quindi zk > b, ci oe z non appartiene ad A. Si ponga a = sup A e si scelga una successione xn di elementi diA convergente ad a. Essendo xk

nb , passando al limite per n

, seguira che ak

b. Si consideri ora la successione

definita ponendo

yn = a + 1

n,

evidentemente costituita da elementi yn non appartenenti ad A e convergente ad a; poiche b ykn, passando al limiteper n , seguira che b ak. Si e quindi provato che sussistono ak b ak, ma cio implica che ak = b. Lunicitadellelementoa e di facile deduzione e viene lasciata al lettore volenteroso.


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3.3 Topologia canonica diR

La nozione di intorno e il concetto centrale di tutta lanalisi infinitesimale, in quanto

consente di formalizzare nozioni intuitive come quella di x e prossimo a y o ancora xtende ay. Si definisce innanzitutto lintorno circolare di un punto della retta reale:

Definizione 19 Dato un punto x0 e un numero reale >0, si dira intervallo o intornocircolare di centro x0 e raggio lintervallo aperto Ix0, definito da

Ix0, =] x0 , x0+[={x R : | x x0|< }

La definizione generale di intorno di un punto della retta reale e la seguente:

Definizione 20 Dato un punto x0, un insiemeA

R si diraintorno (completo) dix0 se esso contiene al suo interno almeno un intervallo circolare di centro x0, cioe se

>0 :Ix0, A, oppure

>0 :| x x0|< xA.Linsieme degli intorni del punto x0 si indica conF(x0) e viene chiamato filtro degliintorni dix0.

La definizione dintorno qui proposta definisce quella che si suole chiamare topologia cano-nica suR. Si osservi che alla base della nozione di intorno vi e la ben nota distanza euclidea

tra punti della retta reale (d(x, y)

def

=|x y|).Linsieme degli intorni di un punto soddisfa le proprieta indicate nella seguente proposi-zione di cui si omette la semplice dimostrazione:

Proposizione 11 Dato un numero realex0 R, valgono allora:1.U F(x0) :U= ;2.U F(x0) :UAA F(x0);3.U, V F(x0) :U V F(x0).

Rispetto alla topologia introdotta, linsieme dei numeri reali risulta separato, ovvero:

Teorema 12 (Separatezza di R) Linsieme R e uno spazio separato, cioe se x= yallora esistono un intorno U dix e un intorno V diy tali da non intersecarsi in alcunpunto, ovvero

x=yU F(x), V F(y) :U V = .


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Dim. Senza perdita di generalita si puo supporre y > x. Si ponga = (y x)/3, e siconsiderino i seguenti intorni circolari U=Ix, e V =Iy, . E immediato costatare che U

e Vsono due intorni disgiunti di x e y rispettivamente, come volevasi dimostrare.

La topologia definita su R permette di descrivere in modo oggettivo alcune proprieta chemettono in relazione i punti della retta reale con i suoi sottoinsiemi:

Definizione 21 SiaD un sottoinsieme non vuoto diR ex0 un punto diR non necessa-riamente appartenente aD, si dice allora chex0 e

1. punto interno a D se esiste un intorno di x0 completamente contenuto in D,ovvero

U F(x0) :UD;

2. punto esterno a D se esiste un intorno dix0 completamente disgiunto aD, ovvero

U F(x0) :U D= ;

3. punto di chiusura o di aderenza di D se ogni intorno del punto x0 intersecaDin qualche punto, ovvero

U F(x0) :U D= ;linsieme di tutti i punti di chiusura diD si dicechiusura di D e si indica conD;

4. punto di accumulazione per D se ogni intorno del punto x0 interseca D inqualche punto diverso dax0, ovvero

U F(x0) : (U {x0}) D= ;

5. punto isolato di D se esiste un intorno dix0 che intersecaD nel solo punto x0,ovvero

U F(x0) :U D={x0};6. punto di frontiera per D se ogni intorno del punto x0 interseca sempre sia punti

diD che del suo complementareD, ovvero

U F(x0) :U D= U D = .E facile provare che sostituendo al termine intorno il termine intorno circolare,si ottengono definizioni del tutto equivalenti a quelle sopra date.

Di particolare interesse e la classificazione dei sottoinsiemi della retta reale in base alleproprieta topologiche dei loro elementi:

Definizione 22 Un sottoinsiemeD della retta reale si dice


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1. aperto se ciascun suo punto e interno allinsieme;

2. chiuso seD contiene tutti i propri punti di chiusura, cioeD= D;

3. discreto se ciascun suo punto e isolato;

4. denso in R se la sua chiusura coincide con la retta reale, cioeD= R.

Si osservi qui che gli intervalli chiusi sono tutti e soli quelli del tipo [ a, b], [a,+[ e] , a], mentre quelli aperti sono tutti e soli quelli del tipo ]a, b[, ]a,+[ e ] , a[.Se un intervallo contiene solo uno dei due estremi invece non e ne aperto, ne chiuso.

A volte potra essere utile ricorrere al concetto di intorno destro e sinistro, e di intornoforato, che sono definiti come segue:

Definizione 23 Dato un punto x0, si dira intorno destro dix0 ogni insiemeU che con-tiene un intervallo del tipo [x0, x0 + [, per qualche >0. LinsiemeF+(x0)degli intornidestri dix0 e definito da

F+(x0) def={ U [x0, +[ : U F(x0)},

e in modo del tutto analogo si definisce il filtroF(x0) degli intorni sinistri del punto x0.Se U e un qualunque intorno (completo, destro, sinistro) di x0, si dira intorno forato(completo, destro, sinistro) dix0 linsiemeU {x0}.

Seguono alcuni esempi sullo studio dei punti estremanti dei sottoinsiemi della retta reale:

Esempio 3 Si studino i punti estremali dellinsieme A ={1 + en + e2n|n N}.Poiche le funzioni y = ex = ( 1

e)x e y = e2x = ( 1

e2)x sono decrescenti, il massimo valore dellinsieme A si otterra in

corrispondenza a n = 0, dunque max A= 3. Cio accade se e solo se

3A3A

La prima asserzione e banalmente vera dato che 3 si ottiene in corrispondenza di n = 0. La seconda richiede di studiare ladisequazione 3en + e2n, cioe (en)2 + en 20, che puo scriversi anche

(en + 2)(en

1)

0

Questultima e vera se e solo se (en 1)0, ovvero quando en 1, dunque per ogni n N.Poichey = ex ey = e2x sono funzioni i cui valori tendono a zero quandox cresce, ci sia aspetta che sia infA = 1, ovvero

1A > 0aA : a1 +

La prima asserzione deriva dal fatto che gli esponenziali en e e2n sono strettamente positivi, inoltre, per il medesimoargomento, si puo dire che 1 non appartiene ad A, dunque il minimo di tale insieme non potra esistere. Per quanto concernela seconda asserzione si prenda arbitrario reale positivo e si consideri la disequazione

(D) 1 + en + e2n 1 + ,


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che puo scriversi anche(en)2 + en 0.

Il discriminante dellequazione associata alla disequazione e = 1 + 4, che risulta strettamente p ositivo. Con semplici

manip olazioni algebriche si prova che una condizione sufficiente e affinche (D) sia soddisfatta e

nln1 +

2

.

Pertanto (D) e vera senzaltro per qualchen N, come volevasi dimostrare.

Esempio 4 Si studino i punti estremali dellinsieme A =

sen(n2

)(1 1n

)|n N.Si noti che per x R la funzione y = 1 1

x risulta positiva, crescente e tendente a 1 al crescere di x, inoltre il termine

sen(n2

) assume periodicamente i valori 0, 1, 0, 1 al crescere di n. Pertanto ci si aspetta che A abbia estremo superiore 1,estremo inferiore1. Si osservi ora che

sen n 2 1 1n sen n 2 1 1n 1 1 1n 0nA : a1

La prima asserzione e gia stata provata col ragionamento precedente. Per quanto concerne la seconda asserzione, si consideriun arbitrario reale positivo e si prenda in esame la disequazione

(D) sen (n/2)(1 1/n)1 ,

che per gli n del tipo 1, 5, 9,..., 4k+ 1,... puo scriversi anche 1 1

n 1 , da cui si ottiene

n > 1

.

Poiche la precedente puo essere soddisfatta da infiniti interi n del tipo 4k+ 1, anche la disequazione (D) risulta vera per

qualchen N, come volevasi dimostrare. Analogamente si prova che1 e estremo inferiore di A. Naturalmente, per quantodetto allinizio della dimostrazione i punto1 e 1 non possono essere minimo e massimo di A, perche non appartengono atale insieme.

Le seguenti proprieta topologiche dei sottoinsiemi della retta reale vengono lasciate comeesercizio:

Esercizio 1 Se A e un aperto allora A e chiuso; viceversa se C e chiuso allora A e aperto.

Esercizio 2 DettiIA,DA,FA, A, rispettivamente, gli insiemi dei punti isolati, di accumulazione, di frontiera ed internidellinsieme A, allora valgono le seguenti relazioni

IA FA,

A DA,A =IA DA,A =FA A.


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Esercizio 3 LinsiemeZ dei numeri razionali e denso in R, ovvero per punto ogni x0 Red ogni >0, esistera un qualcherazionale q Q tale che|x0 q|< .

Esercizio 4 Dato un insieme A e una sua limitazione superiore > A non appartenente allinsieme, vale la seguenteequivalenza:

e di accumulazione per A = sup A.

Esercizio 5 Dati gli insiemi A =

2 + en |n N0

e B =n21n2

|n N0

, se ne individuino i punti estremanti. Verifi-

cato che AB, si determini linsieme degli elementi separatori delle due classi.

Esercizio 6 Dato linsieme A =

x2 2x 1|3x0 si dimostri che max A= 2 e min A=2.

Esercizio 7 Dato linsieme A =

1 + 1x2

| x= 0

si dimostri che sup A= + e infA = 1.


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4 CONTINUITA 36

4 Continuita

In questa sezione viene introdotta una proprieta cruciale delle funzioni reali che prendeil nome di continuita. Si cerchera innanzitutto di dare una nozione intuitiva di cosasintenda con per continuita. Siaf : D Runa funzione e x0 un punto del suo dominioD. In termini grossolani, si dice che la funzione f e continua nel punto x0 quando, incorrispondenza a punti x opportunamente vicini a x0, i valori y = f(x) possono essereresi arbitrariamente vicini al valore y0 = f(x0). La nozione di vicinanza tra due puntiviene precisata in termini topologici mediante luso del concetto dintorno, giungendo allaseguente formulazione:

Definizione 24 Siaf :D Runa funzione reale ex0D, cony0= f(x0), si dira chela funzionef e continua nel punto x0 se

V F(y0)U F(x0) :xU Df(x)V.

La funzionefsi dice continua inD se essa e continua in ogni punto diD. Una funzionebiettivaf si dice omeomeorfismo se e continua, con inversaf1 anchessa continua.

Esempio 5 In figura 17 sono riportati i grafici delle funzioni f e g , una continua e laltra discontinua nel medesimo puntox0. Si noti che per quanto riguarda la funzione g, relativamente allintorno V di y0 rappresentato in figura, qualunqueintorno U di x0, per quanto piccolo lo si voglia prendere, conterra infiniti punti x > x0 tali che f(x) /V.

x

y

y=f(x)

x0

y0

V

U

x

y

x0

y0

V

U

Figura 17: grafici di una funzione f continua in x0 e di g discontinua in x0

E facile provare che la continuita puo essere espressa anche utilizzando i soli intornicircolari. A questo proposito si presenta, omettendone la facile dimostrazione, la seguentecaratterizzione della continuita:


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4 CONTINUITA 37

Proposizione 13 Siaf :D Runa funzione reale ex0D. La funzionef e continuanel punto x0 se e solo se

> 0U F(x0) :xD U |f(x) f(x0)|<

A titolo di esempio, viene riportata qui di seguito la dimostrazione della continuita di unafunzione elementare:

Esempio 6 La funzione xx2 e e continua su R.Sia dunque x0 un arbitrario punto della retta reale e un arbitrario reale positivo. Occorre provare che in corrispondenzaa tale esiste un intorno U di x0 tale che per ogni xUsi ha

(D)|x2 x20|< .

Conviene considerare tre casi distinti: x0 = 0, x0 > 0 e x0 < 0. Nel primo caso la disequazione (D) ci da|x2| < , cheequivale a|x| 0.La disequazione (D) puo scriversi anche

y0 < x2 < y0+ .Senza perdita di generalita si puo supporre < y0 = x20, pertanto, prendendo le radici dei membri della precedentedisequazione, si ottiene

y0 0, si ha che se xU D,cioe sex = x0, allora|f(x) f(x0)|=|f(x0) f(x0)|= 0< , come volevasi dimostrare.

Si osservi che come conseguenza della precedente proposizione segue che una funzione puoessere discontinua solo in un punto di accumulazione del proprio dominio. Landamentodel grafico della funzione in prossimita dei punti di discontinuita verra studiato in seguitoper studiare uan possibile classificazione delle discontinuita.

4.1 Alcuni teoremi sulle funzioni continue

Un teorema di importanza fondamentale sulle funzioni continue di variabile reale riguardala continuita della composizione di funzioni continue:


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4 CONTINUITA 38

Teorema 15 Date due funzioni di variabile realef eg

D

g

E f

Rx0y0z0

seg e continua inx0 ef e continua iny0 allorafg: D R e continua inx0. Pertantosef eg sono continue alloraf g e continua.

Dim. Per definizione fg(x0) = f(g(x0)) = f(y0) = z0, dunque se V e un arbitrariointorno diz0, per continuita di f iny0, esistera un intorno W diy0 tale per cui

yW Ef(y)V.

Daltronde, essendo y0 = g(x0), per continuita della g in x0 esistera un intorno U di x0tale per cui

xU Dg(x)W.Si puo quindi concludere che

xU Df(g(x))V,

per cui la funzione composta f g e continua in x0.

Valgono inoltre i seguenti fondamentali risultati sulle funzioni continue:

Teorema 16 [Teorema di limitatezza locale] Sef e continua inx0D allora esiste unintorno dix0 in cuif e limitata.

Dim. Siano f(x0) =y0 e V =]y0 1, y0+ 1[. Lintervallo V e un intorno di y0, dunque,tenuto conto della continuita dif inx0 esiste un intorno U dix0 tale che

xU D : f(x)V.

LintornoV e limitato, pertanto su U D la funzione e necessariamente limitata.

Teorema 17 [Teorema di permanenza del segno] Sef e continua inxo D ef(x0) =y

0> 0, allora esiste un intorno U dix

0 tale che

x

U

D : f(x)> 0.

Dim. Si consideri lintorno V di y0 definito ponendo V =]y0 y0/2, y0+ y0/2[. Poiche fe continua in x0 esistera un intorno U di x0 tale chexU D : f(x)V; si veda aquesto proposito la figura 18. Dato che infV =y0/2> 0, in U D la funzione f risultastrettamente positiva.


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4 CONTINUITA 39

x

y

y=f(x)

x0

y0

y0y

0/2

y0+y

0/2

V

U

Figura 18: permanenza del segno di una funzione continua

4.2 Operazioni sulle funzioni continue

Vengono definite di seguito un certo numero di operazioni algebriche sulle funzioni:

Definizione 25 Siano f e g due funzioni reali definite su uno stesso dominio D. Sidefiniscono allora le funzioni

sommaf+ g ponendo(f+ g)(x)

def= f(x) +g(x);

prodotto f g ponendo(f g)(x)

def= f(x)g(x);

oppostof ponendo(f)(x) def=f(x);

reciproco 1f

ponendo1

f(x)

def=

1

f(x);

rapporto f

g ponendo f

g(x)

def=

f(x)

g(x);

modulo|f| ponendo|f|(x) def=|f(x)|.

Se le funzioni f e g sono continue, allora sono continue anche tutte le funzioni da loroottenute con le operazioni nella definizione di sopra. Piu precisamente valgono i seguentiteoremi:


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4 CONTINUITA 40

Teorema 18 Sianofeg due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominioD. La funzione sommaf+ g e continua suD.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f(x0) e z0 = g(x0). Fissato unarbitrario >0, occorre determinare un intorno U dix0 in cui(f(x) +g(x)) (y0+ z0) < .Si osservi qui che vale la relazionef(x) +g(x) (y0+z0) |f(x) y0| + |g(x) z0|. (1)In virtu della continuita di f e g si puo determinare due intorni W1 e W2 di x0 tali chese xW1 D allora|f(x) y0| < 2 e se xW2 D allora|g(x) z0| < 2 . Pertanto,tenuto conto della eq. 1, per ogni x che appartiene a D e allintorno U=W1 W2 di x0si ha

f(x) +g(x) (y0+ z0) 0,in virtu della continuita di f in x0 esiste un intorno U tale che se x DU si ha|f(x) y0| < che equivale a|(f(x)) (y0)| < . Pertanto la funzione oppostofrisulta necessariamente continua in x0.

Teorema 20 Sianofeg due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominioD. La funzione prodotto f g e continua suD.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f(x0) e z0 = g(x0). Fissato unarbitrario >0, occorre determinare un intorno U dix0 in cui

|f(x)g(x) y0z0|< .Si osservi che valgono le relazioni

|f(x)g(x)y0z0|= [f(x)y0]g(x)+[g(x)z0]y0

|f(x)y0)| |g(x)|+|g(x)z0| | y0|. (2)

Per il teorema di limitatezza locale si puo determinare un intornoW0 di x0in cui|f(x)| Mper qualche costante reale M >0. Sempre in virtu della continuita dif eg si possonodeterminare due intorni W1 e W2 di x0 tali che se xW1 D allora|f(x) y0|< 2M ese xW2 D allora|g(x) z0| < 2(|y0|+1) . Pertanto, tenuto conto della eq. 2, per ognixD appartenente allintorno U=W0 W1 W2 di x0 si ha

|f(x)g(x) y0z0| M2M

+ |y0|

2(|y0| + 1) < /2 +/2 =,

come volevasi mostrare.


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4 CONTINUITA 41

Teorema 21 Se f una funzione di variabile reale continua sul dominio D, allora lafunzione modulo|f| e continua suD.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f(x0)= 0. Fissato un arbitrario > 0,dobbiamo determinare un intorno U dix0 in cui|f(x)| |y0| < .In virtu della continuita di f in x0, esiste un intorno U tale che se x DU si ha|f(x) y0|< , pertanto, utilizzando una nota disequazione sui valori assoluti, segue|f(x)| |y0| |f(x) y0|< ,come volevasi dimostrare.

Teorema 22 Siafuna funzione di variabile reale continua sul dominio D. La funzionereciproco 1

f e continua su tutti i puntix diD in cuif(x)= 0.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f(x0)= 0. Fissato un arbitrario > 0,occorre determinare un intorno U dix0 in cui

1

f(x) 1

y0

< .

Si osservi che valgono le relazioni 1f(x) 1y0 =|f(x) y0||y0||f(x)| . (3)

La funzione|f| e continua in x0, quindi per il teorema di permanenza del segno si puodeterminare un intorno W0 di x0 in cui|f(x)| |y0|/2 > 0 . Sempre in virtu dellacontinuita difsi puo determinare un intornoW1tale che sexW1Dallora |f(x)y0| 0

occorre dimostrare che esiste un intorno U di x0 tale che|ex y0| < . La disequazionesopra puo essere scritta

< ex y0 < ,cioe

y0 < ex < y0+ .

Senza perdita di generalita si puo supporre che < y0, pertanto i termini della precedentecatena di disequazioni sono positivi, ed applicando ad essi la funzione crescente ln siottiene

ln(y0 )< x


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5 LIMITI 44

5 Limiti

In questo capitolo viene introdotto un concetto fondamentale nellanalisi infinitesimale: illimite. Questo, come si vedra tra breve, e strettamente legato al problema dellesistenza diunestensione continua di una funzione. Prima di addentrarsi nei dettagli della definizione,si richiama qui il concetto di estensione di una funzione:

Definizione 26 Siaf : D R una funzione, x0 un punto della retta reale non appar-tenente a D, un qualunque numero reale. Sia ora la funzionef definita su D {x0}ponendo

f(x) =

f(x) xD ex=x0, sex= x0.

La funzionef verra detta estensione o, equivalentemente, prolungamento della funzionefnel punto x0 con il valore.

Data una funzione f : D R e un punto x0 non appartenente a D, ci si puo porre ilseguente quesito:

si puo estendere la funzione f nel punto x0 assegnandole un opportunovalore di modo che lestensione f risulti continua inx0?

x

y

x0

l V

U

x

y

x0

V

U

f(x0)

Figura 19: esempio di estensione continua di una funzione f inx0


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5 LIMITI 45

5.1 Definizione di limite

Come osservato nella sezione sulle funzioni continue, se x0 e un punto isolato nel nuovo

dominio D {x0}, un qualunque valore potra rendere continua in x0 lestensione f.Pertanto il caso in cui x0 risulta isolato nel dominio e ben poco interessante.

Se invecex0 e un punto di accumulazione per D, si puo dimostrare che tale estensionecontinua in x0 esiste solo per certe funzioni, come quella il cui grafico e riportato infigura 19. Per le funzioni prolungabili per continuita, tuttavia, esiste ununica estensionecontinua. In altre parole, se e possibile estendere per continuita la funzionef inx0, allorail valore che dobbiamo assegnarle in x0 e necessariamente unico. Vale quindi il seguenteteorema:

Teorema 31 Data una funzionef : D R e un punto x0 di accumulazione perD, seesiste un numero reale tale che la funzione

f definita ponendo

f(x) =

f(x) xD ex=x0, sex= x0,

sia continua inx0, allora tale valore e unico e prende il nome di limite dif(x) al tenderedi x ax0 e si scrive

limxx0

f(x) =.

Dim. Si supponga per assurdo che vi siano due distinti valori1 e2 che estendanofpercontinuita nel punto x0, e si indichino con f1 e f2 le due rispettive estensioni.

Dato che R e separato e 1= 2, si possono scegliere due intorni disgiunti V1 e V2rispettivamente di 1 e 2 in corrispondenza ai quali, esisteranno due intorni U1 e U2 dix0 tali per cui

xD U1 f1(x)V1,xD U2 f2(x)V2.

La situazione e rappresentata nella figura ac-canto. Linsieme U = U1U2, intersezionedi intorni di x0, e intorno di x0. Siccome x0e di accumulazione per D dovra esistere nel-

lintornoUqualche punto zappartenente aldominio D tale che z= x0. Ma allora do-vrebbe valere simultaneamente le condizionif1(z) = f(z) V1 e f2(z) = f(z) V2, incontraddizione conV1 V2=. Cio concludela dimostrazione.

x

y

y=f(x)

x0

l1

V1

U1

z

l2

V2

U2

E importante osservare che la precedente dimostrazione continua a valere anche nel casoin cui il punto x0 e elemento del dominio D della funzione f. In tal caso, piuttosto che


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5 LIMITI 46

ad unestensione, sarebbe opportuno riferirci a fcome alla funzione ottenuta da f ridefi-nendonecon il valore da essa assunto in x0. A parte questa precisazione terminologica,

il fatto cruciale e che il valore assunto eventualmente in x0 dalla funzionefnon influenzain alcun modo ne lesistenza, ne il valore delleventuale limite in x0.Questo fatto appare con maggior chiarezza nella seguente caratterizzazione1 del con-

cetto di limite:

Teorema 32 Il limite limxx0

f(x) esiste e vale R se e solo se

V F()U F(x0) :xD U x=x0f(x)V (4)

Dim. La dimostrazione e banale, infatti, se f e ottenuta da f ponendo f(x0) = , perogni x

=x0 vale luguaglianza

|f(x) f(x0)|=|f(x) |,

inoltre il primo membro e nullo per x = x0. Pertanto, la continuita di f in x0, equivalealla relazione in equazione 4.

La Eq. 4 puo essere equivalentemente riformulata con intorni circolari:

Proposizione 33 Sono equivalenti alla proposizione in Eq. 4 le seguenti proposizioni:

>0U F(x0) :xD U x=x0 |f(x) |< (5)

>0 >0 :xD {x0} |x x0|< |f(x) |< (6)

Introdotto il concetto di limite, e necessario stabilire se esso esiste per qualsiasi funzione epunto di accumulazione. La risposta e negativa, come si scoprira nel successivo esempio.

1Questa caratterizzazione e spesso assunta come definizione di limite nelle trattazioni in cui il concettodi limite precede quello della continuita.


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5 LIMITI 47

Esempio 7 La funzione f : R R definita ponendo

f(x) =

1 x < 0,

1 x > 0.

non puo essere in alcun modo estesa per continuita in 0.

Si supponga per assurdo che esista

limx0

f(x) = .

E facile intuire che vi sono due sole possibilita per il limite: = 1oppure =1, e, senza perdita di generalita, si supponga che sia = 1. Secondo la definizione in Eq. 5, in corrispondenza al valore= 1/2 deve esistere un intorno U

F(0) tale per cui

se xU{0} allora |f(x) 1|< 1/2.

NellintornoUdovranno cadere sia numeri negativi che positivi. Per ivalorix 0 si ha|f(x) 1|=| 1 1|= 2> 1/2,in contraddizione con lipotesi desistenza del limite.

x

y

x0

l

l

l+V

U

Dalla definizione di limite discende immediatamente la seguente caratterizzazione dellacontinuita2

Teorema 34 Data una funzione realefdefinita suD, x0 punto di accumulazione diD,

alloraf continua inx0 lim

xx0f(x) =f(x0).

Dim. La dimostrazione e banale. Se la funzionef e continua in x0, in tale punto lunicovalore che la rende continua e proprio f(x0), quindi deve essere f(x) f(x0). Daltraparte, se f(x)f(x0), significa che il valore che renderebbe f continua in x0 e propriof(x0), quindif e gia continua in x0.

2Questa caratterizzazione e spesso assunta come definizione di continuita nelle trattazioni in cui ilconcetto di limite precede quello della continuita.


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5 LIMITI 48

5.2 Limiti a destra e a sinistra

In questa sezione si vogliono estendere i concetti di continuita e limite in modo da disporre

di strumenti piu acuminati per studiare il comportamento di funzioni in prossimita deipunti di accumulazione. Sintroducono innanzitutto lacontinuita a destrae a sinistrainun punto:

Definizione 27 Siafuna funzione definita su un dominio D ex0 un punto del dominio.Ripartito il dominio negli insiemi

D={xD|xx0}, D+ ={xD|xx0},si dira che

f e continua a sinistra inx0def

f|D e continua inx0;f e continua a destra inx0

def f|D+ e continua inx0.

E facile rendersi che possono esservi funzioni discontinue che sono continue solo a destrao solo a sinistra, oppure ne a destra e ne a sinistra; si vedano a tal proposito i graficiriportati in figura 20. Tuttavia, se in un punto una funzione e continua sia a destra sia asinistra, necessariamente l essa deve essere continua in senso ordinario; vale infatti:

Proposizione 35 Siafuna funzione definita su un dominio D ex0 un punto del domi-nio, allora

f e continua inx0 f e continua a destra e a sinistra inx0Dim. Direttamente dalla definizione di continuita, si osservi che che se U e un intorno dix0 allora

D U= (U D) (U D+),pertanto, verificare la relazione |f(x)f(x0)|< per ognixUD, equivale a verificarlaper ognixU D+ relativamente alla restrizione f+ ed ognixU D relativamentea f, come volevasi dimostrare.

Dalle nozioni di continuita a sinistra e a destra in un punto, seguono le analoghe nozioni

di limite destro e di limite sinistro.

Definizione 28 Data una funzionef : D R e un punto x0 di accumulazione perD,analogamente a quanto fatto per la continuita a destra e a sinistra, siano D

def= {x

D|xx0} e D+ def={xD|xx0}. Qualorax0 sia di accumulazione perD+, sidira limite destrodella funzionef perxx0, il limite della funzionef|D+ perxx0.In simboli, la definizione puo essere scritta

limxx+

0

f(x) def= lim

xx0f|D+(x).


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5 LIMITI 49

Se x0 e di accumulazione per D, si puo definire in modo analogo il limite sinistrodella funzionef perxx0. In questo caso, la definizione e

limxx

0

f(x) def= lim

xx0f|D(x).

Il legame tra limiti e continuita stabilito nel teorema 34, si estende immediatamente aglianaloghi concetti di continuita e limite a destra e a sinistra:

Teorema 36 Data una funzionefcon dominio D ex0 D, valgono le seguenti carat-terizzazioni:

f e continua a destra inx0 limxx+

0

f(x) =f(x0),

f e continua a sinistra inx0 limxx

0

f(x) =f(x0).

In virtu del teorema 35, si puo quindi affermare che se f(x) tende a al tendere dix a x0,allora esistono anche il limiti destro e sinistro in x0 ed entrambi valgono , e viceversa.Vale quindi la seguente proposizione:

Proposizione 37 Data una funzione f : D R e un punto x0 R di accumulazioneperD eD+, valgono le seguenti relazioni di limite

limxx0

f(x) =

limxx0

f(x) = limxx+0

f(x) =.


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5 LIMITI 50

Si consideri ora una funzionef :D R discontinua in un puntox0 del suo dominio. Lostudio del limite destro + e sinistro in x0 determina varie tipologie di discontinuita,

esemplificate nei grafici in figura 20, che possono essere classificate come segue:

I limiti+ e esistono entrambi finiti e sono coincidenti: in questo caso si dice cheinx0 vi e una discontinuita eliminabile o di prima specie.

I limiti + e esistono entrambi finiti ma distinti: in questo caso si dice che in x0vi e una discontinuita non eliminabile di tipo salto o di seconda specie.

Almeno uno dei due limiti e infinito o non esiste: in questo caso si parla di di-scontinuita non eliminabile di terza specie.

x

y

x0

l= l

+

y0

y=f(x)

x

y

x0

l= y

0

l+

y=g(x)

x

y

x0

l=y

0

l+=+

y=h(x)

x

y

x0

l=y

0

y=i(x)

Figura 20: discontinuita di prima specie (f), di seconda specie (g) e di terza specie (h, i)


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5 LIMITI 51

5.3 Operazioni e teoremi sui limiti

Inizia ora la rassegna dei principali risultati sui limiti con una coppia di importanti teoremi

di cambiamento di variabile:

Teorema 38 (Teorema di cambiamento della variabile dipendente) Siano f egdue funzioni di variabile reale che mappano

D gE f R.

Se esiste limxx0

g(x) = e la funzione f e continua nel punto E, allora valgono leseguenti relazioni di limite

limxx0 f g(x) =f

limxx0 g(x)

=f().

Dim. La funzione g definita ponendo

g(x) =

se x = x0,

g(x) altrimenti

risulta continua in x0 per definizione di limite. La funzionefg e pertanto continua inx0 essendo composizione di funzioni continue. Quindi

limxx0 f g(x) =f g(x0) =f(),da cui si ottiene

limxx0

f g(x) = limxx0

f g(x) =f().

Teorema 39 (Teorema di cambiamento della variabile indipendente) Siano f eg due funzioni di variabile reale che mappano

D gE f R.

Sia inoltreg omeomorfismo, cioeg e continua con inversag1 continua, ex0 di accumu-lazione perD. Posto y0= g(x0), vale lequivalenza

limyy0

f(y) = limxx0

f g(x) =,

nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Valgono inoltre i seguenti teoremi:


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5 LIMITI 52

Teorema 40 Se limxx0

f(x) = 0 eg e limitata in un intorno dix0, allora

limxx0 f g(x) = 0.

Dim. Per ipotesig e localmente limitata, pertanto esistono un intornoUe una costanteM >0 tali che per ogni xU0 e x=x0 si ha|g(x)|< M. Inoltre, dato chelimxx0f(x) = 0, in corrispondenza ad un arbitrario > 0 e possibile determinare unintornoU1 di x0 tale che per ogni x U1 e x= x0 sia|f(x)| < /M. Pertanto, postoU=U0 U1, si ha che se xU ex=x0 allora|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|< /M M=.Cio conclude la dimostrazione.

Vale anche il seguente teorema di permanenza del segno, la cui semplice dimostrazionelasciamo come esercizio al lettore, essendo essa pressoche identica a quella dellanalogoteorema 17 dimostrato per le funzioni continue:

Teorema 41 (Teorema di permanenza del segno) Se per una funzionef si ha

limxx0

f(x)> 0,

allora esiste un intorno U dix0 tale che

xD U x=x0f(x)>0.

x

y

x0

l

ll/2

l+l/2 V

U

f(x0)

x0

l

ll/2

l+l/2 V

U

f(x0)

Figura 21: teorema di permanenza del segno


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5 LIMITI 53

Un teorema dimportanza cruciale nel calcolo di molti limiti e il seguente:

Teorema 42 (Teorema del confronto) Siano f , g, h tre funzioni reali tali che in unintorno di x0, eccettuato al piu x0, sia: f(x) g(x) h(x). Se limxx0f(x) =limxx0h(x) =, allora limxx0g(x) =.

Dim. Sia V un arbitrario intorno circolare di . In corrispondenza a V per ipotesi epossibile determinare due intorni U1 e U2 dix0 tali che

xU1 x=x0f(x)V,xU2 x=x0h(x)V.

LinsiemeU=U1 U2, poiche intersezione diintorni di x0, e intorno di x0; inoltre, senzaperdita di generalita, si puo assumere che sexU {x0} si haf(x)g(x)h(x).Pertanto, se x U, eccettuato al piu x0, siavra f(x) V e h(x) V. Lintorno V eun intervallo, quindi contiene tutti i valoricompresi tra f(x) e h(x); avendo fatto li-potesi che f(x) g(x) h(x) dovra essereg(x)V. Si e dunque provato che esiste unintornoU di x0 tale che

xU x=x0g(x)V.Cio conclude la dimostrazione del teorema.

x

y

y=h(x)

y=g(x)

y=f(x)

x0

l V

U


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5 LIMITI 54

Dai teoremi delle operazioni sulle funzioni continue si deduce immediatamente:

Teorema 43 Siano f eg due funzioni reali e si supponga che

limxx0

f(x) =, limxx0

g(x) =m.

Valgono allora le seguenti relazioni di limite:

limxx0

(f+ g)(x) =+ m;

limxx0

(f g)(x) =m;

limxx0

f(x) =

;

limxx0

1

g(x)=

1

m (purchem= 0);

limxx0

f(x)

g(x) =

m (purchem= 0);

limxx0

|f(x)|=||.

5.4 Estensioni della retta reale

La necessita di studiare il comportamento asintotico delle funzioni porta a considerareun ampliamento topologico di R che permetta di dare un senso a limiti in cui la varia-bile indipendente tende allinfinito. A questo proposito sono comunemente usate diverseestensioni della retta reale. In questa trattazione viene presentata lestensione ottenutaaggiungendo alla retta reale i simboli +e. Piu precisamente si considera linsieme

Rdef= R

{+

,}

,

in cui si pone per definizionex R : x < + ex R : < x. Lestensionetopologica si ottiene assegnando il filtro degli intorni dei due nuovi punti + e:

F(+) def={U R | M >0 : [M, +]U}

e

F() def={U R | M >0 : [, M]U}.


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5 LIMITI 55

Questa estensione R e ancora uno spazio separato, totalmente ordinato, ma perde lastruttura algebrica di corpo. Come e facile provare, ad esempio, non si possono definire

in maniera coerente linverso di +od operazioni algebriche del tipox (+). Tuttavia,al prezzo di questa rinuncia, si possono estendere le definizioni di continuit a e limite afunzioni definite suRa valori in R.

Una prima proprieta topologica della retta estesa e espressa dalla seguente proposizione,la cui facile dimostrazione e qui omessa:

Proposizione 44 Dato un insiemeD superiormente (risp. inferiormente) illimitato inR, alloraD, pensato come sottoinsieme dellestensioneR, ammette+(risp.) comepunto di accumulazione.

Data una funzione f : D

R il cui dominio D e superiormente (risp. inferiormente)illimitato, e possibile dare un significato alla scrittura limxx0f(x) = , con finito,anche perx0= +(risp. x0 =). Per la Prop. 44 risulta che + e di accumulazioneper il dominio, dunque per definizione di limite si ha

limx+

f(x) = def V F()U F(+) :xD U{+} f(x)V.

Senza perdita di generalita, sostituendo allintornoV diun intorno circolare e allintornoU di + una semiretta del tipo [M, +], si ottiene la seguente definizione operativa:

limx

+

f(x) = def

>0

M >0 :x

D

x > M

|f(x)

|< .

Analogamente, per x , si avra

limx

f(x) = def >0M >0 :xD x 0U F(x0) :xD U x=x0f(x)> M.

Infine, si possono considerare anche limiti in cui sia il valore x0che il limite sono infiniti.Operando come nei casi precedenti, dalla definizione di limite si ottengono le seguenti


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5 LIMITI 56

caratterizzazioni

limx+

f(x) = +

def

M >0

N >0 : (x

D

x > N)

f(x)> M,

limx

f(x) = + def M >0N >0 : (xD x M,

limx+

f(x) = def M >0N >0 : (xD x > N)f(x)0N >0 : (xD x MxU}.Ad esempio in R non esiste il limite

limx0

1

x,

che invece esiste nellestensione Rin cui e facile provare che

limx0 1x

=.

Verra ora presentato un risultato molto utile sui limiti delle funzioni monotone:

Teorema 45 (Limite di una funzione monotona) Siafuna funzione monotona de-bolmente crescente (risp. decrescente) definita su un intervallo Idella retta reale e siaf(I) limmagine dif. Posto x0 = sup(I) e= sup(f(I)) allora vale

limxx0

f(x) =,

eventualmente nella topologia estesaR, se uno o entrambix0 e sono infiniti.Dim. Si considera qui per semplicita solo il caso in cuix0 e sono entrambi finiti. Si fissidunque un arbitrario > 0. In base alla definizione di estremo superiore di f(I) dovraesistere un qualche y f(I) tale che y > . Dato che y appartiene allinsiemeimmagine dovra esistere x I tale che y = f(x), pertanto f(x) > . Datoche f e debolmente crescente e il punto x0 e lestremo superiore di I allora per ognix]x, x0[ si avra f(x)f(x)> , da cui|f(x) |< . Siano ora =x0xeU =]x0 , x0+[, allora per quanto visto sopra si ha che se xU I x=x0 allora|f(x) |< , come volevasi provare.


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5 LIMITI 57

5.5 Limiti notevoli

In questa sezione vengono presentati due gruppi di limiti fondamentali di forme indeter-

minate. Il primo gruppo e riconducibile al seguente teorema:

Teorema 46 Sussiste il seguente limite

limx0

senx

x = 1.

Dim.

Dalla costruzione delle funzioni circolari efacile dedurre che se x] /2, /2[ allora

| senx| |x| | tgx|. (7)Infatti, nel caso/2> x >0, in accordo allafigura qui a fianco, valgono le seguenti ugua-glianze: senx= HP, tgx = AT,

x =

AP, e ovviamente vale la seguentecatena di diseguaglianze:

HP 0, al tendere dix a0 si ha che

x

r

= o(x

s

)r > s,invece, al tendere dix a+, si ha che

xr =O(xs)r > s.

Oltre alle potenze reali vi sono anche altre funzioni reali interessanti che tendono allin-finito al tendere di x a +, ad esempio la funzione logaritmica e quella esponenziale.Come si puo intuire dai grafici nella figura 22, ci si aspetta che la funzione esponenziale ex

cresca molto piu velocemente di una qualunque funzione potenza xr, viceversa la funzionelogaritmica ln x mostrera una crescita molto lenta delle funzioni polinomiali.

x

y

y=ex

y=ln(x)

y=x (con 0


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6 INFINITESIMI ED INFINITI 65

Le precedenti considerazioni vengono precisate nel seguente teorema:

Teorema 50 Per ogni numero reale r > 0, al tendere di x a +

valgono le seguentirelazioni tra infiniti:

1. xr =O(ln x)2. ex =O(xr)

Pertanto si suole dire che la funzione esponenziale ha ordine dinfinito sovrareale, mentrequella logaritmica ha ordine sottoreale.

Dim. Applicando la regola di lHospital per i limiti nella forma (verra presenta-ta successivamente alla sezione dintroduzione al calcolo differenziale nel teorema 81) siottengono le seguenti relazioni di limite

limx+

ln x

xr = lim

x+

1x

rxr1 = lim

x+1

rxr = 0,

pertanto, dalla definizione di ordine dinfinito, si ha xr =O(ln x). Sia [r] la parte interadir e poniamos = r [r]. Applicando la regola di lHospital per [r]+1 volte si ottengonole seguenti relazioni di limite

limx+

xr

ex = lim

x+rxr1

ex = = lim

x+r(r 1) . . . (r [r]) x

s

ex =R lim

x+1

xsex = 0,

ove si e posto R= r(r 1) . . . (r [r]). Dunque ex =O(xr), come si voleva dimostrare.

Nel calcolo dei limiti, coppie di infinitesimi o di infiniti equivalenti tra loro sono in qualchesenso interscambiabili. Vale infatti:

Teorema 51 (Principio di sostituzione) Siano f p egqdue coppie di infinite-simi o infiniti equivalenti al tendere dix ax0. Vale la seguente relazione di limite

limxx0

f(x)

g(x) = lim

xx0p(x)

q(x)=,

nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Dim. Si osservi che vale luguaglianza

f(x)

g(x) =

f(x)

p(x)

p(x)

q(x)

q(x)

g(x).

Pertanto, in virtu del teorema del limite del prodotto e della definizione di infiniti oinfinitesimi equivalenti, se esiste il limite

limxx0

p(x)

q(x),


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6 INFINITESIMI ED INFINITI 66

allora esiste anche

limx

x0

f(x)

g(x)

,

e tali limiti sono necessariamente uguali. Dato che in tutti i ragionamenti prodotti fpuo essere scambiata con p e g con q, deve valere anche il viceversa. Cio conclude ladimostrazione.

Lintuizione porta a ritenere che nelle somme di infinitesimi si possano trascurare gliinfinitesimi di ordine superiore, in quanto convergono piu rapidamente degli altri a zero.Questo fatto viene formalizzato nel seguente principio di eliminazione:

Teorema 52 (Principio di eliminazione degli infinitesimi) Siano , , e infi-nitesimi al tendere di x a x0, tali che = o() e = o(). Vale allora la seguente

relazione di limite

limxx0

(x) +(x)

(x) +(x) = lim

xx0(x)

(x) =,

nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Dim. Si osservi che valgono le uguaglianze

(x) +(x)

(x) = 1 +

(x)

(x),

(x) +(x)

(x) = 1 +

(x)

(x).

I secondi membri delle due uguaglianze convergono a 1 per x tendente a x0 essendo= o() e = o(). Valgono quindi le seguenti equivalenze tra infinitesimi

(x) +(x)(x), (x) +(x)(x),

che in virtu del teorema di sostituzione conducono direttamente alla tesi cercata.

Allo stesso modo, nelle somme dinfiniti e intuitivo aspettarsi che prevalgano gli infinitidi ordine maggiore. Viene qui presentato lenunciato del principio di eliminazione degliinfiniti, omettendone la facile dimostrazione:

Teorema 53 (Principio di eliminazione degli infiniti) Siano f, g, h e l infiniti altendere dix ax0, tali chef=O(g)eh =O(l). Vale allora la seguente relazione di limite

limxx0

f(x) +g(x)

h(x) +l(x) = lim

xx0f(x)

h(x)=,

nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.


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7 ASINTOTI ALLINFINITO 69

Proposizione 55 Sia f una funzione definita in un intorno di + con grafico f er : y =mx+q una retta del piano. Allora la rettar e asintoto dif perx+ se esolo se

limx+

f(x)

x =m e lim

x+(f(x) mx) =q.

Dim.Nel caso in cui sussistono i limiti della precedente caratterizzazione, dal teorema di limitedi una somma si ottiene che

limx+

(f(x) mx q) = 0,

cioe che f e asintotica alla funzione g : x mx+q, ovvero che f ha come asintoto larettar.Viceversa, se si suppone che la retta r : y = mx+ q sia asintonto di f per x +,allora si ha

limx+

(f(x) mx q) = 0,che puo scriversi anche

f(x) mx q= (x),con(x) infinitesimo al tendere di x a +. Da cio si ottiene

f(x)

x =m +

q

x+

(x)

x ,

che, passando al limite per x+, conduce a

limx+

f(x)

x =m.

Il secondo limite della caratterizzazione risulta conseguenza banale del teorema sul limitedi una somma.

Infine, ecco alcune utili osservazioni sulla ricerca degli asintoti:

fammette un asintoto orizzontale, cioe del tipo y = q, per x+ se e solo se

limx+

f(x) =q;

f ammette un asintoto verticaleperxc+, cioe una retta del tipo x c= 0, se esolo se limxc+f(x) =;

condizione necessaria affinche f ammetta un asintoto obliquo di pendenza m= 0per x+ e che sussista

limx+

f(x) =.


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7 ASINTOTI ALLINFINITO 70

Di seguito viene presentato un esempio di ricerca di asintoti:

Esempio 8 Determiniamo gli asintoti della funzione

f(x) =xex

x1 .

Il dominio della funzione e D = R {1} e, con semplici considerazioni sugli ordini dinfinitesimo ed infinito, sideducono i seguenti limiti alla frontiera di D :

limx f(x) =,limx1f(x) = 0,limx1+f(x) = +.

Vi e dunque la possibilita che per x la funzione possegga un asintoto obliquo del tipo y = mx+ q. Affinche cioaccada, devono esistere finiti i seguenti due limiti

limx xex

x1

x =m,

limx(xex

x1 mx) =q

Il primo limite esiste e si ha m = e, mentre il secondo

limx

(xex

x1 ex) = limx

(xe(ex

x11 1) =

= limx

(xe(e1

x1 1) = limx

ex 1

x 1 =e.

Pertanto la funzione ammette un asintoto verticale h : x =1 per x1+ e un asintoto obliquo y = ex + e per x .


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8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO 72

8 Funzioni continue su un intervallo

In questa sezione vengono presentati alcuni risultati fondamentali che riguardano le fun-zioni continue definite su intervalli. Il teorema centrale, da cui discenderanno tutti glialtri, e il seguente:

Teorema 56 4 Una funzione continua di variabile reale a valori reali manda intervalliin intervalli.

Dal precedente teorema si deducono immediatamente i seguenti due celebri risultati, lecui semplici dimostrazioni vengono affidate al lettore volenteroso:

Teorema 57 (Teorema dei valori intermedi) Se una funzione continua definita suun intervallo a valori reali assume i valoriy1 e y2, allora assumera anche tutti i valori

intermedi.

Teorema 58 (Teorema degli zeri) Se una funzione continua a valori reali definita suun intervallo assume sugli estremi di questo due valori (non nulli) di segno opposto alloraesistera un punto interno in cui essa di annulla.

x

y

y=f(x)

y1

y2

x1

x2

x

y

x

y

y=f(x)

y10

x1

x2

x

Figura 23: teoremi dei valori intermedi e degli zeri

Si considerano ora le funzioni monotone definite su intervalli reali. Valgono per questaclasse di funzioni alcuni importanti risultati a cui si premette il seguente lemma:

Teorema 59 5 Se una funzione suriettivaf : IJ definita su un intervallo Ia valoriin un intervallo J e monotona in senso debole o forte, allora essa e anche continua.

4Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A5Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A


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8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO 73

Teorema 60 (Teorema della funzione inversa) Se f : I R e una funzione defi-nita su un intervallo Icontinua e monotona crescente (risp. decrescente), allora essa ha

come immagine un intervallo J e la sua funzione inversaf1

: JIrisulta continua emonotona crescente (risp. decrescente).

Dim. Il teorema 56 garantisce che limmagine di fsia un intervallo J. La funzionefessendo monotona in senso stretto e anche iniettiva, pertanto ammette come inversa unafunzione f1 : J I con medesimo tipo di monotonicita di f. La continuita di f1discende dal precedente lemma 59.

Il precedente teorema ammette una teorema inverso, sempre dipendente dal teorema 56,di cui si omette la (semplice) dimostrazione:

Teorema 61 Sef : I J e una funzione continua e biettiva da un intervallo I ad unintervalloJ allora essa risulta monotona crescente o decrescente.

Pertanto, dai teoremi 61-60, si puo concludere che:

Teorema 62 Dati due intervalliI, Jdella retta reale e una funzione biettivaf : IJ,si ha che tale funzionef e continua con inversa continua (cioe e un omeomorfismo) se esolo se essa risulta monotona crescente o decrescente.


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9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI 74

9 Funzioni continue su insiemi compatti

In questo capitolo vengono presentati alcuni fondamentali risultati sulle funzioni conti-nue definite sui sottoinsiemi chiusi e limitati della retta reale, che vengono anche detticompatti:

Definizione 34 Ogni sottoinsieme chiuso e limitato della retta reale si dice compatto.

Il risultato centrale del capitolo e il celebre teorema di Weierstrass:

Teorema 63 (Teorema di Weierstrass) 6 Ogni funzione continua definita su un sot-toinsieme compatto della retta reale ammette massimo e minimo.

Unimmediata conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema 57, o dei valoriintermedi, riguarda il caso di una funzione continua definita su un intervallo chiuso elimitato:

Teorema 64 Siaf : I R continua sullintervallo chiuso e limitato I, alloraf assumeun massimo valoreyMe un minimo valoreym. Inoltre, limmaginef(I) del la funzione elintervallo chiuso e limitato [ym, yM].

Dim.

Lintervallo I = [a, b] e chiuso e limita-

to, dunque compatto. Quindi, per il teo-rema di Weierstrass, esisteranno due puntixm, xMI tali che

ym= f(xm) = minxI

f(x),

yM=f(xM) = maxxI

f(x).

Evidentemente ym f(I) yM, daltron-de, per il teorema 57 dei valori intermedi, fdovra assumere tutti i valori dellintervallo

[ym, yM]. Pertanto f(I) = [ym, yM], comevolevasi dimostrare.

x

y

y=f(x)

xM

xm

a

b

x

yM

ym

Dal teorema di Weierstrass si deduce il seguente risultato, la cui non difficile dimostrazioneviene omessa:

Teorema 65 Ogni funzione continua e biettiva definita su un sottoinsieme compatto dellaretta reale ammette inversa continua.

6Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A


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9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI 75

Un concetto che risultera cruciale nella sezione dedicata allintegrazione elementare equello di uniforme continuita:

Definizione 35 Sia funa funzione reale su un dominio D. si dira chef e uniforme-mente continua suD quando

>0 >0 :x, yD |x y|< |f(x) f(y)|< .

Grossolanamente, si puo dire che sef e uniformemente continua su D allora la differenza|f(x)f(y)| puo essere resa arbitrariamente piccola purche la differenza|xy | siasufficientemente piccola, questo indipendentemente dalla scelta dei particolari x, y D.E evidente che se f e uniformemente continua allora e anche continua. Il viceversa non ein generale vero. Si consideri ad esempio la funzioneex, continua su R, per la quale, fissata

la differenza|x y|piccola a piacere, la differenza|ex

ey

|tende a divergere quando x, ytendono a +. La continuita e luniforme continuita pero si equivalgono sugli insiemicompatti:

Teorema 66 7Siaffunzione reale continua sul dominio D. SeD e compatto alloraf euniformemente continua.

7Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A


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10 CALCOLO DIFFERENZIALE 76

10 Calcolo differenziale

In questa sezione viene presentata la nozione di derivata di una funzione reale, le sueprincipali proprieta e le regole di derivazione. La prima nozione che viene introdotta equella dirapporto incrementale:

10.1 Definizione di derivata

Definizione 36 Siafuna funzione reale definita in un intorno aperto Udi un punto x0della retta reale. La funzione definita inU {x0} da

x f(x) f(x0)x x0 ,

si dicerapporto incrementale di fnel punto x0.

Si dicederivata di fnel punto x0 il limite del rapporto incrementale al tendere dix ax0,cioe

limxx0

f(x) f(x0)x x0 .

Se il precedente limi

Testo Analisi Matematica 1

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