Analisi Matematica II. - · Analisi Matematica II. IntegrazionesecondoRiemann ClaudioSaccon1...

Analisi Matematica II.Integrazione secondo Riemann

Claudio Saccon1

1Dipartimento di Matematica, Via F. Buonarroti 1/C,56127 PISAemail: claudio.sacconCHIOCCIOLAunipi.itsito web: http://pagine.dm.unipi.it/csblog1

orario di ricevimento: Venerdì mattina alle 9.30

Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II. 1 / 44

Integrazione su un rettangolo

Rettangoli

Chiamo N-rettangolo un sottoinsieme di RN del tipo:

R = I1 × I2 × · · · × IN = {x = (x1, . . . , xN) : x1 ∈ I1, . . . , xN ∈ IN}

con I1, . . . IN intervalli di R. R è limitato se tutti gli I1, . . . IN sono limitati.

misura dei rettangoliSe I è un intervallo di estremi (finiti) a ≤ b indico con |I | := b − a (la“lunghezza” di I ).Se R = I1 × · · · × IN è un N-rettangolo limitato, definisco la misura di R(area/volume se N = 2/3) come |R| := |I1| × · · · × |IN |.



SuddivisioniRicordiamo che una suddivisione σ di un intervallo [a, b] è un insieme finitodi punti a = x0 < x1 < · · · < xk = b. Se σ è una suddivisione con k + 1punti, σ individua k sottointervalli di [a, b], [xj−1, xj ] per j = 1, . . . , k .

Se R = I1 × · × IN è un N-rettangolo limitato, chiamo suddivisione di Runa N-upla σ = (σ1, . . . , σN), dove ogni σj è una suddivisione di Ij , perj = 1, . . . ,N.Se σj contiene kj + 1 punti (per j che varia tra 1 e N), allora σ individuak1 × · · · × kN sottorettangoli di R .Useremo lo stesso simbolo σ per indicare l’insieme di questi sottorettangoli(abuso di notazione. . . ). In questo modo posso scrivere R ′ ∈ σ perindicare che R ′ è un sottorettangolo individuato da σ oppure π ⊂ σ per“estrarre” da σ un sottoinsieme π di sottorettangoli.



somme integraliSia R un N-rettangolo limitato e sia f : R → R una funzione limitata.Data una suddivisione σ di R definisco:

S(f ,σ) :=∑R′∈σ

supx∈R′

f (x)|R ′|, s(f ,σ) :=∑R′∈σ

infx∈R′

f (x)|R ′|

dette somma superiore e somma inferiore di f relativamente a σ.



Integrale inferiore e superioreDate due suddivisioni qualunque σ1 e σ2 di R si dimostra che:

s(f ,σ1) ≤ S(f ,σ2)

Da questo si deduce:∫R∗

f (x) dx := supσ

s(f ,σ) ≤ infσ

S(f ,σ) =:

∫ ∗R

f (x) dx

(∫R∗ f (x) dx/

∫ ∗R f (x) dx si dicono integrale inferiore/superiore di f su R).



IntegraleSi dice che f è integrabile (secondo Riemann) su R se∫R∗ f (x) dx =

∫ ∗R f (x) dx. Se ciò avviene chiamiamo integrale di f su R il

valore comune∫R∗ f (x) dx =

∫ ∗R f (x) dx, indicato con∫

Rf (x) dx

Quando N = 2 o N = 3 si usa scrivere:∫∫Rf (x , y) dxdy ,

∫∫∫Rf (x , y , z) dxdydz



Caratterizzazione dell’integrabilitàSiano R un rettangolo limitato e f : R → R una funzione limitata.Allora f è integrabile su R se e solo se per ogni ε > 0 esiste unasuddivisione σ tale che

S(f ,σ)− s(f ,σ) < ε

Si può vedere che quanto sopra è ance equivalente a dire che esiste unasuccessione (σn)n di suddivisioni tali che

S(f ,σn)− s(f ,σn)→ 0 per n→∞

e in questo caso si ha

S(f ,σn)→∫

Rf (x) dx, s(f ,σn)→

∫Rf (x) dx


Misura degli insiemi

Misura di un insiemeDato un insieme A limitato introduciamo l’indicatrice di A come la funzione1A : RN → R tale che:

1A(x) =

{1 se x ∈ A0 se x /∈ A

Dico che A è misurabile se 1A è integrabile su R , dove R è un qualunquerettangolo limitato che contiene A e chiamo misura di A (area/volume neicasi N = 2/3) il numero:

|A| :=

∫R

1A(x) dx

Dico che A è trascurabile se A è misurabile e |A| = 0.



Chiamiamo N-plurirettangolo un insieme P ottenuto come unione diN-rettangoli. Si può dimostrare che ogni plurirettangolo limitato P èottenibile partendo da un rettangolo R e una sua suddivisione σ, e unsottoinsieme π ⊂ σ di modo che:

P =⋃

R′∈πR ′,

cioè P è l’unione di una selezione dei sottorettangoli di R individuati da σ.Notiamo che i sottorettangoli di una suddivisione si intersecano solo albordo (sui “lati” o “facce“, che intuitivamente hanno misura nulla ).Se P è descritto come sopra definisco la sua misura come

|P| :=∑R′∈π|R ′|

Si può dimostrare che |P| non dipende dalla scelta di R , σ e π.



Si può allora dimostrare la seguente caratterizzazione della misura di uninsieme.

Un sottoinsieme limitato A di RN è misurabile se e solo se:

∀ε > 0 ∃P ′,P ′′ plurirettangoli tali che: P ′ ⊂ A ⊂ P ′′, |P ′′ \ P ′| < ε

In particolare A è trascurabile se e solo se

∀ε > 0 ∃P plurirettangolo tali che: A ⊂ P, |P| < ε

Nell’affermazione sopra si usa il fatto che la differenza P ′′ \ P ′ è ancora unplurirettangolo.L’affermazione implica tra l’altro che, se A è un plurirettangolo, le duepossibili nozioni di misura coincidono.


Proprietà

1 Se f e g sono integrabili su R , f + g è integrabile su R e∫R

(f (x) + g(x)) dx =

∫Rf (x) dx +

∫Rg(x) dx;

2 Se f e g sono integrabili su R , fg è integrabile su R ;3 Se f e g sono integrabili su R , max(f , g) e min(f , g) sono integrabili

su R ;4 Se f è integrabile su R , allora |f | è integrabile su R e∫

R|f (x)| dx ≥

∣∣∣∣∫Rf (x) dx

∣∣∣∣;5 Se f e g sono integrabili su R e se f ≥ g , allora∫

Rf (x) dx ≥

∫Rg(x) dx.


Proprietà

6 Se A e B sono misurabili, allora A ∪ B e A ∩ B sono misurabili e si ha:|A ∪ B|+ |A ∩ B)| = |A|+ |B|. In particolare, se l’intersezione ètrascurabile: |A ∪ B| = |A|+ |B| (per esempio se A ∩ B = ∅).

7 Se f e g sono integrabili su R e se “coincidono quasi ovunque”, nelsenso che l’insieme {x : f (x) 6= g(x)} è trascurabile, allora∫

Rf (x) dx =

∫Rg(x) dx.

8 Se f è integrabile su R , f ≥ 0 e∫

Rf (x) dx = 0, allora f coincide

quasi ovunque con zero, cioè {x ∈ R : f (x) 6= 0} è trascurabile.9 Sia A limitato. A è misurabile se e solo se ∂A è trascurabile. Ne segue

che, se A è misurabile, anche int(A) e A lo sono e |A| = |int(A)| = |A|.10 Sia f : R → R limitata. Supponiamo f ≥ 0, allora f è integrabile su R

se e solo se l’epigrafico di f è misurabile (in RN+1), dove:

epi(f ) := {(x, y) : x ∈ R, 0 ≤ y ≤ f (x)} .Inoltre, in questo caso

∫R f (x) dx = |epi(f )|.


Proprietà

10 Se invece f : R → R è limitata, ma può cambiare segno, allora f èintegrabile su R se e solo se epi(f +) e epi(f −) sono misurabili e si ha:∫

Rf (x) dx =

∣∣epi(f +)∣∣− ∣∣epi(f −)

∣∣ (misure in RN+1).

In ogni caso f è integrabile se e solo se il grafico di f è trascurabile.11 Se D è un dominio regolare limitato, allora D è misurabile. In

particolare ∂D è trascurabile.Ricordamo che D = {G (x) ≤ 0} e ∂D = {G (x) = 0}, con G di classeC1 tale che ∇G (x) 6= ~0 per tutte le x con G (x) = 0.

12 Se f : R → R è una funzione limitata, A ⊂ R è un insieme trascurabilee f è continua su R \ A, allora f è integrabile su R .

quasi ovunqueNel seguito diremo che una proprietà P(x) è verificata per quasi ogni x (oquasi ovunque) se l’insieme delle x per cui p(x) non vale è trascurabile.


Integrazione su un insieme

Siano A un insieme limitato e f : A→ R una funzione limitata. Dico che fè integrabile su A se la funzione f : R → R definita su un rettangolo Rcontenente A da:

f (x) :=

{f (x) se x ∈ A,0 se x /∈ A

è integrabile su R . Se ciò avviene pongo:∫Af (x) dx :=

∫Rf (x) dx

che chiamo integrale di f su A. È chiaro che questa definizione nondipende dalla scelta di R .

A è misurabile se e solo se la funzione 1 è integrabile su A.


Proprietà

13 Siano A e B misurabili e sia f : A ∪ B → R. Allora f è integrabile suA ∪ B se e solo se f è contemporaneamente integrabile su A e su B .In tal caso:∫

A∪Bf (x) dx +

∫A∩B

f (x) dx =

∫Af (x) dx +

∫Bf (x) dx.

Se poi A ∩ B = ∅ ( o più in generale se A ∩ B è trascurabile) vale:∫A∪B

f (x) dx =

∫Af (x) dx +

∫Bf (x) dx.

14 Sia D un dominio regolare limitato e sia f : D → R una funzionecontinua su D. Allora f è integrabile su D.

Lo stesso vale se f è limitata su D ed è continua quasi ovunque su D(cioè eccetto che su un sottoinsieme trascurabile di D).


Integrali iterati

Sia R un rettangolo limitato in RN+M ; possiamo scrivere R = R1 ×R2, conR1 rettangolo in RN e R2 rettangolo in RM e indicare i punti di R come(x, y), dove x ∈ R1 e y ∈ R2.Considero anche f : R → R limitata; anche qui scriviamo f (x, y). Si ha:∫∫

R∗f (x, y) dxdy ≤

∫R1∗

(∫R2∗

f (x, y) dy)

dx ≤

≤

∫ ∗

R1

(∫R2∗

f (x, y) dy)

dx∫R1∗

(∫ ∗R2

f (x, y) dy)

dx

≤≤∫ ∗

R1

(∫ ∗R2

f (x, y) dy)

dx ≤∫∫ ∗

Rf (x, y) dxdy


Integrali iterati

Theorem (Fubini)Sia f : R → R una funzione integrabile su R. Allora:

Le due funzioni: x 7→∫

R2∗f (x, y) dy, x 7→

∫ ∗R2

f (x, y) dy sono

integrabili su R1 e coincidono quasi ovunque.Di conseguenza per quasi ogni x in R1 la funzione y 7→ f (x, y) èintegrabile su R2;vale la formula:∫

R1

(∫R2

f (x, y) dy)

dx =

∫∫Rf (x, y) dxdy

dove il termine di sinistra ha senso dato che∫

R2

f (x, y) dy esiste per

quasi ogni x e coincide quasi ovunque con una funzione integrabile.


Integrali iterati

Un caso particolare del Teorema di Fubini riguarda il calcolo della misura diun insieme (prendendo f = 1A).

Theorem (Principio di Cavalieri)Sia A ⊂ R un insieme misurabile. Per ogni x ∈ R1 consideriamo la sezione:

Ax := {y ∈ R2 : (x, y) ∈ A}

Per quasi ogni x in R1 l’insieme Ax è misurabile;la funzione

x 7→ |Ax|

è ( si estende a una funzione) integrabile su R1;vale la formula:

|A| =

∫R1

|Ax| dx


Integrali iterati

integrazione su insiemi normali di R2

Sia A ⊂ R2 limitato. Diremo che A è normale rispetto all’asse x se esisteun intervallo [a, b] e due funzioni continue ϕ1, ϕ2 : [a, b]→ R tali che:

A = {(x , y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}

Per quanto visto finora è chiaro che A è misurabile. Inoltre se f : A→ R èuna funzione continua, usando il teorema di Fubini:∫

Af (x , y) dxdy =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f (x , y) dy

)dx

In particolare:

|A| =

∫ b

a(ϕ2(x)− ϕ1(x)) dx

Naturalmente lo stesso risultato vale scambiando x e y .Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II. 19 / 44

Integrali iterati

integrazione su insiemi normali di R3 -caso 1Sia A ⊂ R3 limitato. Diremo che A è normale rispetto al piano xy se esisteA1 ⊂ R2 misurabile ed esistono ϕ1, ϕ2 : A1 → R continue tali che:

A = {(x , y , z) : (x , y) ∈ A1, ϕ1(x , y) ≤ z ≤ ϕ2(x , y)}

In questo caso, se f : A→ R è continua, si ha:∫Af (x , y) dxdy =

∫A1

(∫ ϕ2(x ,y)

ϕ1(x ,y)f (x , y , z) dx

)dxdy

In particolare:

|A| =

∫A1

(ϕ2(x , y)− ϕ1(x , y)) dxdy


Integrali iterati

integrazione su insiemi normali di R3 -caso 2Sia A ⊂ R3 limitato. Diremo che A è normale rispetto all’asse z se esistono

un intervallo [a, b] e una funzione G : A→ R di classe C1 con∂G

∂(x , y)6= ~0

nei punti in cui G = 0, tali che, posto Az := {(x , y) :G (x , y , z) ≤ 0}, si ha:

A = {(x , y , z) : a ≤ z ≤ b, (x , y) ∈ Az} .

. In questo caso, se f : A→ R è continua, si ha:∫Af (x , y , z) dxdydz =

∫ b

a

(∫Az

f (x , y , z) dydy)

dz

In particolare: |A| =

∫ b

a|Az | dz

Ovviamente si può rimpiazzare z con x o con y .Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II. 21 / 44

Cambio di variabile

Siano A e B due domini regolari chiusi e limitati di RN e sia Φ : A→ Bbigettiva, di classe C1. Allora per ogni f : B → R integrabile, anchef ◦ Φ : A→ R è integrabile e si ha:∫

Af (Φ(y))|det(JΦ(y))| dy =

∫Bf (x) x

In particolare (prendendo f = 1), si ha:

|B| =

∫A|det(JΦ(y))| dy

A volte serve il risultato “al contrario”.

Se det 6= 0 in A e g : A→ R è integrabile, allora:∫Ag(y) dy =

∫B

g(Φ−1(x))

|det(JΦ(Φ−1(x)))|dx


Cambio di variabile

Caso lineareSe M è una matrice N × N invertibile, allora:∫

Af (Ay) dy =

1|det(M)|

∫MA

f (x) dx

dove MA = {My : y ∈ A}; in particolare

|MA| = |det(M)||A|

che chiarisce come det(M) rappresenti il volume (con segno) deltrasformato di Q tramite M, dove Q è in cubo unitario in RN


Cambio di variabile

Coordinate polari in R2

Supponiamo che A ⊂ [0,+∞[×[0, 2π], A misurabile, e sia

B := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ)) : (ρ, θ) ∈ A} .

Allora per ogni f : B → R che sia integrabile su B si ha:∫Af (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) ρ dρdθ =

∫Bf (x , y) dxdy

Segue dal cambio di variabile Φ(ρ, θ) := ρ(cos(θ), sin(θ)). È facileverificare che det(JΦ)(ρ, θ) = ρ. La Φ non è bigettiva, ma se si prende:

A0 := {(ρ, θ) ∈ A : ρ > 0, θ 6= 0, 2π} ,B0 := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ)) : (ρ, θ) ∈ A0} ,

allora A : 0 è aperto, Φ : A0 → B0 è bigettiva e dato che A \ A0| = 0,|B \ B0| = 0 gli integrali non cambiano sostituendo A con A0 e B con B0.


Cambio di variabile

Invece di A ⊂ [0,+∞[×[0, 2π] si può chiedere A ⊂ [0,+∞[×[T ,T + 2π],con T ∈ R (per es. A ⊂ [0,+∞[×[−π, π]). Inoltre la formula inversa è:∫

Ag(ρ, θ) dxdy =

∫B

g(√

x2 + y2,Arg(x , y))√x2 + y2

dxdy

(quando il termine di destra ha senso); nella formula sopra Arg(x , y)denota l’argomento di (x , y), scelto in accordo con A.

La formula è falsa se A è “troppo grosso”: se A = [0, 1]× [0, 4π], allora B èil cerchio unitario, ma (prendo f = 1):∫

Aρ dρθ =

∫ 4

0π

(∫ 1

0ρ dρ

)dθ = 2π.

mentre |B| = π.


Cambio di variabile

Coordinate polari in R3 (coordinate sferiche)Supponiamo che A ⊂ [0,+∞[×[0, 2π]× [0, π], A misurabile, e sia

B := {(ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ)) : (ρ, θ, φ) ∈ A} .

Allora per ogni f : B → R che sia integrabile su B si ha:∫Af (ρ cos θ sinφ, ρ sin θ cosφ, ρ sinφ) ρ2 sinφ dρdθdφ =

∫Bf (x , y , z) dxdydz

In effetti se Φ(ρ, θ, φ) = (ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ), si ha:

JΦ(ρ, θ, φ =

cos(θ) sin(φ) −ρ sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) cos(φ)sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) sin(φ) ρ sin(θ) cos(φ)

cos(φ) 0 −ρ sin(φ)

da cui |detJΦ(ρ, θ, φ)| = ρ2 sin(φ).


Cambio di variabile

ccordinate cilindricheSupponiamo che A ⊂ [0,+∞[×[0, 2π]× R, A misurabile, e sia

B := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ), z) : (ρ, θ, ζ) ∈ A} .

Allora per ogni f : B → R che sia integrabile su B si ha:∫Af (ρ cos(θ), ρ sin(θ), ζ) ρ dρdθζ =

∫Bf (x , y , z) dxdydz

Basta applicate il cambio di variabile Φ(ρ, θ, ζ) := (ρ cos(θ), ρ sin(θ), ζ).

Formule analoghe si ottengono dai cambi di variabile:

Φ(ρ, θ, ξ) := (ξ, ρ cos(θ), ρ sin(θ))

eΦ(ρ, θ, η) := (ρ cos(θ), η, ρ sin(θ)).


Cambio di variabile

Solidi di rotazioneSia A ⊂ [0,+∞[×R e sia:

R :={

(x , y , z) : (√

x2 + y2, z) ∈ A},

Allora (A è misurabile e) per ogni f : R → R integrabile su R si ha:∫Rf (x , y , z) xdydz =

∫Aρ

(∫ 2π

0f (ρ cos(θ), ρ sin(θ), z) dθ

)dρdz

Se f è radiale, cioè se f (x , y , z) = g(√

x2 + y2, z) allora:∫Rf (x , y , z) dxdydz = 2π

∫Aρ g(ρ, z) dρdz .

In particolare: |R| = 2π∫

Aρ dρdz .


Cambio di variabile

Per vederlo basta passare in coordinate cilindriche, e usare Fubini perscrivere l’integrale in (ρ, θ, z) come un integrale iterato.

Se A è in forma normale rispetto a z :

A = {ρ, z) : a ≤ z ≤ b, ϕ1(z) ≤ ρ ≤ ϕ2(x)} ,

per 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ2 : [a, b]→ R, allora, nel caso radiale:∫Rf (x , y , z) dxdydz = 2π

∫ b

a

(∫ ϕ2(z)

ϕ1(z)ρ g(ρ, z) dρ

)dz .

da cui, in particolare:

|R| = π

∫ b

a(ϕ2(z)2 − ϕ1(z)2)dz


Cambio di variabile

Si noti che la formula iniziale si può scrivere:∫Rf (x , y , z) xdydz =

∫A

(∫γρ,z

f ds

)dρdz

dove γρ,z : [0, 2π]→ R3 è la curva che parametrizza la circonferenza dicentro (0, 0, z) e raggio ρ: γρ,z(t) := (ρ cos(t), ρ sin(t), z).

Integrazione “per circonferenze”:


Integrali impropri

Vogliamo estendere la nozione di integrale afunzioni illimitate;domini illimitati.

Come nel caso della retta useremo un procedimento di approssimazionemediante funzioni limitate su insiemi limitati. La definizione di integraleimproprio che introdurremo sarà leggermente più restrittiva di quella delcaso unidimensionale (in cui la struttura della retta permette di fare limitida destra e da sinistra che non hanno senso in RN).Prima di tutto individuiamo le “funzioni ammissibili”.

MisurabilitàDato A ⊂ RN e f : A→ R diciamo che f è misurabile (in senso improprio)su A se per ogni n intero la funzione troncatafn(x) = max(min(f (x), n),−n) è integrabile sull’insieme troncatoAn := A ∩ Bn, dove Bn := B(0, n) =

{x ∈ RN : ‖x‖ ≤ n

}.


Integrali impropri

Per esempio se A è un dominio regolare aperto e f : A→ R è continua,allora f è misurabile (in senso improprio) su A (le funzioni continue sugliaperti sono ammissibili).

Integrale improprio per funzioni positiveSe f ≥ 0, f misurabile(in senso improprio) su A, definisco l’integrale di fsu A: ∫

Af (x) dx := lim

n→+∞

∫An

fn(x) dx .

Il limite scritto sopra esiste, eventualmente eguale a +∞, perché∫An

fn(x) dx è crescente in n, a causa del fatto che f ≥ 0.

Dico che f è integrabile, se: (siamo sempre nel caso f ≥ 0)∫Af (x) dx := lim

n→+∞

∫An

fn(x) dx < +∞.


Integrali impropri

Nel caso generale si usa la scomposizione:

f (x) = f +(x)− f −(x)

dove:

f +(x) := max(f (x), 0)(≥ 0), f −(x) := max(−f (x), 0)(≥ 0).

Integrale improprio nel caso generaleDico che f è integrabile in senso improprio A se f è misurabile in sensoimproprio su A e se f + e f − sono integrabili su A. In tal caso definiamol’integrale di f su A:∫

Af (x) dx :=

∫Af +(x) dx −

∫Af −(x) dx .


Integrali impropri

Per come è data la definizione, per ogni f misurabile (in s.i.) su A si ha:

f integrabile su A ⇔ |f | integrabile su A

Confronto con la dimensione 1Siano I un intervallo in R e f : I → R. Se f è assolutamente integrabile suI (secondo la “definizione di Analisi 1”), allora f è integrale in sensoimproprio su I , secondo l’ultima definizione . Se f è integrabile, ma nonassolutamente integrabile (con la definizione unidimensionale), allora f nonè integrabile in senso improprio secondo l’ultima definizione.

Per esempio la funzione f (x) =sin(x)

x, è integrabile in senso improprio

“unidimensionale”, dato che

limc→+∞

∫ c

0

sin(x)

xdx esiste finito,

ma non nel senso N-dimensionale, dato nei lucidi precedenti.Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II. 34 / 44

Integrali impropri

Qualunque approssimazione va bene

Sia A ⊂ RN e f : A→ R con f misurabile (in senso improprio) su A.Siano An misurabili secondo Riemann (⇒ limitati) tali che:

An ⊂ An+1 ⊂ A ∀n ∈ N⋃n∈N

An = A

e siano fn : An → R integrabili secondo Riemann su An e tali che:

f +n ≤ f +

n+1 ≤ f +, f −n ≤ f −n+1 ≤ f − ∀n ∈ N, limn→∞

fn(x) = f (x) ∀x ∈ A.

(considero fn = 0 fuori An). Allora se f ≥ 0:

limn→∞

∫An

fn(x) dx =

∫Af (x) dx (anche +∞) (∗)

Se f cambia segno, la (∗) vale quando f è integrabile su A (valori finiti).Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II. 35 / 44

Integrali impropri

Proprietà (standard)1 Se f e g sono integrabili in s.i. su A e se λ, µ ∈ R, allora λf + µg è

integrabile in s.i. su A e∫A

(λf (x) + µg(x)) dx = λ

∫Af (x) dx + µ

∫Ag(x) dx;

2 Se f è integrabile in s.i. su A1 e su A2, allora f è integrabile in s.i. suA1 ∪ A2 e su A1 ∩ A2 e si ha:∫

A1∪A2

f (x) dx +

∫A1∩A2

f (x) dx =

∫A1

f (x) dx +

∫A2

f (x) dx;

3 se f ≥ 0 ed f è misurabile in s.i. su A, allora:

0 ≤∫

af (x) dx ≤ +∞.


Integrali impropri

Theorem (Teorema di confronto per gli integrali impropri)

Supponiamo che A sia un sottoinsieme di RN e f : A→ R sia misurabile(in senso improprio). Supponiamo che f sia positiva e che esista unafunzione g : A→ R integrabile in senso improprio su A tale che:

0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A.

Allora f è integrabile in senso improprio su A.


Integrali impropri

Theorem (Teorema di Fubini per gli integrali impropri)

Sia f : RN ×RM misurabile in senso improprio su RN ×RM (nota che se fè misurabile su A ⊂ RN ×RM possiamo sempre estenderla a 0 fuori di A).

1 Se f ≥ 0 si ha (valori infiniti ammessi):∫RN×RM

f (x, y) dxdy =

∫RN

(∫RM

f (x, y) dy)

dx (∗∗)

2 Se f cambia segno, ma è integrabile in senso improprio su RN , valeancora la (∗∗) (tra numeri finiti).

Per dare senso alle formule sopra, bisognerebbe specificare che l’integrandodi sinistra ha senso per quasi ogni x. Non entriamo nei dettagli: se f ècontinua su A regolare ed è nulla fuori di A, tutto ha sempre senso.

Per dimostrare che f = f (x, y) è integrabile in senso improprio si può usareil caso (1) e mostrare che |f | ha integrale finito.


Integrali impropri

Theorem (Cambio di variabile per gli integrali impropri)

Siano A e B aperti di RN e sia Φ : A→ B bigettiva, di classe C1. Siaf : B → R una funzione misurabile in senso improprio su B. Alloraf ◦ Φ |detJΦ)| è misurabile in senso improprio su A e valgono le formuleseguenti.

Se f ≥ 0 (valori infiniti ammessi):∫Af (Φ(y)) |detJΦ(y))| dy =

∫Bf (x) dx (∗ ∗ ∗)

Se f cambia segno, ma è integrabile in senso improprio su A, valeancora la (∗ ∗ ∗) (tra valori finiti).


Integrali dipendenti da un parametro

Limite e derivata sotto il segno di integrale

Sia A un dominio regolare di RN e B un dominio regolare limitato di RM .Supponiamo che F : A× B → R sia continua (nelle due variabili). Allora lafunzione f : A→ R, definita da:

f (x) :=

∫BF (x, y) dy

è continua (in tutte le x di A). Se inoltre esiste∂F∂x

ed è continua inA× B , allora f è differenziabile (rispetto a x in tutte le x di A) e

∂f∂x

(x) =

∫B

∂F∂x

(x, y) dy.



Prendiamo per esempio F (x , y) =1

x2 + y2 , allora:

f (x) :=

∫ 1

0

dyx2 + y2 =

[1xarctan

(yx

)]y=1

y=0=

1xarctan

(1x

).

è continua per y > 0 (nota che F non è continua in tutto [0, 1]× [0,+∞[– bisogna escludere (0, 0)). Notiamo anche che, se x > 0 :

ddx

1xarctan

(1x

)= − 1

x2 arctan(1x

)− 1

x1

1 + x2 = (?).

Usando il teorema si ottiene:

(?) =

∫ 1

0

ddx

1(x2 + y2)

dy =

∫ 1

0

−2xdy(x2 + y2)2

e quindi, dividendo per −2x :∫ 1

0

dy(x2 + y2)2 =

12x3 arctan

(1x

)+

12x2

11 + x2 .



Se A non è limitato (e considero l’integrale in senso improprio), il risultatopuò essere falso. Per esempio, se considero:

f (x) :=

∫ +∞

0

x dy1 + x2y2

potrei essere tentato di ricavare:

limx→0

∫ +∞

0

x dy1 + x2y2 = lim

x→0f (x) = f (0) = 0 (???)

Però, con il semplice cambio di variabile t = xy si vede che:

f (x) =

∫ +∞

0

dt1 + t2

= [arctan(t)]t=+∞t=0 =

π

2.

Dunque f (x) è costante in x e quindi non tende a zero per x → 0.



Limite e derivata sotto il segno di integrale improprio

Siano A ⊂ dominio regolare di RN e B dominio regolare aperto di RM e siaF : A× B → R tale che:

F sia continua su A× B ;esiste una funzione g : B → R integrabile in senso improprio su B taleche:

|F (x, y)| ≤ g(y) ∀x ∈ A,∀y ∈ B

(ne segue che y 7→ F (x, y) è integrabile in senso improprio su B perogni x ∈ A).

Allora la funzione:f (x) :=

∫BF (x, y) dy

(l’integrale è nel senso improprio) è continua rispetto a x in A.



Sia inoltre i = 1, . . . ,N e supponiamo che oltre a quanto sopra si abbia:

esiste continua∂F∂xi

in A× B ,

esiste g1 : B → R integrabile in senso improprio su B tale che:∣∣∣∣∂F∂xi(x, y)

∣∣∣∣ ≤ g1(y) ∀x ∈ A,∀y ∈ B

(dunque anche y 7→ ∂F∂xi

(x, y) è integrabile in senso improprio su B per

ogni x ∈ A), allora f è derivabile rispetto a xi e

∂f∂y

(xi ) =

∫B

∂F∂xi

(x, y) dy.

Notiamo che per la prima parte del teorema si ha che∂f∂y

(xi ) è continua.


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