classe 3 A inf (a.s 2006-2007)

MATRICE Si chiama matrice una tabella che ordina m x n numeri

in m righe ed n colonne. Si chiamano elementi di una matrice gli m x n numeri presenti in essa.

1 i k1 j l

Ad esempio dati 5 X 4 numeri, la tabella che li ordina in 5 righe ed in 4 colonne ,chiamata matrice, è sotto rappresentata

2 7 1 0

7 0 2 8

9 2 5 7

4 6 3 8

2 7 8 9

Prima riga

Seconda colonna

TIPI DI MATRICIRettangolare

Quadrata

Vettore riga

Vettore colonna

Matrice rettangolare: il

numero delle righe è

diverso da quello delle colonne.

Matrice quadrata: il numero delle righe è uguale

da quello delle colonne.

Matrice riga: è formata da una sola riga.

Matrice colonna: è formata da una sola

colonna.

Matrice unità e matrice nulla

La matrice unità è quella matrice in

cui ladiagonale principaleè formata datutti 1 e gli altrisono tutti 0.

La matrice nulla è quella formata da

tutti 0.

Nelle matrici quadrate esistono due diagonali quella principale e quella secondaria.

La diagonale principale è l’insieme degli elementi aii in cui gli indici sono uguali.

La diagonale secondaria èL’insieme egli elementi aij in cui i+j=n+1 (n

ordine matrice).

DIAGONALI DI UNA MATRICE

MATRICE INIZIALE:

2 4 6

7 5 0

MATRICE TRASPOSTA:

2 7

4 5

6 0

La matrice trasposta è la matrice che scambia i termini della riga con quelli della colonna.

MATRICE TRASPOSTA:

MATRICE INIZIALE:

-1 3

-2 1

MATRICE INVERSA:

La matrice inversa di una matrice quadrata esiste solo se il determinante è diverso da zero. Essa si ottiene sostituendo al generico elemento aij il quoziente tra il suo complemento algebrico Aij ed il determinante di A e considerando poi la trasposta di questa nuova matrice. .Essa si indica con A-1 tale per cui A*A-1 =A-1 *A=In dove I è la matrice

identità

MATRICE INVERSA:

Det(A)=5

A= 1/5 -3/5

2/5 -1/5A-1 =

Mij =minore complementare di aij ,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice A

Aij=(-1)i+j * (Mij)=

Complemento algebrico di aij

Det(A)= Determinante di A

Aji= trasposta di Aij

Operazione tra matrici: addizione e sottrazione

Queste due operazioni possono esseresvolte sulle matrici solo se esse sono

dellostesso tipo .

ADDIZIONE:

2 4 6

7 3 0

+ 2 1 0

1 4 9

=4 5 6

8 7 9

SOTTRAZIONE:

2 4 6

7 3 0

-2 1 0

1 5 9

=0 3 6

6 -2 -9

MOLTIPLICAZIONE uno scalare per una matrice

5

scalare

X3 2 4

1 3 1=

15 10 20

5 15 5

è possibile attuare l’operazione di moltiplicazione tra matrici solo ed esclusivamente se le 2 matrici sono del tipo:

am,n bn,t cm,t

il risultato della moltiplicazione tra la matrici A e la matrice B, dove la matrice A è del tipo mxn e la matrice B è del tipo nxt, è rappresentato da una terza matrice C del tipo mxt.

x

Operazione tra matrici:moltiplicazione

am,n =cm,

t

X bn,t

Il generico elemento chk è dato dalla somma dei singoli elementi della h-esima riga della prima matrice moltiplicati ciascuno per il corrispondente elemento della k-esima colonna della seconda matrice

Il determinante di una matrice quadrata ,al contrario della matrice che è un insieme di numeri, è un numero.

Il determinante di una matrice si definisce per induzione

Il simbolo con cui viene identificato non è

uguale alla matrice

5 7

2 3

5 7

2 3

DETERMINANTE DI UNA MATRICE:

Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice.

m=1

5 det = 5= 5

m=2

5 7

2 3

5 7

2 3

= 5*3 - 7*2 = 15-14 = 1

Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria.

5 =

=

2 1 3

3 1 -1

-1 2 2

2 * 1 -1

2 2- 1 *

3 -1

1 2+ 3 *

3 1

-1 2=

m=3

=

= 2 * 1 -1

2 2- 3 *

1 3

2 2- 1 *

1 1

3 -1=

Il determinante di una matrice di terzo ordine è uguale alla somma dei prodotti di una qualunque riga (o colonna) per i rispettivi il det della matrice di ordine 2 ottenuta da A togliendo la riga e la colonna cui l’elemento appartiene, preceduto dal segno + o – a seconda che aij sia di classe pari (i+j=pari) o dispari.

m=41 2 3 4

0 -1 1 2

-2 -3 0 8

1 0 -3 0

=

-1 *

2 3 4

-1 1 2

-3 0 8

+ 0 + 3 *

1 2 4

0 -1 2

-2 -3 8

+ 0 ==

=1 *

-1 1 2

-3 0 8

0 -3 0

+ 0 - 2 *

2 3 4

-1 1 2

0 -3 0

-1*

2 3 4

-1 1 2

-3 0 8

=

gli elementi dell’ultima riga

gli elementi della prima colonna

Mij minore complementare di aij ,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna

Determinante A somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o di una qualsiasi colonna per i rispettivi complementi algebrici

Aij=(-1)i+j * (Mij)

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

detA= a11 * (1)1+1 * A11 +

a12 * (1)1+2 * A12 +

a13 * (1)1+3 * A13 +

a14 * (1)1+4 * A14

generalizzando

Complemento algebrico di aij è

Regola di Sarrus:

La regola di Sarrus permette di calcolare il determinante di una matrice solo se essa è di ordine 3.

Esempio:

=

= [(2*1*2)+(1*(-1)*(-1))+(3*3*2)]

-[(3*1*(-1))+(2*(-1)*2)+(1*3*2)]=

= (4+1+18)-(-3-4+6) = 23 + 1 = 24

2 1 3

3 1 -1

-1 2 2

2 1

3 1

-1 2

•Si sottrae dalla somma ottenuta il valore ottenuto sommando i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali

Tale valore è il determinante.

IN PRATICA

•Si aggiungono alla matrice le prime due colonne;

•Si individuano così 3 diagonali principali, e 3 diagonali secondarie

•Si sommano i prodotti degli elementi che si trovano su ciascuna di queste diagonali

PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI

È ininfluente la scelta della linea nella ricerca del determinante;

Se in una matrice una linea viene moltiplicata per un numero reale K allora anche il determinante della

matrice risulta moltiplicato per k;Se in una matrice due linee sono in proporzione, il

determinante è nullo;Se in una matrice ad ogni elemento di una riga (o colonna) si somma il corrispondente elemento di

un’altra riga(o colonna), moltiplicato per un numero K,allora il determinante non cambia.

CARATTERISTICA (O RANGO):

data una matrice qualsiasi, chiamo “rango” o caratteristica, l’ordine massimo del minore #0.

Data una di matrice di ordine(m,n) MINORE di ordine h è il determinante di una sottomatrice di ordine h ottenuta dalla principale eliminando da essa la m-h righe ed n-h colonne

Consideriamo la seguente matrice 3 x 4,da essa togliamo 3-3=0 righe e 4-3=1 colonne, otteniamo una sottomatrice di ordine 3

4 2 -3 1

8 3 -6 2

2 1 1 -1

Dalla matrice principale è possibile estrarre 3 sottomatrici. la seguente è quella ottenuta eliminando la seconda colonna

4 -3 1

8 -6 2

2 1 -1

Questa sottomatrice è del 3° ordine. Il suo determinante si chiama “minore di ordine 3”e poiché esso NON E’ NULLO, si dirà che la matrice ha Rango=3

È possibile anche estrarre delle sottomatrici del 2° ordine;

quella sotto ne è un esempio

4 2

8 3

Il suo determinante si chiama “minore di ordine 2”