Fisica Generale III con Laboratorio

Campi elettrici e magnetici nella materia

Lezione 4Magnetismo nella materia

2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010

Proprieta ’ magnetiche della materia

Qualche analogia con i dielettrici: Momenti di dipolo magnetico atomici/molecolari

Campo esterno→ Magnetizzazione (talvolta spontanea)Riarrangiamento correnti microscopiche (elettroni legati)

Classificazione:

Materiali paramagnetici: Atomi/Molecole dotati di mom. proprio

Materiali ferromagnetici: Magnetizzazione spontanea

Materiali diamagnetici: Tutti

(Inoltre: Magnetismo nucleare, …)

3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010

Magnetizzazione

n

n

=

Effetto di campi applicati: magnetizzazione del mezzo

vettore magnetizzazione

momento di dipolo magnetico medio di ogni molecola

molecole/volume

Modello molecol

ar

e

semplif

M µ

µ

,c c=

=

icato: mezzo lineare

polarizzabilita' magnetica'

campo totale agente su ogni

moleco la

'µ B

B

4 E.Menichetti - 20104 E.Menichetti - 20104 E.Menichetti - 2010

Mezzo lineare:

Permeabilita’ magnetica relativa:

( ) 01m

m

M B suscettivita' mag netic aχχ µ

=+

0

1r m

r Permeabilita' magnetica assol ua tµ χµ µ µ

= +=

c,χm,µ quasi sempre: quantita’ scalari →MB

In strutture cristalline a bassa simmetria: matrici → M non B

χm,µ: grandezze macroscopiche, accessibili alla misura direttac: grandezza microscopica, inaccessibile alla misura diretta

Suscettivita ’, permeabilita ’

5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010

Campo magnetizzante - I

Vettore legato alle sole correnti “vere”, o “libere”

Lo stato magnetico di un materiale e’ definito da due vettori indipendenti, p es B e M oppure B e H

H risulta utile per la risoluzione dei problemi, e anche per riscrivere le eq. di Maxwell nei mezzi materiali in modo simile a quelle nel vuoto

0 0 r

B BH M

Definizione:

µ µ µ= − =

6 E.Menichetti - 20106 E.Menichetti - 2010

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

0

0

0

0 0

0 0

0

11

11

1

1

1 11

m

m m

m

m mm

m

m

mm

m

m

nc

cn

c

c c c

c

c

Polarizzabilita' m agnetica

Si noti:

Relazione piu' semplice: quella fra e

µ χχ χ µχ µ

χ χχχ µ µ

µ µχ

χµ χχ

χ

= − → = → = +=+

→ =+

= + → − =

+→ = = =

− −+

BH M M B

M B

M H M M H

M H H H

M H

≪ ≃

Campo magnetizzante - II

6 E.Menichetti - 2010

7 E.Menichetti - 2010

I tre vettori magnetici - I

B vettore campo magnetico; quello che compare nell’espressione dellaforza su una carica in movimento Legato a tutte le correnti, libere e di magnetizzazione

M: vettore magnetizzazione Legato alle correnti di magnetizzazione

H vettore campo magnetizzante Legato alle correnti libere

7 E.Menichetti - 2010

8 E.Menichetti - 20108 E.Menichetti - 2010

I tre vettori magnetici - II

( )

0

0

0

0 0

0

0

0

11 1

1

Vuoto:

Materia:

Definizione:

sempre

materiali omogenei, lineari, isotropi

relazione costitutiva mater

iali om

lib

lib m

m r

m r

r

µ

µ

µ

χ µ

µ χ µ µ

µ µ

∇⋅ =∇× = ∇⋅ =∇× = +

= −

−= =

+

→ =

B

B j

B

B j j

BH M

M B B

B H

0

ogenei, lineari, isotropi

equazioni della magnetostatica nei mezzi mater ialilib

∇⋅ =→∇× =

B

H j

9 E.Menichetti - 2010

B e H all’interfaccia fra due mezzi

10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010

Effetti sul campo magnetico di materiali diamagnetici o paramagnetici:

Sempre molto piccoli, di solito trascurabili (e trascurati)→Campo B = quello nel vuoto

Possibile eccezione: materiale paramagnetico a bassa T e alto B→Magnetizzazione elevata →Campo B simile a quello di un ferromagnete

Effetti di materiali ferromagnetici: (molto) Grandi

Campo con materiali magnetici - I

11 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - II

( )0

0

0

0 0

lib m

lib

lib

µ

∇⋅ =∇× = +→ ∇⋅ =→∇× =

= →∇× =

Campo nella materia:

Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali

Osservazione interessante: in assenza di correnti libere

irrotaz

B

B

B j j

B

H j

j H H

( ) ( ),→ =−∇Φ Φ

ionale

potenziale magnetost a i t coH r r

Problemi di magnetostatica: in assenza di correnti vere, si puo’ calcolare Hper mezzo di un potenziale scalare (come E in elettrostatica), come se esistessero cariche magnetiche (anzi : poli), analoghe a quelle elettriche. Ma: con il vincolo assoluto di rimanere sempre legate a coppie di segno opposto nei dipoli magnetici

12 E.Menichetti - 2010

2

2 2

ˆ ˆcos ,

1 1 cos 1ˆ ˆ ˆcos

4 4 4

m

m

M

dA M R dd M d

R R

σ θ

σ θθ

π π π

= ⋅ =

Ω=− =− =− Ω

versore normale alla superficie

Contributo elementare al campo al centro della sfera:

Dopo somma vettoriale di tutti i contribu

ti: s

olo

M n n

H n n n

( )1

12 2 3

11

cos cos cos cos4 2 2 3 3

1,

3

z

M M M MH dH d dθ θ θ θ

π

++

−−

= =− Ω=− =− =−⋅

→ =−

∫ ∫ ∫

componente lungo

e si puo' dimostrare che e' uniforme entro la s era f

M

H M

12 E.Menichetti - 201012 E.Menichetti - 2010

Sfera uniformemente magnetizzata (es. magnete permanente)

a)Campo interno: determinato dalla densita’ di corrente di magnetizzazione efficace sulla superficie della sfera, equivalente a una distribuzione superficiale di poli magnetici

Campo con materiali magnetici - III

13 E.Menichetti - 201013 E.Menichetti - 2010

b) Campo esterno: puro dipolo magnetico

Situazione simile (ma non identica!) a quella di una sfera dielettricapolarizzata

34

3Mom. di dipolo equiv alente Rπ=µ M

( )0 0 0

1

31 2

3 3µ µ µ

=−

= + = − + = Uniforme anche

Notare: e all'interno hanno verso opp

osto

H M

B H M M M M B

B H

Campo con materiali magnetici - IV

14 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - V

Per dissipare un equivoco potenziale:

Nell’esempio non ci sono correnti vere, tuttavia H e’ diverso da 0!Come mai?

Nulla di strano: l’assenza di correnti vere determina solo

Ma un campo vettoriale non e’ determinato dal solo rotore, occorre anche la divergenza (vedi eq. di Maxwell)

Quindi non c’e’ contraddizione fra assenza di correnti vere e campo Hnon nullo

0H∇× =

15 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - VI

Sfera paramagnetica in campo esterno uniforme B0

La sfera si magnetizza in conseguenza della presenza del campo esternoSi puo’ mostrare che la magnetizzazione e’ uniforme

00

0

0

2

3

3

in

in

in

µ

µ

= + = −

=

Sommiamo formalmente il campo esterno con il campo di una sfera

uniformemente magnetizzata:

all'interno della sfera

Inoltre deve valere, all'interno della sfera:

B B M

B MH

B 0 r inµ µ

←per un materiale magnetico lineare e isotropo ( non ferromagnetico!)

H

16 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - VII

0 00 0

0

00

2

3 3

13

2

r

r

r

µµ µ

µ

µ

µ µ

+ = − − → = +

Quindi:

Risultato analogo alla polarizzazione di una sfera dielettrica

in un campo elettrico esterno uniforme

Nota: anche per la magnetizzazion

B MB M

M B

e vale il risultato che un campione

di forma ellissoidale puo' essere magnetizzato uniformemente

17 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - VIII

0 ,

Campo totale in ogni punto:

dove e' quello t rovato primatot sfera sfera= +B B B B

Risultato non valido per ferromagneti (←non lineari)

18 E.Menichetti - 2010

Campo con materiali magnetici - IX

Materiali magnetici vs dielettrici

Strette analogie con risultati su dipendenza dei campi dalla forma delle cavita’, campo efficace sul singolo dipolo etc

Non estese al caso dei materiali ferromagnetici, che sono viceversaanaloghi a quelli ferroelettrici:

IsteresiMagnetizzazione spontanea

Domini

anche se l’origine delle loro proprieta’ e’ diversa