8. Circuiti magnetici

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021

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H ⋅dll∫ = ic

Il campo magnetico H è definito dalla prima legge di Maxwell (L. Ampere):

dove ic è il flusso di Jt attraverso una superficie con contorno l. il cui verso è determinbato dalla regola della vite destrogira. Poiché la densità di corrente totale Jt (Jt = J + 𝜕D/𝜕t ) è un vettore ovunque solenoidale, il flusso di Jt attraverso una qualunque suerficiecon contorno la linea chiusa l non varia.

Dai campi ai circuiti magnetici

H

i

r

H

Linee di flusso di H

i

iIn una filo conduttore rettilineo percorso dalla corrente i viene indotto un campo H le cui linee di flusso sono in piani normali al conduttore, circolari col conduttore al centro. La prima legge di Maxwell diviene:

2pr H = i (A) → H = i2pr (A/m)

Regola della vite destrogira

H

i

3

i

H

N · r

Dai campi ai circuiti magnetici

Considerato il sistema toroidale di figura, il campo magnetico è indotto da un conduttore percorso dalla corrente i ed avvolto attorno al toro con N spire. Il flusso della densità di corrente concatenato con l’asse interno al toro, di lunghezza 2pr, è ic = Ni. Per le linee di flusso di H interne al toro, assunte parallele all’asse del toro, si ha:

2pr H = N i (A!s) → H = N i2pr (A!s/m)

Per un materiale lineare il campo di induzione magnetica B è proporzionale ad H (B = µH). Nel caso in esame si ha:

Bµ = N i

2pr → B = µ Ni2pr

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Il vettore campo di induzione magnetica Bè ovunque solenoidale come il vettore densità di corrente elettrica totale Jt. Per-ciò per qualsiasi sezione di un tubo di flus-so di B il flusso è costante così come lo è la corrente elettrica, flusso di Jt in un suo tu-bo di flusso. Un circuito elettrico è un tubo di flusso di Jt. Pertanto un tubo di flusso diB si può considerare circuito magnetico.

Dai campi ai circuiti magnetici

i

F

N · r

In un ramo fra due sezioni S trasversali 1 e 2 di un tubo di flusso magnetico F, qualora fra 1 e 2 non vi siano correnti concatenate, si ha:

T = T1 – T2 = ∫12H ! 𝐝𝐥 = ∫1

2 !µB ! 𝐝𝐥 = ∫1

2 BSµS 𝑑l = F ∫1

2 1µS𝑑l = RF

dove, come nel caso elettrico, H = -𝛁T . Se si considera un circon una magia, come nel circuito di figura, il circuito concatenato genera una forza magneto-motrice (f.m.m.) si ha T = Ni. Si ottiene per il circuito la legge di Hopkinson:

N i = RFdove la riluttanza R per l lunghezza del tubo è: R = l

S µ

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La legge di Hopkinson, ottenuta per il caso in figura, è:

Ni = RFdove Ni è la forza magnetomotrice f.m.m., analoga alla forza elettromotrice. Si ottiene perciò una similitudine coi circuiti elettrici:

Legge di Ohm Lgge di Hopkinson

Vs = Ri ←→ Ni = RF

Vs ←→ Ni(f.e.m.) (f.m.m.)

i ←→ F(corrente elettrica) (flusso magnetico)

R ←→ R(resistenza) (riluttanza)

Dai campi ai circuiti magnetici

i

F

N · r

R Vs

i

+-

R

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La principale differenza fra i circuiti elettrici ed i circuiti magnetici è dovuta alle caratteristiche dei materiali.

Nel caso elettrico vi sono materiali isolanti e materiali conduttori con differenze di resistività elettrica (r=1/s) dell’ordine di 1020. Nei materiali isolanti il flusso di Jt può essere considerato nullo ed il circuito elettrico fatto di materiali conduttori immerso in un isolante, coincide coi tubi di flusso di Jt, corrente elettrica.

Nel caso magnetico i materiali ferromagnetici hanno bassa resistività magnetica (1/µ), però anche i materiali con elevata resistività magne-tica (anche l’aria) non sono completamente iso-lanti magnetici e flussi magnetici dispersi fuori del circuito magnetico sono sempre presenti.

Dai campi ai circuiti magnetici

i

F

N · r

R Vs

i

+-

R

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Il materiale ferromagnetico usato è ghisa, acciaio fuso, lamiera di acciaio.Questi materiali non sono lineari ma sotto a un valore critico di B < BS (B < BS con BS campo di saturazione) il materiale si può considerare lineare con elevati valori della permeabilità magnetica µ (bassa resistività magnetica).La permeabilità relativa (µr = µ/µ0 con µ0 permeabilità del vuoto) dei materiali ferromagnetici per B < BS è elevata:

µr≫ 1Per la determinazione della riluttanza magnetica è:Nel caso in figura in alto la riluttanza viene ottenuta

come somma delle riluttanze dei trochi del circuito magnetico:

R1 = l1Sµ; R2 = l2Sµ; R3 = l3Sµ; R4 = l4Sµ; R5 = l5Sµ; Rtf = dSµ0.

Circuiti magnetici

Poiché µr≫ 1 di solito è Rtr >> R1, R2, R3, R4, R5. Quindi di solito le riluttan-ze dei rami ferromagnetici sono trascurate rispetto alle riluttanze dei traferri.

Ni

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Circuiti magneticiIn un circuito magnetico si distinguono rami e nodi. Fk è il flusso magnetico del ramo k, Tk è la tensione magnetica del ramo, differenza di potenziale magne-tico fra i capi del ramo, Rk è la riluttanza del ramo e Nkik è la f.m.m., generato-re indipendente di tensione magnetica del ramo ove Nk è il numero di spire che avvolgono il ramo e ik è la corrente elettrica che scorre nell’avvolgimento.Dalla prima legge di Maxwell si ottiene la legge di Kirchhoff delle tensioni magnetiche LKT e per la solenoidalità di B si perviene alla legge di Kirchhoffdei flussi magnetici LKF. Inoltre per la legge di Hopkinson si ottiene l’equazione di ramo magnetico. In un circuito magnetico di r rami ed n nodi si ha quindi:

LKF: ∑! Fk = 0 per n-1 nodi

LKT: ∑"Tk = 0 per r-n+1 maglieER: Tk = Rk Fk – Nkik per gli r rami

Utilizzando il metodo di sostituzione delle tensioni si ha:

LKF: ∑! Fk = 0 per n-1 nodi

LKT-ER: ∑" (Rk Fk –Nkik) = 0 per r-n+1 maglie

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M12 dipende dalla geometria di ciascuno dei due circuiti e dalla loro posizione relativa. M12 può essere

positivo o negativo. L1 dipende dalla geometria del circuito 1 e

degli avvolgimenti N1. L2 dipende dalla geometria del circuito 2 e

degli avvolgimenti N2.

Induttori accoppiati

i1 i2

B

B

B

N1N2

Il flusso magnetico FC1 concatenato con il circuito 1, è generato sia da i1che da i2:

ΦC1 = Φ1(i1) + Φ1(i2)Per un induttore lineare tempo-invariante FC1 diviene:

ΦC1 = L1 i1 + M12 i2

con L1 auto-induttanza e M12mutua-induttanza.Analogamente per flusso magnetico FC1 concatenato con il circuito 2,si ha:

ΦC2 = Φ2(i1) + Φ2(i2)ΦC2 = M21 i1 + L2 i2

con M12= M21

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(caso lineare)

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Isteresi magneticaI materiali ferromagnetici e ferrimagnetici per temperature inferiori alla temperatura di Curie hanno per la suscettività magnetica un comportamen-to isteretico. Perciò la relazione B = f(H) è una funzione isterica.

Il processo di prima magnetizzazio-ne, con il materiale esposto ad un campo magnetico esterno, è mo-strato nella figura superiore. La figura inferiore rappresenta un ciclo di isteresi dopo alla prima magnetizzazione (ad esempio a seguito di un campo magnetico di una corrente alternata).Si dimostra che la densità di energia dissipata per isteresi è data dall’area del ciclo di isteresi.

Relazione B-H di prima magnetizzazioneH

Regione lineare

Regione di saturazione

µr medio

HM-HM

H

B

BR

HC

BSBR

-HC

HC

B

H

BS – B di saturazioneBR – B reiduoHC – H coercitiva

B

11Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Materiali ferromagnetici o ferrimagnetici morbidiI materiali ferromagnetici (o ferrimagnetici) morbidi hanno alti valori di permeabilità magnetica e un piccolo campo coercitivo (Hc < 103 A/m). Pertanto la superficie del ciclo di isteresi è piccola (perdite peri isteresi ridotta).

Questi materiali sono utilizzati per ridurre le correnti necessarie per produrre e controllare il flusso magnetico con perdite per isterisi con-tenute (nuclei elettromagnetici, nuclei di tras-formatori, rotori e statori di macchine rotanti).

Tipici materiali morbidi sono il ferro e le sue leghe di nichel, cobalto e silicio, acciaio a bas-so contenuto di carbonio e leghe di ferro dolce.

B

HHM

-HM

Ciclo di isteresi di materiali ferromagnetici morbidi (soft

ferromnagnetic materials)

Isteresi magnetica

12Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Materiali ferromagnetici o ferrimagnetici duriI materiali ferromagnetici (o ferrimagnetici) duri hanno un'alta densità di flusso magnetico residua (Br) e un campo coercitivo elevato (Hc > 104A/m). Pertanto la superficie del ciclo di isteresi è grande (perdita per isteresi elevata).

Questi materiali sono usati per realizzare magneti permanenti.

I materiali utilizzati per loro sono leghe e terre rare con un grande campo coercitivo.

HM

-HM H

B

Ciclo di isteresi di materiali ferromagnetici duri (hard ferromnagnetic materials)

Isteresi magnetica

www.unibo.it

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

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ElettrotecnicaCorso dei CdL

in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica