265

Fenomeni magnetici

1. Il campo magnetico

Nel linguaggio di tutti i giorni, con il termine magnete ci si riferisce ad una barretta di un particolare tipo di ossido di ferro detto magnetite Fe O3 4( ) la cui proprietà di attirare a sé dei piccoli pezzi di ferro è nota sin dall’antichità. Le regioni della barretta dove questi pezzetti si raccolgono in maniera più abbondante vengono chiamati poli del magnete. La grande maggioranza dei magneti presenta due soli poli, tuttavia possono essere creati magneti con un numero arbitrario di poli, purché maggiore di due, come è il caso dei moderni magneti flessibili con cui si realizzano molti souvenir turistici. Non sono molte le sostanze che, al pari del ferro sperimentano questa forte attrazione da parte del magnete: esse vengono dette materiali ferromagnetici, e fra questi c’è il cobalto, il nichel (le vecchie monete da 100 lire) e le loro leghe. Per ogni sostanza ferromagnetica esiste una soglia termica, detta temperatura di Curie1 Ct , al di sopra della quale scompare qualsiasi proprietà magnetica. Quali sono le principali evidenze osservative sul comportamento dei magneti? Studiando il comportamento dei magneti, uno sperimentatore registra quanto segue: (1) Un magnete è in grado di trasferire le sue proprietà ad un materiale ferromagnetico che venga strofinato contro di esso o anche solo posto nelle sue vicinanze. La permanenza di questo effetto dipende dalla sostanza: ad esempio un campione di acciaio mantiene lo stato di magnetizzazione anche quando il magnete originario viene rimosso, il ferro dolce (vedi riquadro a lato) invece si smagnetizza non appena allontanato. (2) È possibile magnetizzare un pezzetto di materiale ferromagnetico inserendolo all’interno di un solenoide2, cioè un avvolgimento di filo a forma di elica in cui vi sia corrente.

1 Dal nome del fisico francese Pierre Curie (1859-1906). 2 Dal greco solen=tubo.

Capitolo

9

La ControfisicaIl ferro non si trova puro in natura, masempre legato al carbonio in varia per-centuale. Si parla di ferro dolce se la per-centuale di carbonio è inferiore allo0.15% e di acciaio se è fra lo 0.15% ed il2.11% (acciaio duro). L’acciaio è la legadi ferro più commercialmente utilizza-ta: chiodi, fermagli, arnesi, travi sonodi acciaio di varia durezza. Percentualipiù alte di carbonio, fino ad un massi-mo del 6.67% (oltre il quale il carboniocessa di sciogliersi nel ferro) si trovanonella ghisa, un lega ottenuta tramiteraffreddamenti repentini di mineralefuso, che ne rendono irregolare lastruttura del reticolo cristallino. Rispet-to all’acciaio, la ghisa è fragile, dilatameno, ed è più resistente alla ruggineper la maggior percentuale di carbonio.Sono di ghisa fontanelle, panchine,tombini e le vecchie e pesanti padelle.

CC

CC

358

575

770

1131

nichel

magnetite

ferro

cobalto

temperatura di Curie

266

(3) Un magnete si orienta approssimativamente lungo la direzione Nord-Sud geografici3 quando viene sospeso ad un filo. In altri termini, ogni magnete possiede un suo asse predefinito. (4) Esistono solo due tipi di polo e non più di due. Poli di tipo diverso si attraggono e poli dello stesso tipo si respingono. Queste conclusioni nascono dalle osservazioni eseguite con uno strumento detto ago magnetico, che consta di un magnete leggero, libero di ruotare attorno ad un perno (ed orientarsi nella direzione N-S geografici), ma non di traslare. In primo luogo si stabilice di chiamare polo nord dell’ago la sua punta diretta verso il nord geografico e polo sud dell’ago quella indirizzata al sud geografico. Successivamente diciamo polo sud di un magnete quello che attira il polo nord dell’ago e ne respinge il sud, e polo nord di un magnete quello che attira il sud dell’ago e ne respinge il nord. Poiché non esiste alcun polo che attiri o respinga contemporaneamente entrambi gli estremi dell’ago, se ne conclude che nord e sud sono i soli due tipi di polo esistenti. (5) I poli nord e sud non possono essere separati. Se proviamo a spezzare in due o più pezzi un magnete, nel tentativo di isolare il polo nord dal polo sud, le parti che si ottengono sono sempre bipolari. Questo fatto viene solitamente enunciato dicendo che non esiste il monopolo magnetico. Un magnete genera un campo nello spazio? Un magnete è capace di esercitare una forza a distanza, e quindi presenta i due paradossi di istantaneità e di causa ed effetto che già abbiamo incontrato nello studio della forza elettrica. Quindi, il metodo più conveniente per esprimere le proprietà di un magnete è assumere che la sua presenza conferisca uno stato fisico a tutto lo spazio, che esiste indipendentemente dal fatto che il magnete stia interagendo o meno con altri oggetti. Misureremo la condizione fisica che il magnete produce introducendo una grandezza vettoriale B

detta campo magnetico Esploreremo le caratteristiche del

campo magnetico facendo uso di un ago magnetico, che è lo strumento più elementare di cui disponiamo per sondare, non essendo possibile realizzare il monopolo. Come vengono definiti direzione e verso del vettore campo magnetico? L’aghetto magnetico, dotato di un supporto che gli impedisca di traslare, ma sia libero di ruotare in ogni direzione dello spazio, quando viene posto in un punto ove stia agendo un magnete, ruota attorno al suo appoggio girevole finché non si assesta lungo una precisa direzione.

Definiamo direzione del vettore campo magnetico B

in un punto dello spazio, quella lungo cui si allinea un aghetto magnetico posto in tale punto, e verso di B

quello che va dal polo sud al polo nord dell’aghetto. Alla regione di spazio sede del campo B

vengono associate delle linee di campo,

analogamente a come si fa nel caso del campo elettrico. Le linee di campo magnetico hanno in ogni punto il vettore B

come tangente, non possono mai incrociarsi fra loro, e

soddisfano il criterio di Faraday in base al quale le linee si fanno più fitte nelle zone in cui il campo ha maggiore intensità. Esse vanno intese come elastici tesi: la loro tendenza a contrarsi esprime l’attrazione fra poli di tipo diverso. La forza repulsiva fra poli uguali può essere visualizzata pensando che ogni linea tende a respingere le vicine. È possibile verificare - con opportune strategie sperimentali - che le linee del campo B

non

terminano sulla superficie del magnete (né sono ad essa perpendicolari), ma proseguono all’interno del magnete stesso. Dentro al magnete si osserva anzi un campo più intenso che

3 La direzione di allienamento si scostata di circa 5° rispetto alla N-S ed inoltre presenta molte irregolarità muovendosi sulla superficie del pianeta: vedi più avanti per una descrizione del magnetismo terrestre.

N

S

NS

NSNS

NS

NS

NS

NSNS

NS

NS

N

S

ago magnetico

N

S

B

B

B

N S

267

non fuori, quindi le sue linee, piegando bruscamente sulla superficie, si infittiscono nello spazio interno. Infine, non esistendo monopoli a fare da sorgente di B

, le linee di campo

magnetico formano sempre dei percorsi chiusi4.

Esercizi 1. Potrebbe mai funzionare il bizzarro dispositivo di propulsione raffigurato qui a lato, oppure l’idea di fondo è in conflitto con qualche fondamentale legge della fisica?

Quali caratteristiche presenta il campo magnetico terrestre? Il nostro pianeta è dotato di un suo campo magnetico, le cui linee sono qualitativamente simili a quelle che produrrebbe una enorme barra di magnetite a due poli, posta nel centro della Terra ed inclinata di 11.5 rispetto all’asse di rotazione diurna. Le linee del campo magnetico terrestre si estendono migliaia di chilometri nello spazio, ed i punti in cui l’asse di questo immaginario magnete buca la superficie terrestre sono detti poli geomagnetici: verso di essi si dirige l’ago delle bussole (ma non esattamente e non in tutte le parti del globo, perché immaginare che il campo terrestre sia quello di un magnete a due poli è un’approssimazione). Malgrado questa analogia di conformazione, è però da escludere che l’origine del campo magnetico terrestre sia dovuta a degli enormi depositi di magnetite sepolti. Infatti nel nucleo della Terra si raggiungano i C4500 , cioè un valore molto superiore alle temperature di Curie di tutte le sostanze ferromagnetiche note. Il campo terrestre è in realtà prodotto da correnti di ioni metallici all’interno del suo nucleo fluido di ferro e nichel in continuo moto convettivo (di questo legame fra corrente e B

ci occuperemo nel seguito). In coerenza con la nostra definizione,

dobbiamo accettare il piccolo paradosso linguistico per cui, in prossimità del polo Nord geografico, verso cui punta il nord della bussola, abbiamo un polo Sud magnetico, e viceversa, nelle prossimità del polo Sud geografico c’è un polo Nord magnetico. Che relazione esiste fra magnetismo ed elettricità? Le osservazioni mostrano che una particella carica che da ferma non presenti alcuna proprietà magnetica, quando è in movimento anche solo a velocità costante, subisce l’interazione a distanza ad opera di un magnete, e diviene essa stessa sorgente di campo magnetico. Il magnetismo è quindi un particolare aspetto dell’elettricità5, che si manifesta solo in presenza di moti delle cariche: le sorgenti del campo magnetico sono pertanto le correnti elettriche. Sono le cariche in movimento a generare il campo magnetico, il quale dipende dal loro valore e dalla loro velocità. Dopo ripetuti tentativi di investigare la relazione fra elettricità e magnetismo, il primo esperimento che mise in luce questa interconnessione ebbe luogo nel 1820 ad opera del fisico danese Hans Oersted. Egli osservò che, inviando in un filo orizzontale una corrente così intensa da poter trascurare l’effetto del magnetismo terrestre, un ago magnetico libero solo di ruotare in un piano orizzontale sotto al filo, si disponeva perpendicolarmente ad esso. Inoltre, quando il senso della corrente viene invertito, l’ago ruotava su sé stesso di 180°. Si trattò di una scoperta sorprendente perché sino a quel momento le forze in una interazione erano sempre

4 Si tratta di una semplificazione: dovremmo invece dire che le linee del campo magnetico non hanno né inizio né fine. 5 Una delle più belle applicazioni della teoria della relatività ristretta consiste nella possibilità di spiegare i fenomeni magnetici solamente con la legge di Coulomb, purché si tenga conto della contrazione delle lunghezze di un corpo in moto rispetto alle misure di quiete. È davvero sorprendente che per verificare i geniali risultati di Einstein basti ossevare un oggetto di uso comune quale una piccola calamita. Una trattazione avanzata di questi aspetti si trova nel volume di elettromagnetismo della celebre collana “La Fisica di Berkeley”.

La ControfisicaLe linee del campo magnetico terrestre sono orizzontali all’equatore ma ten-dono ad essere verticali in corrispon-denza dei poli magnetici, quindi un estremo dell’ago avrà la tendenza ad abbassarsi quanto più ci si avvicina ai poli. Di solito quest’effetto indesidera-to viene eliminato bilanciando l’aghetto, per esempio in modo che il suo baricentro sia sotto il punto diappoggio.

N

S

esperimento di Oersted

I

?

B

B

N

S

Polo Sudmagnetico

Polo Nordmagnetico

SN

268

state viste appartenere alla retta congiungente due particelle. L’interazione fra filo elettrico e magnete osservata da Oersted, invece, presentava una geometria inusuale. In accordo con la terza legge della dinamica, l’interazione magnete-filo è reciproca, cioè anche un filo sede di corrente subisce l’azione di B

. Di questa

proprietà ci serviremo per definire l’intensità del campo magentico. Come si definisce l’intensità del vettore

B ?

Dopo che si è individuata la direzione del campo magnetico con un aghetto, si prende un piccolo tratto rettilineo di filo in cui si invia una corrente I , e lo si dispone perpendicolarmente alle linee del campo. La lunghezza del tratto sarà tale da poter considerare B

uniforme lungo di esso. In questa situazione si osserva che il

campo esercita una forza F

sul filo, avente direzione perpendicolare sia a B

che al filo stesso. Cambiando prima il valore di I e poi la lunghezza L del filo, si vede che ad una maggiore corrente corrisponde una forza più intensa, così come è più intensa la forza che agisce su di un tratto di filo più lungo. Se ne conclude che l’intensità | |F

è

direttamente proporzionale sia ad I che ad L , e quindi direttamente proporzionale al loro prodotto IL . Ciò significa che il rapporto /| |F IL

è una costante di

proporzionalità che non dipende dagli strumenti adoperati, ma che esprime una proprietà del punto in cui abbiamo fatto la misura. In quel punto il valore /| |F IL

sarà

sempre lo stesso, indipendentemente dalla lunghezza del filo e dall’intensità della corrente. Definiamo quindi operativamente: Intensità del campo magnetico Preso un tratto di filo rettilineo lungo L , in cui si ha una corrente I , perpendicolare alle linee del campo B

in un punto dello spazio, si definisce intensità del campo

magnetico in quel punto il rapporto: | |

| |F

BIL

=

pari alla forza per unità di lunghezza e per unità di corrente esercitata sul filo. La definizione dell’intensità di B

come forza per unità di lunghezza del filo e per unità

di corrente elettrica è concettualmente simile quella del campo elettrico come forza per unità di carica: in entrambi i casi si rapporta la forza esercitata dal campo alle sue sorgenti. Da questa definizione operativa si hanno le dimensioni fisiche del campo magnetico: N/mA , a cui viene assegnato il nome di tesla6 ed il simbolo T . Quali sono direzione e verso della forza se il filo non è perpendicolare al campo? Indipendentemente dall’angolo che il filo forma col campo, la forza subita è sempre perpendicolare al piano individuato dalla direzione di B

e dalla corrente. Il verso di

F

è tale che se qualcuno volesse ruotare il filo per farlo sovrapporre al campo magnetico seguendo la via più breve, il vettore forza vedrebbe la rotazione avvenire ai suoi piedi in senso antiorario. Possiamo pensare ad F

come se fosse una persona la cui

testa è posta in modo da vedere che la via più breve lungo la quale I può ruotare, per sovrapporsi a B

, è quella antioraria. Può essere utile costruirsi un cartoncino

pieghevole con disegnati all’interno i tre vettori, da utilizzare come strumento per individuare la direzione della forza, a partire da quelle del campo e della corrente.

6 Dal nome dello scienziato serbo Nikola Tesla (1857-1943), inventore del motore elettrico in corrente alternata.

La Controfisica Il tesla è una unità di misura molto grande: il campo magnetico terrestre vale mediamente 0.5x10-4T, mentre una calamita da tavolo produce nei dintorni un campo d’intensità dell’ordine di 10-2T, ed anche gli inten-si campi di un’apparecchiatura medica per esami di risonanza magnetica non superano 1.5T. I massimi campi ma-gnetici realizzati artificialmente rag-giungono i 40T.

I

B

F

-+

L

J

IB

F

F

F

I

B

I

B

269

Quanto vale l’intensità della forza se il filo non è perpendicolare al campo? Le osservazioni sperimentali mostrano che, nel caso generale in cui B

ed I formano un

angolo7 qualunque J , l’intensità della forza risulta proporzionale alla componente | | sinB J

del campo magnetico lungo la direzione della corrente.

Forza su di un filo percorso da corrente Prendiamo un tratto rettilineo di filo lungo L , percorso da una corrente I , e sia J l’angolo minore di 180 che I forma con il campo magnetico. In una regione dove il campo vale B

, il filo subisce una forza magnetica MF

d’intensità:

| | | | sinMF IL B J=

La direzione di MF

è sempre perpendicolare sia a B

che alla corrente, ed il verso

tale che MF

vede ai sui piedi in senso antiorario la rotazione di I per sovrapporsi a

B

spazzando J . Queste proprietà vengono scritte in modo sintetico tramite il simbolo “´” di prodotto vettoriale ed introducendo il vettore L

, lungo quanto il filo

ed orientato come la corrente:

MF IL B= ´

La presenza di sinJ , sempre minore di 1 , fa si che il massimo valore della forza magnetica si abbia quando B

ed il filo sono perpendicolari fra loro e risulta sin 1J = (è il

caso che abbiamo considerato per definire | |B

). La forza è invece nulla quando B

e filo hanno la stessa direzione, e risulta sin 0J = . Per rappresentare la situazione sono utili i simboli di vettore entrante nel foglio Ä , cioè dal lettore verso la pagina e perpendicolare alla pagina stessa, e di vettore uscente dal foglio , cioè dalla pagina verso chi legge, sempre perpendicolare alla pagina. Quando il campo e la corrente appartengono al piano della pagina, il verso di MF

è allora se per sovrapporre

I a B

spazzando l’angolo 180J < dobbiamo girare in modo antiorario. Viceversa, se la situazione è tale che noi vediamo quella stessa rotazione in senso orario, allora il verso di MF

sarà Ä , cioè dalla parte opposta del foglio rispetto alla

nostra (e dalla quale si vede quello stesso movimento avvenire in verso antiorario). In certe situazioni torna pure comodo usare i simboli Ä e anche per il campo magnetico o per la corrente, come nell’esempio che segue. Esercizi 2. Un circuito rettangolare i cui lati misurano cm1 50.0L = ed cm2 30.0L = , si trova immmerso fino alla sua diagonale, in una regione sede di un campo magnetico d’intensità T| | 0.150B =

, perpendicolare al piano del circuito come in figura.

Sapendo che nel filo si ha una corrente A2.50I = , calcolare l’intensità delle forze esercitata dal campo su ciascuno dei lati del circuito e rappresentare i vettori corrispondenti. A subire una forza sono solo i due lati immersi nella regione dove c’è il campo. Il campo magnetico è entrante nella pagina mentre la corrente appartiene al piano della pagina, pertanto l’angolo che formano è sempre di 90°. Consideriamo il lato lungo del circuito: affinché dalla testa del vettore forza si possa veder ruotare I in modo antiorario per sovrapporsi al campo, F

deve puntare verso l’esterno del

circuito, come in figura. Il suo modulo sarà:

7 Ricordiamo che per angolo fra due vettori si intende sempre un valore 180J < , e quindi sin 0J > .

vettoreuscente

vettoreentranteÄ

M

F

Ä I

B

J

M

F

I

B

J

Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä Ä

I

B I

1

F 2

F

Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä ÄI

B

B

I

270

N N1 1| | | | sin 90 (2.50 0.500 0.150 1) 0.188F IL B= = ´ ´ ´ =

Anche la forza sul lato corto deve puntare verso l’esterno del circuito per veder ruotare la corrente in modo antiorario per sovrapporsi al campo: N N2 2| | | | sin 90 (2.50 0.300 0.150 1) 0.0750F IL B= = ´ ´ ´ =

3. Un circuito rettangolare di lati cm1 50.0L = ed cm2 40.0L = , si trova immmerso per metà in una regione sede di un campo magnetico d’intensità

T| | 0.120B =

, perpendicolare al piano del circuito come in figura. Sapendo che nel filo si ha una corrente A1.60I = , rappresentare le forze esercitate dal campo su ciascuno dei lati e calcolare l’intensità della forza risultante. [R: N0.0768 ,in basso ] 4. Una corrente A8.00I = passa in un filo verticale, dal pavimento al soffitto, in una stanza alta m2.70 (visione dall’alto in figura). In quella stanza si ha un campo magnetico costante, diretto dalla parete che si affaccia ad est alla parete che si affaccia ad ovest, d’intensità T44.00 10-´ . Si trovino direzione, verso ed intensità della forza sul filo. [R: N3, 8.64 10Nord Sud -- ´ ] 5. Una corrente A6.00I = passa in un filo verticale, dal soffitto al pavimento, in una stanza alta m2.40 . In quella stanza si ha un campo magnetico costante, diretto da da sud-est a nord-ovest. d’intensità T43.20 10-´ . Si trovino direzione, verso ed intensità della forza sul filo. [R: N3, 4.61 10NordOvest SudEst -- ´ ] 6. Un lungo cavo rettilineo che trasporta una corrente A4.50I = , attraversa una regione in cui si ha un campo magnetico uniforme T4| | 6.00 10B -= ´

formando con

esso un angolo di 120 . Sapendo che il cavo subisce una forza magnetica complessiva d’intensità N0.500 , se ne calcoli la lunghezza L . [R: m214 ] 7. Un cavo rettilineo lungo m10.0L = trasporta una corrente A7.00I = attraversa una regione in cui si ha un campo magnetico uniforme T4| | 3..00 10B -= ´

. Si calcoli

qual è la massima forza magnetica che può subire il cavo. [R: N0.210 ] Quanto vale la forza su di un tratto curvo di filo in un campo uniforme? Se il filo non è rettilineo andrà suddiviso in tanti piccoli segmenti 1 2, ...L LD D

e ad

ognuno di essi si potrà applicare la formula F I L B= D ´

. Il calcolo si semplifica molto in un campo uniforme, poiché il vettore B

può essere raccolto a fattor

comune:

1 2 1 2... ( ...)F I L B I L B I L L B IL B= D ´ + D ´ + = +D + ´ = ´D

Infatti la somma vettoriale dei tratti 1 2 ...L LD +D +

è il vettore spostamento risultante

L

che unisce la posizione iniziale e quella finale (rispetto alla corrente) della porzione di circuito sulla quale si vuol conoscere la forza. Nel caso particolare in cui il percorso sia chiuso, cioè un qualunque circuito reale completo, l’inizio e la fine coincidono, cioè 0L =

, e quindi anche 0MF =

.

In un campo magnetico uniforme, è nulla la forza magnetica risultante su di un circuito completo dove la corrente è costante.

I

B

B

I

IB

EO

S

N

120

B

I

B

L

1LD

2LD

B1

2

271

Non è invece nullo il momento torcente complessivamente esercitato, cioè un circuito rigido, in campo magnetio uniforme, non trasla ma ruota, come vedremo trattando il motore elettrico. Esercizi 8. Un circuito ha la forma di una semicirconferenza chiusa, di raggio m0.600R = , di cui la sola parte curva è immersa in un campo magnetico uniforme d’intensità

T2| | 8.50 10B -= ´

, come in figura. Il circuito è poggiato su di un tavolino ancorato con una catenella, la quale lo tiene in equilibrio tirando con una forza d’intensità

N1.50 . Calcolare la corrente nel circuito. La catenella tira per equilibrare la forza magnetica, che agisce sul solo tratto curvo del circuito, essendo il resto in una regione dove il campo magnetico è nullo. Poiché B

è uniforme possiamo calcolare MF

tramite la formula MF IL B= ´

dove L

è il vettore spostamento che unisce i punti iniziale (1) e finale (2) del tratto curvo di circuito. La regola per il prodotto vettoriale chiede che MF

veda L

ruotare ai suoi

piedi in senso antiorario per sovrapporsi a B

, spazzando l’angolo di 90° che L

forma col campo. Quindi MF

ha la direzione della catenella e verso tale da

allontanarsi dal suo punto di aggancio. Per l’intensità di MF

risulta:

| | | | sin 2 | | sin 90 2 | |MF IL B I R B RI BJ= = =

Uguagliando la forza magnetica alla forza esercitata dalla catenella si ottiene la corrente:

N N A A2

1.50 1.50| | 2 | | 12.0 14.7

2 | | 2 0.600 8.50 10MF RI B I

R B -= = = = =

´ ´ ´

9. Un circuito sede di una corrente A8.00I = ha la forma di un quadrato di lato

cm60.0= , in cui un quarto è stato sostituito da un arco di circonferenza di raggio /2 . Esso viene parzialmente immerso in un campo magnetico uniforme

T2| | 7.00 10B -= ´

come in figura. Calcolare la forza magnetica su ciascuno dei tratti del circuito e quella complessiva. [R: N N N N0.0840 , 0.238 , 0.0840 , 0.357 ] 10. Un circuito ha la forma del triangolo costituito dalle diagonali di tre facce di un cubo di spigolo cm40.0s = , come in figura. Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale ed immerso in un campo magnetico verticale, uniforme, di intensità

T| | 0.0500B =

. Sapendo che A6.00I = , calcolare la forza magnetica su ognuno dei lati del triangolo, e la forza magnetica complessiva sul circuito. [R: N N N N0.169 , 0.120 , 0.120 , 0 ] Come possiamo esprimere matematicamente l’assenza di monopòli magnetici? Costruiamo ora una grandezza che chiameremo flusso magnetico attraverso una superficie S, ( )S Bf

, concettualmente analoga a quella a suo tempo introdotta per il

campo elettrico, cioè con lo scopo di misurare quante linee di campo attraversano una superficie qualsiasi. Avendo adottato il criterio di Faraday (per il quale le linee sono tanto più ravvicinate quanto più il campo è intenso), sappiamo che il numero di linee per unità di area che bucano ortogonalmente una superficie ove B

sia uniforme, risulta

direttamente proporzionale all’intensità del campo. Il numero di linee per unità di area può essere reso uguale (anziché solo proporzionale) all’intensità di B

, facendo la scelta

di rappresentare un campo magnetico avente il valore unitario di T1 con una linea per ogni metro quadro di superficie. In tal modo abbiamo che, come per il campo elettrico, il numero di linee di campo che attraversano una superficie piana è dato dalla componente

L

M

F

12

B

I

B

12

4

4

4

4 I

B

2

1

3s

I

B

272

di B

lungo la normale alla superficie (cioè | | cosB a

, pari alle linee per metro quadro in quella direzione) moltiplicata per l’area A della superficie:

| | cosB A a

Il segno del flusso magnetico elementare | | cosB A a

è positivo se il campo attraversa la superficie nel verso della normale, negativo se la passa in verso contrario. Poiché in generale il campo non è uniforme e le superfici non sono piane, come già fatto per il campo elettrico, per ottenere il numero totale di linee che bucano una superficie qualunque dovremo scomporla in tanti quadrati di area A , così piccoli da poter considerare B

uniforme al loro interno, ed addizionare i contributi di flusso provenienti

da ciascuno di essi: ( ) cosS B B Af a=å

L’unità di misura del flusso magnetico è il tesla per metro quadrato, per il quale si usa il nome di weber (wb): wb 21 1 Tm= . Il flusso complessivo risulta positivo se il numero di linee che bucano la superficie nel verso della normale è maggiore di quelle che la passano in senso opposto ad essa, negativo se è minore, e nullo se il numero di linee nei due versi è uguale. Quanto vale il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa? Poiché non esiste il monopolo magnetico, le linee di B

sono curve chiuse8: se calcoliamo

il flusso magnetico attraverso una superficie S chiusa, ogni linea che entra nello spazio dentro S deve anche riuscirne, e quindi buca la superficie due volte con versi opposti, così che il suo contributo al flusso magnetico risulta nullo. Analogamente sarà nullo il flusso magnetico delle linee interamente racchiuse e di quelle totalmente esterne. Questa proprietà è una via matematica per esprimere il fatto che non esiste il monopolo magnetico, e si dice legge di Gauss per il campo B

.

Legge di Gauss per il campo magnetico Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa S è sempre nullo.

( ) 0 [ ]S B S chiusaf =

Cos’è il flusso concatenato ad un percorso? Poiché le linee del campo magnetico sono curve chiuse, il flusso magnetico assume lo stesso valore per tutte le superfici aperte che hanno una stessa curva chiusa L come contorno, ad esempio le 1 ,2 e 3 in figura. Infatti, presa una qualsiasi linea di campo, ci sono due possibilità: può essere concatenata ad L (vale a dire che non si può separare da L senza aprirla, come la linee grande in figura, che forma conL una catena) oppure può essere non concatenata, cioè separabile senza tagliarla (linea piccola in figura). Le linee di campo concatenate ad L bucano lo stesso numero di volte tutte le superfici aventi contorno L , ad esempio bucano una sola volta le 1 ,2 e 3 . Invece, le linee di campo non concatenate ad L , non sempre bucano le superfici di contorno L , ma quando lo fanno è sempre una volta in ingresso ed una in uscita, così che il loro contributo al flusso è nullo. Questa proprietà fa si che si possa associare un valore di flusso direttamente alla curva chiusa L senza individuare la superficie, dato che il numero di attraversamenti è lo stesso per tutte le superfici aperte di contorno L . A questa grandezza si dà il nome di flusso magnetico concatenato ad L . Nel caso in cui il contorno L abbia un suo orientamento, possiamo assegnare un segno al flusso magnetico concatenato con la consueta regola della mano destra, considerandolo positivo se disponendo il pollice della mano destra 8 Nei casi più complessi di quelli qui considerati, si tratta di curve senza inizio né fine.

n̂B

a

A B

a

AA

flussopositivo

flussonegativo

( )S

B è il numero di linee

per unità di area ortogonale

B è il numero totale

di linee che attraversano S

f

concatenata

2 13

B

L

B

L

flusso concatenato

positivo

273

nel verso in cui le linee di campo attraversano L , le dita lunghe girano nel senso dell’orientamento di L . Esercizi 11. Una scatola a forma di cubo di spigolo cm40.0 è appoggiata sul pavimento di una stanza dove si trova un campo magnetico uniforme di intensità T32.50 10-´ . Sapendo che le linee di B

formano col pavimento l’angolo di 40.0J = in figura, calcolare il

flusso magnetico complessivo attraverso tutte le facce che non poggiano sul pavimento. Sappiamo che il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, quindi il flusso attraverso tutte le superfici che non poggiano deve essere uguale e contrario a quello attraverso la superficie a contatto col pavimento, in modo che la somma sia zero. Essendo il cubo una superficie chiusa, le normali sono tutte uscenti, quindi l’angolo che B

forma con la normale alla superficie appoggiata è: 90.0 90.0 40.0 130a J= + = + = da cui si ha il flusso magnetico attraverso di essa:

Tm Tm3 2 2 2( ) | | cos (2.50 10 0.400 cos130 ) 0.257S appoggiata B B Af a -- = = ´ ´ ´ =-

e quindi il flusso magnetico attraverso le altre: Tm20 ( ) 0.257altrefacce S appogg altrefacce S appogg Bf f f f- -+ = =- =

Il valore (a parte il segno) viene uguale perché si tratta del flusso magnetico concatenato alla linea chiusa costituita dal perimetro della faccia appoggiata al pavimento. 12. Un paracadute a forma di semisfera di raggio m2.50R = sta atterrando in una regione dove si trova un campo magnetico uniforme di intensità T35.20 10-´ inclinato di 45.0 rispetto alla normale al terreno. Calcolare il flusso concatenato alla linea formata dal bordo del paracadute ed il flusso magnetico attraverso il paracadute stesso. [R: Tm20.102 ] 13. Una cornice quadrata il cui lato esterno misura cm1 30.0= ed il cui lato interno è

cm2 25.0= viene posta su di un piano orizzontale in un campo magnetico uniforme

di T36.00 10-´ inclinato di 20.0a = rispetto alla direzione verticale. Calcolare il flusso magnetico attraverso la superficie delimitata dalla cornice. [R: Tm20.155 ] 14. Calcolare il numero di linee di campo che attraversano una superficie quadrata di lato

m80.0= la cui normale forma un angolo di 75.0 con un campo magnetico uniforme T26.00 10-´ se si rappresenta l’intensità di T1 con una linea per ogni metro quadro di

superficie ortogonale. Calcolare il numero massimo di linee che possono attraversare la superficie. [R: linee linee131 ,384 ] 15. Calcolare il flusso magnetico concatenato ad un percorso chiuso avente la forma del triangolo costituito dalle diagonali di tre facce adiacenti di un cubo di spigolo

cm80.0s = come in figura. Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale ed immerso in un campo magnetico verticale, uniforme, di intensità T| | 0.150B =

.

[R: Tm2 24.80 10-´ ]

B

40

n̂

n̂

B

45

B a

s

B

274

2. Il motore elettrico in corrente continua Come schematizzare l’azione meccanica di un campo magnetico su di un magnete? Un campo magnetico uniforme causa la rotazione di un magnete, ma non è capace di produrre la sua traslazione. Ad esempio il campo terrestre, che è senz’altro uniforme sulla piccola scala di un aghetto da bussola, ne causa l’orientamento in direzione nord-sud, ma non la traslazione. L’aghetto semplicemente ruota fino a disporsi lungo una retta tangente alla linea di campo in quel particolare punto. Poiché, come sappiamo, una forza singola non può produrre rotazioni, questo tipo di azione può essere schematizzato dicendo che tutto va come se sugli estremi dell’aghetto agisse una coppia9 di forze, una applicata sul polo nord e diretta come B

, ed una applicata

sul polo sud e di verso opposto a B

, di risultante nulla. La direzione lungo cui l’ago si allinea è quella in cui il momento della coppia diviene nullo. Viceversa, campi mangetici non uniformi come quello fra i poli di un magnete, sono capaci di attrarre oggetti di materiale ferromagnetico come spilli, chiodi o limatura, in prossimità dei poli, cioè producono anche traslazioni. In una regione di spazio ove sia presente un campo magnetico B

non uniforme, l’aghetto magnetico, oltre a ruotare, trasla lungo

le linee di campo spostandosi nel verso in cui aumenta l’intensità10, cioè là dove le linee di campo s’infittiscono, come espresso dal criterio di Faraday. Anche l’azione di un campo non uniforme su di un magnete necessita di un sistema di almeno due forze, applicate sui due poli del magnete, per essere schematizzata. In questo caso però non si tratta più di più una coppia: le due forze infatti, oltre a far ruotare, devono necessariamente avere una risultante non nulla che produce la traslazione del magnete. Qual è l’azione meccanica del campo magnetico su di una spira di corrente? Consideriamo ora una spira rettangolare di lati ,h percorsa da una corrente I , alla quale con un supporto meccanico venga permesso solo di girare attorno ad un asse orizzontale. Ci chiediamo quale sia il risultato delle forze magnetiche complessivamente agenti su di essa ad opera di un campo B

uniforme verticale. La

regola per la forza magnetica ci dice che sui due lati di lunghezza h agiscono, in versi opposti, le due forze 2F

ed 4F

parallele all’asse di rotazione. Esse tendono solo a

deformare la spira (cosa che non accade se essa è robusta) ma non hanno effetto sull’unico movimento che le abbiamo consentito, cioè quello rotatorio attorno all’asse. Osserviamo invece i due lati di lunghezza : questi si mantengono sempre perpendicolari al campo B

, comunque ruoti la spira. Su di essi agiscono, in versi

opposti, le forze 1F

ed 3F

, entrambe aventi la stessa intensità:

1 3 sin90F F I B I B= = =

(essendo il campo sempre perpendicolare alla corrente risulta sin 1J = ). Le forze 1F

ed 3F

costituiscono una, cioè un sistema che fa ruotare la spira attorno al perno girevole centrale. La capacità di far ruotare di una coppia viene espressa dal suo momento torcente t (tau), pari al prodotto dell’intensità delle forze per la distanza fra le loro rette di azione (detta braccio della coppia). In questo caso il braccio, distanza fra le 9 Richiamo: un sistema di due forze appartenenti allo stesso piano, aventi uguale intensità, parallele ma con versi opposti, si dice coppia di forze. Il risultante di una coppia è chiaramente nullo. Il momento di una coppia indica la sua capacità di

far ruotare un qualunque segmento perpendicolare alle rette di azione delle forze. Detta b la distanza fra le due rette di

azione delle forze (braccio della coppia), il momento è definito dal prodotto b F ed indicato con la lettera greca τ (tau). 10 Quindi per stabilire la direzione delle linee di campo di una calamita occorre impedire all’ago di traslare, ad esempio poggiando la bussola su di un piano con attrito.

La Controfisica Direzione e verso delle linee del cam-po magnetico possono quindi essere anche definiti come quelli della forza che agisce sul polo nord di un aghetto. Piccoli oggetti di forma allungata di numerosi materiali, come ad esempio un ba-stoncino di ferro, si comportano nello stesso modo dell’aghetto, perché ap-pena immersi nel campo si magnetiz-zano, e quindi ruotano sino ad alli-neandosi lungo il campo stesso, ma va detto che nella grande maggioranza dei casi il momento delle forze è assai debole.

h

I

II

I

3

F

I

B

B

B

1

F

2

F

4

F

I

N

SF-

F

B

275

rettte di azione delle due forze, è pari a sinh a , dove a è l’angolo che la normale al piano della spira forma col campo B

:

| | sin | | sin | | sinF h I h B IA Bt a a a= = =

Nell’ultimo passaggio abbiamo indicato con A h= l’area della spira. Mentre la spira gira, tirata a destra ed a sinistra dalle due forze, il braccio diminuisce progressivamente, finché non diviene nulla quando 0a = e la superficie delimitata dal circuito si trova essere attraversata perpendicolarmente dalle linee del campo. In quell’istante, essendo nulla la distanza fra le rette di azione di 1F

ed 3F

, la coppia

non è più capace di produrre rotazioni, e viene raggiunto un equilibrio. Come si vede, il momento torcente sulla spira dipende dalla superficie A che il circuito racchiude, e non contiene alcun dettaglio geometrico dovuto al fatto che si sia scelta la forma rettangolare. Ciò suggerisce che anche per spire di forma differente, ad esempio circolare, si debba ottenere per t la stessa espressione contenente A , ed infatti questo è proprio quanto risulta da analisi più dettagliate. A cosa possiamo paragonare il comportamento di una spira in un campo

B ?

Immaginiamo un ago magnetico avente direzione perpendicolare al piano della spira e nord orientato come il dito pollice di una mano destra le cui dita lunghe girano nel verso della corrente. Posto in un campo magnetico l’aghetto ruoterebbe fino ad allineare il suo asse con B

, con il nord che punta come il campo. Allo stesso

modo fa la spira, che tende ad allineare con il campo la direzione normale all’area da essa delimitata. Un’analisi più dettagliata mostra che la forma della spira non ha alcuna importanza, e che il momento torcente è sempre proporzionale all’area, alla corrente ed al seno dell’angolo formato dalla normale col campo. Si può quindi stabilire una piena equivalenza fra un aghetto magnetico ed una spira percorsa da corrente: un risultato che viene detto teorema di equivalenza di Ampère. Possiamo poi generalizzare la relazione trovata per il momento torcente associando ad ogni spira un vettore momento magnetico avente direzione e verso della normale alla spira, ed intensità e verso tali che:

ˆm IAn=

Dove il versore n̂ orientato come l’ago magnetico equivalente alla spira. Con tale scelta, l’azione meccanica di un campo B

esterno su di una spira può sempre

esprimersi servendosi del simbolo “´” di prodotto vettoriale:

m Bt = ´

Con questa scrittura sintetica intendiamo che una spira di momento magnetico m

(unità di misura Am2 ) immersa un campo B

, col quale la normale forma un angolo a , subisce un momento torcente indicato dal vettore t . L’intensità del vettore momento torcente vale | | | |sinIA Bt J=

(unità di misura Nm ), la sua direzione è

perpendicolare sia ad m che a B

, ed il verso tale da vedere in senso antiorario la rotazione di m che spazzando a si sovrappone a B

(entrante nel foglio per il caso

in figura). Come vengono sfruttate queste proprietà della spira per fare un motore elettrico? Per far si che la spira funzioni da motore elettrico, è necessario che compia delle ro-tazioni continuative, senza fermarsi nell’istante in cui il campo la buca perpendico-larmente. Per fare questo si utilizza il commutatore, un dispositivo che ha lo scopo di cambiare automaticamente il verso della corrente ogni mezzo giro. Il commutatore

Ä

B

1

F

3

F

sin 0a =I

ÄI

I

1

F

B

3

F

sinaìïïïíïïïî

aa

I

+

I

I

-

B

1

F

2

F

B

a

m

t

ago magnetico equivalente

ad una spira circolare

I

m

276

si serve di contatti che strisciano sulle due metà di un cilindro di metallo, dette spaz-zole, separate da un isolante, ognuna delle quali connessa ad un capo della spira che deve ruotare. Non appena si invia una corrente I nel circuito, la spira si comporta come un ago magnetico: qualunque sia la posizione di partenza, sotto l’azione delle due forze 1F

ed 2F

in figura, inizia a ruotare portandosi con la superfice

perpendicolarmente al campo, in modo che il nord dell’ago ad essa equivalente punti nel verso di B

. In assenza del commutatore la rotazione qui si arresterebbe. In ogni

caso il fenomeno non sarebbe immediato, infatti per inerzia tenderebbe a scavalcare l’equilibrio leggeremente, e poi oscillerebbe intorno ad esso per un po’, come un pendolo attorno al punto più basso.

Nel preciso istante in cui il piano della spira si trova perpendicolare a B

, il commu-

tatore scambia automaticamente il lato della spira a contatto con il terminale positivo della batteria con quello a contatto col negativo, e la corrente nella spira muta di ver-so. Di conseguenza cambiano di verso anche le forze sui lati che sono sempre per-pendicolari al campo, permettendo alla spira di completare il mezzo giro mancante, e poi il processo si ripete. Grazie al commutatore abbiamo realizzato un dispositivo a batteria che ruota ininterrottamente, e che viene detto motore elettrico in corrente con-tinua (cc). Come possiamo aumentare il momento torcente del motore? Nella pratica, il motore elettrico in corrente continua si costruisce avvolgendo del filo in modo da formare un circuito composto da un numero N di spire: un grande numero di avvolgimenti serve a moltiplicare l’efficacia dell’azione torcente esercitata dal campo. Infatti, poiché l’area complessiva delimitata dal filo risulta ora NA , il momento torcente che produce la rotazione vale:

| | sinNIA Bt a=

Si costruisce quindi un supporto che renda possibile la ruotazione attorno ad un asse centrale appartenete al piano del circuito. Si dispone poi l’apparato fra i poli di un magnete, dove si ha un campo B

abbastanza uniforme e perpendicolare all’asse

attorno a cui la struttura può ruotare e si collega il commutatore ai capi della spira, con i due contatti striscianti che chiudono il circuito sulla batteria. Esercizi 16. Viene costruita una bobina con 100 avvolgimenti a sezione quadrata di lato

cm25.0 , ed in essi inviata una corrente A4.00I = . Si calcoli il momento torcente

esercitato su di essa da un campo magnetico uniforme d’intensità T25.00 10-´

Il primo motore elettrico venne co-struito da Michael Faraday a Londra nel 1821. Si trattò del prototipo di motore che oggi chiamiamo omopola-re, diverso da quello descritto nel te-sto. Il circuito si chiudeva grazie ad una vaschetta di mercurio, al centro della quale c’era un magnete. e dentro alla quale pescava una barretta metalli-ca girandovi attorno. Faraday, che a quel tempo era assunto come lavatore di bottiglie nel laboratorio della Royal Institution, costruì dei modellini con il mercurio chiuso in un’ampolla e li spedì ai maggiori fisici che si occupa-vano di elettricità in Europa.

+

-

B

la spira scavalca il punto

di equilibrio per inerzia

Ä

I

1

F

2

F

I

+

-

I

I

B

prima metà

del giro

Ä

I

1

F

2

F

+

-

I

I

B

si inverte I e quindi

il verso delle forze

I

1F

2F

B

277

nell’istante in cui forma un angolo di 30.0 con la normale al piano della spira. Si calcoli il massimo valore che tale momento torcente può assumere. Dalla formula per il momento torcente di un motore in corrente continua:

Nm Nm2| | sin (100 4.00 0.250 sin 30.0 ) 12.5NIA Bt a= = ´ ´ ´ =

Il valore massimo si ha nel momento in cui la spira è bucata perpendicolarmente dalle linee del campo magnetico ed 90a = :

Nm Nm2| | sin (100 4.00 0.250 sin 90.0 ) 25.0NIA Bt a= = ´ ´ ´ =

17. Una spira circolare di raggio cm4.00R = è disposta con la normale che forma un angolo 45.0J = con le linee di un campo magnetico uniforme d’intensità

T0.500 . Nella spira si ha una corrente A0.300I = che appare antioraria ad un osservatore verso cui sono dirette le linee di B

. Calcolare il momento magnetico

della spira, il momento torcente che agisce su di essa e descriverne la rotazione. [R: Am Nm 3 2 31.51 10 ,0.534 10 ,m tende ad allinearsi a B- -´ ´

] 18. Una spira in cui si ha corrente A3.00I = ha la forma del triangolo costituito dalle diagonali di tre facce di un cubo di spigolo cm70.0s = , come in figura. Calcolare il suo momento magnetico. Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale ed immerso in un campo verticale, uniforme, T2| | 9.00 10B -= ´

. Calcolare il

momento torcente esercitato dal campo e descrivere il movimento della spira. [R: Am Nm 21.27 ,0.0933 ,la superficie della spira tende a porsi a B^

]

3. La formula di Biot e Savart Come abbiamo visto, le sorgenti del campo magnetico sono le correnti elettriche. È quindi importante studiare la situazione più semplice che possa presentarsi, cioè esplorare lo spazio intorno ad un filo rettilineo in cui si sia inviata una corrente d’intensità costante I . Per semplicità porremo che il filo sia infinitamente esteso: in termini pratici questo significa che il risultato della nostra analisi sarà valido solo per distanze dal filo alle quali tutto va come se il filo fosse infinito, cioè molto minori della sua lunghezza. Esporremo ora il legame quantitativo che le osservazioni mostrano esistere, fra il valore I della corrente, ed intensità direzione e verso del campo B

che essa genera nello spazio intorno. Quali caratteristiche hanno le linee di campo magnetico di un filo percorso da corrente? Tramite un aghetto magnetico si osserva che intorno al filo esiste un campo B

avente simmetria cilindrica. Con questi termini intendiamo che le linee di B

che l’ago mostra sono circonferenze concentriche, centrate nel filo stesso e giacenti su piani perpendicolari al filo. Il loro orientamento - cioè il verso in cui punta il nord dell’ago - è quello indicato dalla seguente regola della mano destra: Regola della mano destra per il campo magnetico di un filo se si afferra il filo con la mano destra orientando il pollice come la corrente, le dita lunghe si stringono intorno al filo puntando nel verso delle linee del campo magnetico.

B

I

I

B

B

I

maxt

1

F

B

3

F

a

JI

B

s I

B

278

Come si esprime l’intensità del campo magnetico vicino al filo rettilineo? Le osservazioni condotte per la prima volta nell’annno 1820 dai fisici francesi Jean Biot e Félix Savart, mostrano che l’intensità del campo magnetico intorno ad un filo in cui si invia una corrente I , si mantiene costante lungo ogni circonferenza individuata dalle linee di campo. Il campo risulta tanto più intenso quanto maggiore è I , e diviene sempre più debole man mano che il raggio r della circonferenza aumenta, cioè /| |B I rµ

. I risultati delle misure sono riassunti dalla

formula di Biot e Savart: Formula di Biot e Savart Nel vuoto (ma anche nell’aria o nell’acqua), intorno ad un filo rettilineo in cui è presente una corrente stazionaria I , in un punto a distanza r dal filo si ha un campo magnetico d’intensità:

0

2

IB

r

m

p=

le cui linee sono circonferenze centrate sul filo, appartenenti ad un piano ad esso perpendicolare ed orientate secondo la regola della mano destra. La costante 0m si chiama permeabilità magnetica del vuoto, e riveste un ruolo analogo a

quello di 0 in elettrostatica. Nel SI risulta:

T m/A70 4 10m p -= ´ ⋅

Esercizi 19. Un filo di rame ( m81.69 10ramer -= ´ W ) di diametro mm1.00 , è posto in verticale e collegato fra pavimento e soffitto di una stanza alta m5.00 . Alla distanza di cm6.00 dal filo si misura un campo magnetico di T40.200 10-´ . Si calcoli la differenza di potenziale fra il pavimento ed il soffitto. Dalla formula di Biot e Savart ricaviamo la corrente nel filo:

A A2 -4

70

2 2 6.00 10 0.200 106.00

4 10

rI B

p pm p

-

-

´ ´ ´ ´= = =

´

Calcoliamo la resistenza del filo di rame tramite la seconda legge di Ohm:

/

88 6

3 2 2

1.69 10 5.00 1.69 5.0010 0.108

3.14 (1.00 10 2) 3.14 0.500

LR

Ar

-- +

-

´ ´ ´= = W = ´ W = W

´ ´ ´

La corrente nel filo è legata alla differenza di potenziale ai suoi capi dalla prima legge di Ohm:

V V(0.108 6.00) 0.648V RID = = ´ = 20. Ad una distanza di cm2.50 da un lungo filo rettilineo viene misurato un campo magnetico di T40.300 10-´ . Si calcoli quanto vale la corrente nel filo ed il campo che esso produce alla distanza di cm12.0 . [R: A T53.75 ,0.625 10-´ ] 21. Alle latitudini europee, il campo magnetico terrestre ha sulla superficie un valore mediamente pari a T40.500 10-´ . Una resistenza 0.300R = W viene collegata ad una batteria di fem V1.50 tramite un filo di rame di resistenza trascurabile. Calcolare la distanza dal filo a cui bisogna porsi per eguagliare l’intensità del campo terrestre [R: cm2.00 ]

La Controfisica Il valore numerico di µ0 non è indi-

pendente da quello di ε0 perché il coulomb e l’ampere sono grandezze legate, infatti 1A=1C/s. Abbiamo quindi la libertà scegliere per una delle due un valore comodo, e di dedurre l’altra dalle misure, rispettando la rela-zione che le lega. Nel SI si misura:

ε0=8.85×10-12Nm2/C e si sceglie per µ0 il valore esatto:

µ0=4π×10-7Tm/A Si può dimostrar che la relazione che lega queste due costanti è:

µ0 ε0=1/c2

dove c è il valore della velocità della luce nel vuoto.

279

22. Un tostapane di potenza W660 , funziona alla tensione di V220 . Esso sfrutta l’effetto Joule prodotto dalla corrente in un filo disposto a forma di serpentina lunga oltre un metro. Calcolare il campo magnetico a distanza di cm1.50 dalla serpentina. [R: T54.00 10-´ ] 23. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro cm2.50d = , come in figura, trasportano due correnti, 1I ed 2I , entrambe d’intensità A5.00 , ma in versi

opposti. Calcolare l’intensità del campo risultante B

, somma vettoriale dei due campi 1B

e 2B

, nel punto P distante anch’esso cm2.50d = da ciascuno dei due

fili. DisegnareB

. [R: T54.00 10-´ ] 24. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro cm2.50d = , come in figura, trasportano due correnti, 1I ed 2I , entrambe d’intensità A5.00 , nello stesso

verso (uscente dal foglio). Calcolare l’intensità del campo risultante B

nel punto P , distante anch’esso cm2.50d = da ciascuno dei due fili. Disegnare B

.

[R: T56.93 10-´ ] 25. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro cm4.00d = , come in figura, trasportano due correnti, A1 5.00I = ed A2 2.00I = , in versi opposti. Si

calcoli il campo magnetico in un punto P a destra di 2I , sulla linea che contiene i

due punti in cui le correnti bucano il foglio, e distante altri cm4.00 da 2I

[R: T 50.25 10 verso il basso-´ ] 26. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro cm1.50d = , come in figura, trasportano due correnti, 1I ed 2I , entrambe d’intensità A6.00 , nello stesso verso, entrante nel foglio. Si calcoli l’intensità e si disegni campo magnetico nel punto P posto sopra ad 1I , sulla perpendicolare alla linea che contiene i due punti in

cui le correnti bucano il foglio, e distante cm1.50 da 1I . [R: T41.27 10-´ ] 27. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro cm9.00d = , trasportano due correnti, A1 3.00I = ed A2 4.00I = in versi opposti. Calcolare a

quale distanza x da 1I deve essere posto il punto P in figura in modo che vi si misuri un campo magnetico nullo. [R: cm3.86 ] Come si calcola l’intensità della forza fra due fili paralleli sede di corrente? Due fili rettilinei paralleli, attraversati da correnti 1I ed 2I , si trovano immersi l’uno nel campo magnetico generato dall’altro: mostreremo ora che essi si attraggono quando le correnti sono equiverse, e si respingono quando hanno versi opposti. Se la distanza fra i fili è molto inferiore alla loro lunghezza, possiamo servirci della formula di Biot e Savart per calcolare l’intensità del campo, e poi utilizzare la relazione | | | | sinF IL B J=

che lega il campo alla forza su di un filo lungo L , che

forma un angolo J col campo stesso. Consideriamo prima il caso in cui le due correnti abbiano lo stesso verso e calcoliamo l’azione 21F

esercitata da 1I su 2I . Il

campo 1B

generato dal filo 1I nella posizione dove si trova 2I , è uscente dal foglio e

forma con 2I un angolo 90J = . Per il filo 2I quindi tutto va come se si trovasse in

una regione di spazio sede di un campo magnetico uniforme. Come sappiamo, 21F

P

d1I 2I

1B

2B

d

1I 2I

Pd

P

d1I 2I

dd

d1I 2I

P

d

2B

1B

x

1I 2IP

1B

2I21F

2B

1I12F

21

F

J

1

B

2I

280

dev’essere perpendicolare ad 2I ed a 1B

, ed il suo verso tale da veder avvenire in

senso antiorario la rotazione che, spazzando l’angolo J porta 2I a sovrapporsi a 1B

.

Questo produce una forza diretta verso 1I e perpendicolare ad entrambi i fili, come

in figura. Nel vuoto e nell’aria si ha che /21| |F L

, cioè la forza per unità di lunghezza, vale:

21 0 1 22 1

| |sin 90

2

F I II B

L d

m

p= =

Poiché la legge di azione e reazione impone che la forza esercitata da 1I su 2I sia

uguale e contraria a quella esercitata da 2I su 1I , la formula trovata fornisce anche

la forza per unità di lunghezza /12| |F L

subita dal filo 1I . L’intensità della forza non

cambia se cambiamo il verso di 2I , ottenendo due fili percorsi da correnti opposte.

In questo caso però, il vettore 21F

, sempre perpendicolare ad 2I ed a 1B

, deve avere verso opposto a prima se vogliamo che continui a vedere in senso antiorario la rotazione che porta 2I a sovrapporsi a 1B

. Per la terza legge della dinamica

cambierà anche il verso di 12F

, producendo un’azione repulsiva fra i due fili. Come si definisce l’ampere nel SI di misura? Quando introducemmo l’unità di misura della carica elettrica, il coulomb, spiegammo che tale grandezza viene definita a partire dalla corrente elettrica in quanto la misura di corrente è assai più semplice sperimentalmente della misura di carica. Possiamo ora dare la definizione di ampere, riconducendo la misura di corrente a quella di una forza. Diremo dunque che se due fili rettilinei e paralleli a distanza di un metro l’uno dall’altro, e percorsi da correnti uguali, si attraggono con una forza per metro di intensità /( N/m7

0( 1 1) 2 1) 2 10m p -⋅ ⋅ ⋅ = ´ essi sono percorsi da correnti di un ampere. Esercizi 28. I capi di due grossi cavi percorsi da correnti uguali ad I ed equiverse, sono sospesi con dei fili sottili, e si avvicinano come in figura, con cm2.00d = . Sapendo che la massa per unità di lunghezza dei cavi vale kg/m23.00 10a -= ´ , calcolare il valore della corrente I . Cosideriamo ad esempio il cavo di sinistra, che chiameremo cavo 1. Ponendo che il tratto sospeso sia lungo L , su di esso agiranno: la forza magnetica 12F

orizzontale e

diretta verso il cavo 2, il peso W

, e la tensione T

del filo sottile. L’intensità della forza magnetica su di un tratto di filo lungoL e il peso dello stesso tratto, avente massa pari ad m aL= , valgono rispettivamente:

0 1 212 2

I IF L W mg aLg

d

m

p= = =

La situazione di equilibrio 12 0W T F+ + =

impone che le forze siano lati di un triangolo rettangolo di cui la tensione è ipotenusa, e uno degli angoli risulti 5.00 . La misura del cateto opposto ad un angolo, rapportata alla misura del cateto adiacente, è pari alla tangente goniometrica dell’angolo stesso:

/12tan(5.00 ) F W =

. Sostituendo l’intensità delle forze in questa relazione si

ottiene il valore della corrente:

d

5.00 5.00

1B

2I

21F

2B

1I

12F

21

F

J1

B

2I

5.00

T

W

12F

5.00

T

12F

W

281

12 0 1 2tan(5.00 )2

F I IL

dW

m

p = =

1

a L´

20

2

I

dagg

m

p=

0

2 tan(5.00 ) 2dagI

p pm

⋅ = =

2 22.00 10 3.00 10 9.81 0.0875

4 p

- -´ ´ ´ ´ ´ ´ A A7

50.710-

=´

29. I capi di due grossi cavi percorsi da correnti uguali ad I ma aventi versi opposti, sono sospesi ad uno stesso punto tamite dei fili sottili, e si allontanano di un tratto

cm1.50d = , come in figura, formando un angolo di 6.00 . Sapendo che la massa per unità di lunghezza dei cavi vale kg/m21.20 10a -= ´ , calcolare I . [R: A21.5 ] 30. Due spire circolari di raggio cm15.0R = sono affiancate a distanza

mm4.00d = e percorse dalle correnti A1 2.00I = ed A2 3.00I = , entrambe in

verso orario. Calcolare la forza con la quale si attirano. [ R: N42.83 10-´ ] 31. Due spire circolari molto leggere, di raggio cm20.0R = , sono tenute una sopra all’altra e percorse dalle correnti A1 6.00I = ed A2 9.00I = , in versi opposti. Si osserva che alla distanza mm1.20d = la repulsione magnetica equilibra il peso della spira superiore. Calcolare la massa di tale spira. [ R: g1.15 ]

4. La legge di Ampère Come viene definita la circuitazione magnetica? In un piano perpendicolare al filo in cui si ha corrente I , consideriamo ora un percorso chiuso, che circondi il filo stesso. In questa situazione si dice che la corrente è concatenata al percorso, intendendo con questo termine il fatto che per separarla da esso dovremmo aprirlo in un suo punto. Calcoliamo ora quella che viene detta la circuitazione di B

(o anche circuitazione magnetica) e cioè suddividiamo il percorso

in tanti tratti di lunghezza sD e consideriamo il campo in ognuno di questi trattini. Scomponiamo il campo in una componente B^

normale al trattino, ed in una B

parallela al trattino. Adesso percorriamo interamente la curva chiusa da noi scelta, muovendoci in un senso che appaia antiorario ad un osservatore verso il quale si dirige la corrente (nel momento in cui entra nel percorso). Lungo il tragitto addizioniamo tutti i prodotti B sD dell’intensità B della componente parallela per la lunghezza sD

del trattino stesso. Prenderemo con segno negativo solo i trattini dove B

punta in

direzione opposta a quella scelta per fare il giro. Si ottiene così:

1 1 2 2( ...)circuitazione di B B s B s B s= D D =S D

Per brevità a volte indicheremo la circuitazione del campo magnetico anche con il simbolo ( )C B

. Le dimensioni fisiche della cicuitaizione sono T m[ ( )]C B = ⋅

, come

risulta evidente esaminandone la definizione.

In questa figura, I esce dal foglio, e quindi il lettore è un osservatore verso il quale sta avanzando la corrente. La circui-tazione è pertanto calcolata muoven-dosi nel senso che appare antiorario al lettore.

B

B

B

B

isD

I

d

6.00

2I

1I

2I

1I

282

Di quali proprietà gode la circuitazione del campo magnetico di un filo? Qualunque sia la forma reale del tragitto, è sempre possibile immaginare che un percorso chiuso, in un piano perpendicolare al filo, sia composto solo di tratti radiali, cioè disposti lungo semirette che partono dal filo, e di tratti circolari, cioè disposti su archi di circonferenze centrate nel filo stesso. È infatti sufficiente disegnare attorno al filo una quadrettatura sufficientemente fitta di questi elementi per approssimare bene qualsiasi curva chiusa. Dato che le linee del campo magnetico generato da un filo sono circonferenze, la componente B è sempre nulla sui tratti radiali, che quindi

non contribuiscono alla circuitazione. Sui tratti circolari la formula di Biot e Savart ci assicura che la componente parallela corrisponde a tutta l’intensità del campo:

/0 2B I rm p= . Se con JD indichiamo l’angolo al centro, in radianti, corrispondente

all’arco sD , risulta s r JD = D che sostituito nella formula per la circuitazione di B

:

0

2

IB s

r

m

pS D = 1

1

r 01

22

I

r

mJ

pD 2r

0 02 1 2... ( ...)

2 2

I Im mJ J J

p pD = D D = 2p⋅ 0Im=

Nel calcolo si è sfruttato il fatto che al termine di un giro completo, la somma degli angoli al centro 1 2( ...)J JD D è pari all’angolo giro 2p . Il risultato ottenuto dice che la circuitazione del campo magnetico in un percorso concatenato ad un filo non dipende dalla forma del percorso, ma vale sempre 0Im . Cosa cambia se il percorso non è concatenato oppure se è concatenato più volte? Nell’eventualità di un percorso complesso in cui vi fossero angoli spazzati prima in verso orario e poi antiorario, (cioè che per qualche tratto si vada avanti e poi indietro), questi figurerebbero con segno opposto e si eliderebbero. Un percorso non concatenato alla corrente spazza uno stesso angolo prima avanti e poi indietro e quindi per esso si trova un valore nullo di circuitazione. Se invece la concatenazione avviene più di una volta, ogni giro completo del percorso attorno al filo comporterà la somma di un ulteriore angolo di 2p nella precedente formula, e quindi la corrente andrà in tali casi moltiplicata per il numero di concatenzazioni. La proprietà così dimostrata vale anche per i fili non rettilinei? Nella semplice situazione di un filo rettilineo, ad una distanza per cui valga la legge di Biot e Savart, abbiamo dimostrato che la circuitazione di B

non dipende dalla

forma del percorso. Questo risultato ha validità generale, e si applica ad un qualunque numero fili, anche non rettilinei, e per percorsi curvi contenenti cappi che possono essere più volte concatenati con uno stesso filo, e che nemmeno giacciono su di un piano, e costituisce la legge di Ampère: Legge di Ampère La circuitazione magnetica ( )C B B s=S D

non dipende dalla forma del cammino

chiuso scelto, ma si ottiene moltiplicando per 0m la somma algebrica delle sole correnti ad esso concatenate:

0( ) concC B Im= S

Le correnti hanno segno positivo se si dirigono verso un osservatore che vede il cammino orientato in senso antiorario, altrimenti negativo. Ognuna di esse figura nella somma tante volte quanti sono i giri completi che il cammino gli compie intorno.

circuitazione 0=

0Icircuitazione m=

B

B

B

JD

I

I

283

Esercizi 32. Considerato il percorso chiuso ABCDA, calcolare attraverso di esso la circuitazione del campo magnetico prodotto dalle tre spire di corrente A1 4.00I = ,

A2 5.00I = , A3 3.00I = . Si vede subito che la corrente 1I non è concatenata col percorso ABCDA in quanto può esserne separata senza che lo si debba aprire. Pertanto la circuitazione del campo che essa genera è nulla. Sono invece concatenate col percorso scelto le altre due correnti 2I ed 3I . Guardando la figura il lettore vede il cammino ABCDA orientato in senso antiorario, quindi la corrente 3I che entrando nella regione delimitata da esso,

avanza verso di lui avrà circuitazione positiva. Viceversa 2I , che nel momento in cui entra nella regiene delimitata da ABCDA si allontana dal lettore, avrà circuitazione negativa. Sommando i due termini con i relativi segni otteniamo:

T m T m7 60 2 0 3 0 4 10 (3.00 5.00) 2.51 10B s I Im m m p - -S D = - = = ´ - ⋅ =- ´ ⋅

33. Attraverso il cammino orientato in figura, calcolare la circuitazione del campo B

generato dai fili percorsi dalle correnti A1 8.0I = , A2 6.0I = , A3 2.0I = , A4 1.5I = .

[R: T m64.4 10-´ ⋅ ] 34. Attraverso il cammino orientato in figura, calcolare la circuitazione del campo B

generato dai fili percorsi dalle correnti A4.0AI = , A7.0BI = , A5.0CI = ,

A2.5DI = . [R: T m65.7 10-- ´ ⋅ ] 35. Considerato il percorso chiuso ABCDEFGHLMA, calcolare attraverso di esso la circuitazione del campo magnetico prodotto dalle sole due spire di corrente

A1 3.00I = , A2 4.00I = . [R: T m66.28 10-- ´ ⋅ ] 36. Considerato il percorso chiuso ABCDEFGHLMA, calcolare attraverso di esso la circuitazione del campo magnetico prodotto dalla sola spira di corrente A3 6.00I = .

Con riferimento all’esercizio precedente, si calcoli quale intensità dovrebbe avere 3I per rendere nulla la circuitazione magnetica complessiva. [R: T m A67.54 10 ,5.00-´ ⋅ ] 37. Calcolare la circuitazione magnetica del campo generato dai fili percorsi dalle correnti A1 5.0I = , A2 6.0I = , A3 1.0I = attraverso il percorso a forma di “otto” in

figura. [R: T m70.0 10-´ ⋅ ] Come sono fatte le linee del campo magnetico all’interno di un avvolgimento di filo? L’idea di avvolgere un filo ad elica nasce da una semplice intuizione: se, come dice la legge di Biot e Savat, un filo rettilineo produce un campo magnetico circolare, allora dando al filo le forma di una struttura chiamata solenoide, cioè un tubo fatto di successivi avvolgimenti (non necessariamente circolari, ma ad esempio anche di forma rettangolare, ovale ecc.), possiamo sperare di avere un campo magnetico rettilineo. Per capire i meccanismi in azione, useremo un modello semplificato in cui il campo magnetico di un solenoide è come se fosse dovuto ad una sequenza di anelli staccati, ciascuno percorso dalla stessa I . Nella figura abbiamo raffigurata una sezione di questi anelli, usando i simboli di corrente entrante nel foglio: Ä , ed

A D

CB

3I 2I

1I

Ä

Ä1I

2I3I

4I

ÄÄBI

AI CI

DI

A B

CD

1I 2I

3I

E F

G H

LM

Ä1I

2I3I

II

solenoide ad avvolgimenti circolari

284

uscente da esso verso il lettore: . Se ci poniamo molto vicino ad ogni porzione di filo, cioè realizziamo un solenoide ideale a spire molto serrate fra loro, siamo nelle condizioni della legge di Biot e Savart, ed osserveremo un campo magnetico a linee circolari centrate nel filo e perpendicolari alle spire. Nello spazio interno si intuisce che la composizione di questo campi circolari produce linee di campo sempre più parallele all’asse centrale del solenoide man mano che ci si avvicina ad esso. Questa intuizione è confermata dal fatto che B

non può avere una componente radiale, cioè

perpendicolare all’asse centrale dell’elica, perché le sue linee devono essere chiuse. Se infatti in un certo punto il verso di B

fosse radiale ad esempio uscente dall’asse,

dovendo poi la linea chiudersi, in qualche altro punto il campo dovrebbe essere necessariamente radiale entrante in esso. Ma questo è impossibile perché a causa della simmetria cilindrica della struttura tutte le posizioni di osservazione devono essere equivalenti: perché allora il campo dovrebbe essere in un punto diretto verso l’asse ed in un altro uscire da esso? Muovendoci lungo l’asse del solenoide o girando intorno ad esso, dovremmo trovare sempre la stessa configurazione nelle linee di B

. Il loro verso è ottenibile con una regola analoga a quella per la legge di

Biot e Savart: chiudendo le dita della mano destra nel verso della corrente, il pollice punta come B

.

Come si calcola l’intensità del campo magnerico del solenoide? Per calcolare l’intensità del campo applichiamo la legge di Ampère ad un percorso chiuso come il rettangolo 1234, coi lati 12 e 34 paralleli all’asse del solenoide, ed un verso di percorrenza indicato in figura. Calcoliamo la circuitazione di B

per via

diretta:

12 12 23 23B s B s B sS D = D + D 34 34B s+ D 41 41B s+ D

Infatti, se il campo non può essere diretto radialmente né dentro né fuori dal solenoide, risultano nulle le componenti 23B e 41B lungo i lati del rettangolo

perpendicolari all’asse. Inoltre risulta nullo anche 34B perché fuori dal solenoide, i contributi delle due pozioni di spira da un lato e da quello opposto all’asse si elidono, analogamente a come si combinano all’interno. Questo è tanto più vero quanto più si va lontano. Calcoliamo ora la stessa circuitazione per via diretta, addizionando le correnti concatenate al percorso 1234. Se N è il numero di spire che esso abbraccia, risulta:

0B s N ImS D =

eguagliando le due espressioni trovate si ha:

12 12 0 12 012

NB s N I B I

sm mD = =

D

Indicando con / 12n N s= D il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide, e

ricordando che 12| |B B=

otteniamo infine 0B n Im=

.

Campo magnetico dentro ad un solenoide Il campo B

all’interno di un solenoide ha un andamento approssimativamente

rettilineo e costante, parallelo all’asse centrale, orientato come il pollice di una mano destra che chiude le dita lunghe nel verso della corrente I . La sua intensità è direttamente proporzionale ad I ed al numero n di avvolgimenti per unità di lunghezza:

La Controfisica Per realizzare un solenoide compatto il filo deve essere rivestito di un iso-lante, ad esempio uno smalto. In caso contrario le spire si toccherebbero di fianco ed il percorso della corrente non sarebbe quello voluto. Il solenoi-de funziona come un magnete la cui intensità può essere regolata dalla cor-rente, si tratta pertanto di un elettroma-gnete. È forse il più utilizzato fra i di-spositivi magnetici: lo si trova nei campanelli, nei generatori, decine di essi sono assemblati in una radiolina, in una lavatrice od in una lavastoviglie, in un televisore, ed è il componente fondamentale dei motori elettrici.

La Controfisica Si noti che il campo magnetico di un solenoide NON è proporzionale al numero totale di avvolgimenti, bensì al numero di avvolgimenti per unità di lunghezza. Questo fa sì che lo stesso numero di spire produca un campo tanto più intenso quanto più esse ven-gono strette le une affianco alle altre.

ÄB

Ä Ä Ä Ä Ä Ä

B = 0

12

3 4

IB

285

0B n Im=

Tutte queste caratteristiche approssimate sono tanto più precise quanto più siamo in prossimità del suo asse centrale e quanto maggiore è n . Esercizi 38. Un sottile filo di rame smaltato, lungo m40.0h = , di diametro mm0.500d = , viene avvolto ad elica con spire circolari, serrate a contatto fra di loro. Si calcoli l’intensità del campo magnetico all’interno del solenoide così realizzato, quando i capi del filo vengono collegati ad una batteria di Vfem 4.50= (resistività del rame

m81.69 10r -= ´ W ). Per utilizzare la formula 0B n Im=

, dobbiamo prima calcolare I ed n .

La seconda legge di Ohm lega la resistenza R del filo alla sua lunghezza h ed alla sua sezione / 2( 2)A dp= :

/ 2( 2)

h hR

A dr r

p= =

che inserita nella prima legge di Ohm fornisce la corrente I nel solenoide: / A A

2 3 2

8

( 2) 3.14 (0.250 10 )4.50 1.31

1.69 10 40.0

dVI V

R L

pr

-

-

´ ´D= = D = ´ =

´ ´

Essendo le spire serrate a contatto (il filo è smaltato con un isolante), ognuna di esse contribuisce alla lunghezza totale del solenoide con uno spessore pari al suo diametro. Il numero n di spire in un metro di lunghezza si trova pertanto facendo il rapporto:

m spire/m spire/m3

1.00 1.002000

0.500 10n

d -= = =

´

da cui si ha per il campo magnetico: T T7 3

0 (2000 4 3.14 10 1.31 ) 3.29 10B n Im - -= = ´ ´ ´ ´ = ´

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza di tale campo, lo si confronti con quello terrestre alle latitudini italiane, che è circa T40.5 10-´ . 39. Un solenoide è realizzato con 140 avvolgimenti ogni centimetro, ed ha una resistenza complessiva di 50.0R = W . Si calcoli il campo magnetico al suo interno quando i capi sono connessi ad una batteria di Vfem 1.50= . [R: T45.28 10-´ ] 40. Si calcoli quanta corrente deve essere inviata in un solenoide lungo cm15.0L = , costituito da 210 avvolgimenti circolari, per produrre un campo di T40.300 10-´ al suo interno. [R: mA17.1 ] 41. Una corrente A5.00I = viene inviata in un solenoide di filo di rame

m8( 1.69 10 )r -= ´ W , ed il campo al suo interno risulta essere T42.00 10-´ . Si calcoli la sezione del filo usato e la lunghezza del solenoide sapendo che le spire sono serrate a contatto e che la sua resistenza è 45.00 10R -= ´ W . Si dica cosa succede al campo se il filo viene sostituito con uno ugualmente lungo ma di sezione doppia, mantenendo la stessa corrente. [R: mm cm T2 431.1 ,91.9 ,1.42 10-´ ] 42. Il flusso magnetico attraverso un piano perpendicolare all’asse di un solenoide vale Tm7 27.70 10-´ . Sapendo che il solenoide è composto da un filo di diametro

mm1.00 lungo m7.00L = avvolto in 100 spire circolari strettamente serrate, calcolare la corrente che vi scorre. [R:0.159A ]

B

mm0.500d =

286

43. Al centro di un grande solenoide lungo m2.00L = costituito da 800N = spire circolari, si pone una piccola spira circolare anch’essa, di raggio cm1.50R = , percorsa da una corrente A0.300SI = . Nell’istante in cui la cui normale alla spira forma un angolo 120J = con il campo magnetico del solenoide su essa agisce un momento torcente di intensità Nm7| | 9.00 10t -= ´

. Calcolare la corrente I nel solenoide. [R:9.76A ] 44. Un solenoide lungo cm90.0L = è costituito da 450N = spire quadrate di lato

2.00 cm= percorse da corrente A6.00I = . Calcolare l’intensità della forza con cui si attirano fra loro due spire. [R: 45.76 10 N-´ ]

5. Particelle cariche e campo magnetico Abbiamo visto che un tratto di filo rettilieo lungo L , percorso da una corrente I

stazionaria, se viene immerso in un campo B

uniforme che forma un angolo J con la corrente stessa, subisce una forza d’intensità | | | | sinF IL B J=

. Sappiamo anche

che la corrente stazionaria è legata alla velocità v delle cariche nel filo ed al numero di cariche per unità di volume n dalla relazione I nAqv= , dove A è la sezione del filo e 0q > il valore di ciascuna carica che costituisce la corrente. Sostituendo si ha:

| | | | sinF nALqv B J=

La quantità AL è il volume del filo, che moltiplicata per n produce il numero totale di cariche nel filo il cui spostamento costituisce la corrente. Pertanto l’intensità della forza su di una singola particella carica, che viene detta forza di Lorentz LF

si ha

dividendo ambo i membri dell’equazione precedente per nAL . Si usa per la forza di Lorenzt il simbolo “´” di prodotto vettoriale:

LF qv B= ´

Con questa scrittura sintetica intendiamo che una carica 0q > in moto con velocità

v in un campo magnetico B

, col quale v forma un angolo J , subisce una forza

LF

d’intensità | | | || | sin ,LF q v B J= e direzione perpendicolare sia a v

che a B

, e verso tale da vedere in senso antiorario la rotazione di v

che spazzando J si sovrappone a B

(in senso orario se 0q < ). La forza di Lorentz risulta quindi nulla

se la carica si muove con velocità parallela alle linee del campo magnetico, mentre assume valore massimo se v B^

.

Cosa accade ad una carica in moto in una regione sede di campo magnetico uniforme? L’azione della forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità della carica e cioè alla sua traiettoria. Questo significa che LF

non compie mai lavoro, e quindi se

essa è l’unica forza ad agire, la velocità potrà subire solo cambiamenti di direzione o di verso, ma non d’intensità, dovendo conservarsi l’energia cinetica. Pertanto se una particella di carica 0q > e massa m in moto con velocità costante v entra in una regione sede di un campo magnetico uniforme, si presentano tre possibilità, a seconda che si abbia 0J = , 90J = oppure J qualsiasi.

qB

LF

J

v

B

q

v

120 n̂

Ä Ä Ä Ä Ä Ä

SI

B

I

287

(1) Se la velocità è inizialmente parallela a B

( 0J = ), la particella prosegue indisturbata di moto rettilineo uniforme, essendo nulla la forza di Lorentz.

(2) Se la velocità è inizialmente perpendicolare al campo magnetico ( 90J = ), e quindi non ha componenti in direzione di B

, la forza di Lorentz non può

cambiare questa situazione, dato che essa non ha mai una componente lungo B

. Pertanto il moto avviene in un piano ortogonale al campo magnetico, ed in questo piano la particella subisce continuamente una forza d’intensità costante

| || |q v B perpendicolare alla velocità, e quindi alla traiettoria. Ma una forza

costante sempre perpendicolare alla traiettoria, è una forza centripeta, che come sappiamo costringe la particella a muoversi su di una circonferenza di raggio costate R tale che:

2

| | | || | | || |

| |L

m v m vforzaF q v B Rcentripeta R q B

= = =

Come si vede, il valore di R è maggiore quanto più grandi sono la massa e la velocità, mentre è tanto minore quanto più intenso è il campo magnetico e più grande la carica della particella (se 0q < nella formula va | |q ). Calcoliamo ora periodo e frequenza11 di questo moto. Moltiplicando la velocità per il periodo si ottiene il perimetro della circonferenza | | 2v T Rp=

, da cui inserendo R :

| |2

2| |

q BmT f

mq B

pp

= =

Periodo e frequenza sono indipendenti dalla velocità iniziale della particella, e quindi costituiscono una proprietà della carica in quel dato campo. Il valore di f viene detto frequenza di ciclotrone. Mentre la particella gira, produce anch’essa un campo magnetico, il cui verso è opposto a quello di B

.

(3) L’eventualità più generale è che la velocità iniziale formi un angolo qualunque J

col campo B

(uniforme). Questo caso può essere trattato come la sovrapposizione dei precedenti in quanto possiamo scomporre v

in una componente //v

parallela al campo, d’intensità | |cosv J

, che non viene

disturbata, ed in una componente v^ ortogonale al campo, d’intensità | | sinv J

,

che dà luogo ad un moto circolare uniforme, stavolta di raggio | | sin / | |R m v q BJ=

. La composizione del moto circolare uniforme con quello rettilineo uniforme in direzione ad esso perpendicolare produce una traiettoria a forma di elica, che un osservatore verso cui è diretto il campo vede girare in senso antiorario.

45. Un fascio di protoni emesso con energia cinetica trascurabile, viene accelerato da una differenza di potenziale di V61.20 10VD = ´ e poi immesso in una regione in cui si ha un campo magnetico d’intensità T0.800 perpendicolare alla traiettoria delle particelle. Calcolare l’energia di queste particelle in elettronvolt (eV) ed il raggio dell’orbita circolare che descrivono.

11 Richiamo: in un moto periodico si dice periodo T il tempo che occorre per completare un ciclo e frequenza f il numero di cicli

completati in un secondo. Risulta f=1/T.

q gira in modo da produrre

un campo opposto a B

B

q

v

LF

B

q

//

v

v̂

v

R

v

B

v

v

v

LFLF

LF

LF

kg kg

C eV

27

31

19

19

1.67 10

4 2

9.11 10

1.60 10

1 1.60 10 J

p

p

e

m

m m q e

m

e

a a

-

-

-

-

= ´= = +

= ´

+ = ´

= ´

elettrone e protone

288

I protoni hanno massa kg271.67 10pm -= ´ e carica C191.60 10e -+ = ´ . Se

accelerati da V61.20 10VD = ´ acquistano un’energia cinetica pari al guadagno di energia potenziale q VD :

2 19 6 131| | ( ) (1.60 10 1.20 10 )J 1.92 10 J

2K m v e V - -= = + D = ´ ´ ´ = ´

Si chiama un elettronvolt l’energia acquistata da una partcella avente la carica e+ che si sposta fra due punti dove la differenza di potenziale vale V1 :

eV V 191 ( ) 1 1.60 10 Je -= + ´ = ´

sono spesso utilizzati i multipli kiloelettronvolt keV eV31 10= e megaelettronvolt MeV eV61 10= . L’energia dei protoni del problema in elettronvolt vale allora:

eV eV MeV13

2 6

19

1 1.92 10| | 1.20 10 1.20

2 1.60 10K m v

-

-

´= = = ´ =

´

La velocità risulta:

m/s m/s13

7

27

2 1.92 10| | 1.07 10

1.67 10

Kv

m

-

-

´= = = ´

´

Da cui si ricava il raggio dell’orbita:

m m cm27 7

19

| | 1.67 10 1.07 100.140 14.0

| | 1.60 10 0.800

m vR

q B

-

-

´ ´ ´= = = =

´ ´

46. Un protone sta seguendo una traiettoria circolare in un campo magnetico uniforme ed impiega s1.50m per compiere una rivoluzione. Calcolare l’intensità del campo. Calcolare quanto durerebbe la rivoluzione di una particella alfa. [R: 24.37 10 T,3.00 sm-´ ] 47. Un elettrone sta descrivendo una traiettoria circolare di raggio cm3.00 in un campo magnetico unifome d’intensità T0.0140 . Calcolare la velocità dell’elettrone e sua energia in elettronvolt. [R: 77.38 10 m/s,15.5 keV´ ] 48. Per misurare l’intensità di un campo magnetico uniforme si invia, perpendi-colarmente alle sue linee, un fascio di elettroni emessi con energia cinetica trascurabile, ed accelerati tramite una differenza di potenziale di V400 . Si osserva che gli elettroni seguono una traiettoria circolare di raggio cm8.00 . Calcolare l’intensità del campo magnetico e la frequenza del moto. [R: μT MHz59.6 ,1.67 ] 49. Un protone in moto rettilineo uniforme a velocità m/s68.00 10´ entra in una regione sede di un campo magnetico uniforme d’intensità T0.600 , le cui linee formano un angolo di 30.0 con la traiettoria iniziale della particella. Si calcoli il raggio della traiettoria ad elica descritta e la distanza fra due spire successive (passo), considerato che per passare da una spira all’altra viene impiegato un tempo pari al periodo. [R: cm cm6.96 ,75.5 ] Come funziona il dispositivo detto selettore di velocità? Un fascio di atomi ionizzati di carica q viene inviato in una regione ove siano

presenti un capo elettrico E

ed un campo magnetico B

perpendicolari fra loro. La direzione iniziale del fascio è ortogonale ad entrambi i campi, ma poiché ciascuna particella subisce l’azione, in versi opposti, della forza elettrica d’intensità | |q E

e

della forza di Lorentz | | | |q v B , se le velocità delle particelle del fascio sono diverse,

saranno diverse anche queste due forze. Così alcune particelle devieranno in una direzione ed altre in quella opposta, a seconda che sia maggiore la forze di Coulomb

B

v

LF

qE

E

selettore di velocità

289

o quella di Lorentz. Proseguiranno di moto rettilineo uniforme solo quelle con velocità tale da eguagliare le due intensità:

| || || | | | | |

| |

Eq v B q E v

B= =

Quindi in direzione perpendicolare ai due campi si produce un fascio di particelle tutte in moto rettilineo uniforme alla stessa velocità | | | |/| |v E B=

, e per questo motivo il dispositivo viene detto selettore di velocità. Come funziona il dispositivo detto spettrometro di massa? Lo spettrometro di massa è un dispositivo per misurare la massa di una molecola, dopo averla ionizzata. Più precisamente esso separa le molecole di un campione secondo il valore /m q del rapporto fra la loro massa e la loro carica. Il campione della sostanza viene fatto evaporare per riscaldamento (che spesso provoca anche la frammentazione della molecola) viene ionizzato per bombardamento con elettroni e poi inviato in un selettore di velocità, che lascia passare solo quelli aventi | | | |/| |v E B=

. Questi entrano in una regione, detta camera di deflessione, dove è

presente un secondo campo magnetico B ¢

e qui descrivono delle cironferenze di raggio tanto maggiore quanto più grande è /m q :

| | | |

| | | || |

m v m ER

q B q B B= =

¢ ¢

e quindi in un punto in cui le traiettorie sono abbastanza divaricate si raccolgono i depositi di molecole con massa differente ed uguale carica (ad esempio se ionizzate entrambe una sola volta). Cambiando poi il valore dell’intensità di B ¢

si può

esporare il campione selezionando ioni con altri valori di /m q . Gli spettri di massa sono presentati in forma di istogrammi, come l’esempio in figura per l’anidride carbonica, dove si osservano anche i frammenti dell’atomo originario di CO2 . Le dimensioni di uno spettrometro di massa possono andare da quelle di una scatola ad un intero laboratorio. Viene utilizzato in generale in una grande quantità di processi in ambiti diversi, da quello forense a quello sanitario a quello sportivo. Ad esempi serve per separare i gas della respirazione e conoscerne in tempo reale la loro composizione durante un’anestesia; per rivelare l’uso di steroidi da parte degli atleti; per il controllo delle fermentazioni, per esami di alimenti eccetera. Come ci si serve dello spettromento di massa per l’arricchimento dell’uranio? Consideriamo il cosiddetto processo di arricchimento dell’uranio, l’elemento a 92 protoni che funge da sorgente energetica per le centrali a fissione nucleare e per la bomba atomica. L’uranio si presenta in natura principalmente in forma di 235U (con 143 neutroni, cioè in tutto 92+143=235 particelle nel nucleo), la seconda è 238U (con 146 neutroni e cioè in tutto 92+146=238 particelle nel nucleo). Gli atomi 235U ed 238U sono entrambi chiamati uranio, e detti isòtopi, perché hanno le stesse proprietà chimiche. Infatti entrambi sono dotati di 92 elettroni, ed è questo che determina il modo in cui reagiscono chimicamente con gli altri elementi. Ma per quel che riguarda le proprietà nucleari, la differenza nel numero di neutroni diviene importante: soltanto l’isotopo leggero 235U può essere utilizzato nelle reazioni nucleari a catena. Quando viene estratto, il minerale di uranio contiene i due isotopi miscelati in una percentuale naturale di 0.7% per 235U e 99.3% di 238U . Per

La ControfisicaPer la datazione delle sostanze organichesi usa lo spettrometro di massa allo scopo di separare l’isotopo radioattivo del carbonio, il C-14, che ha due neutroni in più dalla comune forma C-12. L’anidride carbonica nell’atmosfera contiene 1 isotopo di radiocarbonio ogni mille miliardi di atomi C-12. Questa percentuale è mantenuta fissa dal continuo bombardamento da parte dei raggi cosmici, e la stessa percen-tuale si ritrova nei vegetali, che di ani-dride carbonica vivono grazie al pro-cesso di fotosintesi. Finché un organi-smo si nutre di vegetali (o di animali che lo hanno a loro volta ricevuto dai vegetali), si ritrova nelle ossa del ra-diocarbonio in quella stessa propor-zione. Ma alla sua morte cessa il nuo-vo apporto e la percentuale di C-14 diminuisce, perché esso è instabile e si trasforma in C-12 in ragione di 12 “decadimenti” per grammo ogni mi-nuto. Con tale ritmo ogni 5730 anni la quantità di C-14 è dimezzata. Una volta separati C-12 e C-14 basta allora contare i decadimenti per minuto per grammo: se ad esempio sono 12 ogni 2 minuti il campione avrà 5730 anni, se sono 12 ogni 4 minuti, 11460 anni ecosì via. Perché la tecnica sia affidabile occorre però conoscere la percentuale di radiocarbonio nell’ atmosfera ai tempi in cui l’organismo era vivo.

B'

q

v

LF

qE

235U 238U

spettrometro di massa

/m q10 20 30 40

C12

-

20

100

40

60

80

O16

-CO28

-

CO2-

44intensitàrelativa

290

alimentare una centrale nucleare occorre uranio con una percentuale del 4% di 235U (uranio arricchito con gradazione al livello di reattore) mentre per realizzare una bomba all’uranio occorre un campione quasi puro di 235U , che raggiunga il 90% (gradazione al livello delle armi). Questi livelli sono raggiunti inviando il gas delle miscela dei due isòtopi ionizzati (ognuno perde un elettrone quindi hanno uguale

)q in un tipo apposito di spettrometro di massa12. Qui si avranno allora due depositi

separati, con il campione di 235U , più leggero, che descrive una traiettoria di raggio più piccolo a causa della minore massa. Quali principi sfrutta un ciclotrone? La produzione di fasci di ioni o di particelle subatomiche cariche (protoni, elettroni, antiprotoni, positroni) ad alte energie cinetiche risulta importante per scopi medici, industriali o di ricerca. Si può pensare di far raggiungere un’elevata velocità alle particelle servendosi di acceleratori in linea retta, inviando le cariche in un campo elettrico uniforme. Questa soluzione richiede però di aumentare la lunghezza del dispositivo ogni volta che si desidera raggiungere un’energia maggiore rispetto a prima. Gli acceleratori circolari invece ottengono lo stesso scopo facendo ripassare continuamente la particella in una regione dove viene confinata grazie ad un campo magnetico, e qui accelerata da un campo elettrico alternato. Con queste finalità nasce intorno al 1930 il ciclotrone, da un’idea di Ernest Lawrence. Il ciclotrone è costituito da due conduttori carichi aventi la forma di lettere “D” cave al loro interno, separate da uno spazio dove è localizzata la sorgente di particelle. Le D sono immerse in un campo magnetico uniforme B

come in figura, e collegate ad un generatore

differenza di potenziale alternata G . Le particelle emesse dalla sorgente S posta nello spazio fra le D sono inizialmente accelerate in questa regione dal campo elettrico prodotto daG fino ad arrivare a velocità 1v

, e poi entrano in una delle due cavità conduttrici a forma di D, dove gli effetti elettrici sono schermati. Nelle cavità subiscono quindi solo l’azione del campo magnetico, e cioè seguono una traiettoria semicircolare, che abbiamo visto avrà raggio /1 1| | | |R m v q B=

. Al termine del primo mezzo giro tornano nella regione fra le D dove vengono di nuovo accelerate dal campo elettrico fino a velocità 2v

, e poi entrano nella seconda D, dove descrivono una semicirconferenza di raggio maggiore della prima: /2 2| | | |R m v q B=

. Il processo va avanti finché il raggio della traiettoria non diviene uguale a quello delle cavità, quindi la particella, che ha guadagnato energia cinetica, viene fatta uscire. Per poter agire nel modo descritto, il campo elettrico prodotto da G nello spazio fra le due cavità deve essere oscillante e cambiare di verso ogni semicirconferenza. Sappiamo che la frequenza di ciclotrone /| | 2f q B mp=

cioè il numero di traiettorie circolari che una particella descrive intorno alle linee di un campo magnetico uniforme, non dipende dalla velocità iniziale. Da questa proprietà segue che le varie spinte acceleratrici che la particella riceve nello spazio fra le D non cambiano mai questo numero. Per poter dare le spinte acceleratrici al momento giusto il generatore deve allora fornire una differenza di potenziale oscillante proprio alla frequenza di ciclotrone, producendo così un campo elettrico fra le D che cambia di verso ogni mezzo giro. Esercizi 50. Un fascio di protoni viene accelerato in un piccolo ciclotrone di raggio

cm10.0R = dove il campo magnetico vale 1.50T . Calcolare la frequenza del moto e l’energia cinetica delle particelle che escono dal ciclotrone. 12 Detto calutron, inventato da E. Lawrence durante il progetto Manhattan per la realizzazione della prima bomba atomica.

B

B

D

Dciclotrone

GS

291

Si tratta di calcolare la frequenza di ciclotrone corrispondente ad una particella di massa kg271.67 10pm -= ´ e carica C191.60 10e -+ = ´ :

Hz Hz MHz19

7

27

( )| | 1.60 10 1.502.29 10 22.9

2 6.28 1.67 10p

e Bf

mp

-

-

+ ´ ´= = = ´ =

´ ´

Si tratta di una una frequnza radio compresa fra a quella delle onde AM ( MHz1 ) e quella della onde FM ( MHz100 ). Per l’energia cinetica occorre la velocità finale:

m/s m/s19

7

27

| | 1.60 10 1.50 0.100| | 1.44 10

1.67 10

q B Rv

m

-

-

´ ´ ´= = = ´

´

nel ciclotrone non si arriva mai a velocità relativistiche ( m/s83.0 10c = ´ ).

2 27 7 2 131 1| | 1.67 10 (1.44 10 ) J 1.73 10 J

2 2K m v - -= = ´ ´ ´ = ´

51. Calcolare il raggio che deve avere un ciclotrone in cui il campo magnetico sia 4.00T per riuscire ad accelerare dei protoni fino all’energia di MeV25.0 , specificando il valore della velocità finale raggiunta delle particelle in rapporto alla velocità della luce m/s83.00 10c = ´ . [R: cm0.231 ,18.1c ] 52. Uno spettrometro di massa utilizza un selettore di velocità in cui il campo elettrico misura N/C3| | 2.00 10E = ´

ed il campo magnetico T2| | 4.00 10B -= ´

,

mentre nella camera di deflessione si ha un campo T2| | 2.00 10B -¢ = ´

. Calcolare la velocità ed il raggio della traiettoria di una particella alfa che attraversi lo strumento( 4 pm ma = , 2 )q ea = + . [R: m/s cm45.00 10 , 5.22´ ]

53. Un fascio composto da ioni di atomi di carbonio-12 e di carbonio-14 ( 12

6C+ e

146C

+ ) viene inviato in uno spettrometro di massa dove nel selettore risulta

V/m3| | 1.50 10E = ´

e T3| | 8.00 10B -= ´

, mentre nella camera di deflessione

T2| | 1.80 10B -¢ = ´

. Calcolare i raggi delle traiettorie descritte dalle due specie di ioni e le loro energie in elettronvolt. [R: m m MeV MeV1.30 ,1.52 , 0.220 , 0.258 ] Cosa succede nel caso di campi magnetici non uniformi? La situazione generale è complessa, tuttavia è di particolare interesse il caso in cui il moto ad elica sopra esaminato sia diretto verso una regione dove il campo magnetico si fa più intenso e quindi le sue linee si infittiscono. In questa situazione la forza di Lorentz, per mantenersi perpendicolare aB

che cambia direzione, acquista

una componente //F

parallela all’asse dell’elica. L’effetto di //F

è quello di

diminuire progressivamente la componente //v

di velocità in tale direzione, fino ad arrivare ad annullarla e poi a cambiarle verso. In tal modo si ha una regione detta specchio magnetico, che fa ruotare di 180 la velocità e riflette al’indietro la particella. Se abbiamo due regioni di questo tipo, come nella figura, il processo si ripete nell’altra, cosìcché la particella resta intrappolata nelle linee del campo, rimbalzando avanti ed indietro in una zona detta bottiglia magnetica. Le bottiglie magnetiche sono usate nei laboratori per confinare gas ionizzati a temperature tali che fonderebbero qualsiasi contenitore ordinario. Un notevole esempio di bottiglia magnetica sono le fasce di Van Allen. Si tratta di due regioni intorno al pianeta Terra in cui sono intrappolati elettroni e protoni del cosiddetto vento solare, cioè particelle cariche che schizzano via dal Sole, proiettati dal suo moto di rotazione come farebbe un innaffiatoio automatico. Queste particelle quando giungono in prossimità dei poli dove le linee si fanno più fitte urtano gli atomi di ossigeno atmosferici ed eccitandoli

bottiglia magnetica

B

//

F

F̂

B

elettroni

protoni

292

originano le aurore boreali. La possibilità di confinare le particelle cariche tramite un campo magnetico è attualmente studiata allo scopo di contenere del plasma caldissimo, come quello necessario per realizzare la fusione nucleare controllata. Il tentativo è quello di riprodurre la sorgente energetica delle stelle, che consiste appunto nella fusione di due nuclei di idrogeno a formarne uno di elio: nel centro del Sole si devono raggiungere 15 milioni di kelvin affinché l’agitazione termica vinca la repulsione elettrostatica. Nella macchina a confinamento magnetico tokamak, in via di perfezionamento, si punta ai 100 milioni di kelvin per avere la giusta efficienza. In queste condizioni la materia è nello stato di plasma, cioè un gas completamente ionizzato, e tali temperature fonderebbero qualsiasi tipo di contenitore ordinario. Come si esprime il campo magnetico generato una particella carica in moto? Le osservazioni mostrano la validità di una formula che riveste un ruolo analogo a quello svolto dalla legge di Coulomb rispetto al campo elettrico, cioè fornisce il campo magnetico di una carica puntiforme in moto. Prima formula di Laplace una particella di carica q , in moto a velocità v produce in un punto a distanza r dalla sua posizione istantanea un campo magnetico:

02

ˆ

4

qv rB

r

m

p´

=

Nella formula di Laplace r̂ indica il versore diretto dalla posizione istantanea della carica verso il punto in cui si desidera conoscere il campo magnetico. Il simbolo “´

” di prodotto vettoriale indica in modo sintetico che il vettore B

ha:

• intensità 02

| | sin| |

4

q vB

r

m Jp

=

dove J è l’angolo fra v ed r̂

• direzione ortogonale al piano individuato da r̂ e da v • verso tale da vedere in senso antiorario la rotazione che spazzando J porta

qv

su r̂ (attenzione che se 0q < il verso di qv

è opposto alla velocità) Che forma hanno le linee del campo magnetico di una particella carica in moto? Le linee del campo magnetico di una particella in moto sono tutte circonferenze perpendicolari al piano individuato da r̂ e v

e centrate sulla retta che contiene la velocità istantanea. Infatti si vede bene dalla figura che la tangente ad una tale circonferenza in un suo punto si mantiene sempre perpendicolare ad r̂ ed a .v

L’orientamento delle linee appare antiorario ad un osservatore verso cui avanza la carica (se positiva13), e si trova con la consueta regola della mano destra, allineando il pollice come v

e chiudendo le dita ad arco. Per ogni valore di r e J si ha una circonferenza lungo la quale l’intensità del campo si mantiene costante. A parità di distanza da q , | |B

risulta nullo sulla retta che contiene la velocità, e cresce al variare di

J fino ad un massimo per 90J = . Esercizi 54. Una particella alfa viaggia alla velocità m/s800 . Si trovi il campo magnetico nei punti P, Q , R ed S in figura che distano dalla particella mm0.50 . La particella alfa è un nucleo di elio quindi ha la carica di due protoni:

C C19 192 1.6 10 3.2 10q - -= ´ ´ = ´ Nel punto R il campo risulta nullo, essendo sulla retta che contiene la velocità.

13 Il verso è opposto per le cariche negative.

qv

r̂

B

J

r̂J

B

q

v

P

70

a

v

Q

R

S

25

293

Nel punto P il campo assume il valore massimo per la distanza di mm0.50 :

T T7 19

1802 2

| | 10 3.2 10 800| | 1.0 10

4 0.0050P

q vB

r

m

p

- --´ ´ ´

= = = ´

Nei punti Q ed S il campo si ottiene moltiplicando | |PB

per il seno degli angoli in figura, che coincidono con l’angolo J della prima formula di Laplace:

T18| | | | sin 70 0.94 10Q PB B -= = ´

uscente perpendicolarmente dal foglio

T18| | | | sin 25 0.42 10S PB B -= = ´

entrante perpendicolarmente nel foglio 55. Calcolare il campo magnetico generato da un protone in moto alla velocità di

m/s1500 sul bordo di un cono di apertura 2 60.0J = a distanza di mm0.400 dalla particella. [ R: T197.83 10-´ ] Se la traiettoria della particella è circolare, quanto vale il campo magnetico nel centro? Poniamo che una carica q descriva una circonferenza di raggio R . Utilizzando la

prima formula di Laplace scriviamo il valore del campo B

generato nel centro. La direzione di B

dev’essere perpendicolare al piano individuato da r̂ e da v , che è il

piano della spira. Il verso da cui si vede antioraria la rotazione che, spazzando 90J = porta qv

su r̂ , è anche quello da cui si vede la circonferenza percorsa in

senso antiorario. L’intensità del campo risulta:

0 02 2

| | sin | || |

4 4

q v q vB

r R

m mJp p

= =

Quanto vale il campo magnetico nel centro di una spira circolare di corrente? Indichiamo adesso conq una qualunque delle cariche che formano la corrente: ognuna di esse contribuirà al valore del campo totale SB

di una quantità pari al

risultato trovato sopra. Per eseguire la somma su tutte le cariche nella spira dobbiamo moltiplicare le cariche per unità di volume n per il volume di una ciambella, dato dal perimetro 2 Rp calcolato nel punto medio, per la sezione A :

0 0 0 02 2

| | | || || | 2 ( )

4 4 2 2S

Iq v q vq vB n volume n RA nA

R RR R

m m m mp

p p= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

Dove, nell’ultimo passaggio si è fatto uso della relazione I nqAv= a suo tempo ricavata. Come si nota il verso del campo è legato a quello della corrente dalla solita regola della mano destra. Se poi si ha ahe fare con un arco radJ di spira circolare, la formula può essere generalizzata sostituendo al posto del perimetro 2 Rp la lunghezza radRJ dell’arco : /0| | 4arco radB I Rm J p=

.

Esercizi 56. Un tratto di circuito è formato da due porzioni rettilinee perpendicolari ed un quarto di circonferenza, come in figura. Sapendo che nei fili si ha una corrente

A6.00I = e che cm4.00R = , calcolare il campo magnetico nel punto P. Secondo la prima formula di Laplace, i due tratti rettilinei generano un campo nullo nel punto P, perché esso si trova sulla retta che contiene la loro velocità. Il campo magnetico in P è quindi dovuto al solo circolare, per il quale possiamo applicare il ragionamento fatto per l’intera spira, solo che la lunghezza adesso è un quarto del perimetro:

R

r̂

90J =

B

q

v

SB

IR

A

PB

a

v

QB

SB

I

P

mm0.400

30.0

B

e+m/s1500

294

/ T T7

50 0 02

2 4 10 6.00| | 2.36 10

4 4 8 8 4.00 10

radarco

I I IB

R R R

m J m mp pp p

--

-

´ ´= ⋅ = ⋅ = = = ´

´ ´

Seguendo la regola della mano destra si trova che il campo in P è perpendicolare al foglio ed in verso entrante. 57. Un circuito è formato da due tratti rettilinei inclinati fra loro di un angolo di /6p e due porzioni di circonferenza, come in figura, di raggi cm1 3.50R = ed

cm2 6.50R = . Sapendo che nei fili si ha una corrente A8.00I = calcolare il campo

magnetico nel punto P. [R: T45.56 10-´ entrante] 58. Ad un filo in cui si ha una corrente A9.00I = si deve dare la forma di una spira circolare in modo che il campo nel suo centro risulti T40.600 10-´ . Calcolare il raggio che deve avere la spira. Calcolare quanto diventa il campo al centro se si fanno tre avvolgimenti di questo tipo. [R: cm T49.42 ,1.80 10-´ ]

6. Il magnetismo nella materia Quali comportamenti presentano le sostanze in un campo

B non uniforme?

Alcune sostanze (una minoranza) sono dette ferromagnetiche: fra di esse troviamo il ferro, il cobalto, il nickel ed i loro composti. Quando queste vengono sospese ad un filo in un campo magnetico non uniforme, sono attirate lungo le linee di campo nel verso in cui cresce l’intensità, cioè laddove le linee si infittiscono. E’ questo il fenomeno osservato per la limatura di ferro, che si accumula presso i poli delle calamite. Una seconda categoria di sostanze sono dette paramagnetiche: fra di esse troviamo ad esempio l’alluminio, il cromo, il sodio e l’ossigeno liquido

C( 183 )t <- . Anche le sostanze paramagnetiche sono attratte verso le regioni dove si infittiscono le linee di campo, tuttavia l’intensità della forza che subiscono è circa un migliaio di volte inferiore rispetto a quella delle ferromagnetiche. Il fenomeno è così piccolo da non essere osservabile se non con opportuni apparati strumentali. La terza categoria è quella delle sostanze diamagnetiche, come l’argento, il rame, il piombo, il mercurio liquido, e l’acqua (quindi anche il corpo umano, di cui è il principale componente). Quando sono sospese in un campo magnetico variabile, le sostanze diamagnetiche vengono respinte. Esse tendono a portarsi nelle regioni dove diminuisce l’intensità di B

, cioè laddove le linee di campo si diradano: ad esempio

nello spazio lontano dai poli di una calamita. Anche il diamagnetismo, come il paramagnetismo, è un effetto debole: per far levitare una persona grazie alla repulsione diamagnetica occorrerebbe un campo d’intensità molto maggiore di quelle normalmente disponibili in un laboratorio. La materia possiede proprietà magnetiche per via delle correnti al livello atomico? Come sappiamo, è possibile dimostrare che l’intensità e la direzione dell’interazione di un ago magnetico con il campo B

, possono essere calcolate sostituendo

all’aghetto una spira percorsa da una corrente avente verso antiorario se visto dal nord dell’ago, ed opportuna intensità. Questo risultato, noto come teorema di equivalenza di Ampère, suggerisce che il magnetismo della materia sia riconducibile a delle correnti perpetue che hanno luogo al suo interno al livello microscopico. Esistono due fenomeni fisici in grado di produrre queste correnti atomiche: in primo luogo il moto di rivoluzione degli elettroni attorno al nucleo, che permette di

I

P

2R

/6p

1R

I

N

S

e

v

campo magnetico orbitale

I

B

campo magnetico di spin

295

assimilare gli elettroni a microscopiche spire di corrente. Chiameremo campo magnetico orbitale il campo B

generato da questo movimento. Il secondo è il moto di

rotazione degli elettroni su sé stessi, detto moto di spin , che in inglese significa “trottola”: chiameremo campo magnetico di spin il campo B

corrispondente.

Quali sono le proprietà del campo magnetico orbitale? La somma dei campi magnetici orbitali di tutti gli elettroni è sempre nulla. Infatti, a causa del moto di agitazione termica, gli assi delle microscopiche spire descritte nelle rivoluzioni sono orientati casualmente, e così i loro effetti mediamente si cancellano l’uno con l’altro. Il campo magnetico orbitale è quindi un fenomeno che, pur essendo presente al livello atomico in tutte le sostanze, da solo non è in grado di produrre un effetto su scala macroscopica. Cosa succede al campo magnetico orbitale in presenza di un campo

B esterno?

Come sappiamo, se una particella carica, animata di moto rettilineo, entra in una regione ove sia presente un campo magnetico estB

, tende a descrivere una

circonferenza intorno alle linee di campo, e la traiettoria complessiva che ne risulta ha la forma di un’elica. Analogamente, nel momento in cui gli elettroni che orbitano attorno ai nuclei vengono posti in un campo magnetico esterno estB

, al moto di

rivoluzione si sovrappone una tendenza a ruotare attorno al campo estB

. E’ possibile dimostrare matematicamente che, in conseguenza di queste condizioni, gli assi delle orbite elettroniche iniziano a ruotare a loro volta, descrivendo una sorta di doppio cono. Quando ha luogo la rotazione di un asse, attorno a cui a sua volta un corpo sta già ruotando, il moto che ne risulta viene detto precessione: in questo caso particolare si parla di precessione di Larmor. La teoria mostra che tutto va come se alla corrente orbitale si sovrapponesse la corrente di Larmor LI , che possiamo interpretare come dovuta alla tendenza dell’elettrone a muoversi circolarmente, su piani perpendicolari a estB

. Come nel caso del moto di una carica libera, il campo

magnetico corrispondente LB

ha sempre verso opposto al campo estB

che produce la traiettoria circolare, ed intensità proporzionale ad esso. Il fattore di proporzionalità è tuttavia così piccolo che il valore di LB

per unità di volume

risultante è assai debole. Quindi, se un campione di qualsiasi materiale viene posto in un campo magnetico non uniforme, ad esempio fra i poli di una calamita, in assenza di altri meccanismi, esso si trasforma in un magnete che oppone il nord al nord ed il sud al sud della calamita. Il campione viene allora debolmente respinto, cioè tende a spostarsi verso la regione dove le linee di estB

si diradano. Questo

fenomeno è alla base del comportamento delle sostanze diamagnetiche. Tutti i materiali sono in linea di principio diamagnetici, ed il diamagnetismo non è nemmeno influenzato dalla loro temperatura dato che non si tratta di una proprietà permanente delle sostanze ma viene indotto dall’esterno. Tuttavia si tratta di effetti così deboli da essere molte volte soverchiati dai processi ferromagnetici e paramagnetici di cui ora ci occuperemo. Quali sono le proprietà del campo magnetico di spin? Per farsi un’idea di quale sia l’origine del campo magnetico di spin, può essere di aiuto pensare al moto dell’elettrone come ad una trottola, farne mentalmente delle fette perpendicolari all’asse di rotazione ed interpretare ciascuna di esse come una microscopica spira di corrente. Ma si tratta solo di uno schema molto semplificato, perché le particelle elementari non ruotano su loro stesse come farebbe una palla da basket fra le dita di un giocatore. Se così fosse, infatti, sarebbero delle palle ben strane, alla quali basta mezzo giro per riassumere la stessa configurazione iniziale!

I

B

LI

I

v

e

est

B

LI

LB

precessione di Larmor

296

Il fatto che all’elettrone sia associata una proprietà chiamata spin, che assomiglia vagamente alle proprietà conferite da un asse di rotazione, va inteso piuttosto come una caratteristica fondamentale della particella, così come lo sono la massa e la carica. Lo spin soddisfa il Principio di Esclusione di Pauli, secondo il quale gli elettroni vicini debbono allinearsi in coppie aventi spin opposti, e quindi campi magnetici opposti. La disposizione degli spin è regolata da fattori energetici, cambia con il numero atomico, ed anche con il fatto che l’atomo sia libero oppure combinato con altri in una sostanza. In conseguenza di questo, per quelle sostanze in cui tutti gli elettroni si presentano in coppie di spin antiparalleli, il campo magnetico complessivo si cancella. Quindi, mentre il diamagnetismo è un fenomeno generale, esistono alcune sostanze per le quali il campo magnetico di spin produce un effetto complessivo non nullo. Il dettaglio dei meccanismi che conducono alcuni degli elettroni di queste sostanze a mantenere gli spin “spaiati” è assai complicato. I principi guida sono due: l’esclusione di Pauli, e la tendenza delle particelle a disporsi nelle condizioni di minima energia potenziale, in genere più stabili, come fa una pietra che cade al suolo. In figura è riportata le configurazione del ferro, che ha 26 elettroni. Lo schema indica che per gli elettroni attorno al nucleo non tutti i valori di energia sono possibili, ma solo quelli di una serie contrassegnata con il numero intero n , che tende ad essere progressivamente occupata dal più basso ( 1n = ) al più alto (corrispondente al valore energetico meno negativo, 4).n = In aggiunta a questo, gli elettroni non possono disporsi tutti sui livelli più bassi, in quanto gli spin devono essere antiparalleli a coppie. Ogni livello energetico è strutturato in orbitali, il cui numero cresce col livello stesso, indicati con le lettere s,p,d,f… Ciascuno degli orbitali può contiene coppie di elettroni fino ad un massimo (una coppia per l’orbitale s, tre coppie per l’orbitale p, cinque coppie per il d, eccetera). L’energia potenziale di un elettrone decresce quando questo si avvicina al nucleo (diviene cioè più negativa), ma cresce se ad esso si accostano altri elettroni. Pertanto nel ferro è più economico dal punto di vista energetico, che il livello 4s venga occupato prima del livello 3d , e che nel livello 3d anziché esserci tre coppie di spin antiparalleli, quattro elettroni si dispongano con gli spin paralleli ma più lontani. Il risultato è che ogni atomo ha un campo magnetico di spin non nullo. Ma allora perché ogni singolo pezzo di ferro non è un magnete permanente? Per produrre un magnete macroscopico occorre una sorta di cooperazione su grande scala da parte dei singoli atomi, che debbono per così dire unire le loro forze allineando gli spin. Quando più atomi di ferro sono accostati nel reticolo cristallino di un solido, gli elettroni che presentano spin nella stessa direzione, per rispettare il principio di Pauli tendono a disporsi il più lontano possibile gli uni dagli altri, sfruttando il margine residuo di spostamento del quale godono pur restando vincolati alla struttura reticolare. Ora, più sono lontani minore è l’energia potenziale elettrostatica ad essi associata, in quanto la forza repulsiva cala con la distanza. Possiamo concludere che, da un punto di vista energetico, è più economico per gli elettroni di atomi diversi, allineare i loro spin, perché così sono costretti a portarsi a distanza maggiore, cioè in uno stato di più bassa energia e più stabile. Tuttavia non si deve pensare che questo processo possa coinvolgere tutti gli atomi allineandoli contemporaneamente in un’unica direzione. Il fenomeno inizia invece attorno a tanti centri indipendenti, dove già casualmente qualche atomo ha gli spin allineati coi vicini, e si allarga come farebbero tante macchie d’olio. Si instaura così una suddivisione dello spazio in regioni di allineamenti locali degli spin, ciascuna delle quali è un magnete permanente avente un’estensione dell’ordine di μm10 . L’orientamento che assumono i campi magnetici di tali zone, dette domini di Weiss, è evidentemente casuale, e l’intero processo ancora non spiega il ferromagnetismo ma si limita a replicare la condizione già vista per i singoli atomi , solo su scala più

estB

1

2

3

4

s

s

s

s

p

p

d

ENERGIA

26disposizione dei elettroniin un atomo di ferro

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grande. La presenza di un campo magnetico esterno estB

però, riesce in un certo senso a “pettinare” tutti i campi magnetici dei domini di Weiss, allargando i confini di quelle zone che già si trovano con una magnetizzazione parallela a estB

, a spese

delle regioni contigue dirette diversamente, che sono costrette ad allinearsi a estB

. Da un punto di vista quantitativo l’effetto dipende da sostanza a sostanza e da altri fattori esterni come la temperatura. Tuttavia il risultato è l’instaurarsi di un allineamento permanente che non scompare nemmeno quando il campo esterno viene eliminato, dando così origine alla calamita. In cosa differiscono le sostanze paramagnetiche da quelle ferromagnetiche? Le particelle oscillano continuamente a causa dell’agitazione termica, che per la maggior parte dei materiali, già a temperatura ambiente è così forte da distruggere qualsiasi tipo di allineamento complessivo possa verificarsi fra gli spin di atomi contigui. Fu Pierre Curie ad accorgersi che questo effetto varia da sostanza a sostanza, e che esiste una temperatura di soglia, oggi detta temperatura di Curie Ct , al di sopra della quale ogni proprietà magnetica viene perduta. Quando una sostanza che possiede un campo magnetico dovuto allo spin dei suoi elettroni, si trova sopra alla temperatura di Curie, si dice paramagnetica. In queste condizioni l’effetto di allineamento prima descritto è molto indebolito dall’agitazione termica, ed inoltre il materiale perde la sua magnetizzazione non appena il campo esterno è rimosso. Per la gran parte dei materiali la temperatura di Curie è oltrepassata già a temperatura ambiente, mentre per il ferro vale °C770 , per il nickel C358 , e C1131 per il cobalto, così che in condizioni normali ci si presentano come materiali ferromagnetici. Tuttavia non appena tale soglia viene superata, anche ferro, cobalto e nickel diventano sostanze paramagnetiche.