Calcolo letterale

Le espressioni letterali

Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere.

A=(B+b)h/2

A=2(b+h)

Le lettere rappresentano numeri reali.La stessa lettera assume sempre lo stesso

valore.

Le espressioni letterali

Le espressioni letterali tali che a nessuna delle lettere è applicata l’operazione di

reciproco sono dette intere.Altrimenti si dicono frazionarie.

Le espressioni letterali frazionarie possono perdere significato per alcuni dei valori

delle variabili.

Le espressioni letterali

ax2:b b≠0

1𝑎+2

a≠-2

(a)-1 a≠0

1𝑎−1b a≠0 e b≠0

I monomi

I monomi sono espressioni composte da prodotti tra numeri reali e lettere.

A=l•l=l2

A=bh/2

Un monomio si dice ridotto in forma normale quando le lettere compaiono una sola volta.

I monomi

Ogni monomio è composto da un coefficiente (segno più fattore numerico) e

da una parte letterale.

-2axy2 ab

I monomi

Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0.

0 = 0a = 0xvtr …

I monomi

Dato un monomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua

lettera l’esponente di questa lettera.

-2a7xy2

Si dice grado complessivo (o assoluto) del monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

I monomi

Si dicono simili monomi aventi la stessa parte letterale.

2a 3a2

2a 2ab

2a 3a

I monomi

Si dicono uguali monomi aventi la stessa parte letterale e stesso coefficiente.

2a 2a2

2a 2ab

2a 2a

I monomi

Si dicono opposti monomi aventi la stessa parte letterale e coefficiente opposto.

2a -2a2

2a -2ab

2a -2a

Operazioni tra monomi

SommaPuò essere effettuata solo tra monomi simili

Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la somma dei

coefficienti dei due addendi.

3a+2ax

3a+2a

⅛a-√2a

Operazioni tra monomi

DifferenzaPuò essere effettuata solo tra monomi simili

Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la differenza dei

coefficienti dei due addendi.

3a-2ax

3a-2a

⅛a-(-√2a)

Proprietà delle operazioni

Somma•Commutativa •Associativa•Esistenza elemento neutro 0 a+0=a

Sottrazione•Commutativa•Associativa (ab-2ab)-ab ≠ ab-(2ab-ab)

•Esistenza elemento neutro 0 a-0=a

Operazioni tra monomi

MoltiplicazioneSi può effettuare tra monomi qualunque.

Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari al prodotto dei coefficienti• Parte letterale formata da tutte le lettere presenti

nei due monomi, con esponente pari alla somma degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (3a) • (2a)

(3ab)•(2a2xy3)

(⅛avn)•(√2ba)

Operazioni tra monomi

Elevamento a potenza (esponente naturale)

Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari alla potenza del coefficiente

della base• Parte letterale formata da tutte le potenze

delle lettere presenti nel monomio che costituisce la base.

(3a2b)3

(⅛√2bwa)1

(− 23 x y3𝑧)2

Operazioni tra monomi

DivisioneSi può effettuare tra due monomi A e B, con B non nullo, se il monomio A contiene tutte le lettere del monomio B

ma di grado maggiore o uguale.

Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari al quoziente dei coefficienti• Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei

due monomi, con esponente pari alla sottrazione degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori.

(2x2):x

:

(2ax):(ax2) (2ax):(az)

Proprietà delle operazioni

Prodotto•Commutativa •Associativa•Esistenza elemento neutro 1 ax1=a•ax0=0•Legge di annullamento del prodotto

axb=0 (a=0 b=0)

Prodotto e sommaDistributiva ax(b+c) = axb + axc

Proprietà delle operazioni

DivisioneCommutativaAssociativa (8ya3:4y):2a ≠ 8ya3:(4y:2a)Esistenza elemento neutro 1 a:1=a0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE0:0 forma indeterminataDivisione e sommaDistributiva (a+b):c = a:c + b:cDistributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:cDivisione e prodotto a:(bc) ≠ (a:b)c

Proprietà delle operazioni

Elevamento a potenza

•ab ac = ab+c

•ab : ac = ab-c

•(ab) c = abc

•ab cb = (ac)b

•ab : cb = (a:c)b

Esercizi

Calcolare per a=2 e b=-3. +

Esercizi

[(𝑥2 𝑦− 13 𝑦 𝑥2)2

: (𝑥2−3 𝑥2)2]2

+( 12 𝑦 4𝑥2): (2𝑥2 )+𝑦4

{[(𝑎234𝑥20 𝑦12+ 47 𝑎234 𝑦12𝑥20)3: (𝑥2+3 𝑥2 )2]7}0

[𝑎−𝑥 (𝑥+𝑥3 )(𝑥− 𝑥3 ) :(𝑥+ 𝑥

3 )+ 23 𝑥2]2

−[2 (𝑎− 𝑎2 ) ]2

mcm e MCD

Si dice divisore di un monomio A ogni monomio B tale che la divisione di A per B dà

come risultato un monomio.

2x2

ya2b3

mcm e MCD

Il massimo comune divisore tra due monomi A e B, MCD(A,B), è ogni monomio C tale che:• C è divisore sia di A che di B• ogni altro monomio D che divide sia A che

B ha grado minore o uguale a quello di C.

3x2y2

z½x2z2

a-4x2yz3t

mcm e MCD

Considerare una sola volta tutte le lettere comuni ai vari monomi.Scegliere come esponente il più piccolo con cui quella lettera compare.Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.

3x2y2

z½x2z2

a-4x2yz3t

mcm e MCD

Si dice multiplo di un monomio A non nullo ogni monomio B tale che B=A•C, dove C è un

monomio.2x2

y

Il minimo comune multiplo tra due monomi A e B, mcm(A,B), è ogni monomio non nullo C tale che:• C è multiplo sia di A che di B• ogni altro multiplo D comune ad A e B ha

grado maggiore o uguale a quello di C.

mcm e MCD

Considerare una sola volta tutte le lettere comuni e non comuni ai vari monomi.Scegliere come esponente il più grande con cui quella lettera compare.Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.

3x2y2

z½x2z2

a-4x2yz3t

Esercizi

Calcolare il m.c.m. ed il M.C.D tra i seguenti monomi:

254𝑥2 𝑦2𝑝2

425

𝑥3 𝑦2𝑝8 −32𝑝𝑥2 𝑦3

38𝑎2𝑏8 𝑥3 −

113𝑎𝑏2 𝑥2 3

5𝑎𝑏𝑥

I polinomi

I polinomi sono espressioni composte dalla somma di monomi.

A=(B+b)h/2

A=2(b+h)

I polinomi

Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando vi compaiono solo monomi ridotti in forma normale e non compaiono

monomi simili.

−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5

−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5𝑎2−2 𝑥3𝑎

−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5 𝑦2

I polinomi

Un polinomio ridotto in forma normale si dice omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado.

−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 2

−3𝑏𝑥2𝑎3 𝑥4+2 𝑡𝑦 𝑧5 𝑦 2

I polinomi

Si dicono uguali due polinomi ridotti in forma normale tali che ogni monomio del primo polinomio

compare anche nel secondo.

2a+4c2h-7qs3i2 4c2h-7s3i2q+2a

I polinomi

Si dicono opposti due polinomi composti dallo stesso numero di monomi e tali che per ogni monomio del primo, il secondo

polinomio contiene il suo opposto.

2a+4c2h-7qs3i2 -4c2h+7s3i2q-2a

I polinomi

Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo.

I polinomi

Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua

lettera il massimo esponente che assume questa lettera nei monomi che compongono il

polinomio.

Si dice grado complessivo (o assoluto) del polinomio il massimo dei gradi complessivi

dei vari monomi che lo compongono.

2a+4a2h-7qa3i2

Operazioni tra polinomi

SommaPuò essere effettuata sempre ed il risultato è

ancora un polinomio.Si scrive un unico polinomio ottenuto

sommando i vari addendi e poi si riducono gli eventuali termini simili.

3a+2ax -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

Operazioni tra polinomi

DifferenzaPuò essere effettuata sempre ed il risultato è

ancora un polinomio.Si ottiene sommando al polinomio A

l’opposto del polinomio B.

-3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

Operazioni tra polinomi

MoltiplicazionePuò essere effettuata sempre ed il risultato è

ancora un polinomio.Si effettua ricorrendo alla proprietà

distributiva del prodotto rispetto alla somma e poi riducendo eventuali termini simili.

a-3b a2+ab-b

Operazioni tra polinomi

Moltiplicazione

L’importanza delle parentesi

(x+1)(x+2)

x+1(x+2) = x2+2x+x+2

Esercizi

( 13 𝑥− 12 𝑦 )(− 13 𝑥− 12 𝑦 )+𝑥 (𝑥− 𝑦 )−2𝑥𝑦

2 𝑥( 𝑥2 − 𝑥𝑦3 )( 𝑥2 +𝑥𝑦3 )=2𝑥3( 14 − 𝑦2

9 )

Verificare la seguente identità

Operazioni tra polinomi

Potenza di un polinomioPuò essere effettuata sempre ed il risultato è

ancora un polinomio.

L’operazione è generalmente lunga e complessa ma ci sono alcuni casi particolari che consentono di semplificare l’operazione.

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

(a+b)2=a2+b2+2ab

a+b a b

b

a

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Cubo di un binomio

(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Somma per differenza

(a+b)●(a-b) =a2-b2

Esercizi

(3 𝑎2+5𝑎𝑏)(3 𝑎2−5𝑎𝑏)

( 13 𝑥− 12 𝑦 2𝑧)2

(𝑎+𝑏)3+(2𝑎+𝑏)3= (3𝑎+2𝑏)[𝑎 (2𝑎+𝑏 )+ (𝑎+𝑏)2]

Verificare la seguente identità

(2𝑎− 𝑧𝑦)3− (2𝑎−𝑧𝑦 ) (2𝑎+𝑧𝑦 )2−𝑎 (2𝑎−𝑧𝑦 )2

Operazioni tra polinomi

Divisione per un monomio non nulloSi può eseguire in modo esatto quando il

monomio divide tutti i monomi che compongono il polinomio.

Il risultato si ottiene applicando la proprietà distributiva della somma rispetto alla

divisione

3x3-4a2x2+¼x4a x2

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi P e D (non nullo)

Si dice quoziente della divisione l’espressione letterale Q tale che P=Q●D.

In generale Q non è un polinomio. a+b 2ax

Se D è un divisore di P allora Q è un polinomio.ax-3a+2x-6 a+2

Operazioni tra polinomi

Divisione tra polinomi in una variabile

Dati due polinomi P e D nella stessa variabile e tali che P sia di grado maggiore rispetto a D, la divisione• può essere effettuata in modo esatto

quando esiste un polinomio Q tale che P=Q●D.

• può essere effettuata con resto quando esistono due polinomi Q e R tali che P=Q●D+R. R è di

grado inferiore a P

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi in una variabile

Ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado della variabile.

Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo.

(2x4+3x3-x2+x+2):(x2+x-3)

(2a2-3a3-a4+2):(-3+a2-a)

(3x3y3-3x2y2+1):(xy-2)

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi in più variabili

Scegliere una lettera e ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al

grado di quella variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini

mancanti nel dividendo.

(2x3-3ax2-4a3+2xa2):(a+x)

Operazioni tra polinomi

Teorema di Ruffini

Il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado (x-a) è dato da P(a).

Esempi:

(a2-2a+1):(a+2)

(x3y3-2x2y2+xy):(xy-3)

Operazioni tra polinomi

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0.

Esempi:

(a2+2a+1):(a+1)

(x3y3-2x2y2+xy):(xy-1)

Ogni valore della variabile che rende nullo il polinomio è detto radice o zero del polinomio.

Esercizi

{[ (𝑎𝑏2−𝑎2𝑏) : (𝑎𝑏) ]2−2 (𝑎−𝑏 )2+ (𝑎2+𝑏2 ) }:(𝑎𝑏)

(𝑎𝑥3− 13 𝑎2𝑥−𝑎𝑥2+ 13 𝑎2) : (𝑥−1 )−𝑎(𝑥−1)2

(𝑎¿¿3+2𝑎2−9𝑎−18) :(3𝑎+6)¿

Determinare quoziente e resto

(−15 𝑥¿¿3 𝑦+2𝑥2 𝑦2−4 𝑥𝑦3−6 𝑦3) :(5 𝑥𝑦+𝑦2)¿

Scomposizione in fattori di un polinomio

Un polinomio si dice riducibile se può essere espresso come prodotto di polinomi di grado

inferiore. Altrimenti il polinomio si dice irriducibile.

Scomporre in fattori significa trasformare in un prodotto.

Si può scomporre un polinomio mediante:• Raccoglimenti• Prodotti notevoli• Teorema di Ruffini

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti

Si sfrutta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Consiste nel raccogliere i fattori comuni ai vari monomi che compongono il polinomio.E’ conveniente mettere in evidenza il MCD.

ax(b+c) = axb + axc

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti

kx2+k2x-k3xy+k4

-3x2a3y15+x3a2y5z+4a2x2

3x(a-b)+5(a-b)+7y(a-b)

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti successivi o parziali

Se i vari monomi che compongono il polinomio non hanno fattori comuni possiamo vedere se il polinomio può considerarsi come somma di polinomi che hanno fattori comuni e procedere a raccoglimenti parziali. Poi valutare se i termini ottenuti hanno fattori comuni e raccogliere.

3ax-3xb+5a-5b+7ay-7yb

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti successivi o parziali

am-bm-cm+an-bn+cn-ad+bd-cd

x2a3-x3a2+3a-3x

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli

Si tratta di riconoscere lo sviluppo di un prodotto notevole e scriverlo come prodotto

o potenza.

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli

9a2+12ab+49b2

8a3-36a2b+54ab2-27b3

-a4b6+100a6b8

-x3a3+3x2a2b-3xab2+b3

81c4+18c2b2+b4

a4-2a2b2+b4-c2

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli e raccoglimenti

3a3-2a2-3a+2

a2-b2+a3b2-a2b3+ax-bx

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

Quando il polinomio da scomporre è in una variabile si può provare a vedere se è

divisibile in modo esatto per un binomio di primo grado nella stessa variabile, usando il

Teorema di Ruffini.

Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.

Infatti, se P(a)=0 allora P(x)=Q(x)(x-a).

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.

Il valore di a deve essere cercato tra i divisori del temine noto o tra i suoi rapporti con i

divisori del coefficiente del termine di grado massimo del polinomio.

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

6x3+2x2-x+12

±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±12

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

x+4x3+1

2x3-2x2-3x-2

x2y2 -11xy+30

x3+5x2+6x

mcm e MCD

Il massimo comune divisore tra due polinomi A e B, MCD(A,B), è ogni polinomio C tale che:• C è divisore sia di A che di B• ogni altro polinomio D che divide sia A

che B ha grado minore o uguale a quello di C.

mcm e MCD

Per calcolare il massimo comune divisore tra due polinomi A e B si devono • scomporre in fattori i due polinomi• prendere i fattori comuni ai due polinomi

col minimo esponente• moltiplicare i termini ricavati

4x2+2x

4x2-1 4x2+4x+1

mcm e MCD

Il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B, mcm(A,B), è ogni polinomio C tale che:• C è multiplo sia di A che di B• ogni altro multiplo D comune ad A e B

ha grado maggiore o uguale a quello di C.

3x2y2

z½x2z2

a-4x2yz3t

mcm e MCD

Per calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B si devono • scomporre in fattori i due polinomi• prendere i fattori comuni e non comuni

ai due polinomi col massimo esponente• moltiplicare i termini ricavati

4x2+2x

4x2-1 4x2+4x+1

Esercizi

𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2

Determinare mcm e MCD

𝑥4−52𝑥3−3𝑥2+10 𝑥−4

𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 𝑎𝑚−𝑛𝑏+𝑎𝑛−𝑚𝑏

𝑥2−4 𝑥2+4 𝑥+4

Le frazioni algebriche

Un rapporto tra due polinomi A e B, di cui B non nullo, è detto frazione algebrica.

Le frazioni algebriche

Il denominatore di una frazione algebrica non può essere nullo, dobbiamo quindi

capire quali valori fanno perdere significato all’espressione.

L’insieme dei valori per cui la frazione algebrica ha significato (che non annullano

il denominatore) si chiama dominio.

Le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche

Due frazioni algebriche sono equivalenti quando assumono il medesimo valore per

tutti i valori per cui hanno entrambe significato.

Le frazioni algebriche

E’ possibile semplificare una frazione algebrica dividendo numeratore e denominatore per uno

stesso termine non nullo.

Le frazioni algebricheUna frazione algebrica in numeratore e

denominatore hanno almeno un fattore comune si dice riducibile.

Altrimenti si dice irriducibile.

E’ bene dividere numeratore e denominatore per il loro MCD.

Dopo aver diviso per il MCD la frazione si dice ridotta ai minimi termini.

Operazioni tra frazioni algebriche

Moltiplicazione

Il risultato è ancora una frazione algebrica avente per numeratore il prodotto dei

numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Per eseguire la moltiplicazione si deve:• Valutare il dominio delle frazioni

• Eseguire il calcolo• Ridurre ai minimi termini

Operazioni tra frazioni algebriche

Moltiplicazione

Operazioni tra frazioni algebriche

Elevamento a potenza

L’esponente si applica sia al numeratore che al denominatore.

Operazioni tra frazioni algebriche

Elevamento a potenza

Operazioni tra frazioni algebriche

Divisione

Data una frazione algebrica , la sua inversa è quella frazione algebrica che moltiplicata

per la prima dà 1.

Il quoziente di due frazioni algebriche A e B, con B non nulla, si calcola moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda.

Operazioni tra frazioni algebriche

Divisione

Operazioni tra frazioni algebriche

Somma e sottrazioneSi opera come nella somma di frazioni

numeriche.

Esercizi

( 12 𝑦+1

+ 4 𝑦1−4 𝑦2

+ 11−2 𝑦 ): 𝑦

2+2 𝑦+11−2 𝑦

(− 13 𝑎

+ 13𝑎−2 ) ∙ (3 𝑎−1 ) :( 1𝑎 + 3

3 𝑎−2 )