Post on 21-Feb-2019
Calcolo differenziale:
Derivata di una Funzione
(M.S.Bernabei & H. Thaler)
Applicazioni del calcolo differenziale.
1. La retta tangente
2. Velocità ed accelerazione
3. Minimo e massimo di una funzione
Problema della retta tangente
𝑐, 𝑓 𝑐
retta secante
𝒚 = 𝒇 𝒄 +∆𝒇
∆𝒙(𝒙 − 𝒄)
𝑐, 𝑓 𝑐 é il punto di tangenza e
un secondo punto del grafico di f.
x
Δ𝑦 = 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐)
(𝑐 + Δ𝑥, 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 )
(𝑐 + Δ𝑥, 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 )
Il rapporto incrementale é la pendenza della retta
secante passante per questi due punti
cxc
cfxcf
x
fm
)()(sec
x
cfxcf
)()(
Definizione: La derivata della funzione 𝑓 nel punto 𝑐 è data
dal seguente limite (purché tale limite esista finito)
)(')()(
lim0
cfx
cfxcf
x
Notiamo che 𝑓′ 𝑐 corrisponde al coefficiente
angolare
della retta tangente alla curva nel punto 𝑐.
𝑓′ 𝑐 = limΔ𝑥→0
𝑚𝑠𝑒𝑐 = limΔ𝑥→0
Δ𝑓
Δ𝑥
Definizione alternativa di derivata
La derivata di f nel punto 𝑥 = 𝑐 é data da
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
𝑐, 𝑓 𝑐 )()( cfxf
cxx
c x
𝑥, 𝑓 𝑥
Funzione derivata
• La derivata di una funzione 𝑓 che dipende
dalla variabile 𝑥 è la funzione
𝑓′ ∶ 𝐷 𝑓′ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑓′(𝑥)
Il dominio comprende quelle 𝑥 per quali 𝑓′ 𝑥 è
un valore finito.
Notazioni di derivata
• Notazione di Leibniz 𝑑𝑓
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑓 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Notazione di Lagrange 𝑓′ = 𝑦′
• Per indicare il valore della derivata in un dato
punto 𝑥 = 𝑎, scriveremo
𝑓′ 𝑎 = 𝑦′(𝑎) =𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑥=𝑎
=𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥=𝑎
Derivata di una funzione algebrica
• La funzione costante 𝑓 𝑥 = 𝑎, dove a é un
numero reale
limΔ𝑥→0
𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐
Δ𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑎 − 𝑎
Δ𝑥
= limΔ𝑥→0
0
Δ𝑥= 0.
• Quindi se 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0 per ogni
𝑥.
Funzioni Lineari
)('lim
)(lim
)()(lim
0
00
cfmx
xm
x
qmcqxcm
x
cfxcf
x
xx
• Data la funzione lineare 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, la sua
derivata é costante. Infatti:
Derivata destra e sinistra.
cx
cfxf
cx
)()(lim
cx
cfxf
cx
)()(lim
La derivata potrebbe anche non esistere in un dato punto,
perché il limite del rapporto incrementale non esiste,
in particolare quando il limite destro e diverso da quello
sinistro.
Esempio: modulo di una funzione
La derivata non esiste! Non si può definire la retta
tangente in 0.
limΔ𝑥→0+
𝑓 0 + Δ𝑥 − 𝑓 0
Δ𝑥= +1
limΔ𝑥→0−
𝑓 0 + Δ𝑥 − 𝑓 0
Δ𝑥= −1
𝑥 = 𝑥 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑥 < 0
Regola della Somma
• Date due funzioni f e g differenziabili nel punto x, allora
𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)
Infatti:
𝑓 + 𝑔 ′ 𝑐
= limΔ𝑥→0
𝑓 𝑐 + Δ𝑥 + 𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐)
Δ𝑥
= limΔ𝑥→0
𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐) + 𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑔(𝑐)
Δ𝑥
= limΔ𝑥→0
𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐)
Δ𝑥+ lim
Δ𝑥→0
𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑔(𝑐)
Δ𝑥
= 𝑓′ 𝑐 + 𝑔′ 𝑐 .
x
xfxxf
x
)()(lim
0
x
axxxa
x
22
0
)(lim
x
xxxxxa
x
)2(lim
222
0
x
xxxa
x
)2(lim
0ax2
Quindi la pendenza
della retta tangente
in ogni punto (𝑥, 𝑓 𝑥 )
è data da m = 2ax
Derivata della funzione 𝑦 = 𝑎𝑥2dove 𝑎
é reale
Derivata della funzione quadratica
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Applicando la regola della somma si ottiene:
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥𝑏𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥𝑐 =
= 2𝑎𝑥 + 𝑏
Trovare la pendenza del grafico di 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 nel
punto (−1,2). Quindi, troviamo l’ equazione della
retta tangente
(-1,2)
y = -2x y = x2 +1
Quindi, la pendenza
in ogni punto (𝑥, 𝑓 𝑥 )
è data da m = 2x
L’ equazione della retta tangente é
𝑦 − 2 = −2 𝑥 + 1 ⇒
𝑦 = −2𝑥.
Analogamente si può
provare che:
Derivata della funzione potenza 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 con n
esponente naturale
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1
Derivata di un polinomio
𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
• Applicando le proprietà della derivata viste finora
si ottiene:
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 =
𝑑
𝑑𝑥(𝑎𝑛𝑥𝑛) +
𝑑
𝑑𝑥(𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1) + ⋯
+𝑑
𝑑𝑥(𝑎1𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥(𝑎0)
=
𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1
Regola di Leibnitz: derivata di un
prodotto
• Date due funzioni f e g che ammettono
derivata, allora la derivata del prodotto è:
𝑓𝑔 ′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′
In particolare:
𝑐𝑔 ′ = 𝑐𝑔′
dove c è una costante reale.
Esempio
𝑑
𝑑𝑥𝑥 − 2 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 =
𝑑
𝑑𝑥𝑥 − 2 2𝑥2 − 3𝑥 + 1
+ 𝑥 − 2𝑑
𝑑𝑥2𝑥2 − 3𝑥 + 1 =
= 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 4𝑥 − 3 =
= 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 8𝑥 + 6 =
= 6𝑥2 − 14𝑥 + 7
Derivata della funzione potenza
𝑦 = 𝑥𝑎, 𝑥 > 0 e a reale
𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑎 = 𝑎𝑥𝑎−1
• Esempio: trovare la derivata della funzione
𝑦 = 𝑥 e usare il risultato ottenuto per
trovare la pendenza del grafico nel punto
(1,1) e (4,2). Cosa succede nel punto (0,0)? 𝑑
𝑑𝑥𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑥
12 =
1
2𝑥−
12 =
1
2 𝑥
xmxf
2
1)('
Quindi, nel punto (1,1), la
pendenza é 1/2, e nel punto (4,2),
La pendenza é 1/4.
Che cosa succede nel punto (0,0)?
La pendenza è indefinita, poichè si ottiene la divisione
per 0.
2
1m
4
1m
1 2 3 4
Trovare la derivata rispetto a t della funzione
.2
ty
2111 2)1(222
tttdt
d
tdt
d
2
2
t
Regola del quoziente
• Se 𝑓 e 𝑔 sono due funzioni differenziabili in
𝑥 tali che 𝑔(𝑥) ≠ 0, allora il loro rapporto é
differenziabile e
𝑓
𝑔
′
=𝑓′𝑔 − 𝑓𝑔′
𝑔2
Esempio
• Se la velocità di un corpo ha la seguente
espressione 𝑣 𝑡 =3𝑡2+1
2(𝑡−1)
• Calcolare la sua derivata, l’accelerazione a,
all’interno del suo dominio (𝑡 ≠ 1):
• 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡
3𝑡2+1
2(𝑡−1)=
6𝑡 2𝑡−2 −2 3𝑡2+1
4 𝑡−1 2 =
•12𝑡2−12𝑡−6𝑡2−2
4 𝑡−1 2 =6𝑡2−12𝑡−2
4 𝑡−1 2 =3𝑡2−6𝑡−1
2 𝑡−1 2
Derivata della funzione reciproca 1
𝑓
Sia 𝑓 una funzione differenziabile in 𝑥 tale che
𝑓(𝑥) ≠ 0, allora anche la funzione reciproca è
differenziabile e si ha
1
𝑓
′
= −𝑓′
𝑓2
Infatti, applicando la regola del rapporto nel caso
particolare in cui il numeratore è 1
1
𝑓
′
𝑥 = −𝑓′(𝑥)
𝑓2(𝑥)
Regola della catena
Siano 𝑦 = 𝑓(𝑥) una funzione differenziabile nel
punto 𝑥, e 𝑧 = 𝑔(𝑦) una funzione differenziabile nel
punto 𝑦 = 𝑓(𝑥), allora esiste la derivata della
funzione composta ed è della forma
𝑔 ∘ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)
oppure 𝑑𝑧
𝑑𝑥=
𝑑𝑧
𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥
Applicazione: Derivata della funzione
potenza.
• Applicando la regola della funzione
composta, si ottiene
• 𝑓𝑛 ′ = 𝑛𝑓′𝑓𝑛−1
Derivata della funzione inversa
• Se la funzione f è invertibile e derivabile nel
punto x, tale che 𝑓′(𝑥) ≠ 0, anche la
funzione inversa è derivabile nel punto
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑓−1 ′ 𝑦 =1
𝑓′ 𝑥=
1
𝑓′ 𝑓−1(𝑦)
Derivata delle funzioni logaritmiche
Derivata delle funzioni esponenziali
•𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
•𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥 = (ln 𝑎) 𝑎𝑥
•𝑑
𝑑𝑥(𝑓𝑔) = 𝑔𝑓′𝑓𝑔−1 + 𝑔′ ln 𝑓 𝑓𝑔
Derivata delle funzioni trigonometriche
Esempi
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Michel Rolle (1652-1718)
Teoremi sulle derivate:
Teorema di Rolle
• Ipotesi:
1. 𝑓 continua in [𝑎, 𝑏]
2. 𝑓 derivabile in (𝑎, 𝑏)
3. 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
• Tesi:
Esiste almeno un punto 𝑐 in (𝑎, 𝑏) tale
che 𝑓′ 𝑐 = 0.
a b
tangente
curva
Punto a
tangente
orizzontale
TEOREMA DI ROLLE
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813)
Il Teorema di Lagrange o del valor
medio
Ipotesi:
1. 𝑓continua in [𝑎, 𝑏] 2. f derivabile in (𝑎, 𝑏)
Tesi:
∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
Teorema di Cauchy
Ipotesi: Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 e 𝑔: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 sono due
funzioni continue in [𝑎, 𝑏], derivabili in (𝑎, 𝑏) con
𝑔′ 𝑥 ≠ 0 per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
Tesi: Allora esiste 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che
𝑓′ 𝑐
𝑔′ 𝑐=
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
Osservazione 1
• Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 , derivabile in (𝑎, 𝑏)
• Ogni funzione del tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑘, con 𝑘 una
costante è derivabile in (𝑎, 𝑏) e risulta:
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑘 = 𝑓′ 𝑥
Osservazione 2
• Pertanto se esiste la derivata di una funzione
essa è unica
• Invece se una funzione 𝑓(𝑥) è la derivata di
un’altra 𝐹(𝑥) questa non è unica
• Infatti (𝐹 𝑥 + 𝑘)′ = 𝐹(𝑥)′, per ogni numero
reale 𝑘.
• Una funzione derivabile è anche continua.
Osservazione 3
Se una funzione è derivabile nel punto 𝑥 = 𝑎,
allora è anche continua in questo punto. In particolare
una funzione derivabile nel intervallo 𝐼 è anche
continua su 𝐼. lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 =
lim𝑥→𝑎
( 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎 =
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎lim𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎) = 𝑓′ 𝑎 ⋅ 0 = 0
Teoremi
• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ è tale che 𝑓′ 𝑥 = 0 per ogni
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora si ha che 𝑓 𝑥 = 𝑘 (costante),
per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ e 𝑔: (𝑎, 𝑏) → ℝ sono tali che
𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora esiste
𝑐 ∈ ℝ tale che 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐, per ogni
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
Regola di De L’Hôpital
Forme indeterminate del tipo 0/0
• Prendiamo in considerazione dei limiti che presentano una forma del tipo 0/0. Ad esempio:
Vogliamo sviluppare un metodo generale per risolverli.
1sin
lim0
x
x
x2
1
1lim
2
1
x
x
x0
cos1lim
0
x
x
x
Regola di De L’Hôpital
Sia 𝐼 un intervallo aperto con 𝑎 ∈ 𝐼. Supponiamo che le funzioni 𝑓 e 𝑔 sono funzioni differenziabili in 𝐼, eccetto al più il punto 𝑥 = 𝑎, e che 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 per ogni 𝑥 dell’ intervallo, escluso al più il punto 𝑎 e che
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0, lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0 e
lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= 𝐿 (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 = ±∞)
allora anche lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑎 𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
Nella dimostrazione sotto assumiamo che 𝑓 e 𝑔 sono funzioni
differenziabili in 𝐼.
Dimostrazione: Calcoliamo il limite 𝑥 → 𝑎+ (nello stesso
modo si tratta poi il caso 𝑥 → 𝑎−). Applichiamo il teorema
di Cauchy all’intervallo (𝑎, 𝑥) e usiamo quel 𝑐 tale che
𝑓′ 𝑐
𝑔′ 𝑐=
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑎
Siccome
𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, si ha
𝑓′ 𝑐
𝑔′ 𝑐=
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
Per 𝑥 che tende ad 𝑎, 𝑐 tende ad 𝑎 perché è sempre
compreso fra 𝑎 e 𝑥. Perciò
lim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑐→𝑎+ 𝑓′ 𝑐
𝑔′ 𝑐= lim
𝑥→𝑎+ 𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 . q.e.d.
Esempio:
20
1 coslimx
x
x x
0
sinlim
1 2x
x
x
0
Se la forma non é più
indetermianta,
bisogna fermarsi!
Se proviamo ad applicare di nuovo De L’Hôpital:
0
sinlim
1 2x
x
x
0
coslim
2x
x
1
2 É sbagliato!
Esempio 1
• Trovare il seguente limite:
• Precedentemente abbiamo fattorizzato e semplificato e sostituito di nuovo il valore 2.
2
4lim
2
2
x
x
x
4)2(lim)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
x
xxx
Esempio 1
• Trovare il seguente limite
• Ora possiamo applicare la regoal di De L’Hôpital per risolvere questo limite.
2
4lim
2
2
x
x
x
4)2(21
2lim
2
4lim
2
2
2
x
x
x
xx
Esempio 2
• Trovare il seguente limite.
• Verifichiamo che si tratta di una forma indeterminata della forma 0/0.
x
x
x
sinlim
0
0
0sinlim
0
x
x
x
Esempio 2
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.
x
x
x
sinlim
0
11
1
1
coslim
sinlim
00
x
x
x
xx
Esempio 3
• Trovare il seguente limite:
• Si tratta di una forma indeterminata della forma 0/0.
x
x
x cos
sin1lim
2/
0
0
0
11
cos
sin1lim
2/
x
x
x
Esempio 3
• Trovare il seguente limite.
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.
x
x
x cos
sin1lim
2/
01
0
sin
coslim
cos
sin1lim
2/2/
x
x
x
x
xx
Esempio 4
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.
30
1lim
x
ex
x
0
0
0
111lim
30
x
ex
x
Esempio 4
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.
• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite
30
1lim
x
ex
x
0
1
3lim
1lim
2030 x
e
x
e x
x
x
x
Esempio 5
• Trovare il seguente limite:
• E’ una forma indeterminate della forma 0/0.
20
tanlim
x
x
x
0
0tanlim
20
x
x
x
Esempio 5
• Trovare il seguente limite
• Applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite
20
tanlim
x
x
x
xxx
x
xx2
02
0 cos2
1lim
tanlim
Esempio 6
• Trovare il seguente limite
• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.
• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.
• Applichiamo di nuovo la regola di De L’Hôpital.
20
cos1lim
x
x
x
0
0
2
sinlim
cos1lim
020
x
x
x
x
xx
2
1
2
coslim
2
sinlim
cos1lim
0020
x
x
x
x
x
xxx
Esempio 7
• Trovare il seguente limite:
• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.
• Applichiamo quindi la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.
)/1sin(lim
3/4
x
x
x
01
0
)/1cos(
)3/4(lim
)/1cos()/1(
)3/4(lim
)/1sin(lim
3/1
2
3/73/4
x
x
xx
x
x
x
xxx
Forme indeterminate del tipo
Teorema: Sia 𝐼 un intervallo aperto con 𝑎 ∈ 𝐼. Supponiamo che le funzioni 𝑓 e 𝑔 sono funzioni differenziabili su 𝐼, eccetto al più il punto 𝑥 = 𝑎, e che
allora
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑎 𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
/
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞, lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ∞ e
lim𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= 𝐿 (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 = ±∞)
Esempio 8
• Trovare il seguente limite:
• E’ una forma indeterminata.
• Applichiamo la regola di De L’Hôpital.
xx e
x
lim
011
limlim
xxxx ee
x
Crescita esponenziale
• Come mostra il seguente grafico la funzione esponenziale ha una crescita più rapida di ogni potenza di 𝑥.
0lim x
n
x e
x
n
x
x x
elim
Forme indeterminate del tipo
• Utilizzando la regola di De L’Hôpital possiamo trasformare la forma indeterminata in 0
0
/
Esempio 9
• Valutare il seguente limite:
• Si tratta di una forma indeterminata:
• Riscrivendo la funzione come
• Applicando la regola di De L’Hôpital
)(0lnlim0
xxx
xxx
lnlim0
x
x
x /1
lnlim
0
0)(lim/1
/1lim
/1
lnlim
02
00
x
x
x
x
x
xxx
Forme indeterminate del tipo
• Questa forma indeterminata può essere ricondotta alle precedenti, utilizzando qualche artificio
Esempio 10
• Trovare il seguente limite
• Genera una forma indeterminata
• Riscriviamo la funzione nella forma
• Ora la forma indeterminata é 0/0, così possiamo usare la regoal di De L’Hôpital.
xxx sin
11lim
0
xx
xx
xx xx sin
sinlim
sin
11lim
00
02
0
cos2sin
sinlim
0
0
sincos
1coslim
sin
sinlim
0
00
xxx
x
xxx
x
xx
xx
x
xx
Forme indeterminate del tipo
• Limiti della forma danno luogo ad altre forme indeterminate del tipo:
• Per risolverla introduciamo una variabile dipendente
)()(lim xgxf
1,,0 00
1,,0 00
)()( xgxfy
Esempio 11
• Mostrare che
• Questa é una forma indeterminata del tipo così la risolviamo attraverso un cambiamento di variabile.
ex x
x
/1
0)1(lim
1
xxy /1)1(
xxy /1)1ln(ln
)1ln()/1(ln xxy
x
xy
)1ln(ln
Esempio 11
0
0)1ln(limlnlim
00
x
xy
xx
x
xy
)1ln(ln
11
1lim
1
)1/(1lim
)1ln(lim
000
x
x
x
x
xxx
Esempio 11
Questo implica che per .
11
1
1
)1/(1)1ln(lim
0
x
x
x
x
x
1lnlim0
yx
ey 0x
Esercizi 1. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 6𝑥 + 2 [6]
b) 𝑦 = 2𝑥2 − 12𝑥 + 7 [4𝑥 − 12]
c) 𝑦 = 𝑥5 − 3𝑥3 + 12𝑥 [5𝑥4 − 9𝑥2 + 12]
d) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 [1 +1
𝑥]
e) 𝑦 =10
𝑥3 [−30
𝑥4]
f) 𝑦 =𝑥3
𝑥2−1 [
𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2]
g) 𝑦 =𝑥2+2𝑥+1
𝑥2−2𝑥+1 [
−4(𝑥 +1)
𝑥 −1 3 ]
2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2𝑥 + 12
3 4
32𝑥 + 1 −
1
3
b) 𝑦 = 3𝑥4 + 3 6𝑥3
3𝑥4+3
c) 𝑦 = 𝑒4𝑥+1 4𝑒4𝑥+1
d) 𝑦 = 102𝑥2−3 4𝑥(ln 10) 102𝑥2−3
e) 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥 4
𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2
f) 𝑦 = ln 𝑥2 + 1 2𝑥
𝑥2+1
g) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 ln 𝑥
3. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 2(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 cos 2𝑥
c) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
𝑥 cos 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
d) 𝑦 = tan 𝑥2 2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥2
e) 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+ 𝑠𝑒𝑛2𝑥
f) 𝑦 = ln cos 𝑥 − tan 𝑥
g) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥2+1
[2𝑥 cos 𝑥2 + 1 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥2+1 ]
h) 𝑦 = 𝑥 𝑒𝑥 [𝑒𝑥(1 + 𝑥)]
4. Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di
De L’Hôpital:
a) .
[4]
b) .
[-1/8]
c) .
[1]
d) [1/2]
2
2
4lim
2x
x
x
20
1 12lim
x
xx
x
1lim sinx
xx
1
1 1lim
ln 1x x x
x
x
x
2sinlim
0