Dal metodo delle tangenti al calcolo differenziale: un percorso ...
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.
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CALCOLODIFFERENZIALE
PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.
Formula di Taylor per funzioni Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali di più variabili. Differenziali successivi.successivi.
Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Massimi e minimi liberi.Massimi e minimi liberi.
FORMULA DI TAYLORFORMULA DI TAYLORPER FUNZIONI DI PIÙPER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILIVARIABILI
Ricordiamo la formula di Taylor,con il resto alla Lagrange,per le funzioni di una variabile:
Se f : U R R, è una funzione n+1volte derivabile in un intorno U delpunto x0 , allora esiste un solo polinomio Tn(x), detto di Taylor, digrado ≤ n, tale che
f(x)= Tn(x)+ rn(x)
con rn(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 , compreso tra x e x0.
k!Tn(x)=k=0
n(Dkf)(x0)_______(x-x0)k
Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simileper le funzioni di più variabili.Iniziamo dal caso di due variabili.
rn(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0 per x x0 , ossia rn(x)= o((x-x0)n)
Teorema(di Taylor, per funzioni R2 R )
Se f : A R2 R, ha derivate continue
fino all’ordine n+1, allora
f(x,y)= Tn(x,y)+ rn(x,y), con rn(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)
Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x0,y0)T
in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v.L’equazione del segmento che va da (x0,y0)T a (x,y)T è: (x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1.
F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t +
Prendendo come punto base t0=0, si trova:
+ t2 + … + _____F’’(0)2!
F (n)(0)______n! tn +
F (n+1)()________(n+1)!tn+1
Con compreso tra 0 e t.
In particolare, prendendo t=1 :
F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0) +
Si tratta ora di calcolare, utilizzandola formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presentinella formula di Taylor-Lagrange.
+ + … + _____F’’(0)2!
F (n)(0)______n! +
F (n+1)()________(n+1)!
, (0<<1)
F(0) = f(x0,y0),
F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k,
F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)
(x0)h2++(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2=
=(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2
Nell’ultima formula abbiamo utilizzatoil Teorema di Schwarz.
In generale se, v1=h e v2=k:
2
F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1
(Di1i2…ip f)(x0,y0) vi1vi2 vip
Sappiamo che F’(0) = df (x0,y0)
(v).Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) =
= (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2. i1, i2= 1
2
Definiamo in generale
2
F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1
(Di1i2…ip f)(x0,y0)vi1vi2 vip
dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =
Usando la notazione dei differenzialisuccessivi, la formula di Taylor-Lagrange diviene
f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v) + … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) ++ (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT (v,v,..,v,v)
Osserviamo che
dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) =
f)(x0+h, y0+k)vi1vi2 vinvin+1
2
= i1, i2,…, in , in+1= 1
(Di1i2… in , in+1
Ma su una sfera chiusa e limitata dicentro (x0,y0) e raggio |v|le derivate d’ordine n+1 sono tutte limitate da unacostante M e v = |v| , con versore.
f)(x0+h, y0+k)vi1vi2 vinvin+1 =
2
i1, i2,…, in , in+1= 1
(Di1i2… in , in+1
f)((x0,y0)+vT)i1i2i
nin+1
2
=|v|n+1 i1, i2,…, in , in+1= 1
(Di1i2… in , in+1
Perciò
|dn+ 1fx0+ vT (v,v,…,v,v)|≤
|i1, i2,…, in , in+1= 1
2M i1 i2 in in+1 |≤
≤|v|n+1
≤ M 22(n+1)(n+1) |v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n).
Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.
Se f : A Rm R, è una funzione di classe Cn+1(A), allora vale un teoremaanalogo al precedente per funzioni delle m variabili x1, x2, … , xm.
Non lo enunciamo per brevità.
2
F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1
(Di1i2…ip f)(x0 ,y0)vi1vi2 vip
dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =
Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x0,y0)T valutato sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T:
Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y,(r+ s = p), tenendo presente chedx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordandoil Teorema di Schwarz, si può verificare che:
dpf(x0,y0) =r+s=p
p!_____r! s!
∂pf______∂xr ∂ys
(x0,y0) dxr dys
In particolare, per il differenziale secondo si ha:
d2f(x0,y0)
=
____∂x2
∂2f (x0,y0) dx2 + 2
____∂2f
∂x ∂y(x0,y0) dx dy
+∂2f____∂y2
(x0,y0) dy2
Per funzioni di m variabili:
d2fx0 =i,j =1
m ∂2f______∂xi
∂ xj
(x10,x2
0,.. ,xm0) dxi dxj
MASSIMI E MINIMIMASSIMI E MINIMILIBERILIBERI
Ricordiamo che, data una funzionef : A Rm R , A aperto, un puntox0 A si dice che x0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x0) tale cheper ogni x U vale
f(x) ≤ f(x0)
Se per ogni x U vale invecef(x) ≥ f(x0)
x0 si dice punto di minimo relativo per f
Si dice che x0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A Rm R ,se per ogni x A vale f(x) ≤ f(x0) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) )
Vale il seguente
Teorema(di Fermat)
Sia f : A Rm R, A aperto. Sia x0 A
punto di massimo o di minimo relativo
e sia f derivabile in x0. Allora
f(x0)= 0 .
Basta ricordare che la funzione
g1(t) = f(t,x20,..,xm
0)
ha max o min relativo in x10 e quindi
g1’ (x10) = 0 = D1f (x1
0,x20,..,xm
0) .
Analogamente
g2(t)=f(x10,t,..,xm
0), … , gm(t)=f(x10,x2
0,..,t)
hanno max o min relativo in x20 ,..,xm
0
e quindi
g2’ (x20) = 0 = D2f (x1
0,x20,..,xm
0)
…...
gm’ (xm0) = 0 = Dmf (x1
0,x20,..,xm
0)
Dunque
f(x0)= 0 .
I punti x0 A , nei quali f(x0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A.
I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A Rm sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se f C1(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni
Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .