CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Argomenti della lezione. Il teorema del “differenziale totale” . Regole di derivazione e differenziazione. Derivate successive. IL TEOREMA DEL “DIFFERENZIALE TOTALE” . Teorema. Se f : A R n R , A aperto, . - PowerPoint PPT Presentation
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CALCOLODIFFERENZIALE
PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
Il teorema del “differenziale Il teorema del “differenziale totale” .totale” .
Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Regole di derivazione e Regole di derivazione e differenziazione.differenziazione.
Derivate successive.Derivate successive.
IL TEOREMA DEL IL TEOREMA DEL ““DIFFERENZIALE DIFFERENZIALE
TOTALE” .TOTALE” .
TeoremaSe f : A Rn R, A aperto,
ha derivate parziali continue in A,
allora è differenziabile
in ogni punto x0 A.
Calcoli a parte…
REGOLE DI DERIVAZIONE E DI DIFFERENZIAZIONE.
Vista la definizione di derivataparziale e il suo legame con lanozione di differenziale messain evidenza precedentemente,possiamo concludere che le regoledi derivazione già note continuanoa valere per le derivate parziali, direzionali e per il differenziale. Dunque:
Dk(f + g) = Dkf + Dkg
d(f + g) = df + dg
Dk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg)
d(fg) = (df)g + f(dg)Dk(f/g) = ((Dkf)gg - f((Dkg))/(g2)
d(f/g) = ((df)gg - f((dg))/(g2)
DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA
Teoremadifferenziabile in x0 A, e sia
g(t)=(x1(t),…, xn(t))T derivabile in t0: g’(t0)=( x1’(t0) ,…, xn’(t0))T,
g(t0) = x0 , allora è derivabile in t0
Sia f : A Rn R, A aperto,
F(t) =f(g(t)) , e vale
F ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+ + Dnf(x0)xn’(t0)
con g(t): I Rn .
Calcoli a parte ...
DERIVATE SUCCESSIVE.
Sia f : A R2 R, A aperto, dotata di derivate parziali rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte
aperta A1 . Allora D1f: A1 R e D2f: A1 R , sono funzioni delle
quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.
Si potranno considerare
, ,
e
∂∂y
∂f∂x( )
∂∂y
∂f∂y( )
∂∂x
∂f∂x( )
∂∂x
∂f∂y( )
Si indicherà
= ___∂2f∂x2 (x0,y0)∂
∂x∂f∂x( ) (x0,y0)
∂∂x
∂f∂y( ) (x0,y0) = ∂2f
∂x∂y____ (x0,y0)
∂∂y
∂f∂x( ) (x0,y0) = ∂2f
∂y∂x____ (x0,y0)
Più in generale
∂∂xi
∂f∂xk( ) (x1
0,…, xn0) ∂2f
∂xi∂xk
____ (x10,…,xn
0)=
Ci chiediamo:quale relazione c’è tra
∂2f∂x∂y____ (x0,y0) ∂2f
∂y∂x____ (x0,y0)e ?
O tra∂2f
∂xk∂xi
____ (x10,…,xn
0)
∂2f∂xi∂xk
____ (x10,…,xn
0)
e
, (i≠k) ?
Altre notazioni per indicare le derivate successive:∂2f
∂x∂y____ (x0,y0) = fxy (x0,y0) =
= D2xyf(x0,y0) = D2
12f(x0,y0) =
= ∂2xyf(x0,y0) = ∂2
12f(x0,y0) E notazioni analoghe per
∂2f∂xi∂xk
____ (x10,…,xn
0)
Teorema(Sull’inversione dell’ordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) )
Siano fxy e fyx definite su un aperto A,
e siano continue in (x0,y0) A.
Allora fxy (x0,y0)= fyx (x0,y0) .
In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano continue in un aperto A Rn , due derivate, calcolate nello stesso punto, che differiscono solo per l’ordine di derivazione sono uguali.
