Calcolo differenziale per funzioni di una variabile15/10/2015 1 1 Calcolo differenziale per funzioni...
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15/10/2015 1 1 Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Derivata di una funzione Def. Sia f: (a,b)R, si definisce derivata di f nel punto x 0 (a,b) il numero, se finito,: h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ) ( ) ( , ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 x , Dy x Df dx dy , dx df , x , y' x f x x
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Derivata di una funzione
Def. Sia f: (a,b)R, si definisce derivata di f nel punto
x0(a,b) il numero, se finito,:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
)()(,)()( 0000
00
x, DyxDfdx
dy,
dx
df,x, y'xf
xx
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Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta
tangente
O
y
f(x0)
f(x0+h)
x = h
f
a b
.
x0
.
x0+h
Sia x0 ∊ (a, b): x0 + h ∊ (a, b)
tgβh
)f(xh)f(x
x
f
00
Derivata di una funzione
β α
B
A
rapporto
incrementale
coeff.
angolare di r
r
O X
Quando h0 :
tg)(xfh
)f(xh)f(x
h
0
00
0lim
Y
f(x0)
x0
h
.
h
f(x0+h)
x0+h
retta tangente
.
Derivata di una funzione Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta
tangente
a b
t
r
B A retta secante
α
tdiangolarecoefftg .
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Y
f(x0)
x0
retta tangente
Derivata di una funzione Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta
tangente
a b
t
A
)())(( 000 xfxxxfy
Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto di
ascissa x0:
Infatti tra tutte le rette del fascio proprio
passanti per A(x0 , f(x0)) di eq.
per
si ottiene l’equazione di t
)()( 00 xxmxfy
)( 0xfm
t
f(x) è derivabile in [a,b], se è derivabile x(a,b) e
ammette derivata destra in x = a
e derivata sinistra in x = b
Se è definita x(a,b) allora f(x) è derivabile in
(a,b) e risulta definita la funzione detta
derivata prima di f(x)
Derivata di una funzione
)( ' afscrivesi
)( ' bfscrivesi
)(xf
Rbaf ),(:
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)()()(
lim 0
'00
0xf
h
xfhxf
h
Derivata destra
)()()(
lim 0
'00
0xf
h
xfhxf
h
Derivata sinistra
)()( '' xfxf Se f è derivabile in x
Derivata di una funzione
Definizione
Teorema.
Sia f: (a,b)R. Se f è derivabile in x0 (a, b) allora f è
continua in x0.
Dimostrazione
Sia
Derivata di una funzione
Continuità e derivabilità
:),(, 000
bahxxeh
0)()(
lim)()(lim 00
0000
h
h
xfhxfxfhxf
hh
Da cui
Che è la continuità di f in x0
)()(lim000
xfhxfh
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Derivata di una funzione
Continuità e derivabilità
Quindi
derivabilità continuità
Non è vero il viceversa
Es. y=|x| è continua ma non è derivabile in x=0.
Infatti e
0
0
xx
xxxy
01
01'
x
x
x
xy
1)0(1)0(
ff
Se e almeno una finita
x0 si dice punto angoloso, in quanto le rette tangenti
alla f(x) nel punto di ascissa x0 formano un angolo.
)()( 0
'
0
' xfxf
Es.
f(x)= |x|
Punti di non derivabilità
Derivata di una funzione
1)0(1)0(
ff
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x0
Y
X
Punto angoloso
Derivata di una funzione
f(x0)
Punti di non derivabilità
Se sono
x0 si dice punto cuspide; la retta tangente alla f(x) nel
punto di ascissa x0 è verticale.
)( )( 0
'
0
' xfxf
x0
Y
X
)( 0
' xf )( 0
' xf
Derivata di una funzione
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Punti di non derivabilità
Se sono
x0 si dice punto di flesso a tangente verticale; la retta
tangente alla f(x) nel punto di ascissa x0 è verticale.
)( )( 0
'
0
' xfxf
x0
Y
X
)( )( 0
'
0
' xfxf
Derivata di una funzione
Punti di non derivabilità
Es.
)0( )0( ff
Derivata di una funzione
3 xy
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Punti di non derivabilità
Es.
)0(
)0(
f
f
Derivata di una funzione
xy
1)( nn xnxD
ex
xD aa log1
)(log x
xD1
)(ln
aaaD xx ln)( xx eeD )(
xxD cos)(sin
xxD sin)(cos
0)( kD
Derivata delle funzioni elementari
Derivata di una funzione
xtgx
tgxD 2
21
cos
1)(
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21
1)(arcsin
xxD
21
1)(
xarctgxD
21
1)(arccos
xxD
Derivata di una funzione
Derivata delle inverse delle funzioni trigonometriche
Derivata di una funzione
Esercizio
Utilizzando la definizione calcolare la derivata di
1) f(x)=k.
0lim)()(
lim)(00
h
kk
h
xfhxfxf
hh
2) f(x)=ex
x
hx
hhe
h
ee
h
xfhxfxf
)1(lim
)()(lim)(
00
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Derivata di una funzione
3) f(x)=lnx.
xh
h
xhx
h
xfhxfxf
xh
h
hh
1)1ln(lim
ln)ln(lim
)()(lim)(
0
00
Derivata di una funzione
4) f(x)=cosx
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
cos)cos(lim
)()(lim)(
00
h
hx
h
xhxhx
hh
)1(coscoslim
cossinsincoscoslim
00
xh
hx
hsin
sinsinlim
0
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Derivata di una funzione
5) f(x)=sinx
h
hx
h
xxhhx
hh
)1(cossinlim
sincossincossinlim
00
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
sin)sin(lim
)()(lim)(
00
xh
xh
hcos
cossinlim
0
Algebra delle derivate
Se f e g sono derivabili in x, allora sono derivabili in x
anche la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente
(con il denominatore 0) e si ha:
0 , )
'' b)
'' a)
2
gg
g'fgf
g
fc
gfgf )g(f
gf)g(f
Derivata di una funzione
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Algebra delle derivate
Dimostriamo la b)
g' fgf' )g(f
Derivata di una funzione
h
xghxgxf
h
xfhxfhxg
hh
)()()(lim
)()()(lim
00
h
xgxfhxghxf )g(f
h
)()()()(lim
0
h
xgxfhxgxfhxghxfh
)()()()()()(lim
0
Algebra delle derivate
Per ipotesi f e g sono derivabili, quindi continue in x,
perciò:
Derivata di una funzione
),()(lim0
xghxgh
)()()()( xgxfxgxf )g(f
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Esercizio.
1) Calcolare la derivata di
Derivata di una funzione
xxxf lnsin)(
x
xxxxf
sinlncos)('
2)Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di eq
nel punto di ascissa x=1
32)( xexf x
3 2
3
322)(
x
exexf
x
x
Teorema di derivazione della funzione composta
Sia g(x) una funzione derivabile in x, e se f(x) è una
funzione derivabile nel punto g(x), allora la funzione
composta f(g(x)) è derivabile in x, e si ha:
)('))((']))(([ xgxgfxgf
Derivata di una funzione
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Dimostrazione. Se si ha
Derivata di una funzione
Teorema di derivazione della funzione composta
h
xgfhxgfh
))(())((lim
0
in quanto se allora
con essendo g(x) continua in x.
Se h=0, il teorema continua a valere.
0h 0k
),()( xghxgk
0h
h
xghxg
xghxg
xgfhxgfh
)()(
)()(
))(())((lim
0
)())(( xgxgf
Esercizio.
1) Calcolare la derivata di
Derivata di una funzione
).ln(sin)( xxf
xx
xxf cotg
sin
cos)(
2) Calcolare la derivata di .)(32 xxexf
xx
xexf xx
3
2
2
22
16)(
3
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Esercizio.
3)Calcolare la derivata di
Derivata di una funzione
).sin(ln)( xxf
x
xxf
)cos(ln)(
Eq. retta tang. a f(x) in x = x0 :
Per noi x0=0
Esercizio.
Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di
equazione nel punto di ascissa x=0
Derivata di una funzione
32 )1()( xxexf
)())((000
xfxxxfy
3)0()2()1(3)( 2222 fxeexexf xxx
1)0( f
Quindi l’equazione è: 13 xy
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Teorema di derivazione della funzione inversa
Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona
in [a,b]. Se f è derivabile in x0(a,b) e se ,
allora anche la funzione inversa f -1 è derivabile nel
punto y0=f(x0), e la derivata vale:
)('
1])([
0
0
1
xfyf
0)(0 xf
Derivata di una funzione
Y
y0=f(x0)
x0
y0+k=f(x0+h)
x0+h
X
k
h
)('
1
)()(
)()(
0
0
00
0
1
0
1
xfxfhxf
h
k
yfkyfh
Se anche
in quanto f-1 è continua
Derivata di una funzione
Teorema di derivazione della funzione inversa
Dimostrazione. Si ha
0k 0h
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Esercizio. Utilizzando il teorema di derivazione della
funzione inversa, calcolare la derivata della funzione
inversa di
yxxy arcsinsin
xxf sin)(
Derivata di una funzione
2,
2
22 1sin1cos yxxy
In si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione
inversa si ha
Derivata di una funzione
2
1
1
1)(arcsin
)(
1)(
yy
xfyf
21
1)(arcsin
xx
Scambiando x con y:
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Per , si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione
inversa si ha
Es. Calcolare la derivata della funzione ,
vista come funzione inversa di
Derivata di una funzione
xxfxxf
1)(ln)(
xey
.ln)( xxf
0x
yy exexf
yf
)(
)(
1)(1
yeyfx )(1
xx ee )(Quindi
Sia in si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione
inversa si ha
Es. Utilizzando il teorema di derivazione della funzione
inversa, dimostrare che
Derivata di una funzione
xtgxftgxxf 21)()(
,)( tgxxf
2,
2
x
22
1
1
1
1
1)(
)(
1)(
yxtgarctgy
xfyf
arctgyyfx )(1
.1
1)(
2xarctgx
