Autoinduzione

Dimensioni e unità dell’autoinduttanza

Fem autoindotta

Induzione mutua

Circuito LR

Energia magnetica

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

Circuito LC

Rocchetto di Ruhmkorff

Elettrodinamica 224 ottobre 2013

Autoinduzione

• Un circuito percorso da corrente genera un campo B

• Il flusso di B concatenato al circuito è

• B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace

• B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è

S

AdBSB

|

3

0

4 r

rldiB

2

Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura

• Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito

• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica

• Le dimensioni sono

• L’unità di misura è lo henry (H)

Li

iL

A

Tm

A

WbH

2

3

Autoinduttanza di un solenoide

• Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è

• Il flusso di B concatenato con le N spire è

• L’autoinduttanza è

il

NniB 00

AlinnlBANBA 20

Alni

L 20

4

Fem autoindotta

• In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem

• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive

dt

diL

dt

Lid

dt

d

)(E

5

Induzione mutua

• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro

• Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente

• Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1

1

121212 |S

AdBSB

3

22

02 4 r

rldiB

22112 iM

C1

C2

6

Induzione mutua

• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi

• Simmetricamente per il circuito 2 avremo

• Si può dimostrare che

• Il valore comune M è detto induttanza mutua• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla

loro disposizione relativa e distanza• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L

112222 iMiL

221111 iMiL

2112 MM

7

Circuito LR

• Contiene un resistore R e un induttore L• Inizialmente il circuito è aperto e i=0• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma

varia come e nell’induttanza c’è una fem

• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR

• Per la 2a legge di Kirchhoff

dtdi

dtdiL

0 iRdt

diLiR bib EEE

8

Analisi qualitativa del circuito LR

• Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come

• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come

• Cioè più lentamente che per t=0

dtdiL

Ldt

di bE

0

L

iR

Ldt

di b E

9

Analisi qualitativa del circuito LR

• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale

• L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore

• Si ottiene come soluzione

• Con costante di tempo del circuito

dtdi

R

L

tb eR

i 1E

Ri bf

E

10

Energia Magnetica

• Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente

• Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria

• Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza

• Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore

dt

diLiRii 2E

11

Energia Magnetica

• Possiamo dunque scrivere

• La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If

• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore

dt

diLi

dt

dUm

2

0 2

1f

I

mm LILididUUf

12

Energia Magnetica

• Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B

• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B

• L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B

• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo

niB 0 AlnL 20

13

Energia Magnetica

• L’energia magnetica accumulata è

• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica

• Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale

lAB

n

BAlnLIU fm

0

22

0

20

2

22

1

2

1

0

2

2 B

lA

Umm

14

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti

• Isoliamo il termine di induzione

M

R1

EB1

L1

R2

EB2

L2

0

0

222

111

RiB

RiB

VEE

VEE

222

111

RBi

RBi

VEE

VEE

15

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq.

• Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica

222222

111111

IVIEIE

IVIEIE

RBi

RBi

222

111

IEP

IEP

im

im

16

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti

• Esplicitando la fem dei due circuiti

dtIEIEdtPdtPdU iimmm 221121

2

2221

2

11

22

221

12

11

1

212

2121

1

2

1

2

1IL

dt

dIMI

dt

dIL

dt

d

Idt

dILI

dt

dIMI

dt

dIMI

dt

dIL

Idt

dIM

dt

dILI

dt

dIM

dt

dIL

dt

dUm

17

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• E integrando• Tale energia non puo` essere negativa, questo

matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa

• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo

2

2221

2

11 2

1

2

1ILIMIILUm

02 2

2

2

1 yLMxyxL

021

2 LLM

18

Coefficiente di accoppiamento

• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti

• Si definisce coefficiente di accoppiamento

• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)

2121 LLMLL

21

2

LL

Mr 10 r

19

Circuito LC – Oscillazioni libere

• Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff

• È l’equazione del moto armonico di pulsazione

• che ha soluzione

QCdt

dIL

1

01

2

2

QLCdt

Qd

tAQ 0cos

L

CCL VE

LC

10

tAI 00 sin

0 CL VE

dt

dQI

20

Circuito LC

• Ove A e si determinano imponendo le condizioni iniziali

• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo

• Carica e corrente sono sfasate di /2

tQQ 00 costQI 000 sin

21

Circuito LC

• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica

• Questa energia è costante

• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente

• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica

0)(

LC

QLII

C

Q

dt

dILI

dt

dQ

C

Q

dt

tdU

)(2

1)(

2

1)( 2

2

tLIC

tQtU grafico

22

Rocchetto a induzione(*)

• Un rocchetto ad induzione (o di Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente continua a bassa tensione

• (*) le pagine da 23 a 28 sono adattate da Wikipedia

23

Funzionamento• Un rocchetto ad induzione

consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti attorno ad un unico nucleo di ferro

• Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico

• L'altro (avvolgimento secondario) consiste di diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato magneticamente al primario attraverso il nucleo di ferro

24

Funzionamento• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel

campo magnetico associato• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la

forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore

• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario

• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali

25

Funzionamento

• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica vibrante chiamata interruttore per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario

• L'interruttore è montato ad una estremità del nucleo ferroso, il campo magnetico generato dal primario attira la lamina, trattenuta da una molla, e apre il circuito

• All'apertura del circuito, il campo magnetico si interrompe, la molla richiama l’interruttore e il circuito viene chiuso nuovamente

26

Funzionamento

• La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore

• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore

• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra

27

Funzionamento

• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente

• Questo diminuisce la formazione di correnti parassite perpendicolari all'asse magnetico

28

Circuito chiuso

• Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario

• Soluzione

BEridt

diL 1

11

TtB er

Ei 11

r

LT 1

R

rM

EB

L1 L2

i1

t 29

Circuito chiuso• Flusso nel secondario

• Fem nel secondario

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a

• Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale

dt

diM

dt

diLE 1222

1222 MiiL

R

rM

EB

L1 L2

TtB eTr

EM

dt

diME

112

1

2 L

EME Bchius

E2

t

30

Circuito apertomodellato con una R molto grande

• Equazione del primario

• Soluzione

BEirRdt

diL 1

11

tBtBBtB er

Ee

r

R

rR

E

rR

Ee

r

R

rR

Ei

11

rR

L

1

R

r

L1 M

EB

L2

i1

t 31

Circuito aperto

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e`

• Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale

tB e

rrR

REM

dt

diME

112

r

R

L

EM

rrR

REME BBaper

1

2

1

R

r

L1 M

EB

L2

E2

t32

Fem nelle commutazioni

• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono

• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti

• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`

33

BBBBchius EE

L

L

L

ELL

L

EME

1

2

1

21

1

2

r

RE

r

RE

L

L

r

R

L

ELL

r

R

L

EME BB

BBaper 1

2

1

21

1

2

12

2 r

R

E

Echius

aper

Fem nelle commutazioni

• Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica

aperE2

34

E2

tapertura del primariochiusura del primario

Potenziale di scarica in aria

Importanza scientifica

• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H. Hertz per dimostrare sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche

35