Autoinduzione Dimensioni e unità dellautoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR...

Autoinduzione

Dimensioni e unità dell’autoinduttanza

Fem autoindotta

Induzione mutua

Circuito LR

Energia magnetica

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

Circuito LC

Rocchetto di Ruhmkorff

Elettrodinamica 224 ottobre 2013

Autoinduzione

• Un circuito percorso da corrente genera un campo B

• Il flusso di B concatenato al circuito è

• B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace

• B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è

S

AdBSB

|

3

0

4 r

rldiB

2

Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura

• Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito

• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica

• Le dimensioni sono

• L’unità di misura è lo henry (H)

Li

iL

A

Tm

A

WbH

2

3

Autoinduttanza di un solenoide

• Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è

• Il flusso di B concatenato con le N spire è

• L’autoinduttanza è

il

NniB 00

AlinnlBANBA 20

Alni

L 20

4

Fem autoindotta

• In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem

• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive

dt

diL

dt

Lid

dt

d

)(E

5

Induzione mutua

• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro

• Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente

• Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1

1

121212 |S

AdBSB

3

22

02 4 r

rldiB

22112 iM

C1

C2

6

Induzione mutua

• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi

• Simmetricamente per il circuito 2 avremo

• Si può dimostrare che

• Il valore comune M è detto induttanza mutua• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla

loro disposizione relativa e distanza• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L

112222 iMiL

221111 iMiL

2112 MM

7

Circuito LR

• Contiene un resistore R e un induttore L• Inizialmente il circuito è aperto e i=0• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma

varia come e nell’induttanza c’è una fem

• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR

• Per la 2a legge di Kirchhoff

dtdi

dtdiL

0 iRdt

diLiR bib EEE

8

Analisi qualitativa del circuito LR

• Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come

• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come

• Cioè più lentamente che per t=0

dtdiL

Ldt

di bE

0

L

iR

Ldt

di b E

9

Analisi qualitativa del circuito LR

• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale

• L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore

• Si ottiene come soluzione

• Con costante di tempo del circuito

dtdi

R

L

tb eR

i 1E

Ri bf

E

10

Energia Magnetica

• Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente

• Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria

• Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza

• Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore

dt

diLiRii 2E

11

Energia Magnetica

• Possiamo dunque scrivere

• La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If

• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore

dt

diLi

dt

dUm

2

0 2

1f

I

mm LILididUUf

12

Energia Magnetica

• Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B

• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B

• L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B

• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo

niB 0 AlnL 20

13

Energia Magnetica

• L’energia magnetica accumulata è

• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica

• Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale

lAB

n

BAlnLIU fm

0

22

0

20

2

22

1

2

1

0

2

2 B

lA

Umm

14


• Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti

• Isoliamo il termine di induzione

M

R1

EB1

L1

R2

EB2

L2

0

0

222

111

RiB

RiB

VEE

VEE

222

111

RBi

RBi

VEE

VEE

15


• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq.

• Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica

222222

111111

IVIEIE

IVIEIE

RBi

RBi

222

111

IEP

IEP

im

im

16


• L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti

• Esplicitando la fem dei due circuiti

dtIEIEdtPdtPdU iimmm 221121

2

2221

2

11

22

221

12

11

1

212

2121

1

2

1

2

1IL

dt

dIMI

dt

dIL

dt

d

Idt

dILI

dt

dIMI

dt

dIMI

dt

dIL

Idt

dIM

dt

dILI

dt

dIM

dt

dIL

dt

dUm

17


• E integrando• Tale energia non puo` essere negativa, questo

matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa

• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo

2

2221

2

11 2

1

2

1ILIMIILUm

02 2

2

2

1 yLMxyxL

021

2 LLM

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Coefficiente di accoppiamento

• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti

• Si definisce coefficiente di accoppiamento

• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)

2121 LLMLL

21

2

LL

Mr 10 r

19

Circuito LC – Oscillazioni libere

• Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff

• È l’equazione del moto armonico di pulsazione

• che ha soluzione

QCdt

dIL

1

01

2

2

QLCdt

Qd

tAQ 0cos

L

CCL VE

LC

10

tAI 00 sin

0 CL VE

dt

dQI

20

Circuito LC

• Ove A e si determinano imponendo le condizioni iniziali

• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo

• Carica e corrente sono sfasate di /2

tQQ 00 costQI 000 sin

21

Circuito LC

• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica

• Questa energia è costante

• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente

• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica

0)(

LC

QLII

C

Q

dt

dILI

dt

dQ

C

Q

dt

tdU

)(2

1)(

2

1)( 2

2

tLIC

tQtU grafico

22

Rocchetto a induzione(*)

• Un rocchetto ad induzione (o di Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente continua a bassa tensione

• (*) le pagine da 23 a 28 sono adattate da Wikipedia

23

Funzionamento• Un rocchetto ad induzione

consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti attorno ad un unico nucleo di ferro

• Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico

• L'altro (avvolgimento secondario) consiste di diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato magneticamente al primario attraverso il nucleo di ferro

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Funzionamento• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel

campo magnetico associato• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la

forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore

• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario

• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali

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Funzionamento

• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica vibrante chiamata interruttore per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario

• L'interruttore è montato ad una estremità del nucleo ferroso, il campo magnetico generato dal primario attira la lamina, trattenuta da una molla, e apre il circuito

• All'apertura del circuito, il campo magnetico si interrompe, la molla richiama l’interruttore e il circuito viene chiuso nuovamente

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Funzionamento

• La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore

• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore

• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra

27

Funzionamento

• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente

• Questo diminuisce la formazione di correnti parassite perpendicolari all'asse magnetico

28

Circuito chiuso

• Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario

• Soluzione

BEridt

diL 1

11

TtB er

Ei 11

r

LT 1

R

rM

EB

L1 L2

i1

t 29

Circuito chiuso• Flusso nel secondario

• Fem nel secondario

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a

• Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale

dt

diM

dt

diLE 1222

1222 MiiL

R

rM

EB

L1 L2

TtB eTr

EM

dt

diME

112

1

2 L

EME Bchius

E2

t

30

Circuito apertomodellato con una R molto grande

• Equazione del primario

• Soluzione

BEirRdt

diL 1

11

tBtBBtB er

Ee

r

R

rR

E

rR

Ee

r

R

rR

Ei

11

rR

L

1

R

r

L1 M

EB

L2

i1

t 31

Circuito aperto

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e`

• Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale

tB e

rrR

REM

dt

diME

112

r

R

L

EM

rrR

REME BBaper

1

2

1

R

r

L1 M

EB

L2

E2

t32

Fem nelle commutazioni

• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono

• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti

• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`

33

BBBBchius EE

L

L

L

ELL

L

EME

1

2

1

21

1

2

r

RE

r

RE

L

L

r

R

L

ELL

r

R

L

EME BB

BBaper 1

2

1

21

1

2

12

2 r

R

E

Echius

aper

Fem nelle commutazioni

• Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica

aperE2

34

E2

tapertura del primariochiusura del primario

Potenziale di scarica in aria

Importanza scientifica

• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H. Hertz per dimostrare sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche

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