INDUTTANZA - circuiti RLENERGIA MAGNETICA

Una corrente variabile in una bobina induce una f.e.m. in un’altra bobina: è possibile avere lo stesso fenomeno in una sola bobina quando la corrente i

varia nel tempo?

Fenomenologia

Quando si chiude l’interruttore, la corrente non passa istantaneamente da 0 al suo valore massimo Vo/R

R

Vo

i

B

Autoinduzione• Un circuito di forma qualunque percorso da

corrente produce un campo magnetico proporzionale alla corrente i (legge di Biot-Savart): il flusso di questo campo attraverso una qualunque superficie che abbia come contorno il circuito stesso sarà µ i:

FB = Li

L è detto coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito.

Unità di misura: Tm2/A = Vs/A = henry (H)

• Se la corrente nel circuito non è costante nel tempo, compare una forza elettromotrice indotta:

• L’induttanza dà una misura della capacità di opporsi alla variazione della corrente

• Quando l’induttanza si può pensare concentrata in un tratto particolare del circuito (ad esempio in un solenoide), lo si chiama induttore e si indica con il simbolo

Significato: l’induttanza del resto del circuito è trascurabile rispetto a quella dell’induttore (anche un circuito senza bobine ha sempre una qualche induttanza che può influire sul comportamento)

dtdiL

dtd B

L -=F

-=e(L costante in condizioni di quasi-stazionarietà : i ha lostesso valore in tutto il circuito)

Calcolo dell’induttanza: solenoide

Tratto di lunghezza l di un solenoide indefinito di sezione A: B = µoni

FB= nlBA = µon2iAlè L = µon2AlInduttanza per unità di lunghezza:

L / l = µon2AØL ∝ n2

ØDipende solo da fattori geometrici (non dalla corrente, né dal campo magnetico)Analogamente, la capacità di un condensatore dipende

solo dalla geometria

Calcolo dell’induttanza: toroidea sezione rettangolare

• Flusso attraverso una spira:

• Flusso attraverso N spire: Induttanza:

Φ1(B) = B

a

b

∫ ⋅dA= Bhdr =

a

b

∫ µoNih2π

drra

b

∫ =µoNih2π

ln ba

abihN

NB o ln2

)(2

1 pµ

=F=FabhN

iB

L o ln2

)( 2

pµ

=F

=

Ø L ∝ N2

Ø dipende solo da fattori geometrici

B = µoNi2πr

Induttori con materiali magneticiLa presenza di un materiale modifica il campo magnetico all’interno dell’induttore:

B = µrBo, e di conseguenza anche FB

µr = permeabilità magnetica relativa del materiale

è L = µrLo

La presenza di materiali ferromagnetici permette di aumentare l’induttanza anche di un fattore 103-104, così come i materiali dielettrici nei condensatori permettono di ottenere capacità elevate.

Circuiti LRLa presenza di un induttore in un circuito impedisce alla corrente di aumentare o diminuire istantaneamente.

ε +εL − Ri = 0→ε − L didt− Ri = 0

diε − Ri

=dtL→ ln(ε − Ri) = − R

Lt + cost

e

L

R

tLR

AeRi-

=-e

Chiusura del circuito in a:

Chiusura del circuito

RL

L =t

)1()(tLR

eR

ti-

-=eCondizioni iniziali

i (0) = 0:

costante di tempo (induttiva):

rappresenta il tempo necessario affinchè la corrente

nel circuito raggiunga un valore (1 – 1/e) i∞ ~ 63% i∞

Es.: per R = 100 Ω, L=10-3 H è tL = 10-5 s (normale circuito resistivo)

ΔVR = iR = ε 1− e−RLt#

$%

&

'(

ΔVL = Ldidt= εe

−RLt

“stesse equazioni, stesse soluzioni”Feynman, Maxwell

Circuiti RC: carica di un condensatore

q(t) =Cε 1− e−tRC

"

#$

%

&'

equazione del circuito:

ε − Ri−QC= 0

Commutando l’interruttore in b:

tLR

eR

ti-

=e)(

Per t = 0 io = e / R:

εL − Ri = 0→ L didt+ Ri = 0

dii= −

RLdt→ ln(i) = − R

Lt + cost.

i (A) /R

“stesse equazioni, stesse soluzioni”Circuiti RC: scarica di un condensatore

equazione del circuito:

−Ri−QC= 0

i(t) = dQdt

= −εRe−tRC

Mutua induttanzaMolto spesso il flusso magnetico cheattraversa un’area chiusa da un circuito varianel tempo a causa delle variazioni dellecorrenti che scorrono in altri circuiti posti nellevicinanze: ciò dà origine a una f.e.m. indotta. Ilprocesso si chiama mutua induzione perchédipende dall’interazione fra i due circuiti.

Φ12 = B1 ⋅dA2A2

∫ =M12i1

analogamente Φ21 =M21i2Si può dimostrare che M12 = M21 = M coefficiente di mutua induzioneDipende dalla forma dei due circuiti e dalla loro posizione relativa

Energia magnetica

dtdiLiRii += 2e

potenza fornita dal generatore

potenza dissipatadalla resistenza R

potenza immagazzinatanell’induttore = "#$

"%

2

0 21LiLidiU

dtdiLi

dtdU i

BB ò ==®=

rappresenta l’energia totale immagazzinatain un’induttanza L percorsa dalla corrente i

ε = Ri+ L didt

Un induttore immagazzina energia nel campo magnetico B(il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico E)

Densità di energia e campo magnetico

• Tratto l di solenoide rettilineo indefinito:

UB =12Li2 = 1

2(µon

2A)li2 = B2

2µo

Al( )

0

2

2µBuB =Densità di energia magnetica:

Densità di energia immagazzinata in ogni punto in cui sia presente un campo magnetico.L’espressione (ricavata in un caso particolare) è generalizzabile a tutte le configurazioni.

Analogamente si era ricavata la densità di energia in presenza di campo elettrico: uE =

12εoE

2

Esercizio (per casa): linea elettrica in ariaCostituita da due fili conduttori rettilinei paralleli a sezione circolaredi raggio a la cui distanza D >> a. Ad un estremo della linea c’è un generatore G, mentre all’altro estremo è posto un carico R. La corrente i circola in versi opposti. Se la linea ha lunghezza h >> D, calcolare l’espressione del coefficiente di autoinduzione L del tratto h.[nel calcolo del flusso FB si trascuri il contributo della parte di spazio interna ai fili]

Soluzione: ! = #$% = &'(

) ln ,-.. ≅ &'(

)ln ,

.