Pg 1

Agenda di oggiAgenda di oggi

Ulteriori discussioni sulla dinamica

Ricapitolazione

Il Diagramma delle forzeDiagramma delle forze

Esempi

Pg 2

Review: Leggi di NewtonReview: Leggi di Newton

Legge 1: Un oggetto non soggetto a forze esterne permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

Legge 2: Per ogni oggetto, FFNET = FF = maa

Legge 3: Le forze si esplicano in coppia : FFA ,B = - FFB ,A

(Ad ogni azione corrisponde una reazione di uguale intensità, ma di verso contrario.)

dove FFA ,B è la forza che agisce su un oggetto A a causa dell’interazione con l’oggetto B e vice versa.

Pg 3

Il diagramma delle forze...Il diagramma delle forze...

Consideriamo il seguente caso

Quali sono le forze che agiscono sull’asse?

P = asse

F = pavimento

W = parete

E = terra

Isoliamo l’asse dal resto

del mondo.

FFW,P

FFP,W

FFP,F FFP,E

FFF,P

FFE,P

Pg 4

Esempio: scatola spinta da una forza esterna F Esempio: scatola spinta da una forza esterna F

Tracciamo sul disegno tutte le forze

FFFFB,F

FFF,BFFB,E

FFE,B

y y

x x

Pg 5

Esempio...Esempio...

Tracciamo sul disegno tutte le forze.

Isoliamo le forze che agiscono sul blocco.

FFFFB,F

FFF,BFFB,E

FFE,B

y y

x x

|F|FB,E |= mgg

Pg 6

Esempio...Esempio...

Tracciamo sul disegno tutte le forze.

Isoliamo le forze che agiscono sul blocco.

Tracciamo il diagramma delle forze.

FFFFB,F

FFB,E

y y

x x

|F|FB,E |= mgg

Pg 7

Esempio...Esempio...Tracciamo sul disegno tutte le forze.

Isoliamo le forze che agiscono sul blocco.

Tracciamo il diagramma delle forze.

Risolviamo le equazioni di Newton per ciascuna componente.

FX = maX

FB,F + FFB,E = FB,F - mg = maY

FFFFB,F

y y

x x

FFB,E |F|FB,E |= mgg

Pg 8

Esempio...Esempio... FX = maX

Così aX = FX / m

FB,F - mg = maY

Ma aY = 0

Così FB,F = mg.

La componente verticale della forza del pavimento sull’oggetto ( FB,F ) èspesso chiamata Forza Normale ( N).

poichè aY = 0 , N = mg in questo caso.

FX

N

mg

y y

x x

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Strumenti: funi & StringheStrumenti: funi & Stringhe

Possono essere usate per tirare da una certa distanza.

La TensioneLa Tensione (T) ad una certa posizione nella fune è la intensità della forza che agisce sulla sezione della fune in quella posizione.

E’ la forza che si percepirebbe se si tagliasse nettamente la fune e se ne afferrassero gli estremi.

cut

TT

T

Pg 10

Strumenti: funi & Stringhe...Strumenti: funi & Stringhe...

Una fune ideale, priva cioè di massa, ha una tensione costante lungo tutta la fune.

Se una fune ha massa, la tensione può variare lungo la fune.

Noi tratteremo con funi ideali prive di massa.

T = Tg

T = 0

Pg 11

Strumenti: funi & Stringhe...Strumenti: funi & Stringhe...

La direzione della forza data dalla fune è lungo la direzione della fune stessa :

mg

T

m

poichè ay = 0 (La scatola è ferma),

T = mg

Pg 12

Strumenti: PuleggeStrumenti: Pulegge

Sono usate per variare la direzione delle forze

Una puleggia ideale priva di massa o un piuolo anch’esso ideale cambierà la direzione della forza applicata senza alterarne l’intensità :

FF1 ideal peg

or pulley

FF2

| FF1 | = | FF2 |

Pg 13

Strumenti: PuleggeStrumenti: Pulegge

Usate per cambiare la direzione delle forze

Una puleggia ideale priva di massa o un piuolo anch’esso ideale cambierà la direzione della forza applicata senza alterarne l’intensità :

mg

T

m T = mg

FW,S = mg

Pg 14

Problema: Piano InclinatoProblema: Piano Inclinato

Un blocco di massa m scivola giù lungslides una rampa priva di attrito che forma un angolo rispetto al piano orizzontale. Qual’è la sua accelerazione a ?

ma

Pg 15

Piano Inclinato...Piano Inclinato...Definiamo un conveniente sistema di riferimento scegliendo

gli assi parallelamente e perpendicolarmente al piano :

Accelerazione a è in direzione x soltanto.

Tracciamo il diagramma delle forze

a

ii

jj

mgg

NN

Pg 16

Piano Inclinato...Piano Inclinato...

Consideriamo le componenti x e y separatamente:

ii: mg sin =ma. a = g sin

jj: N - mg cos = 0. N = mg cos

mgg

NN

mg sin

mg cos aa

ii

jj

Pg 17

Angoli di un Piano InclinatoAngoli di un Piano Inclinato

mg

N

i triangoli sono simili, così gli angoli sono uguali!

Pg 18

Forza NormaleForza Normale

Un blocco di massa m è fermo sul pavimento di un ascensore che sta accelerando verso l’alto. Qual’è la relazione fra la forza dovuta alla gravità e la forza normale sul blocco?

m

(1)(1) N > mgN > mg

(2)(2) N = mgN = mg

(3)(3) N < mgN < mg

a

Pg 19

SoluzioneSoluzione

m

N

-mg

Tutte le forze agiscono nella direzione y, così usiamo:

Ftotal = ma

N - mg = ma

N = ma + mg

Quindi (1) N > mg

a

Pg 20

Forza NormaleForza Normale

Un blocco di massa m è fermo sul pavimento di un ascensore che si muove verso l’alto con velocità costante. Qual’è la relazione fra la forza dovuta alla gravità e la forza normale sul blocco?

m

(1)(1) N > mgN > mg

(2)(2) N = mgN = mg

(3)(3) N < mgN < mg V= costante

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SolutionSolution

m

N

-mg

Tutte le forze agiscono nella direzione y, così usiamo:

Ftotal = ma

N - mg = ma= 0 (poichè V è costante)

quindi (2) N = mg

V

Pg 22

m m m

(1)(1) 0 N. (2)(2) 20 N (3)(3) 40 N

(A) (B)

?

Un blocco che pesa 20 N è appeso con una fune attaccata ad un misuratore appeso ad una parete e legge 20N. Quale sarà la lettura quando al misuratore è appeso un altro blocco che pesa 20N?

Pg 23

Tracciamo il diagramma delle forze di uno dei blocchi!!

Usiamo la II legge di Newton nella direzione y :

FTOT = 0

T - mg = 0

T = mg = 20 N.

-mg

T

m T = mg

a = 0 poichè i blocchi sono fermi

Pg 24

La scala legge la tensione nella fune, che è T = 20 N in entrambi i casi!

m m m

T T T T

TTT

Pg 25

Dinamica di molti corpiDinamica di molti corpi

Sistemi fatti da più di un oggetto

Gli oggetti sono tipicamente connessi :

Da funi fino ad ora

Da sbarre, molle, etc. più tardi

Pg 26

Corpi attaccati su due piani inclinatiCorpi attaccati su due piani inclinati

Tutte le superfici sono prive di attrito

m1

m2

piolo

1 2

Pg 27

Come si muoveranno i corpi?Come si muoveranno i corpi?

Dal diagramma delle forze per ciascun corpo, e dalla scelta del sistema di coordinate per ciascun blocco, possiamo applicare la seconda legge di Newton :

Prendendo le componenti “x” :

1) T1 - m1g sin 1 = m1 a1X

2) T2 - m2g sin 2 = m2 a2X

Ma T1 = T2 = T

e a1X = -a2X = -a

(vincoli)

m1

yx

T1

N

m1g

m2

m2g

T2

Nx y

1

2

Pg 28

Risoluzione delle equazioniRisoluzione delle equazioni

Usando i vincoli, risolviamo le equazioni.

T - m1gsin 1 = -m1 a (a)

T - m2gsin 2 = m2 a (b)

sottraendo (a) da (b) otteniamo:

m1gsin 1 - m2gsin 2 = (m1+m2 )a

così:

am m

m mg

1 1 2 2

1 2

sin sin

Pg 29

I caso particolare:I caso particolare:

m1m2

1 2

m1 m2

Se 1 = 0 and 2 = 0, a = 0.

a

m m

m mg

1 1 2 2

1 2

sin sin

Pg 30

II caso particolare:II caso particolare:

Se 1 = 90 e 2 = 90, am m

m mg

( )

( )1 2

1 2

m2

TT

m1

Macchina di Atwood

m1m2

1 2

a

m m

m mg

1 1 2 2

1 2

sin sin

Pg 31

I caso particolare: :I caso particolare: :

Se 1 = 0 e 2 = 90, am

m mg

2

1 2( )

m1

m2

Configurazione del Lab

m1m2

1 2

a

m m

m mg

1 1 2 2

1 2

sin sin

Pg 32

Ricapitolazione di oggiRicapitolazione di oggi

Dinamica dei sistemi a molti corpi

Macchina di Atwood.

Caso generale di due blocchi legati su un piano inclinato.

Alcuni casi speciali interessanti.

La prossima volta La prossima volta ATTRITO!ATTRITO!