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A.Carnera Scienza delle Superfici (Mod. B) 2005 1
Elementi di fisica quantistica
A.Carnera Scienza delle Superfici (Mod. B) 2005 2
Natura corpuscolare e ondulatoria dei fenomeni Gli scambi di energia avvengono in modo discreto
Lo spettro di emissione del corpo nero Lo spettro dell’ atomo di idrogeno L’ effetto fotoelettrico
I fotoni hanno proprietà corpuscolari Lo scattering Compton
Gli elettroni si comportano come onde L’ esperimento di Davisson & Germer
L’ equazione di Schrödinger La quantizzazione dell’ energia Il significato della funzione d’ onda Il principio di indeterminazione di Eisemberg L’ effetto “tunnel”
A.Carnera Scienza delle Superfici (Mod. B) 2005 3
L’ importanza del problema del Corpo Nero
La legge di Kirchoff
Emissione e assorbimento della radiazione elettromagnetica dei corpi
Definizioni:
Se il corpo è in equilibrio termodinamicocon il campo elettromagnetico
Potere emissivo: E(ν,T ) =
1
S Δt
ΔEe
ΔνPotere assorbente:
A(ν,T ) =ΔE
a
Ei
Teorema di Kirchoff: funzione universale
E1(ν,T )
A1(ν,T )
=αβ=
E2(ν,T )
A2(ν,T )
=F (ν,T )
Corpo nero
A(ν,T ) =1 ⇒ E (ν,T ) =F (ν,T )
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Il corpo nero
Misurare il flusso di energia emesso equivale a misurare la densità di energia del campo elettromagnetico nella cavità
Φ(ν,T ) =
ΔεΔt ΔS
=1
4μ(ν,T )c
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Il modello classico e quello di Planck
Oscillatore armonico
Modi di oscillazione del campo elettromagnetico
E
k=1
2mv2 =
1
2mA2 cos2 (ω t )
E
p=1
2mx 2 =
1
2mA2 sin2 (ω t )
E =E
k+E
p=1
2kA2
E
E=1
4Vε
0E
0
2 sin2 (ω t )
E
B=1
4Vε
0E
0
2 cos2 (ω t )
E =E
E+E
B=1
4Vε
0E
0
2
ε (q
i) =
1
2k
BT
ε(q
i) =aq
i
2 =AE0
2Classicamente: μ(ν) =
8πν2
c3k
BT
ε =
hν
2+
hν
ehν / kBT −1
εi=(i +
1
2)hνQuantisticamente:
μ(ν) =
8πν2
c3
hν
ehν / kBT −1
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Lo spettro di emissione del Corpo Nero
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μ(ν) =
8πν2
c3k
BT
Formula di Rayleigh & Jeans
μ(ν) =
8πν2
c3
hν
ehν / kBT −1
Formula di Planck
(m)
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Dalle misure di flusso alla costante di Planck
Φ(T ) =2
15
(1.38 ×10 -23 ) 4 π5
(2 .998 ×10 8 )2 h3T 4
Φ(T ) =5.67 ×10−8T 4 W
m2
h3 =
2
15
kB
4π5
c2
T 4
Φ(T )
h3⎡⎣
⎤⎦=
J / K⎡⎣
⎤⎦
4
m/ s⎡⎣
⎤⎦
2
W / m2⎡⎣
⎤⎦
K 4⎡⎣
⎤⎦=
J⎡⎣⎤⎦
4
1 / s⎡⎣
⎤⎦
2
J / s⎡⎣
⎤⎦
= J ⋅s⎡⎣
⎤⎦
3
h⎡⎣
⎤⎦= J ⋅s⎡
⎣⎤⎦
μ(T ) = μ(ν)dν
0
∞
∫ =8
15
kB
4π5
c3h3T 4Dalla formula di Planck: Legge di Stefan - Boltzmann
Φ(T ) =
1
4μ(T )c =
2
15
kB
4π5
c2h3T 4Da considerazioni geometriche:
h =2
15
kB
4π5
c2
T 4
Φ(T )3 =
2
15
(1.38 ×10 -23 ) 4 π5
(2 .998 ×10 8 )2 5.67 ×10−83 =6.626 ×10−34 J ⋅s
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L’ effetto fotoelettrico
-V 0
luceincidente
elettronifotocatodocollettore
Ek
max =V e ⇒ V =h
νe−
W
e
E
k
max =hν −W W: funzione lavoro (lavoro di estrazione)
Relazione di Einstein
EF
EF+W
K
L1
L2L3 2p3/2
2p1/22s
1s
Ek
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Lo spettro di emissione dell’ idrogeno
Lyman (UV)
n=1
n=2
n=3n=4n=5
Balmer (visibile)Paschen (IR)
Brackett (IR)
Il modello “planetario” di Bohr
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Il modello di Bohr
L =nh m
evr =nh Ipotesi di quantizzazione del momento angolare
F =−
Z e2
r 2Ipotesi di interazione attrattiva coulombiana
En=−
1
2
Z e2
rn
=−Z 2e4m
e
2 h2
1
n2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Energia di legame
rn=
n2 h2
Z e2me
Raggio dell’ orbita
vn=
nh
mer
n
=Z e2
h
1
n
Velocità dell’ elettrone
a0=
h2
e2me
=0.529177 Å v
0=
e2
h=2.1877 ×10 6 m
s E
0=
e4me
2 h2=13.605 eV
Stato fondamentale (n=1)
h=
h
2 π=1.055 ×10−34 J s =6.582 ×10−16eV s
m
e=9.11×10−31Kg
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La teoria di de Broglie dell’ elettrone
p =mv
E =hν =hω
E 2 =p2c2 +m
0
2c 4 =m2 c 4
Per i fotoni
Per gli elettroni
v
f ase=ν =
h
p
E
h=
E
p=
mc2
mv=
c2
v v < c ⇒ v
f ase> c
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1n=3
n=6
n =2π r n
h
mv=2π r ⇒ nh=mvr
E =hν =hω
rp =h
rk
=2π
k=
h
p
v
f ase=ν =
h
p
E
h=
E
p
relazione di de Broglie
=h
p=
h
mv
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La diffrazione degli elettroni: Davisson & Germer
E =54 eV
=h
mv=
h
2E m=
6.63 ×10−34
2 ⋅54 ⋅1.6 ×10−19 ⋅9.11×10−31=1.67 Å
dSinφ =n =dSinφ
max=2.15 ⋅Sin50° =1.65 Å
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Lo scattering Compton
'−0=
h
mec2
(1−cosθ)
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Spiegazione dell’ effetto Compton
E 2 =p2c2 +m
0
2 c2
p
ph=
E
c=
hν
c=
h
m
ph=0
E +m
ec2 =E '+E
e
p
ph=p'
phcosθ + p
ecosφ
p'
phsinθ =p
esinφ
Conservazione energia e momento
1
ν '−1
ν=
h
mec2
1−cosθ( )
'− =h
mec
1−cosθ( )
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L’ equazione di Schrödinger
i h
∂Ψ(x,t )
∂t=−
h2
2m
∂2Ψ(x,t )
∂x 2+U(x)Ψ(x,t )
−
h2
2m
∂2
∂x 2+U(x) =H
i h
∂Ψ(x,t )
∂t=HΨ(x,t )
i hψ(x)
∂φ(t )∂t
=−h2
2mφ(t )
∂2ψ(x)
∂x 2+U(x)ψ (x)φ(t )
φ(t ) =e−i
E
ht
=e−iω t
Hψ(x) =Eψ(x)
Ψ(x,t ) =e−iω tψ(x)
Ψ(x,t )
2
= e−iω teiω t( ) ψ (x)ψ * (x)( ) =ψ(x)
2
Ψ(x,t ) =ψ(x) φ(t )Se E si conserva:
Densità di probabilità
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Particella libera
−
h2
2m
∂2ψ(x)
∂x 2+U(x)ψ (x) =Eψ(x)
φ(t ) =e−i
E
ht
=e−iω t
Ψ(x,t ) =e−iω tψ(x)
U(x)=0 −
h2
2m
∂2ψ(x)
∂x 2=Eψ(x)
∂2ψ(x)
∂x 2+2mE
h2ψ(x) =0
p =hk
E =Ek=
p2
2m2mE
h2=2m
h2
h2 k2
2m=k2
∂2ψ(x)
∂x 2+ k2 ψ(x) =0
ψ(x) =e±i k x Ψ(x,t ) =e±i k xeiω t =ei (±k x−ω t ) Onda piana
ei(±k x−ω t )
2
=cos2 (±k x −ω t ) + sin2 (±k x −ω t ) =1 ω(k) =
E
h=
p2
2mh=
h2k2
2mh=
hk2
2m
Relazione di dispersione di particella libera
dωdk
=hk
m=
p
mVelocità classica della particella
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Pacchetti d’ onda
Onda piana ψ(x,t ) =ei (k x−ω t ) =Cos(k x −ω t ) + i Sin(k x −ω t )
ψ(x,t ) = f (k)ei (k x−ω(k)t )dk
−∞
∞
∫ ω(k) =
hk2
2m
Relazione di dispersione per particella libera
ψ(x, 0) = f (k)ei k xdk
−∞
∞
∫Pacchetto d’ onda
Condizioni iniziali
ψ(x, 0) =δ Δx (x)
δ Δx (x) =
0 x < −Δx
21
Δx−Δx
2< x <
Δx
2
0 x >Δx
2
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
δ1(x)
x
f (k) =F (ψ (x, 0)) =F (δ Δx (x)) =
2
Δx
SinΔx
2k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
k -100 -50 50 100
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F (δ 1(x))
k
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Principio di indeterminazione di Eisemberg
f (k) =
2
Δx
SinΔx
2k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
k f (k) =0 ⇒
Δx
2k =nπ
k =
2nπ
Δx k
−1=−
2 π
Δx k
1=2 π
Δx
Δk =k
1−k
−.1=
4π
Δx Δx Δk =4π
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
δ1(x)
x
Δx
-100 -50 50 100
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F (δ 1(x))
k
Δk
Δx
Δp
h=4π Δx Δp =4πh relazione di indeterminazione
Δx Δp ≥h
ΔE Δt ≥h
⎧⎨⎪
⎩⎪Principio di indeterminazione di Eisemberg
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Elettroni in una buca di potenziale
U(x) =∞ x < 00 0 < x < L∞ x > L
⎧
⎨⎪
⎩⎪
∞ ∞
x
U
0 L
ψ(x) =0
x < 0x > L
⎫⎬⎪
⎭⎪
E
n=
h2k2
2m=
n2π2h2
2mL2
2
4
6
8
eV L=10 Å
€
E 2 −E1 =1.12eV
(112eV ) =
12398
112Å =110 Å
200
400
600
800
eV
€
E 2 −E1 =112eV
L=1 Å
(1.12eV ) =
12398
1.12Å =11000 Å =1.1μm
=
c
ν=
hc
E=6.62 ×10−34 ⋅3 ×10 8
E=12398
E (eV )Å
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Buca di potenziale finita
x
U
0 L
I II III
U(x) =U x < 00 0 < x < LU x > L
regione Iregione I Iregione I I I
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Funzioni d’ onda
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Il fenomeno del “tunneling”
x
U
LI II III
€
E <U
Ψ
I(x,t ) =Aei (k x−ω t ) +Bei (−k x−ω t )
Regione I
E =hω =
h2k2
2m
R =B
2
A2
coefficiente di riflessione
Ψ
I I I(x,t ) =F ei (k x−ω t ) +Gei (−k x−ω t )
Regione III
T =F
2
A2
coefficiente di trasmissione G =0onda incidente da sinistra verso destra
T (E) ≈exp −2
h2m(U −E )L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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La microscopia a effetto tunnel (STM)
Recinto quantico Logo atomico
dell’IBM
La manipolazione atomica
delle superfici
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I limiti del modello di Bohr
Non è in grado di prevedere le intensità delle linee spettrali
Non spiega la presenza dei multipletti spettrali
Ha scarso successo nel descrivere gli spettri di atomi a molti
elettroni
Non è in grado di descrivere l’ evoluzione temporale del sistema
Non prevede la quantizzazione spaziale
Non include il principio di esclusione
…………………………
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L’ equazione di Schrödinger per un potenziale centrale
−h2
2me
∇2 +V (r )⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ψ(r) =Eψ(r)
In coordinate sferiche H ψ(r) =E ψ(r)
H =−h2
2me
1
r
∂2
∂r 2r +
1
2mer 2
L2 +V (r )
−h2
2me
1
r
∂2
∂r 2r +
1
2mer 2
L2 +V (r )⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ψ(r ,θ,ϕ ) =Eψ(r ,θ,ϕ )
ψ(r ,θ,ϕ ) =R(r )Y
l
m(θ,φ)
Hψ(r ,θ,ϕ ) =Eψ(r ,θ,ϕ )
L2ψ(r ,θ,ϕ ) =l(l + 1)h2ψ(r ,θ,ϕ )
L
zψ(r ,θ, ϕ ) =mhψ(r ,θ, ϕ )
L2Y
l
m(θ,φ) =l(l + 1)h2Yl
m(θ,φ)
L
zY
l
m(θ,φ) =mhYl
m(θ,φ)
−h2
2me
1
r
d2
dr 2r +
l(l + 1) h2
2mer 2
+V (r )⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥R(r ) =E R(r )
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La parte angolare e i polinomi di Legendre
€
Y lm(θ,ϕ)=
−1( )l+m
2l l!
2l +1( )
4π
(l −m)!
( l +m)!ei mϕ(sinθ )m d l+m
d(cosθ )l+m(sinθ )2l
l =0,1,2,K−l ≤m≤l
-0.1 -0.05 0.05 0.1x
-0.15
-0.1
-0.05
0.05
0.1
0.15
z83, 1<-0.1-0.05
00.05
0.1
-0.1-0.05
00.05
0.1
-0.1
0
0.1
-0.1-0.05
00.05
0.1
|Y31(θφ)|2
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L’ equazione radiale per il potenziale coulombiano
−h2
2me
1
r
d2
dr 2r +
l(l + 1) h2
2mer 2
+V (r )⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥R
k,l(r ) =E
k,lR
k,l(r )
V (r ) =−
e2
r
a0=
h2
mee2
E0=
mee4
2 h2=
e2
2a0
k,l
= −E
k,l
E0
cq=(−1)q 2
k + l
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
q
(k −1) !
(k −q−1) !
(2l + 1) !
q!(q + 2l + 1) !c
0
Rk,l
(r ) =1
re
−r
a0
k ,l r
a0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
l +1
cq
r
a0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
q
q=0
k−1
∑
Ek,l
=−k,l
2 E0=−
E0
k + l( )2=−
1
n2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟E
0 n=1,2, 3,L
l =0,1, ...n−1
l =n−1
Rn,n−1
(r ) =1
re
−r
na0
r
a0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
n
c0
Pn,n−1
(r ) =r 2Rn,n−1
2 (r ) =e−
2 r
na0
r
a0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2n
c0
2
dPn,n−1
(r )
dr=2c
0
2 e−
2 r
na0
r
a0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2n
n2a0−r
na0r
dPn,n−1
(rmax
)
dr=0 ⇒ r
max=n2a
0raggio di Bohr
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Autofunzioni radiali
1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2n= 1
l=0
R
n,l(r )
r/a0
P
n,l(r ) =r 2R
n,l
2 (r )
1 2 3 4 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n= 1
l=0
r/a0
5 10 15 20 25 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
n= 3
l=0
l=1
l=2
r/a0
5 10 15 20 25 30
-0.05
0.05
0.1
0.15
n= 3
l=0
l=1
l=2
r/a0
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Esempio: ψ(r,θφ) : n = 4, l = 3, m = 0
€
Y3,0(θ,ϕ)
10 20 30 40 50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07n= 4 l = 3
€
r2R4,32 (r)
Densità di probabilit
à
-40 -20 0 20 40-40
-20
0
20
40
-0.1-0.050.050.1
-0.4
-0.2
0.2
0.4
83, 0<
83, 0<
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Particelle nella scatola
L
L
L
En
1,n
2,n
3
=h2
2m
πL
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
(n1
2 +n2
2 +n3
2 ) =E0(n
1
2 +n2
2 +n3
2 ) ; E0=
h2
2m
πL
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
kBT(300 K) = 25.86 meV
He:
€
m=4amu=4×1.6606×10−27kg=6.64×10−27kg
E0=
1.054 ×10−34( )
2
2 ×6.64 ×10−27
3.14
10−2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
J =8.25 ×10−38 J =5.15 ×10−19eV
E
0≈k
BT ⇒ L ≈0.4 ÅL = 1 cm
⇒ kT ≅5 ×10 16 E
0
e- : m=9.1×10−31 kg
E0=
1.054 ×10−34( )
2
2 ×9.1×10−31
3.14
10−2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
J =6.02 ×10−34 J =3.76 ×10−15eV
E
0≈k
BT ⇒ L ≈40 ÅL = 1 cm
⇒ kT ≅7 ×10 12 E
0