A.CarneraScienza delle Superfici (Mod. B) 20051 Elementi di fisica quantistica.

A.Carnera Scienza delle Superfici (Mod. B) 2005 1

Elementi di fisica quantistica


Natura corpuscolare e ondulatoria dei fenomeni Gli scambi di energia avvengono in modo discreto

Lo spettro di emissione del corpo nero Lo spettro dell’ atomo di idrogeno L’ effetto fotoelettrico

I fotoni hanno proprietà corpuscolari Lo scattering Compton

Gli elettroni si comportano come onde L’ esperimento di Davisson & Germer

L’ equazione di Schrödinger La quantizzazione dell’ energia Il significato della funzione d’ onda Il principio di indeterminazione di Eisemberg L’ effetto “tunnel”


L’ importanza del problema del Corpo Nero

La legge di Kirchoff

Emissione e assorbimento della radiazione elettromagnetica dei corpi

Definizioni:

Se il corpo è in equilibrio termodinamicocon il campo elettromagnetico

Potere emissivo: E(ν,T ) =

1

S Δt

ΔEe

ΔνPotere assorbente:

A(ν,T ) =ΔE

a

Ei

Teorema di Kirchoff: funzione universale

E1(ν,T )

A1(ν,T )

=αβ=

E2(ν,T )

A2(ν,T )

=F (ν,T )

Corpo nero

A(ν,T ) =1 ⇒ E (ν,T ) =F (ν,T )


Il corpo nero

Misurare il flusso di energia emesso equivale a misurare la densità di energia del campo elettromagnetico nella cavità

Φ(ν,T ) =

ΔεΔt ΔS

=1

4μ(ν,T )c


Il modello classico e quello di Planck

Oscillatore armonico

Modi di oscillazione del campo elettromagnetico

E

k=1

2mv2 =

1

2mA2 cos2 (ω t )

E

p=1

2mx 2 =

1

2mA2 sin2 (ω t )

E =E

k+E

p=1

2kA2

E

E=1

4Vε

0E

0

2 sin2 (ω t )

E

B=1

4Vε

0E

0

2 cos2 (ω t )

E =E

E+E

B=1

4Vε

0E

0

2

ε (q

i) =

1

2k

BT

ε(q

i) =aq

i

2 =AE0

2Classicamente: μ(ν) =

8πν2

c3k

BT

ε =

hν

2+

hν

ehν / kBT −1

εi=(i +

1

2)hνQuantisticamente:

μ(ν) =

8πν2

c3

hν

ehν / kBT −1


Lo spettro di emissione del Corpo Nero

QuickTime™ e undecompressore TIFF (LZW)

sono necessari per visualizzare quest'immagine.

μ(ν) =

8πν2

c3k

BT

Formula di Rayleigh & Jeans

μ(ν) =

8πν2

c3

hν

ehν / kBT −1

Formula di Planck

(m)


Dalle misure di flusso alla costante di Planck

Φ(T ) =2

15

(1.38 ×10 -23 ) 4 π5

(2 .998 ×10 8 )2 h3T 4

Φ(T ) =5.67 ×10−8T 4 W

m2

h3 =

2

15

kB

4π5

c2

T 4

Φ(T )

h3⎡⎣

⎤⎦=

J / K⎡⎣

⎤⎦

4

m/ s⎡⎣

⎤⎦

2

W / m2⎡⎣

⎤⎦

K 4⎡⎣

⎤⎦=

J⎡⎣⎤⎦

4

1 / s⎡⎣

⎤⎦

2

J / s⎡⎣

⎤⎦

= J ⋅s⎡⎣

⎤⎦

3

h⎡⎣

⎤⎦= J ⋅s⎡

⎣⎤⎦

μ(T ) = μ(ν)dν

0

∞

∫ =8

15

kB

4π5

c3h3T 4Dalla formula di Planck: Legge di Stefan - Boltzmann

Φ(T ) =

1

4μ(T )c =

2

15

kB

4π5

c2h3T 4Da considerazioni geometriche:

h =2

15

kB

4π5

c2

T 4

Φ(T )3 =

2

15

(1.38 ×10 -23 ) 4 π5

(2 .998 ×10 8 )2 5.67 ×10−83 =6.626 ×10−34 J ⋅s


L’ effetto fotoelettrico

-V 0

luceincidente

elettronifotocatodocollettore

Ek

max =V e ⇒ V =h

νe−

W

e

E

k

max =hν −W W: funzione lavoro (lavoro di estrazione)

Relazione di Einstein

EF

EF+W

K

L1

L2L3 2p3/2

2p1/22s

1s

Ek


Lo spettro di emissione dell’ idrogeno

Lyman (UV)

n=1

n=2

n=3n=4n=5

Balmer (visibile)Paschen (IR)

Brackett (IR)

Il modello “planetario” di Bohr


Il modello di Bohr

L =nh m

evr =nh Ipotesi di quantizzazione del momento angolare

F =−

Z e2

r 2Ipotesi di interazione attrattiva coulombiana

En=−

1

2

Z e2

rn

=−Z 2e4m

e

2 h2

1

n2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Energia di legame

rn=

n2 h2

Z e2me

Raggio dell’ orbita

vn=

nh

mer

n

=Z e2

h

1

n

Velocità dell’ elettrone

a0=

h2

e2me

=0.529177 Å v

0=

e2

h=2.1877 ×10 6 m

s E

0=

e4me

2 h2=13.605 eV

Stato fondamentale (n=1)

h=

h

2 π=1.055 ×10−34 J s =6.582 ×10−16eV s

m

e=9.11×10−31Kg


La teoria di de Broglie dell’ elettrone

p =mv

E =hν =hω

E 2 =p2c2 +m

0

2c 4 =m2 c 4

Per i fotoni

Per gli elettroni

v

f ase=ν =

h

p

E

h=

E

p=

mc2

mv=

c2

v v < c ⇒ v

f ase> c

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1n=3

n=6

n =2π r n

h

mv=2π r ⇒ nh=mvr

E =hν =hω

rp =h

rk

=2π

k=

h

p

v

f ase=ν =

h

p

E

h=

E

p

relazione di de Broglie

=h

p=

h

mv


La diffrazione degli elettroni: Davisson & Germer

E =54 eV

=h

mv=

h

2E m=

6.63 ×10−34

2 ⋅54 ⋅1.6 ×10−19 ⋅9.11×10−31=1.67 Å

dSinφ =n =dSinφ

max=2.15 ⋅Sin50° =1.65 Å


Lo scattering Compton

'−0=

h

mec2

(1−cosθ)


Spiegazione dell’ effetto Compton

E 2 =p2c2 +m

0

2 c2

p

ph=

E

c=

hν

c=

h

m

ph=0

E +m

ec2 =E '+E

e

p

ph=p'

phcosθ + p

ecosφ

p'

phsinθ =p

esinφ

Conservazione energia e momento

1

ν '−1

ν=

h

mec2

1−cosθ( )

'− =h

mec

1−cosθ( )


L’ equazione di Schrödinger

i h

∂Ψ(x,t )

∂t=−

h2

2m

∂2Ψ(x,t )

∂x 2+U(x)Ψ(x,t )

−

h2

2m

∂2

∂x 2+U(x) =H

i h

∂Ψ(x,t )

∂t=HΨ(x,t )

i hψ(x)

∂φ(t )∂t

=−h2

2mφ(t )

∂2ψ(x)

∂x 2+U(x)ψ (x)φ(t )

φ(t ) =e−i

E

ht

=e−iω t

Hψ(x) =Eψ(x)

Ψ(x,t ) =e−iω tψ(x)

Ψ(x,t )

2

= e−iω teiω t( ) ψ (x)ψ * (x)( ) =ψ(x)

2

Ψ(x,t ) =ψ(x) φ(t )Se E si conserva:

Densità di probabilità


Particella libera

−

h2

2m

∂2ψ(x)

∂x 2+U(x)ψ (x) =Eψ(x)

φ(t ) =e−i

E

ht

=e−iω t

Ψ(x,t ) =e−iω tψ(x)

U(x)=0 −

h2

2m

∂2ψ(x)

∂x 2=Eψ(x)

∂2ψ(x)

∂x 2+2mE

h2ψ(x) =0

p =hk

E =Ek=

p2

2m2mE

h2=2m

h2

h2 k2

2m=k2

∂2ψ(x)

∂x 2+ k2 ψ(x) =0

ψ(x) =e±i k x Ψ(x,t ) =e±i k xeiω t =ei (±k x−ω t ) Onda piana

ei(±k x−ω t )

2

=cos2 (±k x −ω t ) + sin2 (±k x −ω t ) =1 ω(k) =

E

h=

p2

2mh=

h2k2

2mh=

hk2

2m

Relazione di dispersione di particella libera

dωdk

=hk

m=

p

mVelocità classica della particella


Pacchetti d’ onda

Onda piana ψ(x,t ) =ei (k x−ω t ) =Cos(k x −ω t ) + i Sin(k x −ω t )

ψ(x,t ) = f (k)ei (k x−ω(k)t )dk

−∞

∞

∫ ω(k) =

hk2

2m

Relazione di dispersione per particella libera

ψ(x, 0) = f (k)ei k xdk

−∞

∞

∫Pacchetto d’ onda

Condizioni iniziali

ψ(x, 0) =δ Δx (x)

δ Δx (x) =

0 x < −Δx

21

Δx−Δx

2< x <

Δx

2

0 x >Δx

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

δ1(x)

x

f (k) =F (ψ (x, 0)) =F (δ Δx (x)) =

2

Δx

SinΔx

2k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

k -100 -50 50 100

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F (δ 1(x))

k


Principio di indeterminazione di Eisemberg

f (k) =

2

Δx

SinΔx

2k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

k f (k) =0 ⇒

Δx

2k =nπ

k =

2nπ

Δx k

−1=−

2 π

Δx k

1=2 π

Δx

Δk =k

1−k

−.1=

4π

Δx Δx Δk =4π

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

δ1(x)

x

Δx

-100 -50 50 100

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F (δ 1(x))

k

Δk

Δx

Δp

h=4π Δx Δp =4πh relazione di indeterminazione

Δx Δp ≥h

ΔE Δt ≥h

⎧⎨⎪

⎩⎪Principio di indeterminazione di Eisemberg


Elettroni in una buca di potenziale

U(x) =∞ x < 00 0 < x < L∞ x > L

⎧

⎨⎪

⎩⎪

∞ ∞

x

U

0 L

ψ(x) =0

x < 0x > L

⎫⎬⎪

⎭⎪

E

n=

h2k2

2m=

n2π2h2

2mL2

2

4

6

8

eV L=10 Å

€

E 2 −E1 =1.12eV

(112eV ) =

12398

112Å =110 Å

200

400

600

800

eV

€

E 2 −E1 =112eV

L=1 Å

(1.12eV ) =

12398

1.12Å =11000 Å =1.1μm

=

c

ν=

hc

E=6.62 ×10−34 ⋅3 ×10 8

E=12398

E (eV )Å


Buca di potenziale finita

x

U

0 L

I II III

U(x) =U x < 00 0 < x < LU x > L

regione Iregione I Iregione I I I

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Funzioni d’ onda


Il fenomeno del “tunneling”

x

U

LI II III

€

E <U

Ψ

I(x,t ) =Aei (k x−ω t ) +Bei (−k x−ω t )

Regione I

E =hω =

h2k2

2m

R =B

2

A2

coefficiente di riflessione

Ψ

I I I(x,t ) =F ei (k x−ω t ) +Gei (−k x−ω t )

Regione III

T =F

2

A2

coefficiente di trasmissione G =0onda incidente da sinistra verso destra

T (E) ≈exp −2

h2m(U −E )L

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟


La microscopia a effetto tunnel (STM)

Recinto quantico Logo atomico

dell’IBM

La manipolazione atomica

delle superfici


I limiti del modello di Bohr

Non è in grado di prevedere le intensità delle linee spettrali

Non spiega la presenza dei multipletti spettrali

Ha scarso successo nel descrivere gli spettri di atomi a molti

elettroni

Non è in grado di descrivere l’ evoluzione temporale del sistema

Non prevede la quantizzazione spaziale

Non include il principio di esclusione

…………………………


L’ equazione di Schrödinger per un potenziale centrale

−h2

2me

∇2 +V (r )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ψ(r) =Eψ(r)

In coordinate sferiche H ψ(r) =E ψ(r)

H =−h2

2me

1

r

∂2

∂r 2r +

1

2mer 2

L2 +V (r )

−h2

2me

1

r

∂2

∂r 2r +

1

2mer 2

L2 +V (r )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ψ(r ,θ,ϕ ) =Eψ(r ,θ,ϕ )

ψ(r ,θ,ϕ ) =R(r )Y

l

m(θ,φ)

Hψ(r ,θ,ϕ ) =Eψ(r ,θ,ϕ )

L2ψ(r ,θ,ϕ ) =l(l + 1)h2ψ(r ,θ,ϕ )

L

zψ(r ,θ, ϕ ) =mhψ(r ,θ, ϕ )

L2Y

l

m(θ,φ) =l(l + 1)h2Yl

m(θ,φ)

L

zY

l

m(θ,φ) =mhYl

m(θ,φ)

−h2

2me

1

r

d2

dr 2r +

l(l + 1) h2

2mer 2

+V (r )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥R(r ) =E R(r )


La parte angolare e i polinomi di Legendre

€

Y lm(θ,ϕ)=

−1( )l+m

2l l!

2l +1( )

4π

(l −m)!

( l +m)!ei mϕ(sinθ )m d l+m

d(cosθ )l+m(sinθ )2l

l =0,1,2,K−l ≤m≤l

-0.1 -0.05 0.05 0.1x

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

z83, 1<-0.1-0.05

00.05

0.1

-0.1-0.05

00.05

0.1

-0.1

0

0.1

-0.1-0.05

00.05

0.1

|Y31(θφ)|2


L’ equazione radiale per il potenziale coulombiano

−h2

2me

1

r

d2

dr 2r +

l(l + 1) h2

2mer 2

+V (r )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥R

k,l(r ) =E

k,lR

k,l(r )

V (r ) =−

e2

r

a0=

h2

mee2

E0=

mee4

2 h2=

e2

2a0

k,l

= −E

k,l

E0

cq=(−1)q 2

k + l

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

q

(k −1) !

(k −q−1) !

(2l + 1) !

q!(q + 2l + 1) !c

0

Rk,l

(r ) =1

re

−r

a0

k ,l r

a0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

l +1

cq

r

a0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

q

q=0

k−1

∑

Ek,l

=−k,l

2 E0=−

E0

k + l( )2=−

1

n2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟E

0 n=1,2, 3,L

l =0,1, ...n−1

l =n−1

Rn,n−1

(r ) =1

re

−r

na0

r

a0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

n

c0

Pn,n−1

(r ) =r 2Rn,n−1

2 (r ) =e−

2 r

na0

r

a0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2n

c0

2

dPn,n−1

(r )

dr=2c

0

2 e−

2 r

na0

r

a0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2n

n2a0−r

na0r

dPn,n−1

(rmax

)

dr=0 ⇒ r

max=n2a

0raggio di Bohr


Autofunzioni radiali

1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2n= 1

l=0

R

n,l(r )

r/a0

P

n,l(r ) =r 2R

n,l

2 (r )

1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n= 1

l=0

r/a0

5 10 15 20 25 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

n= 3

l=0

l=1

l=2

r/a0

5 10 15 20 25 30

-0.05

0.05

0.1

0.15

n= 3

l=0

l=1

l=2

r/a0


Esempio: ψ(r,θφ) : n = 4, l = 3, m = 0

€

Y3,0(θ,ϕ)

10 20 30 40 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07n= 4 l = 3

€

r2R4,32 (r)

Densità di probabilit

à

-40 -20 0 20 40-40

-20

0

20

40

-0.1-0.050.050.1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

83, 0<

83, 0<


Particelle nella scatola

L

L

L

En

1,n

2,n

3

=h2

2m

πL

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

(n1

2 +n2

2 +n3

2 ) =E0(n

1

2 +n2

2 +n3

2 ) ; E0=

h2

2m

πL

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

kBT(300 K) = 25.86 meV

He:

€

m=4amu=4×1.6606×10−27kg=6.64×10−27kg

E0=

1.054 ×10−34( )

2

2 ×6.64 ×10−27

3.14

10−2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

J =8.25 ×10−38 J =5.15 ×10−19eV

E

0≈k

BT ⇒ L ≈0.4 ÅL = 1 cm

⇒ kT ≅5 ×10 16 E

0

e- : m=9.1×10−31 kg

E0=

1.054 ×10−34( )

2

2 ×9.1×10−31

3.14

10−2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

J =6.02 ×10−34 J =3.76 ×10−15eV

E

0≈k

BT ⇒ L ≈40 ÅL = 1 cm

⇒ kT ≅7 ×10 12 E

0

A.CarneraScienza delle Superfici (Mod. B) 20051 Elementi di fisica quantistica.

Documents

Transcript of A.CarneraScienza delle Superfici (Mod. B) 20051 Elementi di fisica quantistica.