A. Martini

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Quando l’onda raggiunge lo specchio vi si “appiattisce” contro, poi viene riflessa capovoltamentre allo specchio continua ad arrivare l’onda proveniente dal generatore.

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Da questo momento in poi la zona tra la sorgente e lo spechio sarà interessata da una perturbazione di questo tipo

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:

Generatore d’onda

SpecchioNODI

Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:

Generatore d’onda

SpecchioNODI

Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:

Generatore d’onda

SpecchioNODI

VENTRI

Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:

Generatore d’onda

SpecchioNODI

VENTRI

Si possono individuare delle zone particolari che chiameremo:

Generatore d’onda

SpecchioNODI

VENTRI

in questi punti non vi è energia!!!!!

in queste zone c’è energia!!!!!

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

Questa onda si chiama: STAZIONARIA

Generatore d’onda

Specchio

POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA STAZIONARIA

Generatore d’onda

SpecchioTRADUCENDO IN FORMULE QUESTA

AFFERMAZIONE:

POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA STAZIONARIA

Generatore d’onda

Specchio

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

POSSIAMO SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’ONDA STAZIONARIA

TRADUCENDO IN FORMULE QUESTA

AFFERMAZIONE:

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Stessa AMPIEZZA

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Stessa lunghezza d’onda

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Stesso periodo (quindi: stessa frequenza)

Di conseguenza: stessa velocità! (V=/T =.f)

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Onda che avanza

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Onda che avanza

Onda che torna indietro

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Le due onde hanno fase opposta

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Per scrivere l’equazione dell’onda risultante occorre SOMMARE le due equazioni precedenti

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

L’onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde identiche, ma aventi velocità opposte e sfasate tra loro di , dato che sono in opposizione di fase

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) = A sen 2 ( - ) + x

tT

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Raccogliamo A a fattor comune

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ sen 2 ( + ) - x

tT

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Risolviamo la parentesi

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

x

2Y (x,t) =A sen - + + sent

2 x

2 t

2+ -

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Dalla trigonometria sappiamo che:

sen sen sen

2

2 2cos

Applichiamola alla formula appena calcolata:

sen sen sen

2

2 2cos

Applichiamola alla formula appena calcolata:

sen sen sen

2

2 2cos

x

2Y (x,t) =A sen - + + sent

2 x

2 t

2+ -

Applichiamola alla formula appena calcolata:

sen sen sen

2

2 2cos

x

2Y (x,t) =A sen - + + sent

2 x

2 t

2+ -

Applichiamola alla formula appena calcolata:

sen sen sen

2

2 2cos

x

2Y (x,t) =A sen - + + sent

2 x

2 t

2+ -

sen sen sen

2

2 2cos

x

2Y (x,t) =A sen - + + sent

2 x

2 t

2+ -

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

t

T, cosbg

2

4

2

42

2

Y (x,t)=

X

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

Y (x,t) =2A sen

+

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2cos

-

x2 t

2- + x

2 t

2

+ -

2

Y x t Asen

t

T, cosbg

2

4

2

42

2

Y (x,t)=

Y x t Asen

X t

T

X t

T

X t

T

X t

T, cosd i

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

Y (x,t)

X

Y x t AsenT

, cosb g 2

2 2

Y (x,t)= X 2 t

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

Questo significa che, per qualunque valore di t,

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

Questo significa che, per qualunque valore di t,

(Cioè: SEMPRE)

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

Questo significa che, per qualunque valore di t,

(Cioè: SEMPRE)

CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA ZERO

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

Questo significa che, per qualunque valore di t,

(Cioè: SEMPRE)

CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA ZERO

(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI: I NODI!)

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

Questo significa che, per qualunque valore di t,

(Cioè: SEMPRE)

CI SONO DEI PUNTI CHE HANNO AMPIEZZA ZERO

(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI: I NODI!)

Sono quelli per i quali vale la relazione:

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI: I NODI!)

Sono quelli per i quali vale la relazione:

senX2

0

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI: I NODI!)

Sono quelli per i quali vale la relazione:

Infatti quando si verifica questa condizione,

Y(x,t) risulta uguale a zero

senX2

0

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

(Cioè: ci sono dei punti che stanno SEMPRE FERMI: I NODI!)

Sono quelli per i quali vale la relazione:

senX2

0

Y(x t) AsenX t

T, cos 2

2 2

senX2

0

Questo si ha quando:

2

Xn

senX2

0

Questo si ha quando:

2

Xn

X n2

n 1 2 3, , , . . .

senX2

0

Questo si ha quando:

2

Xn

X n2

Vediamo alcuni esempi

n 1 2 3, , , . . .

Generatore d’onda

Specchio

n=1

Generatore d’onda

Specchio

X 2

n=1

Generatore d’onda

Specchio

X 2

n=1

Generatore d’onda

Specchio

X 2

n=1

Generatore d’onda

Specchio

X 2

NODI

n=1

Generatore d’onda

Specchio

X 2

n=1

VENTRE

Generatore d’onda

Specchio

X 2

VENTRE

n=1

1 VENTRE

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

NODI

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

VENTRE VENTRE

n=2

Generatore d’onda

SpecchioX 2

2

VENTRE VENTRE

n=2

2 VENTRI

Generatore d’onda

Specchio

Generatore d’onda

Specchio

n=3

Generatore d’onda

SpecchioX 3

2

32

n=3

Generatore d’onda

SpecchioX 3

2

32

n=3

Generatore d’onda

SpecchioX 3

2

32

n=3

Generatore d’onda

Specchio

n=3

X 32

32

NODI

Generatore d’onda

Specchio

n=3

X 32

32

VENTRE VENTRE VENTRE

Generatore d’onda

Specchio

n=3

X 32

32

VENTRE VENTRE VENTRE

3 VENTRI

eccetera...

Un’applicazione molto nota ai musicisti è questa:

Se questo è il suono di una corda quando non è premuta

Sfiorando la corda con un dito, senza premerla, si ottiene l’armonica superiore