Post on 01-May-2015
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Trasformazioni cicliche
Trasformazione ciclica: una trasformazione in cui lo stato finale coincide con quello iniziale.
Se viene prodotto lavoro W < 0 assorbendo calore da sorgenti il ciclo è detto termico.
WQdU I principio: Consente di trasformare U e Q in lavoro W
L’espansione si arresta occorre riportare il sistema al punto iniziale, con una isoterma più bassa. La macchina termica deve operare su un ciclo.
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Ciclo di Carnot
macchina reversibile che opera tra due sorgenti
2 isoterme + 2 adiabatiche
può essere percorso da qualsiasi fluido motore: prendiamo il gas perfetto.
Motore termico è un dispositivo che scambia calore con l’ambiente e produce lavoro. Affinché il lavoro venga prodotto in modo continuativo deve operare in modo ciclico.
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Ciclo di Carnot
0lnln 11
11
a
bba
b
a
b
a
b
aab
V
VnRTVnRT
V
dVnRTdV
V
nRTPdVW
0U
Assorbito
AB: espansione isoterma
0WQ AB1
4
Ciclo di Carnot
Ubc nCV T2 T1
012 TTnCUW Vbcbc
0ln2 c
dcd V
VnRTW
BC: espansione adiabatica
0Q
Cd: compressione isoterma
0U
Ceduto0WQ CD2
5
Ciclo di Carnot
Uda nCV T1 T2
021 bcVdada WTTnCUW
DA: compressione adiabatica
0Q
Rendimento del ciclo:
a
b
c
d
ass
ced
ass
cedass
ass
tot
VV
nRT
VV
nRT
Q
Q
Q
Q
W
ln
ln
1
1
1
2
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Ciclo di Carnot
ab isoterma PaVa PbVb
bc adiabatica PbVb PcVc
cd isoterma PcVc PdVd
da adiabatica PdVd PaVa
PaVaPbVbPcVcPdVd
PbVbPcVcPdVdPa Va
Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro
Vb
Va
1
Vc
Vd
1 Vb
Va
Vc
Vd
1T2
T11
T2
T1
a
b
d
c
VVVV
T
T
ln
ln
11
2
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Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V 4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1. Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas. Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione. Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.
4
3
2
1 Adiabatica
Adiabatica
V4V1
p1
3p1
Scoppio
V2 V1
P2 3P1
T2 P2V2
nR 3P1V1
RP1V1
RT1
3T1
V3 V4 4V1
P3 P2V2
V3 3P1
V1
4V1 34 P1
T3 P3V3
nR34 P1 4 V1
RP1V1
RT1
341 T1
Applicazione: il Ciclo Otto
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V4 4V1
P4 P1V1
V4 P1
V1
4V1 4 P1
T4 P4V4
nR
4 P1 4V1
RP1V1
RT1
41 T1
W
Qass
1Qced
Qass
1nCV T4 T3 nCV T2 T1
141 341 T1
3 1 T1
141 1 3
3 1 1
1
4 1
C 1T4
T2
141 T1
3T1
1 1
34 1
Applicazione: il Ciclo Otto
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Il frigorifero
Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile Quindi può essere percorso al contrario:
Si invertono i segni degli scambi energetici Cambia segno U - W e Q Quelle che erano le quantità assorbite
diventano cedute e viceversa quindi la macchina di Carnot al contrario
assorbe il lavoro W assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo
cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo
Abbiamo realizzato un frigorifero Si definisce coefficiente di prestazione del
frigorifero
w
W
Qass
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Irreversibilità e II principio
le trasformazioni in natura sono irreversibili!!! Procedono in un’unica direzione.
per es. due corpi a temperatura differente: il calore può passare da quello più caldo a quello più freddo ma non il viceversa.
Pendolo messo in oscillazione: parte dell’energia meccanica viene ceduta sotto forma di energia interna dell’aria. Non può accadere il viceversa.
Perché?? Il II principio della termodinamica
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Esiste una funzione di stato l’ entropia, S: tale che l’integrale del calore scambiato reversibilmente diviso per la T a cui avviene lo scambio, tra lo stato i e lo stato f, è dato dalla differenza dei valori della funzione S nello stato finale meno quello dello stato iniziale.
La variazione di entropia non dipende dalla trasformazione, sia reversibile o irreversibile.
Attenzione: il calcolo di S deve essere fatto SOLO su una trasformazione REVESIBILE
L’entropia
SSST
Qif
R
f
i
R
L’entropia: funzione di stato
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f
i
V
f
i
f
i
V
V
T
dTnc
V
dVnR
T
dQ
T
dTnc
V
dVnR
T
dQ
dTncpdVdQ
dUdLdQ
i
fV
i
f
T
Tnc
V
VnRS lnln
Gas perfetto
Vale per qualunque trasformazione tra i ed f
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Applicazioni
Consideriamo due corpi a T1 e T2: il calore ceduto dal corpo 1 ed assorbito dal corpo 2, fino alla T di equilibrio.
La trasformazione è irreversibile. Il calore trasferito da un corpo all’altro può essere calcolato come se la
trasformazione fosse reversibile È a pressione costante
T1 T2T1>T2
Q1 Q2
11122212 0 TTcmTTcmQQ mm
Tm m1c1T1 m2c2T2
m1c1 m2c2
02222 TTcmQ m
01111 TTcmQ m
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Applicazioni
222
2
222 ln
T
Tcm
T
dTcm
T
QS m
mf
i
R
111
1
111 ln
T
Tcm
T
dTcm
T
QS m
mf
i
R
0lnln2
221
1121 T
Tcm
T
TcmSSS mm
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Applicazioni
L’espansione libera è una trasformazione irreversibile Per calcolo la variazione dell’entropia dobbiamo
utilizzare trasformazione isoterma reversibile
i
ff
i
f
i
f
i
f
i
R
f
i
Rsist
V
VnR
V
dV
T
nRT
T
pdV
T
W
T
Q
T
QS
ln
0 ambS Suniv Ssist Samb 0
QWdU QWdU 0
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Applicazioni
Cambiamento di fase:
S Sliq Ssol QR
Tfusione
la temperaturadi fusione è
costante
sol
liq
1
Tfusione
Q R m fusione
Tfusionesol
liq
0fusione
fusione
T
mS
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Applicazioni
i
fPer un trasformazione qualunque: poiché l’entropia è una funzione di stato, possiamo considerare una qualunque trasformazione reversibile.
f
c
c
i
Vf
c
Rc
i
R
f
i
R
V
dV
T
nRT
T
dTnC
T
Q
T
Q
T
QS
c
c
f
i
cV
f
c
c
i
V V
VnR
T
TnC
V
dVnR
T
dTnC ln ln SnCV ln
Tf
Ti
nR lnVf
Vi
SnCP lnTf
Ti
nR lnPf
Pi
SnCV lnPf
Pi
nCp lnVf
Vi
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Applicazioni
T
QdSsist
T
QdSserb
Serbatoio di calore
Sistema
Ambiente
0. T
Q
T
QdSdSdS SerbSistUniv
Trasformazione reversibileUniverso
X es. spansione isoterma reversibile...
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0 ambsistuniv SSS
0 ambuniv SS
L’Universo è un sistema isolato
0 ambuniv SS
Ciclo irreversibile Ciclo reversibile
L’irreversibilità è sempre accompagnata da un aumento di entropia.!!
Ogni processo naturale evolve sempre nella direzione verso cui aumenta l’entropia.
Enunciato I: se il sistema è isolato, l’entropia del sistema non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile; resta costante se la trasformazione è reversibile.
Enunciato I: se il sistema è isolato, l’entropia del sistema non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile; resta costante se la trasformazione è reversibile.
II principio della Termodinamica:
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Il I principio:
Calore può essere trasformato in lavoro meccanico. Un espansione isoterma trasforma tutto il Q in W Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un
ciclo. Una parte del ciclo assorbe calore da uno o più serbatoi, un’altra parte cede calore a uno o più serbatoi.
Esempi di macchine termiche: il motore dell’automobile, le locomotive a vapore.
Il rendimento della macchina:
È possibile realizzare un processo il cui unico risultato
sia quello di assorbire calore da un serbatoio e di
convertirlo completamente in lavoro?? Q ceduto = 0
Macchina mono-terma
Le macchine termiche
0 WQWQU
ass
ced
ass
cedass
ass Q
Q
Q
Q
W
1
W(=Q1)
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Enunciati II del 2° principio della Termodinamica
Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme.
non esiste la macchina monoterma ossia la macchina perfetta!!!.
0macchinadS
0T
QdSserb
!!assurdo! 0 univS
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Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore. SERVE W non esiste il frigorifero perfetto!!
Enunciato III del II principio della Termodinamica
0macchinadS12 T
Q
T
QdSserb
021 serbdSTT!!assurdo! 0 univS
Riassumiamo II principio
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Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore.
Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore.
Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme
Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme
Enunciato I: se il sistema è isolato, l’entropia del sistema non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile; resta costante se la trasformazione è reversibile.
Enunciato I: se il sistema è isolato, l’entropia del sistema non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile; resta costante se la trasformazione è reversibile.
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Dimostriamo che la violazione di uno implichi la violazione dell’altro. Violato enunciato II
Supponiamo che esista una macchina termica 1 che trasformi tutto il calore il lavoro.
Prendiamo un’altra macchina di Carnot 2) che lavori come frigorifero.
Equivalenza degli enunciati II e III
Macchina complessiva:
1QW
W ,2,1 CC QQ
,2 CQAssorbe
CedeViola il I
II
CQ ,1
CQ ,2
CCC QQQQ ,2,11,1 W
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Il teorema di Carnot
Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due termostati.
tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot) che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso rendimento.
XQ ,1
La dimostrazione per assurdo: Supponiamo che esista una macchina X che lavori tra i due
termostati T1 e T2 che abbia un rendimento > della macchina di Carnot operante come macchina frigorifera tra gli stessi termostati.
Sia W il lavoro delle due macchine in un ciclo uguale
X
totX
Q
W
,1
C
totC
Q
W
,1
CQ ,1
XQ ,2 CQ ,2
1T
2T
Il teorema di Carnot
Combiniamo le due macchine in una sola macchina, non si compie lavoro esterno.
Il teorema di Carnot
Assunto XC
C
tot
X
totCx QQ
Q
W
Q
W,1,1
,1,1
XXCCtot QQQQW ,2,1,2,1
0,2,2,1,1 QQQQQ XCXC
0
0
,2,2
,1,1
QQQ
QQQ
XC
XC
OSSIA
28
28
Il calore viene trasferito dal serbatoio T1 a temperatura più bassa a quello T2 a temperatura più alta senza che venga fatto lavoro: contraddice il II principio della termodinamica!!
Combiniamo le due macchine in una sola macchina, non si compie lavoro esterno.
0,1,1 QQQ XC
Il teorema di Carnot
XQ ,1 CQ ,1
XQ ,2 CQ ,2
1T
2T0,2,2 QQQ XC