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CONCETTO DI LIMITE
Prof. I. Savoia Bologna, febbraio 2013 1
Aa
Si consideri la seguente funzione in un intorno del punto
x0=2 escluso dal dominio di esistenza:
: 2
62 2
x
xxxf 2 \
Alcuni valori numerici calcolati negli intorni destro e
sinistro del punto x0=2 sono riportati nella tabella
seguente e il grafico della f(x) illustrato a fianco:
x- 1 1.5 1.9 1.99 ....2
-
f(x) 5 6 6.8 6.98 ....7-
x 3 2.5 2.1 2.01 ....2+
f(x) 9 8 7.2 7.02 ....7+
1 Limite finito per x che tende a un valore finito.
Osserviamo come i valori della funzione, al tendere della x al valore x0=2 da sinistra e da destra, tendano al
valore l =7 rispettivamente per difetto (7-) e per eccesso (7+) e, inoltre, il grafico indica che l'immagine di
un intorno del valore x=2 un intorno del valore l=7: i raggi dei due intorni sono indicati con le lettere
greche, rispettivamente (delta) sull'asse X ed (epsilon) sull'asse Y.: f (]2-;2+[)=]7-; 7+[ .
Per evidenziare che nei due intorni del valore x0=2 la funzione tende al valore l=7, possiamo
rappresentarne tutti i valori in una tabella che include le differenze tra ciascuno di essi ed il valore l=7
senza considerarne il segno, ovvero riportandone i loro moduli |f(x)-7| che sono sempre pi vicini al
valore 0 con l'approssimarsi di x al valore x0=2.
x 1 1.5 1.9 1.99 ... x0=2 ... 2.01 2.1 2.5 3
f(x) 5 6 6.8 6.98 ... l=7 ... 7.02 7.2 8 9
|f(x)-7| 2 1 0.2 0.02 ... 0 ... 0.02 0.2 1 2
Eccetto che per il punto x0=2 (che di accumulazione del dominio) dove la funzione non definita (in
quanto la funzione assume un valore indeterminato 0/0), il grafico quello di una retta e ci si giustifica
scomponendo in fattori il trinomio al denominatore e semplificando la frazione:
32 2 2
232
2
62 2
xxf
x
x
xx
x
xxxf
Quindi, in ogni altro punto diverso da x0=2 i valori della funzione sono calcolabili in modo elementare,
semplicemente sostituendoli al posto della lettera x nell'espressione f (x) = 2x+3.
Possiamo ora dire, con linguaggio matematico, che il limite della funzione per x che tende al valore x0=2
uguale a 7 e ci viene scritto nel seguente modo:
7 2
xfLimx
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Generalizziamo ora il concetto di limite, introdotto in modo intuitivo, fornendo la definizione che segue.
,
In simboli matematici, possiamo scrivere la definizione del limite l
xfLimxx
0
nella forma:
00 , I , | 0 I 0 xxxxxfx l
Pi Intuitivamente, l'interpretazione della definizione di limite consiste la scelta di un valore reale positivo
arbitrariamente piccolo, in corrispondenza del quale si trova sempre un intorno 0I x per il quale i valori
della funzione sono compresi nell'intervallo ll ; per qualunque 0xx appartenente
a tale intorno, in modo che la funzione si avvicina al valore del limite. Quanto detto si sintetizza cos:
La verifica di un limite l
xfLimxx
0 comporta il risolvere la disequazione della definizione:
lll xfxf
Esempio: verifica del limite 732 2
xLimx
. Risolviamo la disequazione 7327 x
2
2
2
2 424 x x . Abbiamo cos determinato un intorno del punto x0=2 per tutti i
valori del quale la definizione verificata e la cui ampiezza diminuisce al diminuire del valore scelto per .
Limite finito per x che tende a x0.
Si dice che la funzione xfy ha per limite il
numero reale l per x che tende a x0, e si scrive
l
xfLimxx
0
,
quando, comunque si scelga un numero reale
positivo , si pu determinare un intorno completo I(x0), tale che risulti:
lll xfxf
per ogni xI(x0), diverso eventualmente da x0 .
X
Y
l
0I x
xf
l
Scelto un numero 0
arbitrariamente piccolo, si determina un
intorno 0I x per il quale vera la disequazione:
ll xf
Al diminuire del valore di 0 si restringe
anche l'intorno 0I x per il quale si verifica la
disequazione:
ll xf
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2 Limite destro e limite sinistro in un punto
I limiti destro e sinistro di una funzione sono quelli la cui definizione e il cui calcolo interessano rispettivamente gli
intorni destro e sinistro del punto x0 verso cui tende la variabile x e vengono cos scritti:
Limite destro: l
xfLimxx
0
. Limite sinistro: l
xfLimxx
0
.
In alcuni casi, come nell'esempio che segue, la funzione tale per cui i limiti destro e sinistro sono diversi ed il grafico
presenta un "salto" in corrispondenza al valore x0 .
Dobbiamo notare che per l'esistenza di un limite di una funzione in un dato punto occorre che i limiti destro e sinistro
coincidano in tale punto poich la verifica del limite deve aversi contemporaneamente negli intorni destro e sinistro:
lll
xfLimxfLimxfLimxxxxxx
0 0 0
X
Y
3
2
6 2 ,22 xxxf
2 ,33 xxxf
Esempio. Verifichiamo i limiti sinisstro e destro della
funzione definita per intervalli:
2 ,33
2 ,22
xx
xxxf
6 2
xfLimx
, 3 2
xfLimx
Verifica del limite sinistro della funzione, per x
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3 Continuit e discontinuit in un punto
Il comportamento di una funzione in un dato punto punto x0 pu assumere forme diverse, riconoscibili anche
graficamente, in base ai valori del limite e della funzione stessa in tale punto, in modo che il punto stesso possa essere
classificato nei modi seguenti :
A) Continuit: una funzione f(x) continua in un punto 0x se il limite in tuale punto esiste e coincide con il valore
della funzione in quel punto. Una funzione f(x) continua in un punto se si verificano tre condizioni:
- esistenza di un valore finito della funzione 0xf ;
- coincidenza del limite finito con i limiti destro e sinistro: l
xfLimxfLimxfLimxxxxxx
0 0 0
;
- coincidenza tra valore della funzione e limite: 00
xfLimxfxx
.
Ad esempio, il punto 20 x di continuit per la 32 xxf si verifica facilmente il rispetto di tutte e tre le
condizioni sopra elencate, mentre lo stesso punto non lo rispetto alla funzione 2
62 2
x
xxxf poich, come
abbiamo gi visto, non rispetta la prima condizione perch la funzione non definita per x=2 .
In diversi casi le funzioni sono continue nel loro dominio naturale, come sotto specificato:
- Polinomi come ,65 ,43 , 2 xxxfxxfkxf ecc....., sono continue x ;
- radici con indice dispari come ,xxf,xxf 53 ecc...., sono continue x ;
- radici con indice pari come ,xxf,xxf 4 ecc...., sono continue x0;
- esponenziali come ,10 ,2 xx xfxf ecc...., sono continue x ; x>0 .
- logaritmi come , , 312 xlogxfxlogxf ecc...., sono continue x>0 .
B) Discontinuit di prima specie: un punto 0x discontinuit di prima specie se i valori dei limiti destro e
sinistro esistono finiti ma non coincidono e la loro differenza costituisce un "salto".
Ad esempio, come abbiamo gi visto, la funzione
2 ,33
2 ,22
xx
xxxf ammette due limiti destro e sinistro
diversi nel punto 20 x con un salto di 3 unit, per cui tale punto una discontinuit di prima specie.
-
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Esempio di funzione che ha una discontinit di
prima specie nell'origine la cos detta funzione
segno che viene definita come rapporto tra il valore
assoluto di un numero e il numero stesso:
0 ,1
0 ,1
x
x
x
xxf
Il salto tra il limite destro e quello sinistro , in questo
caso, di due unit:
1 ,1 00
xfLimxfLimxx
X
Y
+1
-1
C) Un punto 0x detto discontinuit di seconda specie se almeno uno dei due limiti destro e
sinistro infinito oppure se il limite in tale punto non esiste.
Il concetto di lmite infinito in 0x , che qui anticipiamo , riguarda i valori tendenzialmente illimitati che una
funzione assume quanto pi i valori della x sono prossimi al valore 0x in un suo intorno.
Ad esempio, le funzioni logaritmo con basi maggiore di 1 e minore di 1 hanno entrambe un discontinuit di
seconda specie nell'origine poich il limiteo destro vale - e + rispettivamente, mentre il limite sinistro
non esiste. I grafici seguenti si riferiscono ai logaritmi nelle basi 2 e 1/2.
Da ora,