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La logicaLa logicaScienza del ragionamento corretto

Elaborato da Manuela Mangione

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CENNO STORICOCENNO STORICO

384-322 a.c. filosofo greco Aristotele1600 Gottfried Leibniz1800 George Boole

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ProposizioneProposizione

Linguaggio naturale Linguaggio logico

Una frase costituita da un verbo Es: Esci stasera? State zitti! Domani pioverà Alessia è simpatica 4 è un numero pari

Una frase dichiarativa per la quale si può stabilire, senza ambiguità, se è vera o falsa

Es: 4 è un numero pari

Uso TAVOLE DI VERITA’

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Prova tu….individua le proposizioni logiche

Il triangolo ha 4 latiQuesto libro è interessanteVai al mare domenica?Omero è autore dell’IliadeAttento: il semaforo è rosso!I Longobardi ebbero come re AlboinoMilano nel 700 era una città caoticaIl triplo di 5 è 16

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Tipi di proposizioni logicheTipi di proposizioni logiche

PROPOSIZIONI SEMPLICI

p: Oggi c’è il soleq: vado a scuola in bici

• PROPOSIZIONI COMPOSTE

p Λ q: oggi c’è il sole e vado a scuola in bici

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Connettivi logiciConnettivi logici

Connettivi logici simboli

non ¯

e Λ

o V

se …… allora

se e solo se

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Connettivi logici Connettivi logici NegazioneNegazione

p: La Sicilia è un’isolap :La Sicilia non è un’isola (non è vero…)cambia il valore di verità della proposizione

p p p

V F V

F V F

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Connettivi logici Connettivi logici CongiunzioneCongiunzione

p: 9 è un numero dispariq :9 è multiplo di trepΛq: 9 è un numero dispari e multiplo di 3

p q pΛq

V V V

V F F

F V F

F F F

9

Prova tu… date le seguenti proposizioni utilizza la congiunzione e costruisci la tabella di verità

p: Bologna si trova in Toscana q: il Po è un fiume italiano

• a: 11 è un numero pari b: il quadrato ha 4 lati

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Qual è la differenza nei dei due Qual è la differenza nei dei due precedenti esempi nell’uso del precedenti esempi nell’uso del connettivo o? Riflettiamo….connettivo o? Riflettiamo….

• a: Vado a scuola o a piedi o in bici• b: Mangio il dolce o la frutta

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Connettivi logiciConnettivi logiciDisgiunzione inclusivaDisgiunzione inclusiva

p: Paolo ha amici simpatici q : Paolo ha amici intelligentipVq: Paolo ha amici simpatici o intelligenti

p q pVq

V V V

V F V

F V V

F F F

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Connettivi logici Connettivi logici Disgiunzione esclusivaDisgiunzione esclusiva

p: Paolo sarà promossoq : Paolo sarà bocciatop V q: Paolo sarà o promosso o bocciato

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F

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Prova tu…. riscrivi in linguaggio simbolico utilizzando i connettivi più appropriati

Un numero è pari o dispariIl cane corre o abbaiaQuesta sera leggo o dormoMangio il dolce o la fruttaMangio o il dolce o la frutta

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Connettivi logici Connettivi logici ImplicazioneImplicazione

p: 4 è un numero pariq : 4 è divisibile per 2p q: se 4 è un numero pari allora è

divisibile per 2

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Prova tu ….Prova tu ….

Il direttore di un’azienda promette a Paolo “ se sei esperto in informatica allora ti

assumo”p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

1)Il direttore ha detto il vero2)Il direttore non ha detto il vero 3)Non è in contrasto con la promessa, Paolo è assunto pur non essendo un esperto di informatica4) Il direttore ha detto il vero, Paolo non è esperto e non viene assunto

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Connettivi logici Connettivi logici Doppia implicazioneDoppia implicazione

p: la Sicilia è un’isolaq : la Sicilia è circondata dal marep q: la Sicilia è un’isola se e solo se è

circondata dal mare

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

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Tautologie e ContraddizioniTautologie e ContraddizioniTautologieProposizione composta vera

per qualunque valore delle proposizioni componenti

Es: Se dormo non sono sveglio

Un numero naturale è pari o dispari

Una linea è una retta oppure non lo è

A pallavolo si vince o si perde

ContraddizioniProposizione composta falsa

per qualunque valore delle proposizioni componenti

Es: Dormo e sono sveglio

La circonferenza è una linea retta e curva

2 è un numero pari o non lo è

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Differenza tra linguaggio naturale Differenza tra linguaggio naturale (LN) e linguaggio logico (LL)(LN) e linguaggio logico (LL)

Linguaggio Naturale• Ricco di connettivi, scopo

rendere la proposizione più espressiva , problema dubbia interpretazione

• Si considerano solo proposizioni che presentano un nesso tra le componenti

• A volte due negazioni negano

Linguaggio Logico• Numero di connettivi

limitati

• Nesso non necessario (es: Paolo è svenuto e corre)

• Due negazioni affermano sempre

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Il ragionamento correttoIl ragionamento corretto“se cè la nebbia, allora la partita è sospesa. La partita è

sospesa , quindi c’è la nebbia” ??????????p: c’è la nebbiaq : la partita è sospesaPremessa: p q, qConseguenza: pUn ragionamento è corretto se da premesse vere seguono conseguenze vere

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Prova tu ….

Considera i seguenti ragionamenti, costruisci il loro schema simbolico e, attraverso le tavole di verità, stabilisci se sono corretti

• Se guardo la tv, allora mi viene sonno. Mi viene sonno, quindi guardo la tv.

• Se ripasso la lezione, allora sono tranquillo. Non ripasso la lezione, quindi non sono tranquillo.

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Forme di ragionamento valide: Forme di ragionamento valide: Modus Ponens (G. Boole)Modus Ponens (G. Boole)

Se è vera un’implicazione ed è vero il suo antecedente, risulta vero anche il suo conseguente

p: Alice è colpevole q : Bruno è colpevoleSe Alice è colpevole, lo è anche Bruno. Alice è colpevole,

quindi Bruno è colpevole.Premessa: p q, pConseguenza: q p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Forme di ragionamento valide: Forme di ragionamento valide: Modus Tollens (G. Boole)Modus Tollens (G. Boole)

Se è vera un’implicazione ed è falso il suo conseguente, risulta falso anche il suo antecedente

p: Domani c’è il sole q : vado al mareSe domani c’è il sole allora vado al mare. Non vado al mare,

quindi non c’è il sole.Premessa: p q, qConseguenza: p

Prova a verificarlo con una tavola di verità……

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Il teorema

Si chiama teorema un procedimento logico che dalle premesse porta alle conseguenze

Dimostrazione Ipotesi Tesi

Enunciato

L’insieme delle premesse

Procedimento di deduzione logica

L’insieme delle conseguenze

La proposizione costituita dall’ipotesi e dalla tesi

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Fonti bibliografiche

W. Maraschini – Multiformat –ParaviaAbati/Binda/Quartieri- Matematica con metodo –

Palumbo EditoreBergamini/Trifone/Barozzi - Algebra e geometria

analitica – ZanichelliInternet – siti vari