Elettrostatica(Potenziale ed energia potenziale)

In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non dipende dal percorso e può essere scritto come differenza tra i valori assunti da una funzione nel punto finale ed in quello iniziale

2 1

1 2

2 1 2

1 2 1

2 1

0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ))

P P

P P

P P P

P P P

L F ds I F ds II F ds

I F ds II F ds II F ds

U P U P

2P

ix

jy

kz

ˆ( )F f r r

2 1

1 2

2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2 2

1 2 1 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

P P

P P

P P r r

P P r r

r r r r

r r r r

L F ds F ds F ds

f r r ds f r r ds f r dr f r dr

f r dr f r dr f r dr f r dr

ds

h

1P

Forza centrale

Forza Gravitazionale

12 21

1 212 2

12

ˆ

F F

mmF G r

r

1r

2r

12r

12F

21F

11 2 2(6.67259 0.00085) 10 /G Nm kg

r

F

1 02

ˆmm

F G rr

ix

jy

F dr

r

kz

2 2

1 1

2

1

1 02

1 0 1 022 1

1 0 1 0

2 1

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

G

mmL F dr G r dr

r

drGm m Gmm

r r r

Gm m GmmU

r r

1 0G

GmmU A

r

2 1 00

1costante

2G

GmmK U m v

r

r

( )U r

Supponendo nulla l’energia potenziale didue masse poste a distanza infinita tra loro

1 0G

GmmU

r

2 1 00

1costante

2G

GmmK U m v

r

costantel

La soluzione di queste equazioni in coordinate polari consente di determinare l’equazione oraria e l’equazione della traiettoria (ellisse, iperbole, parabola) per il moto di una massa m0 nel campo di una massa m1 in funzione delle condizioni iniziali.Nel caso terra–sole (supposti puntiformi) si ottengono le leggi di Keplero.

1 1 0

1 01 12

1

ˆ

R r R

q qF k r

r

1q

0q

i

0R1R

1r

j

k

1 0 11 1 1 02 2

1 1

1 1 0

ˆ ˆ( )q q q

F k r k r qr r

F E q

1 11 2

0 11

F qE k r

q r

ix

jy

F dr

r

kz

2 2

1 1

2

1

1 02

1 0 1 022 1

1 0 1 0

1 2

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

e

q qL F dr k r dr

r

drkq q kq q

r r r

kq q kq qU

r r

1 0e

kq qU B

r

2 1 00

1costante

2e

kq qK U m v

r

r

( )U rSupponendo nulla l’energia potenziale didue cariche poste a distanza infinita tra loro

1 0 e

kq qU

r

2 2

1 1

2

1

12

1 122 1

1 1

2 1

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

mG dr G r dr

r

drGm Gm

r r r

Gm Gm

r r

1GmA

r

Supponendo nullo il potenziale di una massa puntiforme all’ infinito 1Gm

r

Se si considera l’integrale di linea del campo (gravitazionale o elettrico) si ottiene la differenza di potenziale invece dellavariazione dell’energia potenziale.

2 2

1 1

2

1

12

1 122 1

1 1

1 2

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

qV E dr k r dr

r

drkq kq

r r r

kq kq

r r

1kqV B

r

Supponendo nullo il potenziale di una carica puntiforme all’ infinito

1kqV

r

Il potenziale si ottiene anche dall’energia potenziale dividendo per la massa o la carica elettrica (di prova). Assumendo il potenziale nullo all’infinito:

1

0

1

0

G

e

U Gm

m r

U kqV

q r

Nel caso di sistemi discreti di cariche puntiformio continui di cariche distribuite.

1

1

ni

i i

ni

i i

Gm

r

kqV

r

Gdm

r

kdqV

r

0

0

G

e

U m

U q V

Il potenziale in P?

Il lavoro della forza elettrica per

portare q0 da P all’infinito è data da:

0 0( ) ( )eU q q V P

Il lavoro necessario per portare q0

dall’infinito a P

q

q

q

aC

0cos30 / 2

3 33

r a

kq kV q

r a

q

q

q

aC

0q

L’energia potenziale della carica q0 nella posizione C (il lavoro

della forza elettrica per portare q0 da C all’infinito) è data da:

0 0 0

0

( ) 3

3 3

e

kqU q q V q

r

kqq

a

Il lavoro necessario per portare q0

dall’infinito a C

L’energia potenziale delle tre cariche q nella loro posizione

(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r

all’infinito) è data da:

2

( ) 3e

kqU sistema

a

L’energia elettrostatica complessiva è data da:

0

2

0

( ) ( )

3 33

e e eU U sistema U q

kq kqq

a a

2q

3q

1q

aC

0q

L’energia potenziale delle tre cariche nella loro posizione

(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da C

all’infinito) è data da:

1 2 1 3 2 3( )e

kq q kq q kq qU sistema

a a a

0 0

1 0 2 0 3 0

( )

3 3 3

eU q q V

k k kq q q q q q

a a a

1 2 1 3 1 2 1 3

2 3 1 2 2 3

1 3 2 3

0 02 2

0 0 ;;;;;;; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

L’energia del sistema è data dalla somma di tutti gli elementi di una delle due matrici

1 2 1 3 1 2 1 3

12 13 12 13

2 3 1 2 2 3

23 21 23

1 3 2 3

31 32

0 02 2

0 0 ; ; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

Nel caso di un triangolo scaleno

Nel caso di n cariche avremo unamatrice quadrata di rango n

1 2 1 3 1 2 1 3

12 13 12 13

2 3 1 2 2 3

23 21 23

1 3 2 3

31 32

0 02 2

0 0 ; ; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

L’energia complessiva può essere scritta come

0

0

( )

( )G G

e e

U m U sistema

U q V U sistema

1( )

2

1( )

2

i jG

i j ij

i je

i j ij

mmU sistema G

r

q qU sistema k

r

2

1

P

P

V E dr

La differenza di potenziale tra due punti si calcola se è noto il campo elettrico lungo un percorso che li congiunge

Nel caso di due punti posti a distanza infinitesima

dV E dr

( )x y z

V V Vdx dy dz E dx E dy E dz

x y z

; ; x y z

V V VE E E

x y z

E grad V

Nel caso di un sistema piano si puòscrivere in coordinate polari:

r

1ˆ ˆ( , ) u u

V VE r

r r

dV E dr

( )r

V Vdr d E dr E rd

r

rˆ ˆ u udr dr rd

d

xr

R

0 0

2 20 0

1 1

4 4

1 2 1 2

4 4

dsV ds

r r

R R

r R x

2 2 3 / 22 20 0

1 1( )4 4 ( )

0

0

x

y

z

V q qxE

x x R xR xV

Ey

VE

z

xr

R r

2 2

2 20 00

( ( ) )2 2( )

R dV R x x

x

r r

r

0

02

RV se x

0

4

qV se x R

x

0

2

R

2 2

2 20 0

( ( ( ) )) (1 )2 2 ( )

0

0

x

y

z

V xE R x x

x x R x

VE

y

VE

z

0

2

R

0

2

R

Da notare che mentre il campo per R infinitamente grande tende ad un valore costante il potenziale tenderebbe ad infinito. La presenza di cariche all’infinito non consente di porvi il potenziale uguale a zero

0 00

0

( ) (0)

( ) (0)

x

V x V dx x

V x V x

0E

0

E

0E

0 x

0 d

( )V x

0

d

Superfici equipotenziali

A BV V

A B CV V V

Dipolo elettrico

ˆp qaj

ˆru

p r

1r

2r

P

q

q

a

u

2 1r r i

j

2 1

1 2 1 2

1 1( ) ( )

r rV P kq kq

r r r r

22 1 1 2 ; r a r r a cos r r r

2 2 2

ˆ ( ) ra cos p cos p u

V P kq k kr r r

2 3

2 3

( ) 2

( ) sin

r

V P k p cos k p cosE

r r r rV P k p cos k p

Er r r

3

ˆ ˆ

ˆ ˆ(2 sin )

r r

r

E E u E u

k pcos u u

r

j

i

3

3

2 '

k pE lungo l asse

r

k pE nel piano mediano

r

Linee di campo in un qualsiasi piano contenente l’asse del dipolo

Dinamica di un dipolo in un campo elettrico uniforme

r F a qE

qa E p E

ˆsin pE k

0

sin

cos coso o

e

L d pE d

pE pE U

p

q

q

a i

j

k

F

F

( ) coseU pE p E

p

q

q

a

Campo elettrico non uniforme

p

qq

a i

j

kF F

F F

2 1( )

F F F

E EF q E E qa p

x x

La forza ha il verso del campo se questo è concorde al momento di dipolo (nel caso in cui il modulo del campo sia una funzione crescente di x)

p

qq

a i

j

kF F

F F

p

qq

a i

j

kF F

F F

p

qqa i

j

kF F

F F

qq

Interazione dipolo-dipolo