( Energia potenziale e potenziale). In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un...
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Elettrostatica(Energia potenziale e potenziale)
In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non dipende dal percorso e può essere scritto come differenza tra i valori assunti da una funzione nel punto finale ed in quello iniziale
2 1
1 2
2 1 2
1 2 1
2 1
0 ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ( ) ( ))
P P
P P
P P P
P P P
L F ds I F ds II F ds
I F ds II F ds II F ds
U P U P
2P
ix
jy
kz
ˆ( )F f r r
2 1
1 2
2 1 2 1
1 2 1 2
2 1 2 2
1 2 1 1
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
P P
P P
P P r r
P P r r
r r r r
r r r r
L F ds F ds F ds
f r r ds f r r ds f r dr f r dr
f r dr f r dr f r dr f r dr
ds
h
1P
Forza centrale
Forza Gravitazionale
12 21
1 212 2
12
ˆ
F F
mmF G r
r
1r
2r
12r
12F
21F
11 2 2(6.67259 0.00085) 10 /G Nm kg
r
F
1 02
ˆmm
F G rr
ix
jy
F dr
r
kz
2 2
1 1
2
1
1 02
1 0 1 022 1
1 0 1 0
2 1
ˆ
1 1(( ) ( ))
P P
P P
r
r
G
mmL F dr G r dr
r
drGm m Gmm
r r r
Gm m GmmU
r r
1 0G
GmmU A
r
2 1 00
1costante
2G
GmmK U m v
r
r
( )U r
Supponendo nulla l’energia potenziale didue masse poste a distanza infinita tra loro
1 0G
GmmU
r
1 1 0
1 01 12
1
ˆ
R r R
q qF k r
r
1q
0q
i
0R1R
1r
j
k
1 0 11 1 1 02 2
1 1
1 1 0
ˆ ˆ( )q q q
F k r k r qr r
F E q
1 11 2
0 11
F qE k r
q r
ix
jy
F dr
r
kz
2 2
1 1
2
1
1 02
1 0 1 022 1
1 0 1 0
1 2
ˆ
1 1(( ) ( ))
P P
P P
r
r
e
q qL F dr k r dr
r
drkq q kq q
r r r
kq q kq qU
r r
1 0e
kq qU B
r
2 1 00
1costante
2e
kq qK U m v
r
r
( )U rSupponendo nulla l’energia potenziale didue cariche poste a distanza infinita tra loro
1 0 e
kq qU
r
Se si considera l’integrale di linea del campo (gravitazionale o elettrico) si ottiene la differenza di potenziale invece dellavariazione dell’energia potenziale. Il potenziale si ottiene dall’energia potenziale dividendo per la massa o la carica elettrica.
1
0
1
0
G
e
U Gm
m r
U kqV
q r
2 2
1 1
2
1
12
1 122 1
1 1
2 1
ˆ
1 1(( ) ( ))
P P
P P
r
r
mG dr G r dr
r
drGm Gm
r r r
Gm Gm
r r
1GmA
r
Supponendo nullo il potenziale di una massa puntiforme all’ infinito
1Gm
r
2 2
1 1
2
1
12
1 122 1
1 1
1 2
ˆ
1 1(( ) ( ))
P P
P P
r
r
qV E dr k r dr
r
drkq kq
r r r
kq kq
r r
1kqV Br
Supponendo nullo il potenziale di una carica puntiforme all’ infinito
1kqVr
Nel caso di sistemi discreti di cariche puntiformio continui di cariche distribuite.
1
1
ni
i i
ni
i i
Gm
r
kqV
r
Gdm
r
kdqV
r
0
0
G
e
U m
U q V
q
q
q
aC
0cos30 / 2
3 33
r a
kq kV q
r a
q
q
q
aC
0q
L’energia potenziale della carica q0 nella posizione C (il
lavoro della forza elettrica per portare q0 da r all’infinito)
è data da:
0 0 0
0
( ) 3
3 3
e
kqU q q V q
r
kqq
a
L’energia potenziale delle tre cariche q nella loro posizione
(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r
all’infinito) è data da:
2
( ) 3e
kqU sistema
a
L’energia elettrostatica complessiva è data da:
0
2
0
( ) ( )
3 33
e e eU U sistema U q
kq kqq
a a
2q
3q
1q
aC
0q
L’energia potenziale delle tre cariche nella loro posizione
(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r
all’infinito) è data da:
1 2 1 3 2 3( )e
kq q kq q kq qU sistema
a a a
0 0
1 0 2 0 3 0
( )
3 3 3
eU q q V
k k kq q q q q q
a a a
1 2 1 3 1 2 1 3
2 3 1 2 2 3
1 3 2 3
0 02 2
0 0 ;;;;;;; 02 2
0 0 00
2 2
kq q kq q kq q kq q
a a a a
kq q kq q kq q
a a a
kq q kq q
a a
L’energia del sistema è data dalla somma di tutti gli elementi di una delle due matrici
1 2 1 3 1 2 1 3
12 13 12 13
2 3 1 2 2 3
23 21 23
1 3 2 3
31 32
0 02 2
0 0 ; ; 02 2
0 0 00
2 2
kq q kq q kq q kq q
a a a a
kq q kq q kq q
a a a
kq q kq q
a a
Nel caso di un triangolo scaleno
Nel caso di n cariche avremo unamatrice quadrata di rango n
1 2 1 3 1 2 1 3
12 13 12 13
2 3 1 2 2 3
23 21 23
1 3 2 3
31 32
0 02 2
0 0 ; ; 02 2
0 0 00
2 2
kq q kq q kq q kq q
a a a a
kq q kq q kq q
a a a
kq q kq q
a a
L’energia complessiva può essere scritta come
0
0
( )
( )G G
e e
U m U sistema
U q V U sistema
1( )
2
1( )
2
i jG
i j ij
i je
i j ij
mmU sistema G
r
q qU sistema k
r
2
1
P
P
V E dr
La differenza di potenziale tra due punti si calcola se è noto il campo elettrico lungo un percorso che li congiunge
Nel caso di due punti posti a distanza infinitesima
dV E dr
( )x y z
V V Vdx dy dz E dx E dy E dz
x y z
; ; x y z
V V VE E E
x y z
E grad V
Nel caso di un sistema piano si puòscrivere in coordinate polari:
r
1ˆ ˆ( , ) u u
V VE r
r r
dV E dr
( )r
V Vdr d E dr E rd
r
rˆ ˆ u udr dr rd
d
xr
R
0 0
2 20 0
1 1
4 4
1 2 1 2
4 4
dsV ds
r r
R R
r R x
2 2 3 / 22 20 0
1 1( )4 4 ( )
0
0
x
y
z
V q qxE
x x R xR xV
Ey
VE
z
xr
R r
2 2
2 20 00
( ( ) )2 2( )
R dV R x x
x
r r
r
0
02
RV se x
0
4
qV se x R
x
0
2
R
2 2
2 20 0
( ( ( ) )) (1 )2 2 ( )
0
0
x
y
z
V xE R x x
x x R x
VE
y
VE
z
0
2
R
0
2
R
Superfici equipotenziali
Dipolo elettrico
ˆp qaj
ˆru
p r
1r
2r
P
q
q
a
u
2 1r r i
j
2 1
1 2 1 2
1 1( ) ( )
r rV P kq kq
r r r r
22 1 1 2 ; r a r r a cos r r r
2 2 2
ˆ ( ) ra cos p cos p u
V P kq k kr r r
2 3
2 3
( ) 2
( ) sin
r
V P k p cos k p cosE
r r r rV P k p cos k p
Er r r
3
ˆ ˆ ˆ ˆ(2 sin )r r r
k pE E u E u cos u u
r
j
i
3
3
2 '
k pE lungo l asse
r
k pE nel piano mediano
r
Linee di campo in un qualsiasi piano contenente l’asse del dipolo
Dinamica di un dipolo in un campo elettrico uniforme
r F a qE
qa E p E
ˆsin pE k
0
sin
cos coso o
e
L d pE d
pE pE U
p
q
q
a i
j
k
F
F
( ) coseU pE p E
p
q
q
a
Campo elettrico non uniforme
p
a i
j
kF F
F F
2 1( )
F F F
E EF q E E qa p
x x
La forza ha il verso del campo se questo è concorde al momento di dipolo (nel caso in cui il modulo del campo sia una funzione crescente di x)
p
a i
j
kF F
F F
p
a i
j
kF F
F F
p
qqa i
j
kF F
F F
Interazione dipolo-dipolo