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Elettrostatica (Energia potenziale e potenziale)

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Elettrostatica(Energia potenziale e potenziale)

Page 2: ( Energia potenziale e potenziale). In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non.

In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non dipende dal percorso e può essere scritto come differenza tra i valori assunti da una funzione nel punto finale ed in quello iniziale

2 1

1 2

2 1 2

1 2 1

2 1

0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ))

P P

P P

P P P

P P P

L F ds I F ds II F ds

I F ds II F ds II F ds

U P U P

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2P

ix

jy

kz

ˆ( )F f r r

2 1

1 2

2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2 2

1 2 1 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

P P

P P

P P r r

P P r r

r r r r

r r r r

L F ds F ds F ds

f r r ds f r r ds f r dr f r dr

f r dr f r dr f r dr f r dr

ds

h

1P

Forza centrale

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Forza Gravitazionale

12 21

1 212 2

12

ˆ

F F

mmF G r

r

1r

2r

12r

12F

21F

11 2 2(6.67259 0.00085) 10 /G Nm kg

r

F

1 02

ˆmm

F G rr

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ix

jy

F dr

r

kz

2 2

1 1

2

1

1 02

1 0 1 022 1

1 0 1 0

2 1

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

G

mmL F dr G r dr

r

drGm m Gmm

r r r

Gm m GmmU

r r

1 0G

GmmU A

r

2 1 00

1costante

2G

GmmK U m v

r

r

( )U r

Supponendo nulla l’energia potenziale didue masse poste a distanza infinita tra loro

1 0G

GmmU

r

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1 1 0

1 01 12

1

ˆ

R r R

q qF k r

r

1q

0q

i

0R1R

1r

j

k

1 0 11 1 1 02 2

1 1

1 1 0

ˆ ˆ( )q q q

F k r k r qr r

F E q

1 11 2

0 11

F qE k r

q r

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ix

jy

F dr

r

kz

2 2

1 1

2

1

1 02

1 0 1 022 1

1 0 1 0

1 2

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

e

q qL F dr k r dr

r

drkq q kq q

r r r

kq q kq qU

r r

1 0e

kq qU B

r

2 1 00

1costante

2e

kq qK U m v

r

r

( )U rSupponendo nulla l’energia potenziale didue cariche poste a distanza infinita tra loro

1 0 e

kq qU

r

Page 8: ( Energia potenziale e potenziale). In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non.

Se si considera l’integrale di linea del campo (gravitazionale o elettrico) si ottiene la differenza di potenziale invece dellavariazione dell’energia potenziale. Il potenziale si ottiene dall’energia potenziale dividendo per la massa o la carica elettrica.

1

0

1

0

G

e

U Gm

m r

U kqV

q r

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2 2

1 1

2

1

12

1 122 1

1 1

2 1

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

mG dr G r dr

r

drGm Gm

r r r

Gm Gm

r r

1GmA

r

Supponendo nullo il potenziale di una massa puntiforme all’ infinito

1Gm

r

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2 2

1 1

2

1

12

1 122 1

1 1

1 2

ˆ

1 1(( ) ( ))

P P

P P

r

r

qV E dr k r dr

r

drkq kq

r r r

kq kq

r r

1kqV Br

Supponendo nullo il potenziale di una carica puntiforme all’ infinito

1kqVr

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Nel caso di sistemi discreti di cariche puntiformio continui di cariche distribuite.

1

1

ni

i i

ni

i i

Gm

r

kqV

r

Gdm

r

kdqV

r

0

0

G

e

U m

U q V

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q

q

q

aC

0cos30 / 2

3 33

r a

kq kV q

r a

q

q

q

aC

0q

L’energia potenziale della carica q0 nella posizione C (il

lavoro della forza elettrica per portare q0 da r all’infinito)

è data da:

0 0 0

0

( ) 3

3 3

e

kqU q q V q

r

kqq

a

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L’energia potenziale delle tre cariche q nella loro posizione

(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r

all’infinito) è data da:

2

( ) 3e

kqU sistema

a

L’energia elettrostatica complessiva è data da:

0

2

0

( ) ( )

3 33

e e eU U sistema U q

kq kqq

a a

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2q

3q

1q

aC

0q

L’energia potenziale delle tre cariche nella loro posizione

(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r

all’infinito) è data da:

1 2 1 3 2 3( )e

kq q kq q kq qU sistema

a a a

0 0

1 0 2 0 3 0

( )

3 3 3

eU q q V

k k kq q q q q q

a a a

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1 2 1 3 1 2 1 3

2 3 1 2 2 3

1 3 2 3

0 02 2

0 0 ;;;;;;; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

L’energia del sistema è data dalla somma di tutti gli elementi di una delle due matrici

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1 2 1 3 1 2 1 3

12 13 12 13

2 3 1 2 2 3

23 21 23

1 3 2 3

31 32

0 02 2

0 0 ; ; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

Nel caso di un triangolo scaleno

Nel caso di n cariche avremo unamatrice quadrata di rango n

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1 2 1 3 1 2 1 3

12 13 12 13

2 3 1 2 2 3

23 21 23

1 3 2 3

31 32

0 02 2

0 0 ; ; 02 2

0 0 00

2 2

kq q kq q kq q kq q

a a a a

kq q kq q kq q

a a a

kq q kq q

a a

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L’energia complessiva può essere scritta come

0

0

( )

( )G G

e e

U m U sistema

U q V U sistema

1( )

2

1( )

2

i jG

i j ij

i je

i j ij

mmU sistema G

r

q qU sistema k

r

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2

1

P

P

V E dr

La differenza di potenziale tra due punti si calcola se è noto il campo elettrico lungo un percorso che li congiunge

Nel caso di due punti posti a distanza infinitesima

dV E dr

( )x y z

V V Vdx dy dz E dx E dy E dz

x y z

; ; x y z

V V VE E E

x y z

E grad V

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Nel caso di un sistema piano si puòscrivere in coordinate polari:

r

1ˆ ˆ( , ) u u

V VE r

r r

dV E dr

( )r

V Vdr d E dr E rd

r

rˆ ˆ u udr dr rd

d

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xr

R

0 0

2 20 0

1 1

4 4

1 2 1 2

4 4

dsV ds

r r

R R

r R x

2 2 3 / 22 20 0

1 1( )4 4 ( )

0

0

x

y

z

V q qxE

x x R xR xV

Ey

VE

z

Page 22: ( Energia potenziale e potenziale). In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non.

xr

R r

2 2

2 20 00

( ( ) )2 2( )

R dV R x x

x

r r

r

0

02

RV se x

0

4

qV se x R

x

0

2

R

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2 2

2 20 0

( ( ( ) )) (1 )2 2 ( )

0

0

x

y

z

V xE R x x

x x R x

VE

y

VE

z

0

2

R

0

2

R

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Superfici equipotenziali

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Dipolo elettrico

ˆp qaj

ˆru

p r

1r

2r

P

q

q

a

u

2 1r r i

j

2 1

1 2 1 2

1 1( ) ( )

r rV P kq kq

r r r r

22 1 1 2 ; r a r r a cos r r r

2 2 2

ˆ ( ) ra cos p cos p u

V P kq k kr r r

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2 3

2 3

( ) 2

( ) sin

r

V P k p cos k p cosE

r r r rV P k p cos k p

Er r r

3

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 sin )r r r

k pE E u E u cos u u

r

j

i

3

3

2 '

k pE lungo l asse

r

k pE nel piano mediano

r

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Linee di campo in un qualsiasi piano contenente l’asse del dipolo

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Dinamica di un dipolo in un campo elettrico uniforme

r F a qE

qa E p E

ˆsin pE k

0

sin

cos coso o

e

L d pE d

pE pE U

p

q

q

a i

j

k

F

F

( ) coseU pE p E

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p

q

q

a

Campo elettrico non uniforme

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p

qq

a i

j

kF F

F F

2 1( )

F F F

E EF q E E qa p

x x

La forza ha il verso del campo se questo è concorde al momento di dipolo (nel caso in cui il modulo del campo sia una funzione crescente di x)

p

qq

a i

j

kF F

F F

p

qq

a i

j

kF F

F F

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p

qqa i

j

kF F

F F

qq

Interazione dipolo-dipolo