Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino
Università degli Studi di Torino – Di.S.A.F.A.
MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali
! Divisione tra polinomi (§ 2.2 del testo)
! La regola di Ruffini (§ 2.3 del testo)
! I prodotti notevoli (§ 2.3 del testo)
! Scomposizione dei polinomi in fattori primi (§ 2.4 del testo)
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Divisione tra due polinomi Dati due polinomi nella stessa lettera P(x) e D(x) di gradi n ed m,
se n≥m esistono e sono univocamente determinati
! un polinimio q(x) di gradi n-m
! un polinomio r(x) di grado t<m
tali che
P(x) = q(x)D(x) + r(x)
Dividendo Divisore Quoziente
Resto
Se r(x) = 0 " P(x) è divisibile per D(x) e la divisione si dice esatta
Risolvere la divisione P(x):D(x) equivale a trovare I polinomi q(x) e r(x)
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Divisione tra due polinomi: procedimento P(x) : D(x)
1. Si ordinano i due polinomi P e D secondo le potenze decrescenti
di una lettera, indicando con 0 ogni grado mancante in P
2. Si divide il termine di grado massimo di P per il termine di grado
massimo D, ottenendo il primo termine del quoziente
3. Si moltiplica il divisore D per il primo termine del quoziente e si
sottrae quanto ottenuto dal dividendo " primo resto parziale
4. Se il grado del resto parziale è maggiore o uguale a quello del
divisore D si continua la divisione assumendo come dividendo il
resto parziale
5. …
Esempi: (3x4 −10x3 − 5x2 +11x +10) : (3x + 2)
(14a2 + 6a3 − 7) : (2a2 + 4a− 5)
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Divisione di un polinomio per un binomio di primo grado
P(x) : D(x) con D(x) = (x + a)
Teorema di Ruffini
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio P(X) sia
divisibile per un binomio del tipo x+a è che si annulli per x= -a
P(x) = q(x) (x+a) ⇒ P(-a)=0 <
Dalla dimostrazione deriva un secondo metodo per la divisione di un polinimio per un binomio di primo grado. Esempi: (5x3 −3x +1) : (x − 2)
(2bx3 − 7b2x2 +3b3x − b4 ) : (x + b)
(x3 +8x2 + 6x − 4) : (2x +3)
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Prodotti notevoli
Somma per differenza: (A+B)(A-B) = A2-B2
Quadrato di un binomio: (A+B)2 = A2+2AB+B2
Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Cubo di un binomio: (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3
Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi (prodotti notevoli) si possono effettuare in modo rapido, ricordando semplici regole
(A+B)(A-B)=A2 – AB + BA - B2 = A2-B2
Esempio:
(A+B)2 = (A+B)(A+B)= A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2
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Potenza di un binomio: (A+B)n
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
! Polinomio omogeneo di terzo grado ! Le potenze del primo termine (A) decrescono da 3 a 0 ! Le potenze del secondo termine (B) crescono da 0 a 3
Osserviamo:
Generalizzando: ∀n ∈ N! lo sviluppo di (A+B)n contiene sempre n+1 termini ! i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli
estremi sono uguali ! in ogni termine dello sviluppo gli esponenti del primo termine A
decrescono da An ad A0=1 e gli esponenti del secondo termine B crescono da B0=1 a Bn
! i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia
(A+B)n = An+..An-1B + ……. + ..ABn-1+Bn
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Coefficienti dello sviluppo di (A+B)n
! Triangolo di Tartaglia
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
+
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
! ogni riga inizia e termina con 1 ! ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della
riga precedente
(A+B)0 = 1
(A+B)1 = 1A +1B
(A+B)2 = 1A2 + 2AB +1B2
(A+B)3 = 1A3 + 3A2B + 3AB2 + 1B3
(A+B)4 =
(A+B)5 =
……
1A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 +1B4
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Quadrato di un polinomio (A+B+C+…)2
Generalizzazione di:
" Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B+C)2 = (A+B+C) (A+B+C) = = A2+AB+AC+AB+B2+BC+AC+BC+C2 = = A2 + B2 + C2 +2AB + 2AC + 2BC
Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine
per tutti quelli che lo seguono
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Scomposizione di un polinomio in fattori primi
Come un numero può essere scritto come il prodotto di potenze di numeri primi (numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stessi):
12 = 3 22
180 = 5 22 32
così un polinomio può essere scritto come prodotto di polinomi non ulteriormente divisibili (fattori primi):
A2-B2 = (A+B)(A-B)
La scomposizione in fattori primi è un’operazione che in algebra ha molta importanza in quanto consente di ! determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi ! semplificare frazioni algebriche ! risolvere equazioni/disequazioni polinomiali e fratte ! …
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Raccoglimento a fattore comune Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all�addizione:
A(B+C) = AB+AC
Viceversa
AB+AC = A(B+C)
Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore [A], quest�ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all�interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore in questione [A]
9a2 − 6ab+3ac = 3a 9a2
3a−6ab3a
+3ac3a
"
#$
%
&'= 3a(3a− 2b+ c)
Raccoglimento a fattore parziale:
ax + bx + ay+ by = x(a+ b)+ y(a+ b)= (a+ b)(x + y)
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Scomposizione mediante i prodotti notevoli
Binomi "
•differenza di quadratia2 − b2 = a− b( ) ⋅ a+ b( )•differenza di cubi
a3-b3 = a− b( ) ⋅ a2 + a ⋅b+ b2( )•somma di cubi
a3 + b3 = a+ b( ) ⋅ a2 − a ⋅b+ b2( )
Trinomi "
•quadrato di binomio
a2 ± 2ab+ b2 = a± b( )2
•trinomio notevolex2 + a+ b( ) ⋅ x + ab = x + a( ) ⋅ x+ b( )
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Scomposizione mediante i prodotti notevoli (II)
Quadrinomi "
•cubo di binomio
a3 ±3a2b+3ab2 ± b3 = a± b( )3
•raccoglimento a fattor comune parzialeax + bx + ay+ by = x ⋅ a+ b( )+ y ⋅ a+ b( ) == a+ b( ) ⋅ x + y( )
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3a− 2b( )4
7xy− 2x( ) −7xy− 2x( )
R. 81a4 − 216a3b+ 216a2b− 96ab3 +16b4"# $%
R. 4x2 − 49x2y2"# $%
5x3y−10x2y2 + 5x2y R. 5x2y(x − 2y+1)"# $%
Esercizi Prodotti notevoli:
Scomposizione in fattori primi:
2ax + 2bx +3a+3b+ a2 + ab R. (a+ b)(2x +3+ a)[ ]
a(x + y)+ ab(x + y)2 R. a(x + y)(1+ bx + by)[ ]
1+ x( )2 − (1− x)2 + 4x R. 8x[ ]
(2+ a− b)(2− a+ b)+ (a− b)2 R. 4[ ]x2 + 2x −3 R. (x +3)(x −1)[ ]
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