PreCorso di Matematica - PCM - Corso M-Z · Outline Algebra lineare delle matrici, Docente: Auteri,...

PreCorso di Matematica - PCMCorso M-Z

DOCENTE: M. Auteri

Outline

Algebra lineare delle matrici

,

Docente: Auteri , PreCorso di Matematica, 2016 2

Definizione di matriceUna matrice (di numeri reali) e una tabella di m x n numeri disposti su m righee n colonne:

I I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice

I La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna.

I Il primo indice e l’indice di riga mentre il secondo e l’indice di colonna.

I gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo aij dove il primoindice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa lacolonna a cui l’elemento appartiene

In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

A(m, n) =

a11 a12 ... ... a1j ... a1na21 a22 ... ... a2j ... a2n... ... ... ... ... ... ...ai1 ai2 ... ... aij ... ain... ... ... ... ... ... ...

am1 am2 ... ... amj ... amn

,



La matrice puo essere scritta in forma sintetica come:

A(m, n) = [aij ], (i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ...n)

I Una matrice e rettangolare se il numero di righe “m” e diverso dal numerodi colone “n”.

I Se m = n la matrice si dice quadrata di ordine n .

I Un vettore riga e una matrice con una sola riga.

I Un vettore colonna e una matrice con una sola colonna.

,



Data una matrice A(m, n) si definisce sottomatrice e si indica con S(h, k), unamatrice costituita dagli elementi comuni ad h righe e k colonne della matrice A.Esempio:

I Dalla matrice

A =

1 56 30 4

I e possibile estrarre le seguenti sottomatrici quadrate di ordine 2:(

32

)·(

22

)= 3

,



Si consideri una matrice quadrata:

I la linea che unisce gli elementi con pedici uguali a11, a22, ..., ann , vienedenominata diagonale principale

I La linea che unisce i vertici Nord-Est e Sud-Ovest viene denominatadiagonale secondaria

I Si chiama traccia il numero dato dalla somma degli elementi delladiagonale principale

tr A =n∑

i=1

aii

,



Una matrice si dice simmetrica se:

aij = aji (i , j = 1, 2, ...n)

A =

1 3 53 2 −15 −1 0

Una matrice si dice diagonale se

I aij = 0 se i 6= J

I aij = di se i = j

,



Esempio

A =

1 0 0 00 −2 0 00 0 3 00 0 0 −7

Si scrive:

A = diag(d1, d2,....,dn) = diag(1,−2, 3,−7)

,



La matrice viene denominata scalare se:

di = d

per ognii = 1, 2...n

Ad esempio:

A =

−3 0 00 −3 00 0 −3

d = −3

,



I La matrice identita e una particolare matrice scalare nella quale glielementi della diagonale principale sono uguali ad 1:

I =

1 0 00 1 00 0 1

I La matrice identita ha, nell’algebra delle matrici, lo stesso ruolo del

numero 1 nell’algebra dei numeri.

,



I La matrice quadrata o rettangolare che contiene solo elementi nulli vienedenominata matrice nulla e viene indicata con la lettera O

On =

0 0 0 ... 00 0 0 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... 00 0 0 ... 0

I La matrice nulla ha, nell’algebra delle matrici, lo stesso ruolo dello 0

nell’algebra dei numeri.

,



I Data la matriceA(m, n) = [aij ]

I si chiama matrice trasposta la matrice

AT (n,m) = [aji ]

Proprieta:

I (AT )T = A

I tr(AT ) = trA

I (AT ) = A se la matrice e simmetrica

I Il trasposto di un vettore riga e un vettore colonna ( e viceversa)

,



SOMMA E DIFFERENZA TRA MATRICI:

I Date due matrici, A = [aij ] e B = [bij ], che hanno le stesse dimensioni, sidefinisce matrice somma la matrice avente le stesse dimensioni di A e B e icui elementi sono la somma degli elementi corrispondenti in A e B:

Proprieta

I A + B = [aij + bij ]

I A + 0 = 0 + A = A

I A + B = B + A

I (A + B) + C = A + (B + C )

I (A + B)T = ATBT

,



Esempio. In un magazzino:

I La giacenza iniziale del magazzino e

A =

1 2 52 3 05 0 6

I La matrice di approvvigionamento e data da:

B =

3 0 02 0 60 4 0

I La giacenza finale e:

A + B =

4 2 54 3 65 4 6

,



Il PRODOTTO righe per colonne tra due matrici puo essere eseguito se ilnumero di colonne della prima matrice e uguale al numero di righe dellaseconda matrice.

I Date le due matrici A(m, p) = [aik ] e B(p, n) = [bkj ]

I la matrice prodotto e C (m, n) = [cij ] ed ha elementi espressi da :

cij =

p∑k=1

aikbkj

Proprieta

I AB 6= BA

I A(B + C ) = AB + AC

I A(BC ) = (AB)C

I AB = 0 non implica A = 0 oppure B = 0

I (AB)T = BTAT

,



Esempio:

I Si consideri la matrice di giacenza di magazzino di 4 prodotti in 3 negozi :

Ap =

1 2 52 3 05 0 6

568

I I prezzi unitari dei 4 prodotti sono raccolti in un vettore colonna

p =

8

501020

,



Esempio (cont ...):

I Il valore del magazzino si ottiene moltiplicando la matrice A per il vettorep, ottenendo:

Ap =

1 2 52 3 05 0 6

568

8501020

=

1 ∗ 8 + 2 ∗ 50 + 5 ∗ 10 + 5 ∗ 20286260

I Il sistema:

{x2 + y = 1x + y = 2

I puo essere scritto come Ap = c dove:

A =

[12 11 1

]p =

[xy

]c =

[12

],



I Si chiama prodotto interno (o moltiplicazione scalare) tra due vettori ilnumero definito da:

< x , y >=n∑

i=1

xiyi = |x | · |y | · cosα

I Due vettori non nulli per i quali il prodotto interno e nullo si diconoortogonali

,



I Si considerino i due vettori :

x =

[42

]y =

[−12

]I Il loro prodotto scalare e nullo, i vettori sono perpendicolari

,



MATRICE INVERSA

I Data una matrice quadrata A si definisce matrice inversa A−1 la matriceche soddisfa la proprieta:

I AA−1 = A−1A = I

I Per calcolarla occorre stabilire prima le condizioni di esistenza dellamatrice inversa

I NB: un numero reale e dotato di inverso moltiplicativo se e diverso da 0

,



DETERMINANTE

I Il determinante e un numero che viene associato ad una matrice quadrata

I Se la matrice e di ordine 1 allora il determinante e espresso dal valoredell’unico elemento che costituisce la matrice:

A1 = [a11]→ detA1 = a11

I Se la matrice e di ordine 2, il determinante e espresso dalla differenza tra ilprodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto deglielementi della diagonale secondaria. Infatti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

,



I Si sceglie una linea (una riga o una colonna).

I Per ogni elemento ai j della linea scelta, si calcola il prodotto tra l’elemento,il valore di (−1)i+j e il valore del determinante della sottomatrice di A chesi ottiene eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.

I Si sommano, per tutti gli elementi della linea scelta, i prodotti ottenuti.

I Se si sceglie la riga 2, si ottiene:

det A = a21 (−1)2+1 det [a12] + a22 (−1)2+2 det [a11] == −a21a12+a22a11

,



In modo analogo si procede per una qualunque matrice di ordine 3. Ad esempiose si considera la matrice:

A =

1 0 32 −1 15 3 10

Se si sceglie la prima riga si ottiene:

|A| = 1 · (−1)1+1 det

[−1 13 10

]+ 0 · (−1)1+2 det

[2 15 10

]+

+3 · (−1)1+3 det

[2 −15 3

]=

1 · 1 · (−13) + 0 + 3 · 1 · 11 =−13 + 33 = 20

,



I Sia A una matrice quadrata di ordine n, si consideri l’elemento aij si indichicon Aij la sottomatrice di A ottenuta eliminando la riga i e la colonna j . Sidefinisce minore complementare Mij il determinante di Aij

I Si definisce poi complemento algebrico

Aij = (−1)i+jMij

I Il determinante viene quindi espresso da

det An =n∑

j=1

aijAij

,



Condizioni di annullamento del determinante di una matrice:

I Se in A c’e almeno una riga (colonna) nulla

I Se in A ci sono almeno due righe (colonne) uguali

I Se in A ci sono due righe (colonne) proporzionali

I Se in A c’e una riga (colonna) che e combinazione lineare di almeno duerighe di A

,



Il rango di una matrice e l’ordine massimo dei minori diversi da 0

I Il rango rappresenta il numero di righe (colonne) linearmente indipendenti.

I Si consideri la matrice

A =

2 −1 16 −2 34 −1 2

il suo rango e 2. Infatti la seconda riga e la somma della prima e della terza

I Si consideri la matrice

B =

1 −2 0 02 −4 0 3−2 +4 1 −1

il rango e 3. Infatti esiste la sottomatrice di ordine 3 ottenuta eliminandola prima colonna che ha il det diverso da 0

,



I La matrice inversa di A e l’unica matrice che soddisfa:

AA−1= A−1A = I

I La matrice A di ordine n e invertibile se e solo se e non singolare e in talcaso risulta:

A−1n =1

det AnA∗n

I In cui e chiamata matrice aggiunta di A∗

,



Procedura per calcolare l’inversa di A:

1. Calcolare il det A. Se e nullo la matrice non e invertibile

2. Calcolare la trasposta

3. Calcolare l’aggiunta di A (ovvero la matrice i cui elementi sono icomplementi algebrici degli elementi della trasposta)

4. Dividere gli elementi dell’aggiunta per il det A

,



I Si consideri un sistema di m equazioni lineari in n incognite:a11x1 + a12x2 + ...+ a1jxj + ...+ a1nxn = b1

..........................................................................ai1x1 + ai2x2 + ...+ aijxj + ...+ ainxn = bi

...........................................................................am1x1 + am2x2 + ...+ amjxj + ...+ amnxn = bm

I In forma matriciale Ax = b

I Se b e nullo il sistema si dice omogeneo.

,



La matrice A dei coefficienti e data da:

A =

a11 a12 a13 ... a1j ... a1na21 a22 a23 ... a2j ... a2n... ... ... ... ... ... ...ai1 ai2 ai3 ... aij ... ain... ... ... ... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amj ... amn

Il vettore x delle incognite e il vettore dei termini noti sono:

x =

x1x2...

xn

b =

b1

b2

...bm

,



Teorema di Rouche Capelli:

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite e compatibilese e solo se la matrice incompleta e la matrice completa hannorango uguale.

La matrice completa e la matrice che si ottiene inserendo nella matrice A, comen + 1− esima colonna il vettore dei termini noti.

K =[A

... b

]

,



I Se r(A) = r(K ) = r allora il sistema ammette ∞n−r = soluzioni.

I Se n − r =0 esiste un’unica soluzione e il sistema si dice determinato.

I Se il sistema e omogeneo allora A e K hanno sempre lo stesso rango equindi il sistema ammette sempre soluzione ( infatti ammette la soluzionenulla).

,



Si consideri il seguente sistema di due equazioni in due incognite:{x1 + x2 = 2x1 + x2 = 4

I Il rango di A e 1 mentre il rango di K e 2 quindi il sistema non e risolvibile.

I Infatti i primi membri delle equazioni sono uguali (e quindi il rango di A e1) mentre i secondi membri sono diversi (rango di K uguale a 2).

I C’e incompatibilita tra primo e secondo membro nelle equazioni: la sommadelle incognite o e uguale a 2 o a 4

,



Procedura per risolvere un sistema di equazioni lineari:

I Calcolare il r(A) e il r(K). Se sono diversi il sistema non ha soluzioni.

I Sia r il rango comune e sia∧A la sottomatrice di A che e servita per

calcolare il rango r

I Si eliminino le equazioni che non hanno coefficienti in∧A

I Si portino a secondo membro le incognite i cui coefficienti non

appartengono ad∧A

,



Il sistema e stato riscritto nella forma:

∧A∧x =

∧b

I dove∧x e il vettore delle incognite “vere” e

I dove∧b e il vettore dei nuovi termini noti dove sono presenti n− r incognite

che giocano il ruolo di parametri.

Il sistema si risolve calcolando l’inversa di∧A e:

∧x =

(∧A

)−1·∧b

,


E per concludere...

Alcune applicazioni economiche dei concetti studiati durante il corso:I MASSIMI E MINIMI: quando si studia una funzione si e interessati anche

a quei punti in cui la funzione raggiunge valori massimi e valori minimi.Sia massimi che minimi possono essere relativi, ossia limitati a unintervallo della funzione, o assoluti. Sia massimi che minimi possono essereliberi, ossia risolvono un problema di massimizzazione libera, o vincolatiquando nella massimizzazione compare un vincolo.

I Massimi e minimi liberi :I Condizione del primo ordineI condizioni del secondo ordine

I Massimi e minimi vincolati :I Condizione del primo ordineI condizioni del secondo ordine

I Metodo di sostituzione e metodo dei moltiplicatori di LagrangeI L’ottimo del consumatoreI La funzione di utilita Cobb-Douglas (quale caso particolare!!)I Esercizi numerici alla lavagna

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