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Universit degli Studi di Pisa
Anno Accademico 2001/2002
Corso di Laurea in Ingegneria Edile (Nuovo Ordinamento)
Insegnamento di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (12CFU)Docente: Ing. Salvatore Sergio Ligar
(per segnalazioni e suggerimenti [email protected])
Parte III)CINEMATICA E STATICA DEI SISTEMI DI TRAVI ELASTICHE
TEMA 3a
Data la trave elastica mostrata in figura, incastrata ad un estremo, appoggiata
allaltro, e caricata uniformemente,
p
L
A B
1. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;2. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche della
sollecitazione.
SOLUZIONE:
1. Determinazione della linea elastica
a)
Posizione del problema
Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materiale
elastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.
Inseriamo un numero sufficiente di sezioni al fine di isolare tutti i possibili punti
di discontinuit(di vincolo, di carico e geometriche) del sistema. Al termine di tale
operazione, sindividua la trave ed i nodi A e B, connessi fra loro e coi vincoli nelmodo indicato nella figura seguente.
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2
p
L
1 21
A=O B
z
y,v
Lequilibrio elastico della struttura governato dalle relazioni:
Lz
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2. Il tracciamento dei diagrammi
Sostituendo i valori delle costanti, e posto Lz/= , con 10 , si hanno:
inflessione:
[ ]2344
35248
)( +=EJ
pLv
z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
1
0. 5
0
- 0. 5 v
rotazione:
[ ]+== 615848
)(')( 233
EJ
pLv
z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
1
0
- 0. 5
0. 5
momento flettente:
)154(8
)('')( 22
+==pL
vEJM 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
z
1
0
- 1/ 8 M
sforzo di taglio:
)58(8
)(''')( ==pL
vEJT 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1
- 3/ 8
0
5/ 8
T
+
-
i cui grafici, a meno delle quantit costanti, sono riportati accanto alle espressioni.
Di particolare interesse sono i valori che tali grandezze assumono negli estremi A e B
della trave, riportati nella tabella seguente:
Grandezza Estremit A Estremit B
Inflessione 0)0( == vvA 0)1( == vvB
Rotazione 0)0(' === vA EJ
pLvB
48)1('
3
===
Momento flettente8
)0(''2pL
vEJMA == 0)1('' == vEJMB
Sforzo di taglio pLvEJTA8
5)0(''' == pLvEJTB
8
3)1(''' ==
A differenza dai casi precedenti questa volta la struttura una volta iperstatica, ma
non ci abbiamo fatto caso!
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TEMA 3b
Data la trave elastica mostrata in figura, incastrata ad un estremo, appoggiata
allaltro, e soggetta ad un carico concentrato P nella sezione di mezzeria,
P
A B
L/2 L/2
C
1. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;2. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche dellasollecitazione.
SOLUZIONE:
1.Determinazione della linea elastica
a) Posizione del problema
Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materialeelastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.
Inseriamo un numero sufficiente di sezioni al fine di isolare tutti i possibili punti
di discontinuit(di vincolo, di carico e geometriche) del sistema. Al termine di tale
operazione, sindividuano le travi e ed i nodi A, B, e C, connessi fra loro e coi
vincoli nel modo indicato nella figura seguente.
P
BL/2
C
1 1A=O
z
,v
32 42
L/2
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Lequilibrio elastico della struttura governato dalle relazioni:
2/0 Lz
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0)0(1 =v 04=c
0)0('1 =v 03=c
)2/()2/( 21 LvLv = 0)(2
)(8
)(48
)( 44332
22
3
11 =+++ dcL
dcL
dcL
dc
)2/(')2/(' 21 LvLv = 0)(2
)(8
)( 3322
2
11 =++ dcL
dcL
dc
)2/('')2/('' 21 LvLv = 0)(2
)( 2211 =+ dcL
dc
PLvEJLvEJ += )2/(''')2/(''' 21 Pdc = 11
0)(2 =Lv 0
26
43
2
2
3
1 =+++ dLdL
dL
d
Da:
0)(''2 = LvEJ
risulta
021 =+ dLd
ovvero,
=
0
0
0
0
0
0
0
0010000
126
0000
00010001
0012
0012
0128
0128
12848
12848
00000100
00001000
4
3
2
1
4
3
2
1
23
22
2323
P
d
d
d
d
c
c
c
c
L
LLL
LL
LLLL
LLLLLL
un sistema di otto equazioni algebriche lineari, non omogeneo per la presenza del
caricoP, nelle otto incognite c1, c2, c3, c4e d1, d2, d3, d4. Risolvendo otteniamo:
Pc = 16/111 Pd = 16/51
PLc = 16/32 PLd = 16/52
03=c 8/2
3 PLd =
04=c 48/3
4 PLd =
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Effettuiamo la verifica considerando le sole condizioni di raccordo
)()(2221
LL vv = 0)(2/)(8/)(48/)( 44332
22
3
11 =+++ dcLdcLdcLdc
)(')('2221
LL vv = 0)(2/)(8/)( 33222
11 =++ dcLdcLdc
)()( 22 LL MM + = 0)(2/)( 2211 =+ dcLdc
in
Cz = L/2
PTT LL += + )()(22
ovvero
Pdc = 11
Risolviamole mediantesostituzione allindietro
Pdc = 11 Pdc = 11
2/22 PLdc = 2/22 PLdc +=
8/233 LPdc = 8/2
33 LPdc =
48/
3
44 PLdc =
da cui
48/
3
44 PLdc += Le restanti condizioni al contorno diventano
0)0(1 =v 048/3
4 =+PLd in A z = 0
=
=
0)0('
0)0(
1
1
v
v
0)0('1 =v 08/2
3 = LPd
0)(2 =Lv 02/6/ 432
2
3
1 =+++ dLdLdLd in B z = L
=
=
0)(
0)(2
LM
Lv
0)(''2 =Lv
Ovvero
021 =+ dLd
da cui, otteniamoPd = 16/51 Pc = 16/111
PLd = 16/52 PLc = 16/32
8/23 PLd = 03=c
48/34 PLd =
e
04=c
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2.Il tracciamento dei diagrammi
Sostituendo i valori delle costanti e posto Lz/= , con 10 , si hanno:
Tratto inflessione:
)911(96
)( 233
+=EJ
PLv
)212155(96
)(23
3
+=EJ
PLv
0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 901
z
vv1
v2
Tratto rotazione:
)611(32
)(')( 22
+==EJ
PLv
)4105(32
)(')( 22
+==EJ
PLv
x
0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1
- 4
- 2
0
2
4
1
z
v1
v2
Tratto Momento flettente:
)311(16
)('')( +==PL
vEJM
)1(516
)('')( ==PL
vEJM
z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
1
5/ 32PL
0
MP- 5/ 32PL
Tratto sforzo di taglio:
PvEJT16
11)(''')( ==
PvEJT16
5)(''')( ==
0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1
0
11/ 16P T
-
P z
- 5/ 16P
i cui grafici sono riportati accanto alle espressioni, a meno delle quantit costanti.
Di particolare interesse tecnico sono i valori che tali grandezze assumono negli
estremi A e B della trave e nella sezione C di applicazione del carico, riportati nellatabella seguente:
Grandezza Estremit A Estremit B Sezione C
Inflessione 0)0( == vvA 0)1( == vvB
+
== 123
)(
223
L
a
L
a
L
a
EJ
PLavvC
Rotazione [ ]22 236
LaLaEJL
PaA +== [ ]22
3
6La
EJL
PLB == [ ]
22 2323
LLaaEJL
PaC +==
Momento
flettente
0)0('' == vEJMA 0)1('' == vEJMB
L
aLaPMM MAXC
)( ==
Sforzo di
taglio L
aLPvEJTA
)()0(''' ==
L
aPvEJTB == )1(''' PTTT
D
C
s
CC ==
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TEMA 3c
Data la trave elastica mostrata in figura, incastrata ad un estremo, appoggiata
allaltro estremo, e soggetta qui ad una coppia concentrata Q,
Q
L
A B
3. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;4. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche della
sollecitazione.
SOLUZIONE:
3. Determinazione della linea elastica
a) Posizione del problema
Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materiale
elastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.
Inseriamo un numero sufficiente di sezioni al fine di isolare tutti i possibili punti
di discontinuit(di vincolo, di carico e geometriche) del sistema. Al termine di tale
operazione, sindividua la trave
ed i nodi A, e B, connessi fra loro e coi vincoli nelmodo indicato nella figura seguente.
L
B
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A=O
z
y,v
2 Q
Lequilibrio elastico della struttura governato dalle relazioni:
Lz
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b) Integrazione dellequazione differenziale
Integrando quattro volte lequazione differenziale, si ottiene
Integrazione Tratto
0) 0=ivvEJ 1) 1''' cvEJ =
2) 21'' czcvEJ +=
3) 322
1 2/' czczcvEJ ++=
4) 432
2
3
1 2/6/ czczczcvEJ +++=
in cui le quattro costanti incognite c1, c2, c3, e c4devono essere determinate attraverso
le condizioni al contorno prima scritte.
0)0(1 =v 04=c 0)0('1 =v 03=c
0)( =Lv 02/6/ 432
2
3
1 =+++ cLcLcLc
Dallacondizione
QLvEJ = )(''2
si ottiene
QcLc =+ 21
ovvero,
=
Qc
c
c
c
L
LLL 0
0
0
001
12/6/
0100
1000
4
3
2
1
23
un semplice sistema di quattro equazioni algebriche lineari, non omogeneo per la
presenza della coppia Q, nelle quattro incognite c1, c2, c3, e c4 che ha per soluzione
LQc 2/31= 2/2 Qc =
03=c 04=c
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3.Il tracciamento dei diagrammi
Sostituendo i valori delle costanti e posto Lz/= , con 10 , si hanno:
inflessione:
)1(4
)( 22
=EJ
QLv
0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
- 0. 2
0. 2
z
1
0
v
rotazione:
)23(
4
)(')( ==EJ
QLv
0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
- 1
1
z
1
0
momento flettente:
)13(2
)('')( ==Q
vEJM 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9
z
10
-QM
Q/2
sforzo di taglio:
L
QvEJT
2
3)(''')( == 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1
- 3 /2L
0
T
-
i cui grafici, a meno delle quantit costanti, sono riportati accanto alle espressioni.
Di particolare interesse sono i valori che tali grandezze assumono negli estremi A e B
della trave, riportati nella tabella seguente:
Grandezza Estremit A Estremit B
Inflessione 0)0( == vvA 0)1( == vvB
Rotazione 0)0(' === vA EJ
QLvB
4)1(' ===
Momento flettente 2/)0('' QvEJMA == QvEJMB == )1(''
Sforzo di taglioL
QvEJTA
2
3)0(''' ==
L
QvEJTB
2
3)1(''' ==
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